第二单元 第03课时 圆的面积（分层作业）数学西南大学版六年级上册（新教材）

**基本信息** 本练习以“圆的面积”为核心，通过“基础巩固-能力提升-思维训练”三级分层设计，实现从公式推导到综合应用的递进，培养几何直观、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|面积公式直接应用|以选择、填空为主，如直径求面积、圆与正方形面积比较，强化公式记忆与基本运算| |能力提升|公式变式与组合应用|涉及半径变化、半圆拼接、部分圆面积（如分针扫过），培养推理能力与空间观念| |思维训练|跨情境综合应用|结合生活（披萨面积比较）、科技（激光雷达重叠）等情境，发展模型意识与数据分析能力|

第二单元 第3课时 圆的面积 圆的面积公式推导（化曲为直的思想） 方法：把圆平均分成若干等份（如 16 份、32 份），剪开后（ ）。关系： 拼成的长方形的长≈ （ ）（πr）。 拼成的长方形的宽≈ （ ）（r）。 结论：因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 = （ ）。分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。 1．一个圆的直径是4厘米，它的面积是（    ）平方厘米。 A．16 B．25.12 C．50.24 D．12.56 2．一个直径为2cm的圆与一个边长为2cm的正方形，它们的面积相比，（    ）。 A．圆的面积大 B．正方形的面积大 C．一样大 D．无法比较 3．如下图，把一个圆分成若干等份后，拼成一个近似的长方形。已知长方形的面积是，则圆的半径是( )cm。 4．一个钟表，它的分针长，30分钟后分针走过的面积是( )。 5．圆形花坛的周长是31.4米，它的直径是( )米，面积是( )平方米。 6．圆的半径由6cm增加到9cm，圆的周长增加了（    ）cm，圆的面积增加了（    ）。 A．6π；45π B．9π；45π C．36π；9π D．45π；36π 7．胡师傅将一块圆形钢板锯成两个半圆形备用，这时周长增加了24cm，原来圆形钢板的面积是（    ）。 A．113.04 B．226.08 C．452.16 D．56.52 8．如图，涂色部分的面积是( )。 9．如下图，在一张长方形纸上有1个大圆和3个相同的小圆。据图回答下面的问题： (1)一个小圆的周长是( )厘米。 (2)大圆的面积是一个小圆的( )倍。 10．伊丽莎白塔俗称大本钟，其分针长约4m。从9：00到9：45，分针尖端走过的路程约是( )m，分针扫过的面积约是( )。 11．“千顷烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”，这句诗描绘了雨滴在水面激起圆形波纹的景象。现有一个长7米、宽6米的长方形水池，若波纹从池中心向外扩散，直至碰到池边，所形成的最大圆的周长和面积分别是多少？ 12．小薇想买一个直径12厘米的大披萨，可店里卖完了。店员说：“我给你换两个总价一样的小披萨，一个直径9厘米，一个直径6厘米，更划算哦！”仅从披萨的面积来看，这个建议真的划算吗？请通过计算说明理由。（取） 13．雨刮器的摆臂上有一根橡胶刮片，只有刮片才能把挡风玻璃上的雨水、灰尘刷干净。某款汽车的雨刮器长50厘米，刮片长30厘米，可绕点O旋转180°（如下图），那么这个雨刮器能刮到的面积是多少？ 14．如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示） 15．【活动二】激光雷达重叠扫描——圆的重叠与覆盖效率 自动驾驶汽车搭载的激光雷达会通过360°旋转扫描周围环境，其有效探测范围是一个以雷达为中心的圆形区域。为了避免识别盲区、提高环境感知精度，工程师通常会让相邻雷达的扫描范围产生部分重叠（称为重叠扫描）。但重叠面积过大，会导致重复计算，浪费车载计算机的运算资源。 背景数据：两台相同的激光雷达，每台的扫描半径均为米。雷达可以安装在车头的不同位置，两圆心之间的距离记为。 圆心距d（米） 两圆关系 总覆盖面积（平方米） 40（等于直径） 外切，无重叠 2512 20（等于半径） 相交，有重叠 约2021 10（小于半径） 相交，重叠更多 约1651 我的发现：对于两个相同的圆，当它们相交（有重叠部分）时，圆心距越（    ），重叠面积越（    ），总覆盖面积越（    ）。 根据上述信息，解决下列问题。 （1）如果两台雷达的圆心距米，请判断两圆是否有重叠？此时，总覆盖面积比平方米大还是小？ （2）工程师们希望两圆的重叠部分尽可能小，但仍保留一点重叠以确保没有盲区。那么，圆心距应选择接近20米还是接近40米？为什么？ （3）如果要求两圆重叠部分的面积恰好等于单个圆面积的，你认为圆心距应大于20米还是小于20米？请通过计算说明理由。 【知识加油站】 拼成一个近似的长方形；圆周长的一半；圆的半径；πr × r = πr² 【基础巩固】 1．D 【分析】圆的面积，其中半径为2厘米。 【详解】（厘米） （平方厘米） 即，它的面积是12.56平方厘米。 2．B 【分析】分别根据圆的面积公式：和正方形的面积公式：，计算面积再比较两者大小。 【详解】圆的半径：（cm） 圆的面积：（cm2） 正方形的面积：（cm2） ，所以正方形的面积大。 3．3 【分析】将圆拼成近似长方形时，长方形的面积等于圆的面积。圆的面积公式，，利用公式求出r。 【详解】则圆的半径是3cm。 4． 【分析】把分针看作圆的半径，分针长6cm，即圆的半径为6cm。30分钟后，分针会转动半圈，所以走过的面积是半圆的面积。依据圆的面积公式可知半圆面积公式为，代入半径6cm即可求出结果。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（cm2） 所以，30分钟后分针走过的面积是。 5． 10 78.5 【分析】利用圆的周长公式，变形可得，再利用r＝d÷2计算出半径，最后将半径r的数值代入圆的面积公式可求出圆的面积。 【详解】＝31.4÷3.14＝10（米） r＝d÷2＝10÷2＝5（米） ＝＝＝3.14×25＝78.5（平方米） 所以，这个圆的直径是10米，面积是78.5平方米。 【能力提升】 6．A 【分析】利用圆的周长、面积计算公式，分别求出半径变化前后的周长差、面积差即可。 【详解】周长增加量： ＝ ＝（cm） 面积增加量： ＝ ＝（） 7．A 【分析】把圆形锯成两个半圆形，增加的周长等于2条直径的长度，先求出直径，再计算半径，最后根据圆的面积公式计算面积即可。 【详解】求圆形的直径：（厘米） 求圆形的半径：（厘米） 求圆形的面积： （平方厘米） 8．6.28 【分析】三角形的内角和是180°，三个涂色扇形的圆心角拼在一起正好是一个平角，也就是拼成一个半圆，半径都是2cm，根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出圆的面积，再除以2即可解答。 【详解】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（cm2） 9．(1)31.4 (2)9 【分析】（1）从图中能看出大圆直径等于3个小圆直径之和，用大圆直径除以3求出小圆直径，再用圆的周长公式C＝πd（π取3.14）求出小圆周长。 （2）先根据半径＝直径÷2分别求出大圆和小圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2求出两者的面积，最后用大圆面积除以小圆面积得到倍数。 【详解】（1）30÷3＝10（厘米） 3.14×10＝31.4（厘米） （2）大圆半径：30÷2＝15（厘米） 小圆半径：10÷2＝5（厘米） 大圆面积：π×152＝π×225＝225π（平方厘米） 小圆面积：π×52＝π×25＝25π（平方厘米） 倍数：225π÷25π＝9 10． 18.84 37.68 【分析】分针走一圈是60分钟，从9：00到9：45，分针走了45分钟，走了＝圈，分针尖端走过的路程为半径4m的圆的周长的，分针扫过的面积为半径4m的圆的面积的，圆的周长：C＝2πr，圆的面积：S＝πr2；把数据代入公式计算即可。 【详解】9：45－9：00＝45（分钟） 45÷60＝＝ 2×3.14×4× ＝（2×3.14）×（4×） ＝6.28×3 ＝18.84（m） 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×（16×） ＝3.14×12 ＝37.68（m2） 【思维训练】 11．周长18.84米，面积28.26平方米 【分析】波纹从池中心扩散至池边形成的最大圆，其直径等于长方形水池的较短边，所以圆的直径为6米，半径为6÷2＝3（米），圆的周长：C＝2πr，圆的面积：S＝πr2；把数据代入圆的周长、面积公式计算即可。 【详解】长方形水池长7米、宽6米，，因此最大圆的直径等于长方形的宽，为6米。 6÷2＝3（米） （米） （平方米） 答：最大圆的周长是18.84米，面积是28.26平方米。 12． 这个建议不划算 【分析】需比较大披萨与两个小披萨的总面积大小，利用圆的面积公式分别计算各披萨面积后比较即可。 【详解】大披萨半径：（厘米） 大披萨面积：（平方厘米） 直径9厘米小披萨半径：（厘米） 直径9厘米小披萨面积：（平方厘米） 直径6厘米小披萨半径：（厘米） 直径6厘米小披萨面积：（平方厘米） 两个小披萨总面积：（平方厘米） 答：两个小披萨总面积小于大披萨面积，这个建议不划算。 13．3297平方厘米 【分析】根据题意，用雨刮器的长度减去刮片的长度，就是内圆半径的长度。圆的面积S＝πr2，分别代入雨刮器的长和内圆半径的长，算出雨刮器所在圆的面积以及内圆的面积。然后再相减，算出结果再除以2，就是这个雨刮器能刮到的面积是多少平方厘米。 【详解】50－30＝20（厘米） （3.14×502－3.14×202）÷2 ＝（3.14×2500－3.14×400）÷2 ＝（7850－1256）÷2 ＝6594÷2 ＝3297（平方厘米） 答：这个雨刮器能刮到的面积是3297平方厘米。 14．小羊A吃到草的面积大一些，相差3π平方米。 【分析】观察图形可知，小羊A能吃到草的面积等于半径是4米的圆的面积的，小羊B能吃到草的面积等于半径是4米的圆的面积的一半加上半径是（4－2）米的圆的面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，分别求出小羊A和小羊B的面积，据此进行计算即可。 【详解】 ＝ ＝12π（平方米） ＝ ＝ ＝9π（平方米） 12π平方米＞9π平方米 12π—9π＝3π（平方米） 答：小羊A吃到菜的面积大一些，相差3π平方米。 【点睛】本题考查圆的面积，明确小羊A和小羊B吃草的范围是解题的关键。 15．大；小；大 （1）有重叠；小； （2）接近米。理由：圆心距越大，重叠面积越小。当圆心距接近直径米时，重叠面积趋近于，同时仍保留极小的重叠，这样既能保证无盲区，又可避免运算资源浪费。 （3）大于。理由：单个圆面积为（平方米），要求重叠面积为其，即（平方米）。根据题表数据，当时，重叠面积约为（平方米）。因为，且圆心距越大，重叠面积越小，所以圆心距应大于20米。 【分析】观察表格数据：米时两圆外切、无重叠，总覆盖面积平方米；米时两圆相交、有重叠，总覆盖面积约平方米；米时两圆相交、重叠更多，总覆盖面积约平方米，据此分析即可； （1）对于两个半径为的相同圆，圆心距为，当时，两圆相离，无重叠；当时，两圆外切，无重叠；当时，两圆相交，有重叠；当时，两圆重合；已知雷达的扫描半径米，比较此时两圆的圆心距和半径之和即可解答。 （2）“保留一点重叠”意味着两圆必须相交，即圆心距必须小于两圆半径之和，也就是米；“重叠部分尽可能小”意味着重叠面积要尽可能趋近于，根据总结的规律，重叠面积随着圆心距的增大而减小；为了同时满足这两个条件，圆心距应该取一个非常接近米但略小于米的值。这样既能保证有重叠（没有盲区），又能使重叠面积最小化； （3）通过计算对比目标重叠面积与米时的重叠面积，结合规律判断圆心距范围。 【详解】由分析可知，两个相同的圆相交时，圆心距越小，重叠面积越大，总覆盖面积越小。 （1）两台雷达的扫描半径都是米， 两圆外切时的圆心距为（米）， 因为，所以两圆相交，有重叠。 总覆盖面积等于两圆面积和减去重叠面积，外切时重叠面积为0，总覆盖面积平方米， 因此有重叠时总覆盖面积比平方米小。 （2）要使重叠部分尽可能小，同时保留一点重叠， 根据“圆心距越大，重叠面积越小”的规律，米时两圆外切、重叠面积为0， 因此圆心距接近米时，重叠面积接近0，既能保证有重叠、无盲区，又能让重叠尽可能小，减少运算资源浪费。 所以圆心距应选择接近米。 （3）单个圆的面积为：（平方米） 单个圆面积的为：（平方米） 当米时，重叠面积为两圆面积和减去总覆盖面积：（平方米） 因为，说明需要的重叠面积比米时的重叠面积小。 根据“圆心距越大，重叠面积越小”的规律，要减小重叠面积需要增大圆心距， 因此圆心距应大于米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $