4.3 多边形和圆的初步认识（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 4.3多边形和圆的初步认识 知识归纳与题型总结 考点01 多边形及有关概念 1. 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形． 2. 如下图，在多边形ABCDE中，点A，B，C，D，E是多边形的顶点；线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边；∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEA是多边形的内角（可简称为多边形的角）；AC，AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的对角线． 3. 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形． 考向01 多边形的概念与分类 【例1】下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【详解】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 考向02 正多边形概念辨析 【例2】下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 考向03 多边形截角后的边数问题 【例3】如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了多边形．分情况，画出图形即可． 【详解】解：如答图①，剩下的新图形是三角形；如答图②，剩下的新图形是四边形；如答图③，剩下的新图形是五边形． ． 考向04 多边形的周长 【例4】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 考向05 网格中多边形面积比较 【例5】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 考向06 多边形对角线的条数问题 【例6】如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 【答案】 五 5 2 3 【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从n边形的一个顶点出发的对角线有条，把n边形分成个三角形． 【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形． 故答案为：五；5；2；3． 考向07 对角线分成的三角形个数问题 【例7】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的性质，根据规律：从边形的一个顶点出发的所有对角线，会将多边形分成个三角形，据此列方程求解即可得到边数. 【详解】解：∵从边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，题目中分成个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：． 【对点1】下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据四边形的定义，判断每个图形是否为四边形，四边形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形． 【详解】解：A项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； B项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； C项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； D项：该图形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形，符合四边形的定义，所以是四边形， 故选：D． 【对点2】以下说法正确的有（    ） ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧； ②各边都相等的多边形是正多边形； ③顶点在圆上的角叫做圆心角； ④用度、分、秒表示为； ⑤线段，则点C是线段的中点； ⑥两点之间的线段叫做两点之间的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查圆的认识，正多边形的定义，度、分、秒的换算，中点和线段的定义等，根据相关知识逐个判断即可． 【详解】解：①圆上任意两点间的部分叫做圆弧，说法正确，符合题意； ②各边都相等，各角都相等的多边形叫正多边形，原说法错误，不符合题意； ③顶点在圆上的角叫做圆周角，原说法错误，不符合题意； ④，，所以用度、分、秒表示为，说法正确，符合题意； ⑤当点C在线段上，且时，点C是线段的中点，原说法错误，不符合题意； ⑥两点之间的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意． 综上所述，正确的有①④，一共2个． 故选：A． 【对点3】将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 【对点4】已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 【对点5】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【对点6】从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点出发作对角线，可将此边形分成个三角形． 【详解】解：从边形的一个顶点出发作对角线，则最多可将该边形分成个三角形， 由题意可得，则． 【对点7】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查多边形的剖分．多边形的三角剖分是将边形用不相交的对角线划分为若干个三角形，每个三角形由多边形的边和对角线组成，根据多边形性质，剖分后三角形个数为． 【详解】解：对于一个边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数是个，这是多边形三角剖分的基本性质， 故答案为：． 考点02 圆 1. 如下图，平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径． 2. 圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形；顶点在圆心的角叫作圆心角． 考向01 圆的基本概念辨析 【例1】经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 【答案】以点A为圆心，为半径的圆 【分析】根据题意可知该圆的圆心到点A的距离为，则该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 【详解】解：∵该圆经过定点A，且该圆的半径为， ∴该圆的圆心到点A的距离为， ∴该圆的圆心在以A为圆心，半径为的圆上， 即该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 考向02 圆的周长和面积问题 【例2】小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 【答案】 【分析】由题意可知，绳子拉直后的长度为该圆形物体的周长，根据圆的周长公式即可计算出直径． 【详解】由题意得，该圆形物体的周长，圆的周长公式为 （其中为圆的直径，取），变形得 ， ∵， 代入数据得 ． 考向03 圆心角概念辨析及简单运算 【例3】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【对点1】下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【对点2】如图，战机白帝号顺着大半圆从地飞到地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从地到地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为、，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了半圆弧长的计算，掌握半圆弧长的计算是解题的关键． 根据图形，得三个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，则根据圆周长公式，得两架战机所走的路程相等． 【详解】解：设白帝所走的半圆的半径为，则白帝所走的路程， 设鸾鸟所走的三个半圆的半径分别是、、，则，即， ∴． 故选：A． 【对点3】如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 1、 选择题 1．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 2．在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算矩形面积，再分别求出两种剪法下剪出圆的总面积，进而得到剩余面积和，计算的取值范围即可． 【详解】矩形面积为； 方式：剪出个最大圆，圆的最大直径等于矩形的宽，可得半径，圆的面积为， ； 方式：剪出个等大的最大圆，两圆并排沿长摆放，可得单个圆最大直径为，半径，两个圆的总面积为， ； ， ， ， ，即， ，即， ， ， ，即， A选项符合题意． 3．如图，点是正六边形边上一点，将正六边形沿折叠，使点的对应点落在对角线上，点的对应点落在处，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正六边形的每个内角，再求出、 的度数，最后根据平角解答即可． 【详解】解：六边形是正六边形， 正六边形的每个外角，每个内角， ， ， ， ， 由题意可得：， ， ． 4．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【详解】解：如下图，共有10种， 故选：B． 5．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律的代数式． 找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【详解】解：过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… 过边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， ∴， 解得， 故选：A． 6．下列说法：①用了两个钉子就可以把木条固定在墙上，其数学原理是“两点之间，线段最短”；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，利用的数学原理是“两点确定一条直线”；③过五边形的一个顶点可以画2条对角线；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线性质、线段性质、多边形对角线计算、角度换算知识点．根据直线性质、线段性质、多边形对角线计算、角度换算等计算，统计正确个数后选择对应选项． 【详解】解：①∵用两个钉子固定木条的数学原理是两点确定一条直线，而非两点之间，线段最短，∴①说法错误． ②∵把弯曲公路改直缩短路程的原理是两点之间，线段最短，而非两点确定一条直线，∴②说法错误． ③∵过n边形一个顶点可画条对角线，五边形，，∴③说法正确． ④∵，，∴④正确． 综上，正确的说法有2个， 故选：B． 7．从某多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线．根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，， 解得：， 即这个多边形是八边形， 故选∶B． 8．下列说法正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0 B．单项式的次数是3 C．过六边形的一个顶点与其他顶点的连线把图形分成3个三角形 D．用两个钉子可以将一根细木条固定在墙上，其数学原理是“两点之间线段最短” 【答案】A 【分析】本题考查有理数的绝对值、单项式的次数、多边形的对角线以及几何公理等概念，需逐一判断各选项的正误，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、有理数的绝对值非负，且0的绝对值最小，为0，故A正确； B、单项式的次数是变量指数的和，中变量的指数为2，为常数，故B错误； C、过边形一个顶点的对角线将图形分成个三角形，六边形，应分成4个三角形，故C错误； D、用两个钉子固定木条的原理是“两点确定一条直线”，而非“两点之间线段最短”，故D错误； 故选：A． 9．如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形对角线长为，利用正方形对角线与边长的关系，分别求出大正方形周长和所有小正方形周长之和，再进行比较． 【详解】解：设大正方形的对角线长为． 大正方形的边长为，周长． 把对角线分成等份，每一份长为，即每个小正方形的对角线长为． 每个小正方形的边长为，周长为． 共有个小正方形，所以所有小正方形的周长之和． A、，计算得，不符合题意； B、，计算得，不符合题意； C、，计算得，符合题意； D、，计算得，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质（对角线与边长的关系）、周长的计算。解题关键是通过设对角线长度，建立大、小正方形周长的表达式，从而比较大小． 10．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【详解】如图，共有10种 故选：B 2、 填空题 11．如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意得到第个半圆的直径为，再根据圆的面积公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，第1个半圆的直径为， 第2个半圆的直径为， 第3个半圆的直径为， 以此类推， 第5个半圆的直径为， 第个半圆的直径为， ∴第5个半圆的面积为，第n个半圆的面积为. 12．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 【答案】 【分析】先求出圆的直径，再根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，圆的直径为：， ∴圆的半径为， ∴圆形茶杯垫片的面积为． 13．要画一个周长是28.26厘米的圆，应该用圆规的两脚在直尺上量取 ________ 厘米（取）． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式及圆规的使用原理，解题的关键是根据圆的周长求出半径，圆规两脚间的距离即为圆的半径． 利用圆的周长公式变形得到，代入已知周长和计算出半径． 【详解】解：已知圆的周长 ，， 由圆的周长公式 ，得． 14．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 15．如图，正方形、正六边形边长相等，在同一平面内将两个多边形的一边重合，那么的大小是______． 【答案】 【详解】解：如图，由正六边形、正方形的内角的计算方法可知， ，， ． 3、 解答题 16．比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确． 【答案】外弧半径中间弧半径内弧半径 验证如下：如图， 【详解】略 17．火车机车上主动轮的直径为1.2，如果主动轮每分钟转400圈，那么火车每小时行多少千米？（精确到0.1） 【答案】约 【分析】先根据圆的周长公式求出主动轮转一圈火车前进的距离. 再计算1小时内主动轮转的总距离. 最后换算单位即可得到火车每小时行驶的路程． 【详解】解：已知主动轮直径为，每分钟转400圈． 主动轮的周长：，1时等于60分钟， 1小时主动轮转的圈数为：（圈）， 火车1小时行驶的距离为： ， 换算单位得， 答：火车每小时约行千米． 18．小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足． (1)游泳区的面积为______，休息区的面积为______；（用含的代数式表示） (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由； (3)当时，绿地的面积为______．（取） 【答案】(1)， (2) 小华的设计方案符合要求，理由如下： 休闲场所面积为：， 绿地面积：， ∵， ∴绿地面积大于休闲场所的一半面积， 即：符合要求； (3) 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减、求差法比较大小，关键是利用求差比较法比较大小； （1）根据矩形及半圆的面积公式表示即可； （2）比较绿地面积与休闲场所的面积的一半作比较即可得出结论； （3）把代入绿地面积的代数式即可． 【详解】（1）解：游泳区：， 休息区：； 故答案为：，； （2）略 （3）解：当时，， 故答案为：． 19．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 20．按要求计算下面各题 (1)计算涂色部分的周长与面积（单位：厘米） (2)如图所示，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，求的长． 【答案】(1)涂色部分的周长是厘米，涂色部分的面积是平方厘米； (2)的长是15厘米． 【分析】本题主要考查组合图形的周长和面积的计算，关键利用转化思想解答． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出涂色部分的周长，通过割补转化为半圆的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答； （2）根据图示可知，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，则半圆面积比三角形面积大7平方厘米，据此计算的长即可． 【详解】（1）解：涂色部分的周长是 （厘米） 涂色部分的面积是 （平方厘米） 答：涂色部分的周长是厘米，涂色部分的面积是平方厘米； （2）解： （厘米） 答：的长是15厘米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 4.3多边形和圆的初步认识 知识归纳与题型总结 考点01 多边形及有关概念 1. 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形． 2. 如下图，在多边形ABCDE中，点A，B，C，D，E是多边形的顶点；线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边；∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEA是多边形的内角（可简称为多边形的角）；AC，AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的对角线． 3. 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形． 考向01 多边形的概念与分类 【例1】下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 考向02 正多边形概念辨析 【例2】下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 考向03 多边形截角后的边数问题 【例3】如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 考向04 多边形的周长 【例4】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 考向05 网格中多边形面积比较 【例5】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 考向06 多边形对角线的条数问题 【例6】如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 考向07 对角线分成的三角形个数问题 【例7】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【对点1】下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【对点2】以下说法正确的有（    ） ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧； ②各边都相等的多边形是正多边形； ③顶点在圆上的角叫做圆心角； ④用度、分、秒表示为； ⑤线段，则点C是线段的中点； ⑥两点之间的线段叫做两点之间的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【对点3】将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【对点4】已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 【对点5】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【对点6】从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【对点7】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 考点02 圆 1. 如下图，平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径． 2. 圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形；顶点在圆心的角叫作圆心角． 考向01 圆的基本概念辨析 【例1】经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 考向02 圆的周长和面积问题 【例2】小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 考向03 圆心角概念辨析及简单运算 【例3】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【对点1】下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【对点2】如图，战机白帝号顺着大半圆从地飞到地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从地到地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为、，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【对点3】如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 1、 选择题 1．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 2．在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．如图，点是正六边形边上一点，将正六边形沿折叠，使点的对应点落在对角线上，点的对应点落在处，则（     ） A． B． C． D． 4．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 5．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 6．下列说法：①用了两个钉子就可以把木条固定在墙上，其数学原理是“两点之间，线段最短”；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，利用的数学原理是“两点确定一条直线”；③过五边形的一个顶点可以画2条对角线；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．从某多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 8．下列说法正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0 B．单项式的次数是3 C．过六边形的一个顶点与其他顶点的连线把图形分成3个三角形 D．用两个钉子可以将一根细木条固定在墙上，其数学原理是“两点之间线段最短” 9．如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 2、 填空题 11．如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 12．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 13．要画一个周长是28.26厘米的圆，应该用圆规的两脚在直尺上量取 ________ 厘米（取）． 14．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 15．如图，正方形、正六边形边长相等，在同一平面内将两个多边形的一边重合，那么的大小是______． 3、 解答题 16．比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确． 17．火车机车上主动轮的直径为1.2，如果主动轮每分钟转400圈，那么火车每小时行多少千米？（精确到0.1） 18．小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足． (1)游泳区的面积为______，休息区的面积为______；（用含的代数式表示） (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由； (3)当时，绿地的面积为______．（取） 19．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 20．按要求计算下面各题 (1)计算涂色部分的周长与面积（单位：厘米） (2)如图所示，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $