专题05 有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算综合题型，构建“通法引领-题型突破-压轴提升”三阶训练体系，提炼五类题型解题模板，强化数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3类方法总结|程序题分步/逆推，古代题情境转化，新定义规则套用，规律题归纳验证|从基础运算到情境化应用，形成“特征-方法-易错”认知链| |题型归纳|5类题型各1典例+3变式|每题型设“特征-方法”模板，如算24点用因数分解逆向构造|通过变式训练实现方法迁移，培养模型意识| |压轴挑战|14道综合题|融合多类题型，强调跨情境问题解决|衔接中考命题趋势，提升推理能力与创新意识|

专题05 有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数运算中的程序问题 题型二、算“24”点 题型三、古代中的有理数运算问题 题型四、有理数运算中的新定义型问题 题型五、有理数运算中的规律探究问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涵盖按流程图计算、古代算术情境、自定义运算规则（如 a※b）及数列/图表规律探究。 - 解题方法：程序题严格按步骤迭代；古代题转化为现代算式；新定义题即时套用规则；规律题观察序号与数值的对应关系（如等差、等比、平方、周期）。 - 易错提醒：程序题忽略循环终止条件致死循环；新定义中运算顺序与常规优先级混淆；规律题未验证前几项即下结论；古代题单位换算或背景术语理解偏差。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数运算中的程序问题 典例1 （25-26七年级上·河北衡水·期中）按图所示的程序计算，如果输入的数是，那么输出的结果是______． 【答案】47 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，理解程序框图的运算法则是关键． 根据程序框图的运算进行计算即可． 【详解】解：第一次：， 第二次：，计算结束，输出的数是． 故答案为：． 题型模版 1.特征：按给定运算步骤（如输入→乘方→加减）求输出，或逆向求输入。 2.方法：按程序流程逐步计算；逆向则从结果倒推，用逆运算（加减互逆、乘除互逆）求解。 变式1-1（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是_____； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则_____。 【答案】 2 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据卡片顺序为，计算，即可求解； （2）根据题意得，，即可求解． 【详解】解：（1）依题意， ； （2）依题意，得， 解得：． 变式1-2（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． （1）当小明输入4时，则输出的结果为______； （2）若输出的结果为，则输入的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】 1 3（答案不唯一） 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，涉及有理数的加法、倒数、绝对值、相反数等知识点，看懂所给的程序流程图是解题的关键． （1）将4代入数值转换机，按程序计算即可得出结果； （2）分两种情况，取倒数后输出和取绝对值后输出，则可推出取相反数的结果，进而求出要取相反数的结果，再推出输入的数即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 的相反数为1，1是正数， 1的倒数为1，故输出的结果为1； 故答案为：1； （2）当是取倒数输出时，则取相反数的结果为， 故要取相反数的时候的结果为， ∵， ∴可以作为第一次输入的数，也可以作为第二次输入的输，则此时第一次输入的数为； 当取绝对值输出时，则取相反数的结果为， 同理可得故要取相反数的时候的结果为， ∵， ∴可以作为第一次输入的数，也可以作为第二次输入的输，则此时第一次输入的数为； 故答案为：3（答案不唯一）． 变式1-3（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图是一个数学游戏活动，、、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及、、、四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号） (1)6经过、、、的顺序运算，列算式并计算结果是多少？ (2)经过▅、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是______． 【答案】(1)34 (2)C、B、A． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是严格遵循运算顺序进行计算，并通过结果逆向推导运算步骤． （1）按A、B、C、D顺序依次运算； （2）通过结果反推被遮挡的运算顺序． 【详解】（1）解：列式为 答：计算结果是34． （2）解：由得 对进行（平方）、（减3）、（乘）运算： ，符合要求． 故答案为：C、B、A． 题型二、算“24”点 典例2 （25-26七年级上·陕西咸阳·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答． 【详解】解：通过观察数字，发现，，则， 因此可列算式． 故答案为：（答案不唯一）． 题型模版 1.特征：给定四个数，通过加、减、乘、除及括号使其结果为24，考验综合运算能力。 2.方法：尝试先两两组合得中间数，再用运算凑24；或从24的因数分解入手，逆向构造算式。 变式2-1（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据“24点”进行求解． 【详解】解：由题意得：，； 故答案为（答案不唯一）． 变式2-2（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”． 先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可． 【详解】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3， ∴抽到的数据是1，，2，3， 则一种方法为：． 故答案为：． 变式2-3（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 题型三、古代中的有理数运算问题 典例3 （25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案中的卦用的是我国古代的计数符号． 八卦中称为阳爻（yáo），对应数字；称为阴爻，对应数字0．如符号表示的二进制数为.则符号表示的二进制数为______，把二进制数它转化为十进制的数是______． 【答案】 【分析】 本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握进位制的转换方法是解题的关键．根据题意，八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，按二进制表示出结果即可；根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】 解：符号表示的二进制数为， ， 即二进制数它转化为十进制的数是， 故答案为：；． 题型模版 1.特征：将古文或历史情境（如盈亏、赋税）转化为有理数运算，需理解背景。 2.方法：先翻译古文为现代数学语言，提取正负数，列式按运算规则计算，结果结合情境解释。 变式3-1（25-26七年级上·河南南阳·期中）十进制记数采用10个数码： 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9， “逢十进一”．德国数学家莱布尼茨发明了二进制，记数只采用两个数码：0，1，“逢二进一”．逢几进一，就是几进制．进制之间可以相互转化，我们常把用M 进制表示的数A写成．若进制表示的数是，则转换为十进制的方法为：（规定，）．他认为世界上最早的二进制记数法就是中国的八卦．八卦是中国古代道家论述万物变化的经典著作《周易》中的8种基本图形，由符号“——”和“—  —”组成（如图），分别表示1 和0．探究下面关于八卦与二进制关系的表，则__________ . 卦名 乾 坤 震 巽 坎 离 兑 象征 天 地 雷 风 水 火 泽 符号 对应的二进制数 111 000 011 101 110 转换成十进制数 7 0 3 5 6 【答案】16 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 首先根据符号“——”和“—  —”，分别表示1和0，再根据“风”表示的二进制数为011和风所对应的符号可知，读的时候是由下向上读的，分别把和所对应的二进制数表示出来，然后再转化为十进制数，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵符号“——”和“—  —”，分别表示1和0，“风”表示的二进制数为011和风所对应的符号可知，读的时候是由下向上读的， ∴对应的二进制数是100，对应的二进制数是010． ， ． ． 故答案为：16． 变式3-2（25-26七年级下·江西吉安·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，若在某一时间段她进行了两次记录，分别记录了她两次采集到的野果数量． (1)在图1中，根据题意她第一次记录采集到的野果数量为___________个： (2)在图2中，求她第二次采集到的野果数量． 【答案】(1)91 (2)471个 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． （1）根据所列公式计算即可； （2）类比可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，即． 【详解】（1）解：， 故答案为：91； （2）解：依题意，得第二次采集到的野果数量应为个． 变式3-3（25-26七年级上·湖北十堰·期中）概念感知：第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图1）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．（规定：，） (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：　　，　　； (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 【答案】(1)21；174 (2)1844个 【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 故答案为：21；174； （2） （个）， 即她一共采集到的野果数量为1844个． 题型四、有理数运算中的新定义型问题 典例4（25-26七年级上·甘肃定西·期中）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算： （1）根据新定义得到，据此代值计算即可； （2）根据新定义得到，再根据，进行计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解： ． 题型模版 1.特征：给出新的运算符号（如 \(a \oplus b\)），按定义规则求值，重理解与应用。 2.方法：将新定义转化为四则运算表达式，代入数值按括号和常规顺序计算，注意定义域限制。 变式4-1（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)22 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义的运算法则，掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义先列式，再根据有理数的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则和有理数的运算法则，先算，再算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 变式4-2（25-26七年级上·浙江宁波·期中）定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可求出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∴． 变式4-3（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊕”：当a与b同号时，规定（且）； 当a与b异号时， 规定（且）． (1)当，时，则 ． (2)当，时，则 ． (3)求的值． 【答案】(1) (2)24 (3)63 【分析】本题考查新定义的运算，含乘方的有理数混合运算，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算即可求解； （2）根据新定义的运算即可求解； （3）根据新定义的运算，分别根据同号时和异号时进行分步计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵（正），， ∴与异号，且、， ∴ 故答案为：． （2）∵，， ∴与同号，且、， ∴ 故答案为：24． （3）∵，， ∴与异号，且、， ∴． ∵，， ∴与同号，且、， ∴． ∴的值为63． 题型五、有理数运算中的规律探究问题 典例5（25-26七年级上·湖北黄石·阶段检测）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了通过观察规律进行分数的简便运算． （1）观察已知的等式，可以发现：等式左边是两个连续偶数乘积的倒数，等式右边是这两个连续偶数倒数差的，按照此规律，第④个等式中，两个连续偶数应该是8和10，所以第④个等式为； （2）根据前面发现的规律，将原式中的每一项进行转化后代入原式，可以发现括号内很多项可以相互抵消，最后可计算得出结果； （3）先对原式中的每一项进行变形，将原式变形后发现，每一项都可以写成的形式，随即可计算得出结果． 【详解】（1）解：根据第①②③个等式规律可知：， 故答案为：． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型模版 1.特征：观察一组算式结果，发现运算规律（如递推、周期），求第n项或证明结论。 2.方法：列举前几项，分析结构变化，用代数式表示通项，验证规律后代入求解或推广证明。 变式5-1（25-26七年级上·江西赣州·期中）观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 【答案】(1)91 (2) (3)2485 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （2）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （3）用的值减去的值，再类比所给的4个算式进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 变式5-2（25-26七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：；；；；； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出两个等式： ， ； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数） (3)利用这个规律计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数的混合运算等知识点，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律，并能根据所求灵活应用规律是解题的关键． （1）根据所给等式的规律，直接写出即可； （2）通过观察可得，第个等式为； （3）由（2）可得，原式，再求解即可． 【详解】（1）解：根据所给等式的规律可知： ， ， 故答案为：，； （2）解：根据所给等式的规律可知，第个等式为： ； （3）解： ． 变式5-3（25-26七年级上·安徽安庆·期中）观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； … (1)按以上规律，第④个等式为：________：第n个等式为：________（用含n的式子表示，n为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算；的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据已给三个等式反映出的规律写出第④个等式，第个等式即可； （2）利用（1）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （3）利用（1）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； 本题考查数字变化类规律探究，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：第④个等式为：， 第个等式为：， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义“”运算规则是，则的运算结果是（    ）． A． B． C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解题目的新定义是解题的关键．根据定义的运算规则，直接代入和进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】本题主要考查了八进制与十进制的转换，解题的关键是理解“满进”的计数规则．先确定八进制位权，从右到左分别为、、，提取各数位的结数，最后按八进制转十进制公式计算即可解答． 【详解】解：孩子的出生天数是（天）， 故选：． 4．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的规律填写图2，则的值是（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减、代数式求值，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出，，，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴． 故答案为：A． 二、填空题 5．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是一个计算程序图，若输入x的值为4，则输出的结果是________． 【答案】36 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，程序流程图与有理数计算，观察题干的计算程序图，再结合输入的值为4，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：36． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）定义如下运算：，，根据定义计算的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键；根据新定义的运算分别求出，再把两个值加减即可． 【详解】解：，， 则； 故答案为：． 7．（25-26七年级上·四川泸州·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份，将八进制数换算成十进制数是______（提示：当时，）． 【答案】5200 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．读懂题意，利用题目给出的换算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·重庆长寿·阶段检测）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，， （1）在等式中寻找规律，并利用规律计算：______． （2）数学活动小组的同学们对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为3，并提出新的问题：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握裂项相消法，是解题的关键： （1）利用裂项相消法进行计算即可； （2）利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】解：（1）由给出的等式可知：； ∴ ； （2） ． 三、解答题 9．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种新运算： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算、新定义运算法则等知识点，理解新定义的运算规则是解题的关键． （1）直接理由新定义运算法则以及含乘方的有理数法则计算即可． （2）由（1）可得，将代入的计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由（1）可得， 将代入可得： ． 10．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）对于有理数，定义一种新运算“”，规定． 例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）依据题意求解即可． （2）先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 11．（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知所给各式即可得结论； （2）结合（1）的结论即可进行计算． 【详解】（1）观察已知各式可知：第5个等式是； （2） ． 12．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法⋯ (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是______； (2)【迁移】将十进制数“2298”转化为八进制数； (3)【应用】在古代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)22； (2)； (3)孩子已经出生的天数为42天． 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算，使结果为2298即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解： ， 即将二进制数“10110”转化为十进制数是22， 故答案为：22； （2）解： ， 将十进制数“2298”转化为八进制数为； （3）解： （天）， 即孩子已经出生的天数为42天． 13．（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 【答案】(1)65； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘法，最后再计算加减法； （2）根据所给顺序进行运算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：由题意得． 14．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题 的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法， 夺实解题根基 题型一、有理数运算中的程序问题 题型二、算"24”点 题型三、古代中的有理数运算问题 题型四、有理数运算中的新定义型问题 题型五、有理数运算中的规律探究问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，功力能力迁移 题型特征：涵盖按流程图计算、古代算术情境、自定义运算规则（如※b)及数列/图表规律探究。 -解题方法：程序题严格按步骤迭代：古代题转化为现代算式：新定义题即时套用规则：规律题观察序号 与数值的对应关系（如等差、等比、平方、周期）。 易错提醒：程序题忽略循环终止条件致死循环：新定义中运算顺序与常规优先级混淆；规律题未验证前 几项即下结论：古代题单位换算或背景术语理解偏差。 ◆ 刁题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数运算中的程序问题 典例1 (25-26七年级上·河北衡水期中)按图所示的程序计算，如果输入的数是-3，那么输出的结果是_ 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 否 输入（→(4） 是 >-6 输出 题型模版 1.特征：按给定运算步骤（如输入→乘方→加减）求输出，或逆向求输入。 2方法：按程序流程逐步计算；逆向则从结果倒推，用逆运算（加减互逆、乘除互逆）求解。 变式1-1(25-26七年级上·安徽阜阳期中)数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分 别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序.一名同学随机说出一个数字k后，其 余同学将k按小安排列的卡片顺序开始运算， M N P ÷2 ×(-3) -4 (1)若k=-3,卡片顺序为P→M→N,则运算结果是」 (2)若数字k经过M→N→P的顺序运算后，结果为-7，则k= 变式1-2(25-26七年级上·安徽阜阳·期中)如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径， 方框是对进入的数进行转换的转换机) 否 非正 输入 数大于2 取相反数 取绝对值 是 为正 加上-5 取倒数 输出 (1)当小明输入4时，则输出的结果为 (2)若输出的结果为2，则输入的值可以是 (写出一个即可) 变式1-3(25-26七年级上河北石家庄期中)如图是一个数学游戏活动，A、B、C、D分别代表一种运 算，运算结果随着运算顺序的变化而变化.（提示：①每次游戏都涉及A、B、C、D四种运算：②运算 过程中自动添加必要的括号) 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 乘← 减3 平方 加(-2) A D (I)6经过A、B、C、D的顺序运算，列算式并计算结果是多少？ (2)-3经过■、D的顺序运算后，结果是-5，则被遮挡部分的运算顺序应是 题型二、算“24”点 典例2(25-26七年级上陕西咸阳期中)“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行 混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24.现有3，-3,5,9，列出一个 求“24点”的算式是一·（写出一个即可） 题型模版 1特征：给定四个数，通过加、减、乘、除及括号使其结果为24，考验综合运算能力。 2.方法：尝试先两两组合得中间数，再用运算凑24；或从24的因数分解入手，逆向构造算式。 变式2-1(25-26七年级上浙江杭州期中)有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张 牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜(J,Q, K分别表示11,12,13，A表示1)·小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式 (写出一种即可) 小聪抽 到的牌： 变式2-2(25-26七年级上贵州贵阳期中)你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任 意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运 算结果为24或-24，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数， J,Q,K,A分别代表11,12,13,1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑 成了24,7x3+3÷7)=24 如果抽到的是黑桃A,方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或24的其中 一种方法： 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-3(25-26七年级上浙江绍兴·期末)学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和 兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法.两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是6，只要其余三个数能算出是4或144,18,30，-18，都可算出24， 如： 67,8,9可以列出 ÷(9-7)×6=24 兴兴：有时遇到6不能用你的方法算出，可以尝试用6除以4，也能得到24哦！如：1,3,4,6，可以 6÷(1-3÷4)=24 列出 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数2,3,5，请从1到10这些自然数中选一个，使四个数能算出24，要求列出算式，并简 单说一下你的思考过程， (2)想一想，数字-1,4,5,6这四个数可以算出24吗？如果可以，请列出算式. 题型三、古代中的有理数运算问题 典例3(25-26七年级上·江苏扬州阶段检测)第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题 图案中的卦用的是我国古代的计数符号， 八卦中■称为阳爻(yo),对应数字1：■■称为阴爻，对应数字0.如符号 表示的 二进制数为(011)2·则符号 表示的二进制数为一，把二进制数(1110)2它转化为十进制的数 是 ICmE-14 三三至三 题型模版 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：将古文或历史情境（如盈亏、赋税）转化为有理数运算，需理解背景。 2方法：先翻译古文为现代数学语言，提取正负数，列式按运算规则计算，结果结合情境解释。 变式3-1(25-26七年级上河南南阳期中)十进制记数采用10个数码：0,1,2,3,4,5,6,7,8， 9,“逢十进一”.德国数学家莱布尼茨发明了二进制，记数只采用两个数码：0,1，“逢二进一”.逢 几进一，就是几进制.进制之间可以相互转化，我们常把用M进制表示的数A写成 0M.若 M(M≠10 进制表示的数是101)M ,则转换为十进制的方法为： (1011)M=1×M+0×M2+1×M+1×M° (规定M≠0，M°=1).他认为世界上最早的二进制记数法就 是中国的八卦.八卦是中国古代道家论述万物变化的经典著作《周易》中的8种基本图形，由符号 “-一”和“一一”组成（如图），分别表示1和0.探究下面关于八卦与二进制关系的表，则”= 乾 * 坤 地 卦名 乾 坤 震 巽 坎 离 兑 象征 天 地 雷 风 水 火 泽 符号 羽 三 对应的二进制数 111 000 011 101 110 转换成十进制数 > 0 m 3 n 5 6 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-2(25-26七年级下江西吉安·期末)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上 打结来记录数量，即“结绳记数”.一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采 集到的野果数量，若在某一时间段她进行了两次记录，分别记录了她两次采集到的野果数量， 图1 图2 (①)在图1中，根据题意她第一次记录采集到的野果数量为2×62+3×6+1= 个： (2)在图2中，求她第二次采集到的野果数量. 变式3-3(25-26七年级上·湖北十堰期中)概念感知：第十四届国际数学教有大会(ICME-14)会徽（如 图1)的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古 代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八 进制数3745换算成十进制数是3×8+7×82+4×8+5×8°=2021，表示ICME-14的举办年份.（规定： a°=1，a≠0) 4坐 图1 图2 ()把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： (101012=(256)3= (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2，一 位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 题型四、有理数运算中的新定义型问题 典例4(25-26七年级上·甘肃定西期中)我们定义一种新运算：a*b=a2-b+b.例如： 1*3=12-3+1×3=1. 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求2(-3)的值： ②求2)2*(4]的值 题型模版 1.特征：给出新的运算符号（如(a loplus b),按定义规则求值，重理解与应用。 2方法：将新定义转化为四则运算表达式，代入数值按括号和常规顺序计算，注意定义域限制。 变式41(25-26七年级上江苏泰州阶段检测)用“@”定义一种新运算：对于任意有理数m和n,规定 m@n=mxn2+m×n-m 1@2=1×22+1×2-1=5 例如： )求2)@3 的值： 2求[2@(-2]@3的值. 变式42(25-26七年级上浙江宁波期中)定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n=m”+mn-n,例如： 2☆3=23+2×3-3=8+6-3=11，解答下列问题： 03)☆2 ②-)☆[-2)☆4] 变式43(25-26七年级上江苏常州阶段检测)对于整数a,b,定义一种新的运算“⊕”：当a与b同号 时，规定a©b=a-1(b≠1且b>0)；当a与b异号时，规定a⊕b=b-1(a≠1且a>0). ()当a=3,b=-4时，则a⊕b=_ (2②)当a=5,b=2时，则a⊕b=_ 4©(20-2）的值. (3) 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、有理数运算中的规律探究问题 典例5(25-26七年级上：湖北黄石·阶段检测)观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通 过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： 24报》 1-111 ②4x6246: 1-111 ③6×8268月 … (1)按以上规律，第④个等式为：一： 11+1+1十 (②)按此规律，计算2×4+4x66×88×10+10x12的值： 1,1,1,1,1,1,1 1 (3)探究计算：4+2+24+40+60+84+112+144+180的值. 题型模版 1.特征：观察一组算式结果，发现运算规律（如递推、周期），求第项或证明结论。 2方法：列举前几项，分析结构变化，用代数式表示通项，验证规律后代入求解或推广证明。 变式5-1(25-26七年级上江西赣州期中)观察下列各式： 1P=1x2x3 12+22=2×3x5P+22+32=3×4×7 6 6: 67,P+22+3+4=4x5x9 6… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：2+2+32+42+52+62： (2)请用一个含n的算式表示这个规律：1+2+32+…+n: (3)根据发现的规律，请计算算式：11+122+132++20的值（写出必要的解题过程）. 变式5-2(25-26七年级上安徽合肥期末)观察下列等式：①22-02=4×1；②42-22=4×3； 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③62-42=4×5④82-62=4×7. 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出⑥⑦两个等式：⑥，⑦_： (2)根据以上式子的规律，请写出第n个式子；(n为正整数) 1 (③倒利用这个规律计算2024×(1+3+5++2023)的值. 变式5-3(25-26七年级上·安徽安庆·期中)观察是数学抽象的基础.在数学探究学习中，我们要善于通过 观察发现规律，进而解决问题.请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： e6-[居8 1_ 11.11) ③6x8268: … (1)按以上规律，第④个等式为： :第n个等式为： (用含n的式子表示，n为正整数)； 1,11 1 (②)按此规律，计算2×4+4×6+6x88×10+10×12的值： +1 11 1 1 (3)探究计算； 十… 1×44×77×10 2020×20232023×2026的值. 同压轴挑战一大克满障压轴，突政思缘上展 一、单选题 1.（25:26七年级上福建三明期中)定义”运算规则是6=b-分，则2) 的运算结果是() A.-15 B.-6 C.3 D.0 2.(25-26七年级上湖南湘潭期中)如图所示是计算机程序计算，若开始输入x=-1，则最后输出的结 果是多少？() 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入x ×4 -(1) <-5 YES艺输出 NO A.-11 B.11 c.-10 D.-21 3.(25-26七年级上山东滨州期末)在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”，如图， 有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满8进1进行记录，那么从中可以判定 孩子已经出生了() A.100天 B.90天 C.132天 D.42天 4.(2425七年级上陕西渭南期中)“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1,2,3,4， 5,7,8,9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间 正方形四个顶点上的数字之和相等.若按同样的规律填写图2，则x+n-2y-m的值是() m 、n 图1 图2 A.-8 B.8 C.-6 D.6 二、填空题 5.(25-26七年级上陕西西安·期末)如图是一个计算程序图，若输入x的值为4，则输出的结果是 输入x -8 ×9 取绝对值 输出 6. (2025黑龙江哈尔滨三模)定义如下运算：m△n=m2-n,m★n=n2-2mn,根据定义计算 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [-3)△2]-[2*(-3刃的值为. 7.(25-26七年级上四川泸州期中)第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽（如图）的主题图案 有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出 的八进制数3745八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数换算成十 进制数是： (3745),=3x8+7x82+4×8+5×8”=20218=),表示1CMc-14的举办年份，将八进制数 (2120换算成十进制数是一（提示：当a+0时，。） ICmE-14 三年三 8.(25-26七年级上重庆长寿·阶段检测)问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： 1 1111111111 1x2=1-2,2x323,3x434,4x545 1,1,1,1 (1)在等式中寻找规律，并利用规律计算：1×2+2x3+3×4+4×5 (2)数学活动小组的同学们对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为3，并提出新 1 1 的问题：1×44×77×10 十……十 2023×2026 三、解答题 9.(25-26七年级上江苏苏州阶段检测)定义一种新运算：a*b=a2-b+ab 四求2*-3) 的值： ②求2)[2*(-3刃的值. 10.(25-26七年级上·贵州铜仁·期中)对于有理数ab,定义一种新运算“※”，规定a必b=a”-ab 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如：2※3=23-2×3=2. (1)求2※4的值： (2求(3到*3x2) 的值。 11.(25-26七年级上广东江门阶段检测)观察下列各式，你会发现什么规律？ 212345, 1 (1)请你按上述规律写出第5个等式一； 1.11 (②利用以上规律计算：1k2+2x3+3x4+…+9×100的值 12.(25-26七年级上·新疆乌鲁木齐期中)生活中常用的十进制是用0-9这十个数字来表示数，满十进一， 例：212=2×102+1×10'+2；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进 一，例：二进制数10010转化为十进制数：1×2+0×23+0×2+1×2+0=16+2=18；其他进制也有类似 的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是一 (2)【迁移】将十进制数“2298”转化为八进制数： (3)【应用】在古代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲 记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生 的天数。 13.(25-26七年级上·江西上饶期中)数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A,B,C,D四个圆分别 代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含x的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后 再进行下一步运算.例如：小贤先输入一个有理数x,再按A→B→C→D的顺序运算，则可列算式 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [(x-3)×(-2订+1 -3 ×(-2) 立方 +1 当x=1时，求算式[(x-3列×(-2]+1的值. (2)若小艺输入的x的值为2，再按B→D→C→A的顺序运算，请求出运算结果， 14.(25-26七年级上福建三明阶段检测)阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算： 1+2-0+2×2-3 2 1+2+3=0+3到x3-6 2 1+2+3+4-+4x4-10 1+2+3+4+5-0+5x5=15 2 (1)利用上述规律计算：1+2+3+.…+101= (2)计算： 6引仔子+引传+引+0+品+动+…+8 13/13