第2章 第7节 指数与对数的运算-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用课件（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与对数的运算”核心考点，依据课标要求梳理了有理数指数幂含义、对数概念及运算性质等考查要点，对接高考评价体系分析指数幂运算、对数式运算两大高频考点分布，归纳多选、填空、综合应用等常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于高考真题深度融合与应试技巧指导，如2024北京高考题结合基本不等式考查对数运算，2025北京高考题通过实际情境训练对数模型应用，培养学生运算能力与推理意识。特设“练后悟通”总结运算顺序与原则，帮助学生掌握换底公式化简、指数对数互化等突破方法，教师可据此精准把握学情，提升复习效率。

第7节　指数与对数的运算 课标要求 1. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算 性质. 2. 理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数 或常用对数. 目录/ CONTENTS 考点一 指数幂的运算 01 考点二 对数式的运算 02 提能点 指对运算的应用 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 指数幂的运算 目 录 1. 根式 （1）一般地，如果xn＝a，那么 叫做a的n次方根； （2）式子 叫做 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； （3）（ ）n＝ .当n为奇数时， ＝ ；当n为偶数时， ＝｜a｜＝ x　 根式　 a　 a　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 有理数指数幂 概念 正分数指数幂： ＝ 　 　 a＞0，m，n∈N*， n＞1 负分数指数幂： ＝ ＝ 　 　 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指 数幂没有意义 运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r， s∈Q （ar）s＝ars （ab）r＝arbr 　 　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 题组练透 1. 〔多选〕下列计算正确的是（　　） A. ＝ B. ·（4y－a）＝4x C. ÷ ＝－9a（a＞0，b＞0） D. －（1＋ ）－1＋（1＋ ）0＝3－2 √ √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　对于A， ＝ ＝ ＝ ＝ ≠ ，所以 A错误；对于B， ·（4y－a）＝4 ·ya－a＝4xy0＝4x，所以B正 确；对于C， ÷ ＝－9 · ＝－9a （a＞0，b＞0），所以C正确；对于D， －（1＋ ）－1 ＋（1＋ ）0＝（ －1 － ＋1＝ －1－（ －1）＋1＝ 1，所以D错误. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（　　） A. a2＋a－2＝7 B. － ＝±1 C. ＋ ＝± D. ＋ ＝2 √ √ √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　将a＋a－1＝3两边平方，得（a＋a－1）2＝a2＋2＋a－2＝9， 所以a2＋a－2＝7，故A正确；因为 ＝a－2＋a－1＝3－2＝1， ， 的大小不确定，所以 － ＝±1，故B正确；因为 ＝a＋2＋a－1＝3＋2＝5，又因为 ＞0， ＞0，所以 ＋ ＝ ， 故C错误；由立方和公式，可得 ＋ ＝ ＋ ＝ （a－1＋a－1）＝ ×（3－1）＝2 ，故D正确.故选A、B、D. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. （0.008 1 － ×［81－0.25＋ － 10×0.02 ＝ ⁠. 解析：原式＝ －（3×1 ×［3－1＋ － 10×[（0.3）3 ＝ － × －10×0.3＝ － －3＝0. 0 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练后悟通 指数幂的运算 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 对数式的运算 目 录 概念 一般地，如果 （a＞0，且a≠1），那么数x叫做以 a为底N的对数，记作x＝ ，其中a叫做对数的 ⁠ ，N叫做 ⁠ 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔ ⁠ loga1＝ ；logaa＝ ⁠ ＝ ⁠ ax＝N　 logaN　 底 数　 真数　 x＝logaN　 0　 1　 N　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 运算 性质 loga（MN）＝ ⁠ a＞0，且a≠1， M＞0，N＞0 loga ＝ ⁠ logaMn＝ （n∈R） 换底 公式 logab＝ （a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1） logaM＋logaN　 logaM－logaN　 nlogaM　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 结论：（1）换底公式的变形：①logab·logba＝1，即logab＝ （a， b均大于0且不等于1）；②lo bn＝ logab（a，b均大于0且不等于 1，m≠0，n∈R）. （2）换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且 不等于1，d＞0）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）log535＋2lo －log5 －log514＝（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 原式＝log535－log5 －log514＋lo （ ）2＝log5 ＋lo 2 ＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：因为log2m＋log4n＝2，所以log2m＋ log2n＝2，故log2m＋log2 ＝log24，化简得log2 ＝log24，所以m ＝4，故m2n＝16. （2）（2026·广东广州模拟）若log2m＋log4n＝2，则m2n＝（　D　） A. 3 B. 4 C. 9 D. 16 D 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 对数运算的一般思路 （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的 形式，使幂的底数最简，然后再用对数的运算性质化简合并； （2）合：将对数式化为同底对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的 运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算； （3）ab＝N⇔b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的 有效方法，在运算中应注意互化. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝ ⁠. 解析：log1815＝ ＝ ＝ ＝ . 　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 提能点 指对运算的应用 目 录 角度1　指数式与对数式的综合运算 （1）若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4（abc）＝（　B　） A. －2 B. C. D. 1 解析： 由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54， 所以abc＝log23×log35×log54＝ × × ＝2，则log4（abc）＝log42 ＝ . B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）（2024·北京高考9题）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的 图象上两个不同的点，则（　B　） A. log2 ＜ B. log2 ＞ C. log2 ＜x1＋x2 D. log2 ＞x1＋x2 解析：因为（x1，y1），（x2，y2）为函数y＝2x的图象上两个不同的点， 所以y1＝ ，y2＝ ，且x1≠x2，则 ≠ ，所以y1＋y2＝ ＋ ＞2 ＝2 ，所以 ＞ ＞0，所以 log2 ＞log2 ＝ ，故选B. B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 　　对于将等式logax＝logby＝logcz（或等式ax＝by＝cz）作为已知条 件，求x，y，z的值的问题，通常设logax＝logby＝logcz＝k（或ax＝by ＝cz＝k＞0），则x＝ak，y＝bk，z＝ck（或x＝logak，y＝logbk，z＝ logck）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度2　实际应用 （2025·北京高考9题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需时间T＝klog2N（单位：小时），其中k为常数.在此 条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练 时间增加20个小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到 4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　） A. 2 B. 4 C. 20 D. 40 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　由题意，得klog2（1.024×109）－klog2106＝20，即 klog2 ＝20，∴klog21 024＝20，∴10k＝20，解得k＝2，即T＝ 2log2N. ∴2log2（4.096×109）－2log2（1.024×109）＝2log24＝4.故选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 （1）理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系； （2）运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为 所求. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 （1）已知loga ＝m，loga3＝n，则am＋2n＝ 　 　； 解析： 因为loga ＝m，loga3＝n，所以am＝ ，an＝3，所以am＋2n＝ am·a2n＝am· ＝ . 　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最 高允许浓度为20 mg/m3.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始 浓度为100 mg/m3，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气 中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：min）满 足关系式：y＝N0（ ）t（N0为初始浓度），那么从现在起至少经 过 min才能达到排放标准.（参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果取整数） 解析：由题意得100（ ）t≤20，即（ ）t≤ ⇒tlg ≤lg ⇒t（2lg 3－ 1）≤－lg 5，故t≥ ＝ ≈ ≈15.26，所以从现在起至 少经过16 min 才能达到排放标准. 16 高中总复习·数学（创新版） 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：88分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. 下列各式正确的是（式中字母均是正数）（　　） A. ＝－ B. （ ＝36 C. 若m8＝2，则m＝ D. ＝2－π √ 解析： 　对于A， ＝ ＝ ，故A错误；对于B，（ ＝ ＝62＝36，故B正确；对于C，m8＝2，故m＝± ，故C错误；对 于D， ＝｜2－π｜＝π－2，故D错误. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 计算：2lg －lg ＝（　　） A. 10 B. 1 C. 2 D. lg 5 √ 解析： 　原式＝lg（ ）2＋lg ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 已知a＝log35，b＝log23，则lg 3＝（　　） A. ＋ B. C. D. √ 解析： 　由b＝log23，得 ＝log32，则lg 3＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. 我们已经知道1 mol物质的原子个数为6.02×1023，你知道整个宇宙可观 测原子个数是多少吗？据估计，整个宇宙可观测原子个数大约为2290.下列 各数中与2290最接近的是（参考数据：lg 2≈0.301）（　　） A. 1085 B. 1086 C. 1087 D. 1088 √ 解析： 　因为lg 2290＝290lg 2≈290×0.301＝87.29，所以2290≈1087.29， 与2290最接近的是1087. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 〔多选〕下列计算正确的是（　　） A. （ －60－（ ＝－1 B. （ ＋ln（ln e）＝7 C. log23×log34＝log67 D. lg 25＋ lg 8－lg 200＋lg 2＝0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　对于A，原式＝ －1－ ＝－1，所以A正确；对于B，原式 ＝（ ＋ln（ln e）＝7＋ln 1＝7，所以B正确；对于C，原式＝ × ＝ × ＝2，所以C错误；对于D，原式＝lg 52＋ lg 23－lg 200 ＋lg 2＝2（lg 5＋lg 2）－lg ＝2－2＝0，所以D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 〔多选〕若10a＝4，10b＝25，则（　　） A. a＋b＝2 B. b－a＝1 C. ab＞lg22 D. b－a＞lg 6 √ √ √ 解析： 　由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，a＋b＝lg 4＋ lg 25＝lg 100＝2，A选项正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg ＜lg 10＝1，B选 项错误；ab＝（lg 4）×（lg 25）＞（lg 2）×（lg 2）＝lg22，C选项正 确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg ＞lg ＝lg 6，D选项正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. 若ex＝2 026，e－y＝1 013，则x＋y＝ ⁠. 解析：ex＝2 026，e－y＝1 013，则 ＝ ＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ ln 2. ln 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. 已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），若f（ln 2）·f（ln 4）＝8，则 a＝ ⁠. 解析：由f（ln 2）f（ln 4）＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝aln 8＝8， 解得a＝e. e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. 已知a＞1且 － ＝－ ，则a＝ ⁠. 解析：根据题意有 － ＝－ ，即3loga2－ ＝－ ，设t＝ loga2（a＞1），则t＞0，故3t－ ＝－ ，得t＝ （t＝－1舍去），所 以loga2＝ ，所以 ＝2，所以a＝64. 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （10分）已知x－x－1＝2 （x＞0），求 的值. 解：因为x－x－1＝2 （x＞0）， 所以（x－x－1）2＝12，即x2＋x－2－2＝12， 所以x2＋x－2＝14，所以（x＋x－1）2＝x2＋x－2＋2＝16，故x＋x－1＝4， 所以 ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. 已知2×3a＝5×7b＝1，则（　　） A. a＞b＞－1 B. b＞a＞－1 C. a＞－1＞b D. b＞－1＞a √ 解析： 　3a＝ ＞ ，则a＞－1，7b＝ ＞ ，则b＞－1.因为3a＝ ，所 以a＝－log32.因为7b＝ ，所以b＝－log75.又log32＝log278＜log279＝ ， log75＝lo 125＞lo 49＝ ，所以－log32＞－log75，故a＞b＞－1.故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. 〔多选〕已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是 （　　） A. ＋ ＝ B. 3x＞4y＞6z C. x＋y＞（ ＋ ）z D. xy＞2z2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　设3x＝4y＝6z＝t（t＞1），则x＝ ，y＝ ，z＝ ，因为 ＋ ＝logt3＋ logt4＝logt6＝ ，故选项A正确.因为 ＝ 4logt3＝logt81， ＝3logt4＝logt64，所以 ＞ ，即3x＜4y，故选项B不 正确.因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋（ ＋ ）＞ ＋ ，故选项C 正确.因为 ＝ × ＝log36×log46＝ ＝ ＝1＋ （ ＋ ）＞2，故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. 〔情境创新〕已知函数f（n）＝log（n＋1）（n＋2）（n∈N*），定义 使f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k）为整数的数k（k∈N*）叫做“企盼 数”，则区间[1，2 026]上的“企盼数”共有 个. 解析：令g（k）＝f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k），因为f（k）＝log （k＋1）（k＋2）＝ ，所以g（k）＝ × ×…× ＝ log2（k＋2）.令g（k）＝m，要使g（k）为整数，则k＋2＝2m， m∈N*.又k∈[1，2 026]，所以2m∈[3，2 028].因为22＝4，23＝8，…， 210＝1 024，211＝2 048，所以m＝2，3，…，10.因此区间[1，2 026]上的 “企盼数”共有9个. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. （15分）设关于x的方程lg2x－lg x2＋3p＝0的两个实根分别是α，β. （1）求实数p的取值范围； 解： 因为lg2x－lg x2＋3p＝0，即lg2x－2lg x＋3p＝0，设t＝lg x，则 关于t的方程t2－2t＋3p＝0的两根为lg α和lg β，所以Δ＝（－2）2－ 12p≥0，解得p≤ ，故p的取值范围为（－∞， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）求logαβ＋logβα的取值范围. 解： 由根与系数的关系，得 所以logαβ＋logβα＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ －2.因为3p≤1且 3p≠0，所以 ≥4或 ＜0， 所以 －2≥2或 －2＜－2，所以logαβ＋logβα的取值范围为（－∞，－ 2）∪[2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 $