专题4 自由落体运动（讲义）2026-2027学年物理粤教版必修第一册

本讲义聚焦匀变速直线运动中的自由落体运动，通过实验探究其初速度为零的匀加速直线运动性质，系统梳理重力加速度特点及运动公式，构建从实验到规律再到应用（如反应时间测量、竖直上抛）的学习支架。 资料以牛顿管、纸团下落等实验培养科学探究能力，通过对比匀变速与自由落体公式强化模型建构（科学思维），结合生活实例（反应时间测量尺、无人机送餐）深化物理观念。课中辅助实验教学，课后分层练习助力学生巩固知识，查漏补缺。

第二章 匀变速直线运动 专题4 自由落体运动 一、学习重难点 重点：能够通过实验探究自由落体的运动性质，知道自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动 难点：能够运用自由落体运动的规律解决实际问题 二、知识点总结和例题 知识点1 自由落体运动 1.按表中的实验内容进行实验。 实验内容 实验结果 结论 两张一样的纸，将其中一张搓成团，另一张铺平，从同一高度同时由静止开始释放 搓成团的纸先落地，铺平的纸后落地 相同质量的物体下落快慢与形状有关 一张大纸和一张小纸，将小纸搓成团，大纸铺平，从同一高度同时由静止开始释放 搓成团的小纸先落地，大纸后落地 轻的物体可以先落地，物体下落的快慢与质量无关 从上面的实验结果可以初步看出，物体下落快慢与物体的轻重无关(填“有关”或“无关”)。 2.如图所示，把形状和质量都不同的物体(如小金属片、小羽毛)放入一端封闭、另一端有开关的牛顿管。在以下三种情况下，观察把牛顿管倒立过来后这些物体下落的快慢情况。 (1)牛顿管内有空气。 (2)牛顿管内的空气被抽出一些。 (3)牛顿管内空气被全部抽出(近似真空)。 实验结果表明，牛顿管内有空气时，金属片和羽毛下落的快慢不同；被抽去部分空气时，它们下落的快慢比较接近；当把牛顿管中空气全部抽去后，它们下落的快慢就完全相同了。 由此可见，影响下落物体运动快慢的因素是空气阻力的作用，没有空气阻力时，轻重不同的物体只受重力作用，下落的快慢相同。 随学随练 1．（25-26高三下·广东·阶段检测）伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合。该过程的研究顺序正确的是（　　） ①数学推理：如果，初速度为零的匀变速直线运动应符合 ②合理外推：当倾角等于90°时，斜面运动变为自由落体运动，速度应该是均匀增大的 ③实验验证：小球在斜面上运动符合，说明小球的速度是均匀增大的 ④猜想假设：自由落体运动是最简单的变速运动，即 A．④①③② B．④③①② C．①④③② D．④①②③ 2．（25-26高一上·广东东莞·期末）如图所示，一个两端封闭的玻璃管，其中一端有一个开关，玻璃管可以与外界相通，把质量不相同的铁片和羽毛放到玻璃管中。第一次实验：打开开关使管内空气与大气连通，玻璃管竖直放置，让铁片和羽毛从玻璃管顶端同时开始下落，观察物体下落的情况。第二次实验：把玻璃管里的空气抽出去，再次观察物体下落的情况。则下列说法正确的是（　　） A．这两次实验，羽毛下落均可近似看作自由落体运动 B．第一次实验中，铁片和羽毛下落时间相同，加速度相同 C．第二次实验中，铁片和羽毛下落时间相同，加速度相同 D．采用第二次实验的方法，在东莞和北京分别做该实验，铁片下落的时间相同 知识点2 自由落体运动的规律（重点） 1.自由落体运动的性质： 自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动。 2.自由落体加速度 (1)定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，方向总是竖直向下的，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫重力加速度，用符号g表示。 (2)大小： ①在地球不同的纬度，g的大小是不同的，g值随纬度的增大而逐渐增大。 ②g值随高度的增加而逐渐减小。 ③取值：通常的计算把g取作9.8 m/s2，粗略计算把g取作10 m/s2。  3.自由落体运动的公式： vt=gt，s=gt2，=2gs。 随学随练 3．（25-26高一上·广东佛山·期末）如图所示，用直尺制作一把“反应时间测量尺”，标上等时间间隔的刻度，A同学用两个手指捏住一把长50cm的直尺的顶端，B同学用一只手在直尺0刻度位置做捏住直尺的准备，但手不碰到直尺，在A同学放开手指让直尺下落时，B同学立刻捏住直尺，读出B同学捏住直尺的刻度，可以算出B同学的反应时间，g取10m/s2，则（　　） A．B同学捏住直尺时的位置越靠近上端说明“反应时间”越短 B．若B同学捏住直尺20cm处，则反应时间约为0.4s C．该“反应时间测量尺”刻度均匀 D．该“反应时间测量尺”刻度下密上疏 4．（河北衡水中学2025届高三年级上学期检测二（物理））如图所示，A点为空中一点，一长为L的竖直木棒静止于A点正上方，木棒下端与A点的距离为L。将木棒由静止释放，它通过A点的时间间隔为t1。若将木棒的释放位置竖直上移L，由静止释放后，它通过A点的时间间隔为t2。t1 ：t2为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东深圳·期末）四个小球在离地面不同高度同时从静止释放，从开始运动时刻起每隔相等的时间间隔，小球依次碰到地面。小球的尺寸大小及空气阻力均可忽略不计，下列各图中，能反映出刚要开始运动时各小球相对地面的大致位置的是（　　） A． B． C． D． 三、重点题型 题型1 自由落体运动规律的应用 1.自由落体运动的基本公式 匀变速直线运动自由落体运动 (1)由vt=gt知,运动时间越长,速度越大,运动速度与时间成正比。 (2)由s=gt2⇒t=,可知自由落体运动的时间由下落高度决定。 2.匀变速直线运动的一切推论公式,都适用于自由落体运动。 匀变速直线运动 自由落体运动 位移与速度的关系 -=2as =2gs 平均速度公式 = = 位移差公式 Δs=aT2 Δs=gT2 活学活用 1．如图所示，甲、乙两位同学利用一把长为50cm的直尺测量“反应时间”。甲用一只手在直尺下方做捏尺的准备，从他看到乙同学放开直尺开始，到他捏住直尺为止，测出直尺在这段时间内下落的高度为20cm。取，则下列说法正确的是（　　） A．甲同学本次测得的“反应时间”约为0.1s B．甲同学抓住直尺前的瞬间，直尺的速度约为2m/s C．若某同学的“反应时间”为0.3s，测量时他一定不能捏住这把直尺 D．若要在尺子刻度旁标出“反应时间”的数值，则“反应时间”数值在尺子上均匀分布 2．一篮球从离地面高h处自由下落，与地面碰撞后，反弹高度也为h。篮球与地面的撞击时间和空气阻力均不计，取向下为正方向，下列反映篮球运动的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示是用频闪周期为的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果自由下落的局部频闪照片。关于提供的信息及相关数据处理，下列说法中正确的是（　　） A．羽毛下落到C点的速度大小为 B．下落过程中苹果和羽毛始终位于同一高度 C．苹果下落的加速度大小为 D．一定满足关系 题型2重力加速度g 的测量 1．实验设计 利用频闪照片，或利用打点计时器能够把做自由落体运动的物体的位置和相应的时刻记录下来．根据对匀变速直线运动的研究，测量物体下落的加速度，进而研究自由落体运动是否是匀加速直线运动，以证实猜想． 2．实验方法 (1)打点计时器法 A．实验装置如图所示．打点计时器固定在铁架台上，纸带一端系着重物，另一端穿过计时器．用手捏住纸带上端，启动计时器，松开手后重物自由下落，计时器在纸带上留下一串小点．改变重物的质量，重复上面的实验． B．对纸带上计数点间的距离s进行测量，利用g＝求出重力加速度． (2)频闪照相法 频闪照相机可以每间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体的位置，根据Δs是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动．根据匀变速直线运动的推论Δs＝aT2可求出重力加速度g＝.由g＝也可求出重力加速度g. (3)滴水法 A．如图所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头开始下落，并且能依次持续下去． B．用刻度尺测出水龙头距盘面的高度h. C．测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水依次计数1、2、3、…，当数到n时按下停表停止计时，则每一滴水下落的时间T＝. D．由h＝gT2，得g＝＝. 活学活用 4．用智能手机能测量加速度，现在某同学通过手机掉落时的加速度情况测量当地的重力加速度，如图所示y轴为竖直方向，则下列说法正确的是（    ） A．手机下落的高度约为1.2m B．手机下落的时间大约0.5s C．虚线框中加速度逐渐减小，但速度逐渐增大 D．手机开始下落时加速度迅速增大，这可能是空气阻力导致的 5．关于重力加速度，下列说法正确的是（    ） A．在比萨斜塔上同时由静止释放一大一小两个金属球，两球同时着地，说明两球运动的加速度相同，这个加速度就是当地的重力加速度 B．地球上各处的重力加速度的值都相同 C．济南的重力加速度为，说明在济南做下落运动的物体，每经过速度增加为 D．哈尔滨和广州的重力加速度都竖直向下，两者的方向相同 6．某物理兴趣小组用如图所示的装置测量重物做自由落体运动的重力加速度。对该实验装置及其操作的要求，下列说法正确的是（　　） A．打点计时器接直流电源也可以正常使用 B．打点计时器的两个限位孔应在同一条竖直线上 C．重物最好选用密度较小的材料，如泡沫塑料 D．操作时，应先放开纸带后启动电源 题型3 竖直上抛运动 竖直上抛运动的研究方法 分段法 上升阶段:a=g的匀减速直线运动 下降阶段:自由落体运动 全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v=v0－gt，h=v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方 活学活用 7．如图，将网球（视为质点）从距水平地面高0.8m处由静止释放，网球落地后反弹且反弹的速度大小均为落地前瞬间速度的一半，重力加速度大小取，不计空气阻力，则网球第2次落地反弹后上升的最大高度为（　　） A．0.4m B．0.2m C．0.05m D．0.025m 8．随着科技的发展，无人机送餐已在北京、上海、深圳等多个城市进行试点。某外卖员在某次练习使用无人机送餐时，控制无人机以10m/s的速度竖直匀速升空，当无人机上升到距地面40m时餐盒突然脱落，取重力加速度，忽略餐盒受到的空气阻力，则餐盒从脱落到落地的时间为（　　） A． B． C．4s D．3s 9．抖空竹是具有河南地方特色的文体娱乐活动，在民间深受欢迎。如图，一位老者在抖空竹时，从某一点将空竹竖直向上抛起，经过时间t后，在同一位置将空竹接住。不计空气阻力，重力加速度为g，取竖直向上为正方向，空竹从抛出到再被接住的过程中，下列说法正确的是（　　） A．空竹上升的最大距离为 B．空竹抛出时的速度大小为 C．空竹速度的变化量为gt D．空竹的平均速率为 四、巩固练习 基础通关 一、单选题 1．雨后，屋檐还在不断滴着水滴。如图所示，小红同学认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落，每隔相等时间滴下一水滴，水滴在空中的运动情况都相同，某时刻起，第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时，第4颗水滴恰欲滴下。她测得，屋檐到窗台下边沿的距离为，窗户的高度为。不计空气阻力的影响。则下列结论错误的是（重力加速度g取10m/s2）（　　） A．水滴下落到达窗台下边沿时的速度大小 B．每隔滴下一水滴 C．水滴经过窗户的时间 D．水滴经过窗户的平均速度为 2．如图所示，将小球自A处竖直向上抛出。传感器记录的数据显示：自抛出起计时，经过时间和小球的速率均为v0。小球向上抛出后的位移、速度、运动时间分别用x、v、t表示。不计空气阻力，关于小球竖直向上抛出的运动过程，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 3．小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图2中1、2、3、4、5所示的小球在运动过程中每次曝光的位置。连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d。根据图中的信息，下列说法正确的是（    ） A．不能判断位置1是否为小球释放的初始位置 B．小球位移与时间成正比 C．小球下落的加速度为 D．小球在位置3的速度为 4．图为用频闪周期为的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果自由下落的局部频闪照片。关于提供的信息及相关数据处理，下列说法正确的是（　　） A．苹果下落的加速度大小为 B．羽毛下落到点的速度大小为 C．一定满足关系 D．一段时间后苹果会在羽毛下方 5．小明做家务时，发现家里自来水的出水情况有这样的特点：当水流不太大时，从水龙头中连续流出的水会形成水柱，从上往下越来越细，如图所示。水柱的横截面可视为圆，在水柱上取两个横截面A、B，粗测A、B的直径之比。则经过A、B处的水流速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 6．小车在水平地面上做匀速直线运动。零时刻、站在小车上的甲沿与小车运动方向平行的方向抛出一个小球，乙站在小车侧方水平地面上观测到小球做直线运动直至落地。忽略空气阻力。则（     ） A．乙观测到小球的运动轨迹与地面垂直 B．乙观测到小球的加速度为零 C．甲抛球方向与小车前进方向相同 D．小球相对地面的初速度不为零 素养提升 二、多选题 7．如图所示，长为的细杆以初速度从离地足够高处竖直向上抛出，同时在细杆的正上方处长为的圆筒由静止开始下落，运动过程中细杆和圆筒始终保持竖直，细杆从圆筒中穿过时两物体的运动互不影响，不计空气阻力，重力加速度为，假设细杆和圆筒均未落地，则以下说法正确的是（　　） A．细杆穿过圆筒时间为 B．若，则细杆在上升过程中穿过圆筒 C．若，则细杆在下降过程中穿过圆筒 D．抛出后经时间，细杆恰好完全在圆筒中 8．科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光时间间隔正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(g＝10m/s2)(　　) A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足 B．间歇发光的间隔时间是 C．水滴在相邻两点之间的位移满足 D．水滴在各点速度之比满足 9．某同学用频闪相机在家拍出的苹果自由下落的情况如图所示，已知频闪相机相邻两次闪光的时间间隔为T，每次闪光的时间很短可忽略不计，苹果在相邻两位置间的距离在图中已经标出，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若x1∶x2∶x3=1∶3∶5，则苹果由A位置静止释放 B．苹果在B位置时的速度大小为 C．相邻两次闪光时间内，位移的增量越来越大 D．第3次闪光到第4次闪光苹果速度的增量大于第1次闪光到第2次闪光苹果速度的增量 三、实验题 10．某同学假期在家里进行了重力加速度测量实验。如图（a） 所示，将一根米尺竖直固定，在米尺零刻度处由静止释放实心小钢球，小球下落途经某位置时，使用相机对其进行拍照，相机曝光时间为s。由于小球的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹。根据照片中米尺刻度读出小球所在位置到释放点的距离H、小球在曝光时间内移动的距离。计算出小球通过该位置时的速度大小v，进而得出重力加速度大小g。实验数据如下表∶ 次数 1 2 3 4 5 /cm 0.85 0.86 0.82 0.83 0.85 v/（m·s-1） 4.25 4.10 4.15 4.25 H/m 0.9181 0.9423 0.8530 0.8860 0.9231 （1）测量该小球直径时，游标卡尺示数如图（b）所示，小球直径为________mm。。 （2）在第2次实验中，小球下落H =0.9423m时的速度大小v=________m/s（保留3位有效数字）；第3次实验测得的当地重力加速度大小g=________m/s2（保留3位有效数字）。 （3）可以减小本实验重力加速度大小测量误差的措施有_______。 A．适当减小相机的曝光时间 B．让小球在真空管中自由下落； C．用质量相等的实心铝球代替实心钢球 11．疫情期间“停课不停学”，小明同学在家自主开展实验探究。用手机拍摄物体自由下落的视频，得到分帧图片，利用图片中小球的位置来测量当地的重力加速度，实验装置如题图1所示。 (1)家中有乒乓球、小塑料球和小钢球，其中最适合用作实验中下落物体的是_____。 (2)下列主要操作步骤的正确顺序是_____。（填写各步骤前的序号） ①把刻度尺竖直固定在墙上 ②捏住小球，从刻度尺旁静止释放 ③手机固定在三角架上，调整好手机镜头的位置 ④打开手机摄像功能，开始摄像 (3)停止摄像，从视频中截取三帧图片，图片中的小球和刻度如题图2所示。已知所截取的图片相邻两帧之间的时间间隔为，刻度尺的分度值是，由此测得重力加速度为_____。 (4)在某次实验中，小明释放小球时手稍有晃动，视频显示小球下落时偏离了竖直方向。从该视频中截取图片，_____（选填“仍能”或“不能”）用(3)问中的方法测出重力加速度。 迁移创新 四、解答题 12．垫球是排球运动的基本技术之一。如图所示，某次垫球训练过程中，排球自小丽手上方高度处自由下落，并以的速度落在小丽手上，小丽将其以原速率竖直向上垫起，不计排球所受空气阻力，已知排球和小丽手接触的时间为，重力加速度的大小。求排球： (1)下落到小丽手的高度； (2)在空中下落的时间及接触小丽手前内下落的高度； (3)与小丽手接触过程中的平均加速度。 13．长为的管从地面以的速度竖直上抛，上管口正上方处有一可视为质点的小球同时自由下落。重力加速度取，不计空气阻力，管运动过程保持竖直，小球穿过管的过程与管间无相互作用，求： (1)管经过多长时间上升到最高点； (2)小球穿出下管口时离地的高度。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 匀变速直线运动 专题4 自由落体运动 一、学习重难点 重点：能够通过实验探究自由落体的运动性质，知道自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动 难点：能够运用自由落体运动的规律解决实际问题 二、知识点总结和例题 知识点1 自由落体运动 1.按表中的实验内容进行实验。 实验内容 实验结果 结论 两张一样的纸，将其中一张搓成团，另一张铺平，从同一高度同时由静止开始释放 搓成团的纸先落地，铺平的纸后落地 相同质量的物体下落快慢与形状有关 一张大纸和一张小纸，将小纸搓成团，大纸铺平，从同一高度同时由静止开始释放 搓成团的小纸先落地，大纸后落地 轻的物体可以先落地，物体下落的快慢与质量无关 从上面的实验结果可以初步看出，物体下落快慢与物体的轻重无关(填“有关”或“无关”)。 2.如图所示，把形状和质量都不同的物体(如小金属片、小羽毛)放入一端封闭、另一端有开关的牛顿管。在以下三种情况下，观察把牛顿管倒立过来后这些物体下落的快慢情况。 (1)牛顿管内有空气。 (2)牛顿管内的空气被抽出一些。 (3)牛顿管内空气被全部抽出(近似真空)。 实验结果表明，牛顿管内有空气时，金属片和羽毛下落的快慢不同；被抽去部分空气时，它们下落的快慢比较接近；当把牛顿管中空气全部抽去后，它们下落的快慢就完全相同了。 由此可见，影响下落物体运动快慢的因素是空气阻力的作用，没有空气阻力时，轻重不同的物体只受重力作用，下落的快慢相同。 随学随练 1．（25-26高三下·广东·阶段检测）伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合。该过程的研究顺序正确的是（　　） ①数学推理：如果，初速度为零的匀变速直线运动应符合 ②合理外推：当倾角等于90°时，斜面运动变为自由落体运动，速度应该是均匀增大的 ③实验验证：小球在斜面上运动符合，说明小球的速度是均匀增大的 ④猜想假设：自由落体运动是最简单的变速运动，即 A．④①③② B．④③①② C．①④③② D．④①②③ 【答案】A 【详解】伽利略对自由落体的研究顺序先是猜想假设、再进行数学推理、实验验证、最后是合理外推几个步骤，即伽利略的研究过程顺序是④①③②。 故选A。 2．（25-26高一上·广东东莞·期末）如图所示，一个两端封闭的玻璃管，其中一端有一个开关，玻璃管可以与外界相通，把质量不相同的铁片和羽毛放到玻璃管中。第一次实验：打开开关使管内空气与大气连通，玻璃管竖直放置，让铁片和羽毛从玻璃管顶端同时开始下落，观察物体下落的情况。第二次实验：把玻璃管里的空气抽出去，再次观察物体下落的情况。则下列说法正确的是（　　） A．这两次实验，羽毛下落均可近似看作自由落体运动 B．第一次实验中，铁片和羽毛下落时间相同，加速度相同 C．第二次实验中，铁片和羽毛下落时间相同，加速度相同 D．采用第二次实验的方法，在东莞和北京分别做该实验，铁片下落的时间相同 【答案】C 【详解】A．第一次实验中，玻璃管内有空气，羽毛受到的空气阻力相对于其重力来说不可忽略，其下落不是自由落体运动。第二次实验中，玻璃管内是真空，羽毛只受重力作用，其下落是自由落体运动，A错误； B．第一次实验中，玻璃管内有空气，铁片和羽毛都受到重力和空气阻力。羽毛的质量 小，所以羽毛的加速度远小于铁片的加速度，它们下落的时间、加速度均不相同，B错误； C．第二次实验中，玻璃管内是真空，铁片和羽毛都不受空气阻力，只受重力作用，做自由落体运动，所以它们的加速度相同，运动的时间相同，C正确； D．第二次实验是自由落体运动，下落时间。由于重力加速度 g 的大小随地理纬度的增加而增大。 北京的纬度高于东莞，所以北京的重力加速度 g 大于东莞的重力加速度 g。因此，在同一高度下落，铁片在北京下落的时间会比在东莞下落的时间短，D错误。 故选C。 知识点2 自由落体运动的规律（重点） 1.自由落体运动的性质： 自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动。 2.自由落体加速度 (1)定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，方向总是竖直向下的，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫重力加速度，用符号g表示。 (2)大小： ①在地球不同的纬度，g的大小是不同的，g值随纬度的增大而逐渐增大。 ②g值随高度的增加而逐渐减小。 ③取值：通常的计算把g取作9.8 m/s2，粗略计算把g取作10 m/s2。  3.自由落体运动的公式： vt=gt，s=gt2，=2gs。 随学随练 3．（25-26高一上·广东佛山·期末）如图所示，用直尺制作一把“反应时间测量尺”，标上等时间间隔的刻度，A同学用两个手指捏住一把长50cm的直尺的顶端，B同学用一只手在直尺0刻度位置做捏住直尺的准备，但手不碰到直尺，在A同学放开手指让直尺下落时，B同学立刻捏住直尺，读出B同学捏住直尺的刻度，可以算出B同学的反应时间，g取10m/s2，则（　　） A．B同学捏住直尺时的位置越靠近上端说明“反应时间”越短 B．若B同学捏住直尺20cm处，则反应时间约为0.4s C．该“反应时间测量尺”刻度均匀 D．该“反应时间测量尺”刻度下密上疏 【答案】D 【详解】A．根据可知B同学捏住的位置越向上，刻度尺下落的高度越大，则反应时间越长，故A错误； B．若B同学捏住直尺20cm处，则 解得反应时间约为，故B错误； CD．刻度尺自由下落，做自由落体运动，根据运动学推论，初速度为零的匀加速直线运动，在相同时间内的相邻位移比值可知“时间”刻度下密上疏，不均匀，故C错误，D正确； 故选D。 4．（河北衡水中学2025届高三年级上学期检测二（物理））如图所示，A点为空中一点，一长为L的竖直木棒静止于A点正上方，木棒下端与A点的距离为L。将木棒由静止释放，它通过A点的时间间隔为t1。若将木棒的释放位置竖直上移L，由静止释放后，它通过A点的时间间隔为t2。t1 ：t2为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从木棒第一次下落到其下端经过A点的过程中，有 从木棒第一次下落到其上端经过A点的过程中和从木棒第二次下落到其下端经过A点的过程中，有2L = 从木棒第二次下落到其上端经过A点的过程中，有3L = ， 解得，A正确。 5．（25-26高三上·广东深圳·期末）四个小球在离地面不同高度同时从静止释放，从开始运动时刻起每隔相等的时间间隔，小球依次碰到地面。小球的尺寸大小及空气阻力均可忽略不计，下列各图中，能反映出刚要开始运动时各小球相对地面的大致位置的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意可设第1个小球经时间落地，则第2个小球经时间落地，第3个小球经时间落地，第4个小球经时间落地，又因为四个小球做的都是自由落体运动，由，它们下落的高度之比为，因此从下到上相邻两个小球之间的位移越来越大。 故选C。 三、重点题型 题型1 自由落体运动规律的应用 1.自由落体运动的基本公式 匀变速直线运动自由落体运动 (1)由vt=gt知,运动时间越长,速度越大,运动速度与时间成正比。 (2)由s=gt2⇒t=,可知自由落体运动的时间由下落高度决定。 2.匀变速直线运动的一切推论公式,都适用于自由落体运动。 匀变速直线运动 自由落体运动 位移与速度的关系 -=2as =2gs 平均速度公式 = = 位移差公式 Δs=aT2 Δs=gT2 活学活用 1．如图所示，甲、乙两位同学利用一把长为50cm的直尺测量“反应时间”。甲用一只手在直尺下方做捏尺的准备，从他看到乙同学放开直尺开始，到他捏住直尺为止，测出直尺在这段时间内下落的高度为20cm。取，则下列说法正确的是（　　） A．甲同学本次测得的“反应时间”约为0.1s B．甲同学抓住直尺前的瞬间，直尺的速度约为2m/s C．若某同学的“反应时间”为0.3s，测量时他一定不能捏住这把直尺 D．若要在尺子刻度旁标出“反应时间”的数值，则“反应时间”数值在尺子上均匀分布 【答案】B 【详解】A．根据自由落体运动的位移与时间的关系式有 解得甲同学本次测得的“反应时间”约为，故A错误； B．根据自由落体运动的速度与时间的关系式可得，甲同学抓住直尺前的瞬间直尺的速度约为，故B正确； C．若某同学的“反应时间”为0.3s，则该同学抓住直尺前直尺下落的高度为 所以测量时该同学能捏住这把直尺，故C错误； D．由可知，与成正比，而不是与成正比，所以“反应时间”数值在尺子上不均匀分布，故D错误。 故选B。 2．一篮球从离地面高h处自由下落，与地面碰撞后，反弹高度也为h。篮球与地面的撞击时间和空气阻力均不计，取向下为正方向，下列反映篮球运动的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】空气阻力不计，下落阶段与上升阶段的加速度相同，图像的斜率大小应相同 反弹高度与下落高度相同，根据，反弹前后瞬间的速度等大，反向，两阶段运动时间相同。 故选A。 3．如图所示是用频闪周期为的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果自由下落的局部频闪照片。关于提供的信息及相关数据处理，下列说法中正确的是（　　） A．羽毛下落到C点的速度大小为 B．下落过程中苹果和羽毛始终位于同一高度 C．苹果下落的加速度大小为 D．一定满足关系 【答案】B 【详解】A．羽毛下落到C点的速度大小为，故A错误； B．苹果和羽毛在真空中自由下落，不受空气阻力，只受重力，它们都在做自由落体运动，运动状况与物体质量无关，故苹果和羽毛始终处于同一高度，故B正确； C．由逐差法有 解得，故C错误； D．由于这是局部照片，A点并不一定是起点，故不能根据初速度为零的匀变速直线运动的位移规律求解，即不一定满足关系，故D错误。 故选B。 题型2重力加速度g 的测量 1．实验设计 利用频闪照片，或利用打点计时器能够把做自由落体运动的物体的位置和相应的时刻记录下来．根据对匀变速直线运动的研究，测量物体下落的加速度，进而研究自由落体运动是否是匀加速直线运动，以证实猜想． 2．实验方法 (1)打点计时器法 A．实验装置如图所示．打点计时器固定在铁架台上，纸带一端系着重物，另一端穿过计时器．用手捏住纸带上端，启动计时器，松开手后重物自由下落，计时器在纸带上留下一串小点．改变重物的质量，重复上面的实验． B．对纸带上计数点间的距离s进行测量，利用g＝求出重力加速度． (2)频闪照相法 频闪照相机可以每间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体的位置，根据Δs是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动．根据匀变速直线运动的推论Δs＝aT2可求出重力加速度g＝.由g＝也可求出重力加速度g. (3)滴水法 A．如图所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头开始下落，并且能依次持续下去． B．用刻度尺测出水龙头距盘面的高度h. C．测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水依次计数1、2、3、…，当数到n时按下停表停止计时，则每一滴水下落的时间T＝. D．由h＝gT2，得g＝＝. 活学活用 4．用智能手机能测量加速度，现在某同学通过手机掉落时的加速度情况测量当地的重力加速度，如图所示y轴为竖直方向，则下列说法正确的是（    ） A．手机下落的高度约为1.2m B．手机下落的时间大约0.5s C．虚线框中加速度逐渐减小，但速度逐渐增大 D．手机开始下落时加速度迅速增大，这可能是空气阻力导致的 【答案】C 【详解】AB．由图可知，物体在空中运动的时间约为，加速度大小约为，所以手机下落的高度约为，故AB错误； C．虚线框中加速度逐渐减小，但速度与加速度方向相同，仍是逐渐增加的，C正确； D．物体开始下落时加速度迅速增大，是由于手机受到的重力导致的，故D错误。 故选C。 5．关于重力加速度，下列说法正确的是（    ） A．在比萨斜塔上同时由静止释放一大一小两个金属球，两球同时着地，说明两球运动的加速度相同，这个加速度就是当地的重力加速度 B．地球上各处的重力加速度的值都相同 C．济南的重力加速度为，说明在济南做下落运动的物体，每经过速度增加为 D．哈尔滨和广州的重力加速度都竖直向下，两者的方向相同 【答案】A 【详解】A．在忽略空气阻力的情况下，两金属球自由下落的加速度相同，即当地重力加速度，故A正确； B．地球各处重力加速度g随纬度和高度变化，故B错误； C．下落的物体不一定做自由落体运动，若存在空气阻力，物体加速度小于g，速度增量不等于9.8m/s，故C错误； D．不同地点的“竖直向下”方向均指向地心，但两地纬度不同，方向不平行，故D错误。 故选A。 6．某物理兴趣小组用如图所示的装置测量重物做自由落体运动的重力加速度。对该实验装置及其操作的要求，下列说法正确的是（　　） A．打点计时器接直流电源也可以正常使用 B．打点计时器的两个限位孔应在同一条竖直线上 C．重物最好选用密度较小的材料，如泡沫塑料 D．操作时，应先放开纸带后启动电源 【答案】B 【详解】A．打点计时器接直流电源不可以正常使用，故A错误； B．为了减小纸带受到的摩擦力，打点计时器的两个限位孔应在同一条竖直线上，故B正确； C．为了减小空气阻力的影响，重物最好选用密度较大、体积较小的材料，故C错误； D．为了充分利用纸带，操作时，应先启动电源后放开纸带，故D错误。 故选B。 题型3 竖直上抛运动 竖直上抛运动的研究方法 分段法 上升阶段:a=g的匀减速直线运动 下降阶段:自由落体运动 全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v=v0－gt，h=v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方 活学活用 7．如图，将网球（视为质点）从距水平地面高0.8m处由静止释放，网球落地后反弹且反弹的速度大小均为落地前瞬间速度的一半，重力加速度大小取，不计空气阻力，则网球第2次落地反弹后上升的最大高度为（　　） A．0.4m B．0.2m C．0.05m D．0.025m 【答案】C 【详解】网球第一次落地前瞬间的速率大小为 第1次反弹后的速率为 第2次反弹后的速率为 第2次反弹后上升的最大高度为 故选C。 8．随着科技的发展，无人机送餐已在北京、上海、深圳等多个城市进行试点。某外卖员在某次练习使用无人机送餐时，控制无人机以10m/s的速度竖直匀速升空，当无人机上升到距地面40m时餐盒突然脱落，取重力加速度，忽略餐盒受到的空气阻力，则餐盒从脱落到落地的时间为（　　） A． B． C．4s D．3s 【答案】C 【详解】取向下为正方向，餐盒突然脱落时，由于惯性餐盒的初速度为，根据位移时间关系   代入数据解得餐盒从脱落到落地的时间为 故选C。 9．抖空竹是具有河南地方特色的文体娱乐活动，在民间深受欢迎。如图，一位老者在抖空竹时，从某一点将空竹竖直向上抛起，经过时间t后，在同一位置将空竹接住。不计空气阻力，重力加速度为g，取竖直向上为正方向，空竹从抛出到再被接住的过程中，下列说法正确的是（　　） A．空竹上升的最大距离为 B．空竹抛出时的速度大小为 C．空竹速度的变化量为gt D．空竹的平均速率为 【答案】B 【详解】AB．根据竖直上抛运动的对称性，上抛时间和下落时间相同，则上抛时间为 所以上升的最大距离 抛出时的速度大小为，故A错误，B正确； C．空竹速度的变化量为，故C错误； D．空竹的平均速率为，故D错误。 故选B。 四、巩固练习 基础通关 一、单选题 1．雨后，屋檐还在不断滴着水滴。如图所示，小红同学认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落，每隔相等时间滴下一水滴，水滴在空中的运动情况都相同，某时刻起，第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时，第4颗水滴恰欲滴下。她测得，屋檐到窗台下边沿的距离为，窗户的高度为。不计空气阻力的影响。则下列结论错误的是（重力加速度g取10m/s2）（　　） A．水滴下落到达窗台下边沿时的速度大小 B．每隔滴下一水滴 C．水滴经过窗户的时间 D．水滴经过窗户的平均速度为 【答案】B 【详解】AB．设水滴滴下的时间间隔为，根据自由落体运动规律则有 代入数据解得 水滴下落到达窗台下边沿时的速度大小，故A正确，不符合题意，B错误，符合题意； C．水滴经过窗户上边缘的时间 水滴经过窗户下边缘的时间 则水滴经过窗户的时间，故C正确，不符合题意； D．水滴经过窗户的平均速度为，故D正确，不符合题意。 故选B。 2．如图所示，将小球自A处竖直向上抛出。传感器记录的数据显示：自抛出起计时，经过时间和小球的速率均为v0。小球向上抛出后的位移、速度、运动时间分别用x、v、t表示。不计空气阻力，关于小球竖直向上抛出的运动过程，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．分析运动过程：小球做竖直上抛运动，加速度为（方向向下）。已知和时速率均为。根据竖直上抛运动的对称性，最高点（速度为0）的时刻位于这两个时刻的中点 此时速度。求解初速度和加速度关系：设初速度为，在时，小球处于上升阶段（因为），速度为。由 解得 在时，速度为0，有 联立解得，且 图像纵轴表示速度（矢量）。竖直上抛运动的速度随时间均匀减小，过最高点后变为负值。图像应为一条斜率为负的直线，穿过轴。选项A画的是速率（标量）图像，故A错误； B．根据位移—速度公式 整理得 这是一个关于的一次函数，截距为，代入，截距应为 选项B中截距为，故B错误； C．位移公式 这是一个关于的二次函数，图像为开口向下的抛物线。对称轴（最高点）为 选项C的图像是抛物线，且最高点对应，故C正确； D．表示时间内的平均速度，有 这是一个关于的一次函数，斜率为，纵轴截距为，当时（即回到抛出点）， 选项D中图像与横轴交点为，故D错误。 故选C。 3．小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图2中1、2、3、4、5所示的小球在运动过程中每次曝光的位置。连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d。根据图中的信息，下列说法正确的是（    ） A．不能判断位置1是否为小球释放的初始位置 B．小球位移与时间成正比 C．小球下落的加速度为 D．小球在位置3的速度为 【答案】D 【详解】B．由题图可知，两相邻的时间T内小球运动的位移之差均为d，所以小球做匀加速直线运动，不是匀速直线运动，位移与时间的平方成正比，故B错误； C．设小球下落的加速度大小为a，则 解得 故C错误； D．小球在位置3的速度等于在2、4两位置间的平均速度，即 故D正确; A．小球在位置1的速度为 所以位置1不是小球释放的初始位置，故A错误。 故选D。 4．图为用频闪周期为的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果自由下落的局部频闪照片。关于提供的信息及相关数据处理，下列说法正确的是（　　） A．苹果下落的加速度大小为 B．羽毛下落到点的速度大小为 C．一定满足关系 D．一段时间后苹果会在羽毛下方 【答案】B 【详解】A．根据题意，由逐差法 有 解得，故A错误； B．根据题意，匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度，可得羽毛下落到点的速度大小为，故B正确； C．羽毛与苹果在真空中做自由落体运动，点并不一定是下落点，故点速度不一定等于零，则羽毛与苹果的位移不一定满足关系，故C错误； D．真空中苹果和羽毛只受重力，同时释放，做自由落体运动的下落快慢相同，故D错误。 故选B。 5．小明做家务时，发现家里自来水的出水情况有这样的特点：当水流不太大时，从水龙头中连续流出的水会形成水柱，从上往下越来越细，如图所示。水柱的横截面可视为圆，在水柱上取两个横截面A、B，粗测A、B的直径之比。则经过A、B处的水流速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取相同的时间，且，则有 可得经过A、B处的水流速度大小之比为 故选B。 6．小车在水平地面上做匀速直线运动。零时刻、站在小车上的甲沿与小车运动方向平行的方向抛出一个小球，乙站在小车侧方水平地面上观测到小球做直线运动直至落地。忽略空气阻力。则（     ） A．乙观测到小球的运动轨迹与地面垂直 B．乙观测到小球的加速度为零 C．甲抛球方向与小车前进方向相同 D．小球相对地面的初速度不为零 【答案】A 【详解】B．根据题意可知，小球抛出后受重力作用，加速度为重力加速度，方向竖直向下，故B错误； ACD．由于乙站在小车侧方水平地面上观测到小球做直线运动直至落地，可知，小球相对地面做自由落体运动，乙观测到小球的运动轨迹与地面垂直，则小球相对地面的初速度为零，即甲抛球方向与小车前进方向相反，相对小车的速度大小与小车运动的速度大小相等，故A正确，CD错误。 故选A。 素养提升 二、多选题 7．如图所示，长为的细杆以初速度从离地足够高处竖直向上抛出，同时在细杆的正上方处长为的圆筒由静止开始下落，运动过程中细杆和圆筒始终保持竖直，细杆从圆筒中穿过时两物体的运动互不影响，不计空气阻力，重力加速度为，假设细杆和圆筒均未落地，则以下说法正确的是（　　） A．细杆穿过圆筒时间为 B．若，则细杆在上升过程中穿过圆筒 C．若，则细杆在下降过程中穿过圆筒 D．抛出后经时间，细杆恰好完全在圆筒中 【答案】BCD 【详解】AD．以圆筒为参照物，则细杆相对圆筒以做匀速运动，细杆穿过圆筒的时间为，细杆恰好完全在圆筒中经历的时间为，故A错误D正确， B．若细杆在上升过程中穿过圆筒，则有 即，故B正确 C．若细杆在下降过程中穿过圆筒，则有 即，故C正确。 故选BCD。 8．科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光时间间隔正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(g＝10m/s2)(　　) A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足 B．间歇发光的间隔时间是 C．水滴在相邻两点之间的位移满足 D．水滴在各点速度之比满足 【答案】BC 【详解】A．若调节间歇闪光时间间隔正好与水滴从A下落到B的时间相同，看到水滴似乎不再下落，知相邻两个点的时间间隔Δt相等，A错误； B．连续相等时间间隔的位移差为 根据Δx=gΔt2 解得，B正确； C．水滴在相邻两点之间的位移之比为，C正确； D．根据v＝gt得，，D错误。 故选BC。 9．某同学用频闪相机在家拍出的苹果自由下落的情况如图所示，已知频闪相机相邻两次闪光的时间间隔为T，每次闪光的时间很短可忽略不计，苹果在相邻两位置间的距离在图中已经标出，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若x1∶x2∶x3=1∶3∶5，则苹果由A位置静止释放 B．苹果在B位置时的速度大小为 C．相邻两次闪光时间内，位移的增量越来越大 D．第3次闪光到第4次闪光苹果速度的增量大于第1次闪光到第2次闪光苹果速度的增量 【答案】AB 【详解】A．苹果在下落过程中，不计空气阻力，加速度为g，则有，， 若x1∶x2∶x3=1∶3∶5，即对比上面三个式子可知即苹果由A位置静止释放，故A正确； B．已知频闪相机相邻两次闪光的时间间隔为T，故B位置是A、C的中间时刻，则苹果在B位置时的速度等于A、C间的平均速度，即，故B正确； C．匀变速直线运动中，相邻相等时间间隔内的位移差是定值，即满足Δx=aT2，所以相邻两次闪光时间内，位移的增量为定值，故C错误； D．由加速度的定义式有可知，在第3次闪光到第4次闪光和第1次闪光到第2次闪光用时均为T，则速度的增量均为定值，即满足Δv=gT，故D错误。 故选AB。 三、实验题 10．某同学假期在家里进行了重力加速度测量实验。如图（a） 所示，将一根米尺竖直固定，在米尺零刻度处由静止释放实心小钢球，小球下落途经某位置时，使用相机对其进行拍照，相机曝光时间为s。由于小球的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹。根据照片中米尺刻度读出小球所在位置到释放点的距离H、小球在曝光时间内移动的距离。计算出小球通过该位置时的速度大小v，进而得出重力加速度大小g。实验数据如下表∶ 次数 1 2 3 4 5 /cm 0.85 0.86 0.82 0.83 0.85 v/（m·s-1） 4.25 4.10 4.15 4.25 H/m 0.9181 0.9423 0.8530 0.8860 0.9231 （1）测量该小球直径时，游标卡尺示数如图（b）所示，小球直径为________mm。。 （2）在第2次实验中，小球下落H =0.9423m时的速度大小v=________m/s（保留3位有效数字）；第3次实验测得的当地重力加速度大小g=________m/s2（保留3位有效数字）。 （3）可以减小本实验重力加速度大小测量误差的措施有_______。 A．适当减小相机的曝光时间 B．让小球在真空管中自由下落； C．用质量相等的实心铝球代替实心钢球 【答案】 15.75 4.30 9.85 AB 【分析】本题考查重力加速度的测量，意在考查考生对实验原理的理解以及处理实验数据的能力。 【详解】（1）[1]由游标卡尺的读数规则可知，小球的直径为 （2）[2][3]由题意可知，小球下落H =0.9423 m时的速度 由运动学公式 得 （3）[4]A．小球下落一定高度时的瞬时速度近似为曝光时间内的平均速度，曝光时间越短，曝光时间内的平均速度越接近瞬时速度，实验误差越小，故A正确； B．让小球在真空管中自由下落，可减小空气阻力的影响，可减小实验误差，故B正确； C．质量相等的实心铝球代替实心钢球时，铝球体积更大，阻力对铝球的影响较大，实验误差较大，故C错误。 11．疫情期间“停课不停学”，小明同学在家自主开展实验探究。用手机拍摄物体自由下落的视频，得到分帧图片，利用图片中小球的位置来测量当地的重力加速度，实验装置如题图1所示。 (1)家中有乒乓球、小塑料球和小钢球，其中最适合用作实验中下落物体的是_____。 (2)下列主要操作步骤的正确顺序是_____。（填写各步骤前的序号） ①把刻度尺竖直固定在墙上 ②捏住小球，从刻度尺旁静止释放 ③手机固定在三角架上，调整好手机镜头的位置 ④打开手机摄像功能，开始摄像 (3)停止摄像，从视频中截取三帧图片，图片中的小球和刻度如题图2所示。已知所截取的图片相邻两帧之间的时间间隔为，刻度尺的分度值是，由此测得重力加速度为_____。 (4)在某次实验中，小明释放小球时手稍有晃动，视频显示小球下落时偏离了竖直方向。从该视频中截取图片，_____（选填“仍能”或“不能”）用(3)问中的方法测出重力加速度。 【答案】 小钢球 ①③④② 9.61（9.5~9.7） 仍能 【详解】(1)要测量当地重力加速度需要尽量减小空气阻力的影响，所以密度大体积小的小钢球最适合； (2)要完成实验首先应该将刻度尺竖直固定在墙上，安装好三脚架，调整好手机摄像头的位置；因为下落时间很短，所以一定要先打开摄像头开始摄像，然后在将小球从刻度尺旁静止释放，故顺序为①③④②； (3)由三张图片读出小球所在位置的刻度分别为2.50cm，26.50cm，77.20cm；小球做自由落体运动，根据可得 (4)因为就算小球偏离了竖直方向，但是小球在竖直方向上的运动依然是自由落体运动，对实验结果无影响，故仍能用前面的方法测量出重力加速度。 迁移创新 四、解答题 12．垫球是排球运动的基本技术之一。如图所示，某次垫球训练过程中，排球自小丽手上方高度处自由下落，并以的速度落在小丽手上，小丽将其以原速率竖直向上垫起，不计排球所受空气阻力，已知排球和小丽手接触的时间为，重力加速度的大小。求排球： (1)下落到小丽手的高度； (2)在空中下落的时间及接触小丽手前内下落的高度； (3)与小丽手接触过程中的平均加速度。 【答案】(1) (2)， (3)，方向竖直向上 【详解】（1）由速度位移公式可得 代入数据解得 （2）由速度时间公式可得 代入数据解得 排球在内下落的距离为 则排球在与小丽手接触前内下落的高度 （3）排球与小丽手接触过程中，在的时间内，排球速度的变化量为 加速度定义式 方向竖直向上 13．长为的管从地面以的速度竖直上抛，上管口正上方处有一可视为质点的小球同时自由下落。重力加速度取，不计空气阻力，管运动过程保持竖直，小球穿过管的过程与管间无相互作用，求： (1)管经过多长时间上升到最高点； (2)小球穿出下管口时离地的高度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）管上升到最高点时速度为0，由 解得 （2）设从静止开始经过小球到达下管口，此过程中小球的位移 管的位移 由几何关系 解得 此时下管口离地的距离为 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $