楚雄一中2025-2026学年高二年下学期数学期末模拟测试二

**基本信息** 以《周髀算经》节气等差数列为文化载体，南昌瓷板画制作为现实情境，融合集合、复数、概率等知识，考查数学眼光观察现实、数学思维分析问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、二项式定理、数列（文化情境）、排列组合、抛物线、解三角形|第5题以节气日影长考等差数列，体现文化传承| |多选题|3/18|数列前n项和、统计概率、随机事件|第10题结合甲乙不相邻排列考计数原理，注重逻辑推理| |填空题|3/15|三角恒等变换、双曲线离心率、函数奇偶性与周期性|第13题以等边三角形考双曲线性质，综合几何直观| |解答题|5/77|数列求通项与求和、概率分布与期望、立体几何折叠、椭圆定点证明、导数单调性与零点|第16题以瓷板画制作考条件概率与期望，第19题导数零点证明，梯度覆盖基础与创新应用|

楚雄一中2027届高二年级下学期期末模拟测试二 数 学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． B． C． D． 2．已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则展开式常数项为（     ） A．8 B．16 C．64 D．32 5．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，冬至、小寒、大寒三个节气日影长之和为28.5尺，立春、雨水、惊蛰三个节气日影长之和为19.5尺，今年5月21日8时36分为小满时节，其日影长为（    ） A．3.5尺 B．2.5尺 C．1.5尺 D．0.5尺 6．由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有（     ） A．12种 B．18种 C．30种 D．48种 7．如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ） A．4 B．3 C． D． 8．在中，分别为角的对边，已知，则（   ） A．5 B．8 C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列的前项和为，且，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．是递减数列 10．下列各叙述正确的为（    ） A．数据，，，，的第40百分位数为4 B．甲乙等5个人站成一排拍照，则甲乙不相邻的站法数为72种 C．若随机变量，则， D．已知函数和的定义域相同，则“函数与均为增函数”是“函数为增函数”的充要条件 11．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，，则的值为_____. 13．已知是双曲线的左右焦点，是右支上的两点，若是等边三角形，且在线段上，则的离心率为_____. 14．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列的首项为1，公差，且成等比数列，数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程中会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 17．如图①，在梯形ABCD中，四边形ABCE是边长为2的正方形，O是AC与BE的交点将△ABE沿BE折起到△PBE的位置，使得平面PBE⊥平面BCDE，如图②. (1)求证：OC⊥平面PBE； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 18．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 19．已知为常数，函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 楚雄一中2027届高二年级下学期期末模拟测试二 数 学 参 考 答 案 《2026年7月19日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D D C B A AD ABC 题号 11 答案 BC 1．A 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】求出集合，结合集合计算即可得. 【详解】由题意可得：， 可得，所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 2．A 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 【详解】复数， 则 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第一象限. 故选：A 3．C 【难度】0.75 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】根据在上的投影向量的定义建立方程，求解夹角的余弦值，结合夹角的取值范围确定夹角. 【详解】设向量与的夹角为， 根据投影向量的定义，在上的投影向量为， 可得 ，因此，解得 . 又因为，所以. 4．D 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【详解】 因为二项式的所有二项式系数的和为，由题得，解得， 的展开式的通项为，， 令，可得常数项为32． 5．D 【难度】0.72 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列前项和，等差数列通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则由题意知，解得， 所以，即小满时节，其日影长为尺. 6．C 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、数字排列问题 【分析】分最高位是4和最高位是3两种情况，结合排列组合知识求解． 【详解】当万位为3时，个位可从三个偶数中任选1个，共种选择； 剩余个数字全排列排中间千、百、十位，共种排法， 共有种. 当万位为时，个位只能从剩余偶数中任选1个，共种选择； 剩余个数字全排列排中间三位，共种排法， 共有种. 两类相加，总共有种. 7．B 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比. 【详解】对抛物线，焦点，准线：. 如图：    过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以； 过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以. 所以，所以. 故选：B 8．A 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】设外接圆半径为，根据正弦定理和二倍角公式化简求出，即，再根据余弦定理，求得，即得答案. 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得，， 因为， 所以，即， 即， 在，，， 所以，所以，即， 所以，即，解得或（舍）， 故选：A. 9．AD 【难度】0.62 【知识点】由递推关系证明等比数列、判断数列的增减性、利用an与sn关系求通项或项 【分析】通过的关系，通过作差法，构造等比数列，求得的通项公式，可判断ABC，再结合数列单调性作差法可判断D. 【详解】由得，，所以． 将与相减得，， 即， 由得，即 所以 所以，因此不是等比数列． 因为，又， 所以．故A错误，B正确． 当时，； 当时，，因此．故C正确． 因为， 所以，因此是递增数列．故D错误． 10．ABC 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题、总体百分位数的估计、探求命题为真的充要条件、二项分布的方差 【分析】根据百分位数的定义、插空法、二项分布的数学期望和方差的运算公式，结合数学期望和方差的性质、增函数的性质、充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，则数据的第40百分位数为，故A正确； B：先将除甲乙外的三人全排，有种方法，再将甲乙在三人形成的四个空中插空有种方法， 所以甲乙不相邻的站法数为种方式，故B正确； C：因为，所以，， 所以，，故C正确； D：因为函数和的定义域相同，且函数与均为增函数，则函数为增函数，充分性成立； 若取，，显然是增函数，但是减函数，即必要性不成立，故D错误. 11．BC 【难度】0.4 【知识点】计算条件概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】利用和事件的概率公式可得，进而求得，即A错误，B正确；由条件概率计算公式计算可知C正确，D错误. 【详解】由可知， 又可得， 由可得，所以A错误； 由可知，，所以B正确； 由条件概率公式可得，即C正确； 又可得，同理，即D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：求解概率计算问题时互斥事件概率的加法公式要灵活变形应用，结合概率性质即可得出结论. 12．-3 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】根据已知条件利用赋值法，令和即可求解. 【详解】因为，， 所以令，可得， 又令，可得， 所以， 13． 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据对称性可得，，进而由双曲线定义，进而可得. 【详解】 如图，由题意根据对称性可知是等边三角形的高， 故，， 根据双曲线定义，可得 故答案为： 14． 【难度】0.6 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、指数函数的判定与求值 【分析】根据奇函数的性质及得是周期为6的函数，再应用周期性和奇函数的性质求函数值. 【详解】由题设， 用代替，则，故， 所以，即是周期为6的函数， 所以. 15．(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用等差数列通项公式结合等比中项性质列式求解，即可求解，利用求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为成等比数列，所以. 又，则，整理得， 解得或，又，则， 所以. 因为，所以当时，有，解得. 当时，有两式相减得，即， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，故. （2）由（1）得， 所以， ， 两式相减得 ， 故. 16．(1) (2) 300 500 700 900 ，375元 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用全概率公式可得答案； （2）设老匠人一天制作精品作品的件数为，盈利为，易知服从二项分布，利用二项分布概率计算公式可得的分布列与期望. 【详解】（1）设新匠人第一件作品是精品为事件，第二件作品是精品为事件， 由题意. （2）设老匠人一天制作精品作品的件数为，盈利为， 由题意，，， 所以， ， ， ， 所以分布列为： 300 500 700 900 （元）. 17．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量与立体几何综合 【分析】（1）利用线面垂直得判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角得正弦值. 【详解】（1）证明： ∵在图①中四边形为正方形， ∴. 有折叠的特性知，在图②中，， 又平面平面，平面平面， 又平面， ∴平面. （2）由（1）易知，OB，OC，OP两两垂直. 如图，以O为原点，以OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴､建立空间直角坐标系， 则，，，. ∴，，. 设平直PCD的法向量为， 则，即， 令，则，. ∴平面PCD的一个法向量为. ∴. 设直线PB与平面PCD所成角为， ∴. 故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. 18．(1) (2)证明见解析，恒过定点 【难度】0.66 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由离心率得，结合推出，设椭圆方程后代入已知点坐标，求出与，写出椭圆方程. （2）设直线联立椭圆方程，由限定斜率范围，利用韦达定理得根与系数关系，写出对称点，求出直线在处的横坐标，代入化简消去参数，证得直线恒过定点. 【详解】（1）因为离心率，所以. 因为，所以，所以的方程可写为. 因为过点，所以，解得，因此， 所以的标准方程为. （2）由题可知直线斜率存在,否则直线与椭圆没有交点. 设直线的方程为，与的方程联立， 消去得， 由，解得. 设，则. 直线的方程为，令，可得. 因为， 所以 故直线恒过定点. 19．(1)见解析. （2）（i）；证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数中的极值偏移问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式 【详解】试题分析：（1）对函数求导得，对实常数分情况讨论，由 的正负得出函数的单调性；（2）（ⅰ）由（1）的讨论，得出，再根据极小值为负数，得出的范围；（ⅱ）由，得，即，令，对求导，得出单调性，要证，只需证就可得出结论，构造，，求导得出单调性转化求解即可． 试题解析：（1）. 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得. 若，则，函数在上单调递增； 若，则，函数在上单调递减.    （2）（ⅰ）由（1）知，当时，单调递增，没有两个不同的零点. 当时，在处取得极小值. 由，得. 所以的取值范围为. （ⅱ）由，得，即. 所以. 令，则. 当时，；当时，. 所以在递减，在递增，所以. 要证，只需证. 因为在递增，所以只需证. 因为，只需证，即证. 令，，则. 因为，所以，即在上单调递减. 所以，即， 所以成立. 点睛：本题主要考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数零点的判断，函数最值的应用，属于难题．考查分析问题解决问题的能力． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄一中2027届高二年级下学期期末模拟测试二 数 学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． B． C． D． 2．已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则展开式常数项为（     ） A．8 B．16 C．64 D．32 5．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，冬至、小寒、大寒三个节气日影长之和为28.5尺，立春、雨水、惊蛰三个节气日影长之和为19.5尺，今年5月21日8时36分为小满时节，其日影长为（    ） A．3.5尺 B．2.5尺 C．1.5尺 D．0.5尺 6．由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有（     ） A．12种 B．18种 C．30种 D．48种 7．如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ） A．4 B．3 C． D． 8．在中，分别为角的对边，已知，则（   ） A．5 B．8 C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列的前项和为，且，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．是递减数列 10．下列各叙述正确的为（    ） A．数据，，，，的第40百分位数为4 B．甲乙等5个人站成一排拍照，则甲乙不相邻的站法数为72种 C．若随机变量，则， D．已知函数和的定义域相同，则“函数与均为增函数”是“函数为增函数”的充要条件 11．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，，则的值为_____. 13．已知是双曲线的左右焦点，是右支上的两点，若是等边三角形，且在线段上，则的离心率为_____. 14．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列的首项为1，公差，且成等比数列，数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程中会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 17．如图①，在梯形ABCD中，四边形ABCE是边长为2的正方形，O是AC与BE的交点将△ABE沿BE折起到△PBE的位置，使得平面PBE⊥平面BCDE，如图②. (1)求证：OC⊥平面PBE； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 18．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 19．已知为常数，函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $