专题2.7 勾股定理的应用（11大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理的应用这一核心知识点，系统梳理从直角三角形边长计算、折叠问题到航海、最短路径等实际场景抽象模型的学习脉络，为学生构建“定理理解—几何应用—实际建模”的完整学习支架。 该资料以11类生活情境题型（如梯子下滑、旗杆高度、蚂蚁爬行最短路径等）为载体，通过“建模—分析—求解”过程培养学生几何直观与模型意识，典例与变式结合强化推理能力，课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，深化数学与现实世界的联系。

专题2.7 勾股定理的应用 教学目标 1. 熟练运用勾股定理解决几何图形边长计算、折叠等问题，能将航海、最短路径等实际场景抽象为直角三角形模型。 2. 经历“建模—分析—求解”过程，提升数学建模和逻辑推理能力，掌握构造直角三角形的解题技巧。 3. 感受数学与生活的联系，体会定理的应用价值，增强用数学知识解决实际问题的意识。 教学重难点 1.重点 （1）精准把握勾股定理的适用条件，能在直角三角形或构造的直角三角形中灵活计算边长。 （2）熟练将实际问题转化为数学模型，运用定理解决距离、高度、折叠等常见应用问题。 2.难点 （1）复杂场景中挖掘隐含条件，通过作辅助线等方式构造直角三角形，建立定理适用的数学模型。 （2）解决含分类讨论、方程思想的综合问题，如未明确斜边的边长计算、动态几何中的距离求解。 知识点01 勾股定理的应用 【即学即练】1．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 2．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 3．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 题型01 求梯子下滑的高度 【典例1】（25-26八年级下·天津西青·期末）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·天津·阶段检测）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端向右滑动___________． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米． 【变式3】（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． (1)求这架云梯顶端A处的高度； (2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 题型02 求旗杆的高度 【典例1】（25-26八年级下·北京·期末）方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 【变式1】（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，操场上直立一根旗杆，旗杆垂直于水平地面．将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端，细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部与点相距5米．求旗杆的高度__________米． 【变式3】（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点处时（即），点到地面的距离，地面上B、C两点之间的距离，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度． 题型03 求小鸟飞行的距离 【典例1】（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 题型04 求大树折断前的高度 【典例1】（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处点离竹子底部点3尺远，求折断后竹子的长．设的长为尺，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米． 【变式3】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6米处（点）折断，树顶部（点）落在离树干底部（点）8米处，则这棵树在折断前的高度（不包括树根）为多少米？ 题型05 解决水杯中筷子问题 【典例1】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面圆的直径是，内壁高是．这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分的长度为x，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（   ） A．13厘米 B．17厘米 C．18厘米 D．26厘米 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 【变式3】（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？ 题型06 解决航海问题 【典例1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式1】（25-26八年级下·河南新乡·期中）2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距________海里． 【变式3】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 题型07 求河宽 【典例1】（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度______m． 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为______米． 【变式3】（25-26八年级下·广西贺州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 题型08 求台阶上地毯长度 【典例1】（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为______米． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为庆祝渝北中学艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为40元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要______元． 【变式3】（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 题型09 判断汽车是否超速 【典例1】（22-23八年级下·广东珠海·期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 【变式1】（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    【变式2】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【变式3】（23-24八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 题型10 判断是否受台风影响 【典例1】（23-24八年级上·江西九江·期中）如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·月考）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 题型11 求最短路径 【典例1】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在底面周长约为6米的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底（点 A）沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（点 C），B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱身高约16米，则这串装饰彩灯至少长为 米． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）有一个圆柱形玻璃杯高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底的B点处有一饭粒，蚂蚁想吃B处的饭粒，要从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬 ． 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆，求一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程． 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京·课后作业）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为（    ）m    A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26七年级上·山东泰安·期中）我国古代算书《九章算术》中有这样一道题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？根据题意，可设水深尺，则葭长尺．已知1丈尺，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，一圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为 ． 7．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根处，折断处的高度为，则这棵树折断前高 ． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖 ． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 10．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，一个圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条线上，小辰用一根彩带从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根彩带的长度最短是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北·课后作业）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 12．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（尺）时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺，当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．现在问这个秋千的绳索有多长？ 13．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：尺寸，结果用尺表示） 14．（25-26八年级上·全国·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗?为什么? (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长? 15．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边有两个取水点，村庄修建了道路和，其中．由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在同一条直线上），并修建道路．经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄到河边的最近道路，并说明理由； (2)求原来的路线的长． 16．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 一、单选题 1．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 3．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 4．（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为_______米． 7．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 8．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 9．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 10．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，圆柱高为，底面周长为，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是________． 三、解答题 11．（25-26八年级下·广西崇左·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为崇左市，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．崇左市受台风影响吗？为什么？ 12．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 13．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时的长度； (2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 14．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．汕头市金平区某校为了给学生提供合适的劳动教育场地，采用综合实践课程的形式，在校园规划了一片劳动基地（）用来种植两种不同品种的花卉．现将中间用小路隔开，经测量，，，，． (1)求证：； (2)若种植花卉的费用为元，则空地需花费多少元？ 15．（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 勾股定理的应用 教学目标 1. 熟练运用勾股定理解决几何图形边长计算、折叠等问题，能将航海、最短路径等实际场景抽象为直角三角形模型。 2. 经历“建模—分析—求解”过程，提升数学建模和逻辑推理能力，掌握构造直角三角形的解题技巧。 3. 感受数学与生活的联系，体会定理的应用价值，增强用数学知识解决实际问题的意识。 教学重难点 1.重点 （1）精准把握勾股定理的适用条件，能在直角三角形或构造的直角三角形中灵活计算边长。 （2）熟练将实际问题转化为数学模型，运用定理解决距离、高度、折叠等常见应用问题。 2.难点 （1）复杂场景中挖掘隐含条件，通过作辅助线等方式构造直角三角形，建立定理适用的数学模型。 （2）解决含分类讨论、方程思想的综合问题，如未明确斜边的边长计算、动态几何中的距离求解。 知识点01 勾股定理的应用 【即学即练】1．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 【答案】A 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解： 如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 ， 则 （）． 又因为 ， 所以 （）． 故蚂蚁爬行的最短距离为 ． 2．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 3．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 题型01 求梯子下滑的高度 【典例1】（25-26八年级下·天津西青·期末）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】梯子顶端沿墙下滑的距离为．利用勾股定理求出，．即可得到答案． 【详解】解：在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端下滑． 【变式1】（25-26八年级下·天津·阶段检测）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端向右滑动___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可求出结果． 【详解】解：在，，， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米． 【答案】8 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】解：在△中， 米，米， （米， 米，米， （米， （米， （米． 故答案为：8． 【变式3】（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． (1)求这架云梯顶端A处的高度； (2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【答案】(1)； (2)底端沿向外移动距离不是 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端A处的高度是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 底端沿向外移动了，不是． 题型02 求旗杆的高度 【典例1】（25-26八年级下·北京·期末）方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 【答案】A 【分析】设旗杆高度为米，根据题意表示出绳子的长度，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米， ∵绳子垂直落地后还剩2米， ∴绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为8米． 【变式1】（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，，米， 由勾股定理得：， 即， 解得， 旗杆的高度为4米． 【变式2】（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，操场上直立一根旗杆，旗杆垂直于水平地面．将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端，细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部与点相距5米．求旗杆的高度__________米． 【答案】12 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据题意可得： ， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 【变式3】（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点处时（即），点到地面的距离，地面上B、C两点之间的距离，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为. 【分析】作，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作，则，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得； 答：旗杆的高度为. 题型03 求小鸟飞行的距离 【典例1】（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形；将两棵树的高度差和两树距离作为直角边，利用勾股定理求出斜边即为小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：如图，设较高的树为，较矮的树为，两树相距，过点作于点，则四边形为矩形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 小鸟至少要飞行． 故选：． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 【变式2】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13 【变式3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 题型04 求大树折断前的高度 【典例1】（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度即可求出答案． 【详解】解：由图可知，，， 在中，， 这棵树折断前的高度为． 【变式1】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处点离竹子底部点3尺远，求折断后竹子的长．设的长为尺，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设的长为尺，则的长为尺， 在中，，则由勾股定理得， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米． 【答案】 16 【分析】根据题意构建直角三角形模型，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出结果． 【详解】解：设树折断部分的长度为米． 由题意可知，未折断部分、折断部分与地面构成直角三角形， 其中一条直角边长为米，另一条直角边长为米． 根据勾股定理，得． 所以树折断之前的高度为米． 【变式3】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6米处（点）折断，树顶部（点）落在离树干底部（点）8米处，则这棵树在折断前的高度（不包括树根）为多少米？ 【答案】16米 【详解】解：由题意可知：米，米，， ∴（米）， ∴（米）． 答：这棵树在折断前的高度为16米． 题型05 解决水杯中筷子问题 【典例1】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面圆的直径是，内壁高是．这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分的长度为x，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（   ） A．13厘米 B．17厘米 C．18厘米 D．26厘米 【答案】B 【分析】由勾股定理求出盒子的对角线长，从而即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：盒子底面对角线长为（厘米）， 盒子的对角线长：（厘米）， ∴细木棒露在盒外的部分最短为（厘米）． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设这根芦苇的长度为尺，在中，由勾股定理得出方程求解即可得出结果． 【详解】解：设这根芦苇的长度为尺， 由题意知，尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 这根芦苇的长度为尺， 【变式3】（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？ 【答案】13尺 【分析】设这根芦苇的长度是x尺，则水深为尺，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是x尺，则水深为尺， 由勾股定理得， 解得， 即这根芦苇的长度为13尺． 题型06 解决航海问题 【典例1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的应用．根据两艘轮船的航行路线夹角为，构成直角三角形，再通过勾股定理计算两船距离即可解答． 【详解】解：东南方向与西南方向的夹角为， 两艘轮船的航行路线构成直角三角形， 第一艘轮船小时行驶的路程为（海里），第二艘轮船小时行驶的路程为（海里）， 根据勾股定理，两艘轮船的距离为（海里）， 故选：． 【变式1】（25-26八年级下·河南新乡·期中）2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 【答案】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了海里和海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距________海里． 【答案】15 【详解】解：由题意可得：（海里），（海里），， （海里）． 【变式3】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 题型07 求河宽 【典例1】（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：，，， ． 【变式1】（25-26八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度______m． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：． 故答案为：300． 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为______米． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故答案为：24． 【变式3】（25-26八年级下·广西贺州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【答案】(1) (2)15米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 题型08 求台阶上地毯长度 【典例1】（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图， 由题意得：， 故， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为______米． 【答案】7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故答案为：7． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为庆祝渝北中学艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为40元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要______元． 【答案】2800 【分析】本题主要查了勾股定理的应用．根据勾股定理求出水平的直角边长度，即可求解． 【详解】解：水平的直角边长度为， （元）， 即购买这种地毯至少需要2800元． 故答案为：2800． 【变式3】（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 题型09 判断汽车是否超速 【典例1】（22-23八年级下·广东珠海·期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【变式1】（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【变式3】（23-24八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 题型10 判断是否受台风影响 【典例1】（23-24八年级上·江西九江·期中）如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 【答案】A 【分析】过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，根据勾股定理求出求出的长，进而得到的长，即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，， ∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴A处受噪音影响的时间为：． 故选：A 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·月考）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C不能被飞机扑灭，计算说明解解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出飞机灭火的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：飞机距离着火点C的最短距离为； （2）解：如图，在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ，且， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 题型11 求最短路径 【典例1】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题．将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【详解】解：底面周长为，则半圆弧长为， 画展开图形如下： 根据勾股定理得． ∴它爬行的最短路程为， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在底面周长约为6米的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底（点 A）沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（点 C），B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱身高约16米，则这串装饰彩灯至少长为 米． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到答案． 【详解】解：如图，把圆柱体的侧面展开， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴米，米， ∴（米），则这串装饰彩灯至少长为米． 故答案为：20． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）有一个圆柱形玻璃杯高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底的B点处有一饭粒，蚂蚁想吃B处的饭粒，要从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬 ． 【答案】17 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中为圆柱体的底面周长的一半，再由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图：作沿上沿B点的对称点，作于C， ∵高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底的B点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点B处， ∴依题意得：， ， 连接，则即为最短距离， 故答案为：17． 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆，求一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程． 【答案】分米 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，管道底面展开得到的长方形的长等于管道底面周长，求出长方形的长和宽，根据勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：由题意可知，将管道底面展开得到的长方形的长，相当于是管道底面周长， 则长为（分米）；宽为8分米， 因此最短路径为（分米）， 答：需要走的最短路程为分米． 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京·课后作业）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键． 根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：． 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 设绳索有尺长，此时绳索长，向前推出的尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设的长为尺， 尺，尺， 尺， 在中，尺，尺，尺，则由勾股定理得， 解得， 秋千绳索或的长度为尺， 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为（    ）m    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26七年级上·山东泰安·期中）我国古代算书《九章算术》中有这样一道题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？根据题意，可设水深尺，则葭长尺．已知1丈尺，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：1丈尺，葭生其中央， 尺， 在中，根据题意列方程得，， 故选：A． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，一圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆柱的最短路径问题，运用侧面展开与勾股定理思想，关键是将圆柱侧面展开为长方形，利用对称点转化为线段最短问题，易错点是展开后对应线段的长度计算错误； 思路是将圆柱侧面沿母线展开为长方形，作点关于展开图上边的对称点，连接对称点与，利用勾股定理计算这条线段的长度（即最短路程）． 【详解】 解：如图，将玻璃杯的侧面展开一半，作点关于直线的对称点，连接，则的长即为蚂蚁从玻璃杯外壁处到玻璃杯内壁处的最短路程．过点作交的延长线于点． 由题意，知（），（）． 在中，由勾股定理得（），所以蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为． 故选A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得：，，， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根处，折断处的高度为，则这棵树折断前高 ． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长度，进而即可求出这棵树折断前高度． 【详解】解：根据题意得，， 在中，， ， 这棵树折断前高为， 故答案为：18 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖 ． 【答案】13 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由题意得，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 即要挖到该文物至少要挖， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，然后利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意得：当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，最短为； 当玻璃棒垂直杯子底面时，漏出杯子外面的长度最长，最长为； ∴的取值范围是； 故答案为． 10．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，一个圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条线上，小辰用一根彩带从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根彩带的长度最短是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一根彩带从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为 ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长： ； 又∵圆柱高为， ∴小长方形的一条边长是； 根据勾股定理求得； ∴； 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北·课后作业）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，， 在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则， ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 12．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（尺）时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺，当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．现在问这个秋千的绳索有多长？ 【答案】这个秋千的绳索的长是14.5尺 【分析】本题考查勾股定理的应用．设这个秋千的绳索尺，得到，求出的值，即可得到秋千的绳索的长． 【详解】解：设尺， 依题意，，， ∴ ， 在中，， ， 解得， 故尺， 答：这个秋千的绳索的长是14.5尺． 13．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：尺寸，结果用尺表示） 【答案】池塘水深尺，荷花长尺． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺，然后由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺， 在中，，即， 解得：． ∴池塘水深为尺，荷花长度为， 答：池塘水深尺，荷花长尺． 14．（25-26八年级上·全国·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗?为什么? (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长? 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）过点作于点，此时线段为点到线段的距离，通过三角形面积相等可求出线段的长，若，则海港受台风影响，若，则海港不受台风影响； （2）通过勾股定理可求出线段、的长，从而求出线段的长，利用路程除以速度即可求出时间； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，过点作于点构建直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴是直角三角形． ∴， 即， 解得． ∵， ∴海港受台风影响． （2）设台风到达点时开始影响该海港，到达点时解除影响该海港， ∴． ∵于点， ∴， ， ∴． ∵台风的速度为， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为． 15．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边有两个取水点，村庄修建了道路和，其中．由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在同一条直线上），并修建道路．经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄到河边的最近道路，并说明理由； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，见解析 (2)原来的路线的长为百米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练中午知识点是解题的关键． （1）先由勾股定理证明，再根据点到直线的距离最短求解即可； （2），继而表示出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是从村庄到河边的最近道路； （2）解：设， ∵， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴，即百米， 所以，原来的路线的长为百米． 16．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理，阅读题目信息可得两名跑酷运动员所经过的距离相等是指，设，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设水泥墙的高度为x米，则米, 由题意，知， 所以, 因为两名运动员所经过的路程长度相等， 所以，即， 所以米, 在中，由勾股定理得，即， 解得，即米, 答：水泥墙的高度为米． 一、单选题 1．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况：当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长；当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短；结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长， 最大值为， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最小，最小值为； 由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于圆柱形饮料罐的高， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最大，最大值为； 综上，的范围是． 2．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【答案】B 【分析】由题意可知，，海里，海里，利用勾股定理计算出，进而求出乙船的航速． 【详解】解：由题意可知，，（海里），海里， 在中，（海里）， ∴乙船的航速为（海里/时）． 3．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 4．（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 5．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为_______米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，列方程组解决几何问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设旗杆高度为，利用勾股定理列出方程，然后联立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，，则， 假设旗杆高度为， ∵， 由勾股定理得， ∴， 整理得①， 同理，由勾股定理得， 整理得②， 得，， ∴， ∴原旗杆的高度为10米， 故答案为：10． 7．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 8．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 【答案】30 【分析】首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可解答． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， 海里， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东， 即乙船沿南偏东30度方向航行． 9．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 【答案】12尺 【分析】根据题意可得芦苇长度，设水的深度为尺，然后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 10．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，圆柱高为，底面周长为，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是________． 【答案】13 【分析】画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，连接， 根据两点之间，线段最短，可得就是蚂蚁爬行的最短路线． 由题可得：，， 由勾股定理得：． 三、解答题 11．（25-26八年级下·广西崇左·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为崇左市，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．崇左市受台风影响吗？为什么？ 【答案】解：崇左市受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于点H， ∵点与直线上两点，的距离分别为和，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴崇左市受台风影响． 【分析】过点C作于点H，可证明，得到，利用等面积法求出的长，再与50比较即可得到结论． 【详解】略 12．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 【答案】8米 【分析】先利用勾股定理求出的长；再根据风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，再次利用勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， 如图，当风筝沿方向再上升12米，到点时， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 13．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时的长度； (2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出米，即可求出的长度． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴米； （2）解：∵米， ∴米， ∵米，， ∴米， 因此米． 14．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．汕头市金平区某校为了给学生提供合适的劳动教育场地，采用综合实践课程的形式，在校园规划了一片劳动基地（）用来种植两种不同品种的花卉．现将中间用小路隔开，经测量，，，，． (1)求证：； (2)若种植花卉的费用为元，则空地需花费多少元？ 【答案】(1)证明：在中，， ， ∴， ∴是直角三角形，，即 (2)空地需花费元 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理进行判断； （2）利用勾股定理可得的长，从而计算出的面积，空地所需花费． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴空地需花费， 答：空地需花费元． 15．（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为31.7米 (2)他应该往回收线14米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，，    米（负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为31.7米． （2）解：由题意得，米， 米， （米），    （米）， 他应该往回收线米． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $