第28章 圆 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（冀教版·新教材）

第二十八章 圆 知识梳理导图 点在圆外→d>r点与圆的 弧长公式：l= nπR 点在圆上←→d=r位置关系 180 圆 点在圆内→d<r 的 扇形的面积公式： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 S扇形= nπR2 外心：外接圆的圆心三角形的外接圆 樱 圆锥的侧面积公式： 算 S侧面积=πrl(r为底面圆半径，L为母线长)》 垂直于弦的直径平分弦 以及弦所对的两条孤 垂径定理 圆 圆周角等于它所对孤上 平分弦（非直径）的直 轴对称 圆周角定理。的圆心角的一半 径垂直于弦，并且平 垂径定理 分弦所对的两条孤 的推论 圆 同孤或等孤所对的圆周角相等，同圆 在同圆或等圆中，相等的 圆的 的 或等圆中相等的圆周角所对的孤也相等 等量关 圆心角所对的孤、弦相等 对称性 有 圆周角 系定理 推论直径（或半圆)所对的圆周角是直角 同圆或等圆中，如果两个圆 性 旋转 质 90°的圆周角所对的弦是直径 心角所对的弧、所对的弦中 对称 有一组量相等，那么其余各组 圆内接四边形对角互补 量都分别相等 推论 重难疑点解法 分上分点1与圆的基本性质有关的计算和证明 (2)根据圆内接四边形的性质、角平分线的定义 例1(2026·浙江绍兴新昌期中)如图，四边形 等得到∠ABC=∠BAC,得到CA=CB; (3)设AD=x,过点C作CH⊥BD于点H,根 ABCD内接于⊙O,CE⊥AD,交AD的延长线于 据角平分线的性质得到CH=CE,证明Rt△ACE≌ 点E,连接AC,BD,DC平分∠BDE, Rt△BCH,得到BH=AE=x+2,证明Rt△CDE≌ (1)若∠ABC=60°，求∠ECD的度数； Rt△CDH,得到DH=DE=2,再在Rt△HBC中， (2)求证：CA=CB; 根据勾股定理计算，得到答案. (3)若B为CAD的中点，DE=2,CE=6时，求 AD的长. 关键提醒 B 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定 名师启发(1)根据圆内接四边形的性质、邻补 理、全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟记圆内 角的定义求出∠CDE=60°，再根据直角三角形的两 接四边形的对角互补是解题的关键 锐角互余求出∠ECD的度数； 314 实验班提优训练数学九年级上HBJY 上分点2与孤长、扇形有关的计算 (2)根据阴影部分面积为扇形面积减去等腰直角 例2如图，AB是半圆O的直径，点C,D在半 三角形的面积求解即可. 圆上，∠ACD十∠BAC=45°. (1)求∠CAD的度数； (2)若∠ACD=15°，BC=4,求阴影部分的面积 D 关键提醒 名师启发(1)根据圆周角定理可知∠ACB= 本题考查圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌 90°，根据圆内接四边形的性质可得∠BAD十 握圆周角定理是解题的关键 ∠BCD=180°，代入角的数量关系计算，即可求解； 易错易混辨析 )易错点1不能正确区分圆周角和圆心角 例如图，四边形ABCD内 接于⊙O,若∠B=130°，则∠AOC的 大小是(). (第1题) A.130° B.120° C.100° D.50° 解析如图，在优弧AC上任取 )易错点2忽略分类讨论而出现丢解的错误 一点D,连接AD,CD,则得到圆内接 例2在半径为10cm的⊙0中，弦AB与弦 四边形ABCD.,∠B+∠D=180°， CD平行，已知AB=16cm,CD=12cm,则这两条平 ∴.∠D=180°-130°=50°， 行弦之间的距离为(). ∴.∠AOC=2∠D=100°. A.28cm或4cm B.14cm或2cm 答案C C.13cm或4cm D.5cm或13cm 辨析月纳-----. 解析分两种情况： 本题容易出现选D的错误，其原因是不能正 如图(1)，当AB和CD在点O的两旁时： 确区分圆周角和圆心角，因而把四边形ABCO错 过点O作MN⊥AB于点M,交CD于点N,连 误认为是圆内接四边形，从而得到∠AOC=180° 接OB,OD, ∠B=50°的错误结论. .AB/CD,∴.MN⊥CD. 巩固特刘 由垂径定理，得BM=号AB=8cm,DN- 1,(2026·江苏无锡梁溪区江南中学期中)如图，在△ACD 2CD=6cm. 中，DA=DC,B是AC边上一点，以AB为直径 的圆O经过点D,F是直径AB上一点（不与点 .OB=OD=10 cm, A,B重合)，连接DF并延长交圆O于点E,连接 .在Rt△BOM中，由勾股定理，得OM= EA,EB. √OB2-BM=√102-82=6(cm), (1)求证：∠C=∠DEB; 在Rt△DON中，由勾股定理，得ON= (2)若AE=BE,∠C=30°，求∠DFB的度数 √OD2-DN2=√102-62=8(cm). 32 第二十八章 ..MN=OM+ON=8+6=14(cm); C.8-2π D.4-π 如图(2)，当AB和CD在O的同旁时： 解析在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°， 同理，得OM=6cm,ON=8cm. AB=AC=4, .MN=8-6=2(cm). ∴.∠B=∠C=45°，BC=√2AB=4√2. 综上所述，这两条平行弦之间的距离为14cm或2cm :E为BC中点， B BE-CE-7BC-2, ∴.阴影部分的面积S=S△ABC一S扇形BDE (1) (2) S扇形CEF= ×4×4 答案B 2 45rX(22)X2=8-2元， 360 辨析归妙 答案C 本题的易错之处是丢解，因为题目中没有给出 辨析归纳 图形，也没有说明弦AB,CD与点O的位置关系， 该类问题的解题思路基本相同，都是设法把阴 而弦AB,CD既可能在点O的同旁也可能在，点O 影面积转化为几个规则图形面积的和或差，但怎样 的两旁，且这两种情况下得到的答案不同，所以应 分割是这类题目的一个易错点，分割方法不适当 分类讨论，否则，将会出现丢解的错误 时，将会导致解题过程复杂甚至出现错误.因此，在 分割之前，一定要注意结合题意观察图形，而观察 巩固特训 的重点是这个阴影部分是怎样形成的，其形成过程 2.已知点P到⊙O上各点的距离的最小值是2，最大 一旦清楚，分割图形的方法则随之得到 值是9，则⊙0的半径等于 )易错点3不能正确分割阴影面积 巩固特圳 3.(2026·内蒙古农大附中期末)如 例3如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB= 图，在△ABC中，∠ABC= AC=4,分别以点B,C为圆心、线段BC长的一半 90°，∠ACB=30°，AB=2,O B 0 为半径作圆弧，交AB,BC,AC于点D,E,F,则图中 为BC的中点，以O为圆心、 (第3题) 阴影部分的面积是(). OB长为半径作半圆，交AC于点D,则图中阴影 部分的面积是( A.533 5v3 4 12元 B. 4 5W3π 5√3π A.16-2元 B.8-4元 C. 42 D. 24 素养考向提分 新情境 例](2026·上海黄浦区民办立达中学月考)如图 (1),商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一 个杯套，方便拿取.要为如图(1)所示的阔口杯配上杯 套.（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和 ① ② 杯套的厚度) (1) (2) 334 实验班提优训练数学九年级上HBY 甲同学发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆 =nπ·PA2nr·PC2 锥截去一个小圆锥后余下的部分)，如图(2)①所示， 360 360 通过测量，杯子上口直径AB=9cm,下底面直径 =nπ(PA+PC)(PA-PC) 360 CD=4cm,母线长AC,BD均为l0cm.乙同学画出 了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部 =nπ(PA十PC) 360 ·AC 分，如图(2)②. .cm.CC/= =1(mπ·PA+nπ·PC) (1)AA'= cm; 2180 180/ ·AC (2)我们知道圆心角相等的两个扇形的弧长之比 1 等于其半径之比，请你利用此结论，帮助甲和乙同学 4,+l,)d. 求出AP,CP的长，圆心角∠APA'的大小，以及该阔 点拨 本题考查扇形面积的计算、孤长的计算， 口杯侧面展开图的面积； 掌握扇形面积的计算方法、孤长的计算方法是 (3)丙同学发现扇形面积公式类似于三角形面积 正确解答的关键 公式；类比梯形面积公式，他猜想侧面展开图的面积 S=+l)d,h分别表示Am,C的长，d 样反白 表示AC的长).他的猜想正确吗？如果正确，写出推 1.小明假期去学校周边的森林公园郊游，带了一顶 导过程；如果不正确，请说明理由.（参考公式：a2一 大型圆锥形帐篷，它的底面直径是6m,高是4m. b2=(a-b)(a+b)) (1)按每人的活动面积是3m2计算，该帐篷最多可 住 人.（π取3.14估算） 解析(1)根据圆周长的计算方法进行计算即可； (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至 (2)根据圆心角相等的两个扇形的弧长之比等于 少需要多少平方米的涤纶布？（结果中包含π，材 其半径之比，求出两个扇形的半径，再根据弧长公式 料包含底部) 求出圆心角度数，再由S大形一S小扇形=S侧面展开图进行 计算即可； (3)利用弧长公式进行计算即可. 答案(1)9π5π提示：AA'的长就是直径 6m 为9cm的圆的周长，所以AA'的长为9πcm, (第1题) CC的长就是直径为4cm的圆的周长，所以CC 的长为5πcm. (2)根据题意可知，两个扇形半径之比为9：4，半 径之差为10cm, ∴.大半径AP=18cm,小半径CP=8cm. 设∠APA'=n,则由孤长公式，得”X8 180 解得n=90, 即∠APA′=90°， ·该阔口杯侧面展开图的面积为2×9π×18 月×4r×8=65π(cm2)】 (3)正确，理由如下： S侧面=S大扇形一S小扇形 34 第二十八章 2.(2025·邯郸武安二模)如图(1)是一个手表，其表盘 ∴OD=OA-AD= 可以看作是一个标准的圆形，图(2)是简化的示意 图，一侧表带与表盘链接处的弧长(AB或CD) 60π×2 为表盘⊙0的周长的。，已知表带的宽度AB和 ∴.CD 180 受（米）. CD均为3cm. 点拨 本题以传统服饰马面裙为背景考查孤长 (1)求表盘⊙O的直径和表盘圆心O到表带边缘 的计算，关键是灵活运用孤长公式 AB的距离； (2)求表带被表盘覆盖的面积（阴影部分. 举反9 3.日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计 时仪器，外圈被分为十二个全等的图形，分别标示 着“十二地支”，如图所示.通过测量得到晷面内圈 (1) (2) 的半径OA为24cm.若晷针投影的长度不变，且 (第2题) 都在晷面的内圈上，求晷针投影在晷面上从“已” 时开始到“申”时结束（从OA旋转到OB)划过的 图形面积（图中阴影部分）. 酉B 寅 卯 (第3题) 传统文化 例2(2026·青海海西格尔木 期末)近年来传统服饰马面裙受到 大众的喜爱，如图所示的马面裙可 以近似的看作扇环，其中AB的长 度为8x米，裙长AD为1米，圆心角∠C0D=60, 求CD的长.（结果保留π） 解析由弧长公式求出OA的长，从而得到OD 的长，再由弧长公式即可求出弧CD的长. 答察：AB的长度为x米，∠0D=60, :.60π×OA5 180 π， 01=米 354再向左平移n|个单位长度 得到， 故点M也可看作是点P向 下平移2个单位长度，再向 M 左平移|n|个单位长度得 BNO 到，点M的纵坐标为2. (2) 又点M在反比例函数图象 (第3题) 上，2=-16 ∴.m=-8, m .点M的坐标为（一8,2）： 综上所述，点M的坐标为（号）或(-8,2》. 阳纳总结本题主要考查了一次函数与反比例函 数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、平行四 边形的性质等知识，解题的关键是掌握待定系 数法求函数表达式，以及平行四边形的性质，并能 利用图形的平移找到点与点之间的关系，从而求解。 第二十八章圆 例1(1)，四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠ABC+∠ADC=180°. .∠ABC=60°，.∠ADC=120°，∴∠CDE=60°. .CE⊥AD,∴.∠ECD=90°-∠CDE=30. (2).四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠ADC+∠ABC=180°. .∠ADC+∠EDC=180°，.∠ABC=∠EDC. .DC平分∠BDE,∠EDC=∠BDC, ∴.∠ABC=∠BDC. .'∠BDC=∠BAC: →同泰所对的圆周角相等 ∴.∠ABC=∠BAC,∴.CA=CB. (3)如图，过点C作CH⊥BD于点H, B 设AD=x,则AE=AD十DE=x十2. .DC平分∠BDE,CE⊥AD,CH⊥BD, ∴.CH=CE=6,∠CEA=∠CHB=90°. ,CA=CB,.Rt△ACE≌Rt△BCH(HL), .BH=AE=x十2， 同理可证明Rt△CDE≌Rt△CDH(HL), ..DH=DE=2,..BD=BH+DH=+4. :B为CAD的中点，∴BC=BD,∴.BC=BD=x十4. 在Rt△HBC中，由勾股定理，得CH+BH=BC2, .62+(x+2)2=(x+4)2, 解得x=6,∴.AD=6. 例2(1)，AB是半圆O的直径，∴.∠ACB=90°. ,四边形ABCD为⊙O的内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180°， ∴.∠ACD+∠CAD+∠CAB=90°. :∠ACD+∠BAC=45°， ∴.∠CAD=90°-∠ACD-∠BAC=90°- (∠ACD+∠BAC)=45°，. (2)如图，连接OD,OC, D 0 .∠ACD=15°，∴.∠AOD=2∠ACD=30°. .∠ACD+∠BAC=45°， ∴.∠BAC=45°-∠ACD=30°， ∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=60°. .OC=OB,.△OCB为等边三角形， ∴.OB=OC=BC=4,∠COB=60°， ∴.∠COD=180°-∠AOD-∠COB=180°-30°- 60°=90°， “阴影部分的面积=0-号×4X4=红一8 一题多解(1)由题图可得，∠ACD,∠CAD, ∠CAB所对的孤加起来为半圆， ∠ACD+∠CAD+∠CAB=2×180=90 又∠ACD+∠BAC=90°，∴.∠CAD=45° 巩固特圳 1.(1).DA=DC,.∠DAC=∠C 又∠DAC=∠DEB,∴.∠C=∠DEB, (2)如图，连接OE. .AE=BE, .∠AOE=90°， .OE⊥AB, (第1题) 474 ∠ADE=2∠A0E=2×90=45. .∠DAC=∠C=30°， ∴.∠DFB=∠DAC+∠ADE=30°+45°=75 旧纳总结本题考查了等腰三角形的性质、圆周 角定理及圆心角、孤、弦的关系，正确作出辅助线 是解题的关键， 2号或号 [解析]当点P在圆内时，因为点P到圆 上各点的最大距离是9，最小距离是2，所以圆的直 径为11，半径为号：当点P在圆外时，因为点P到 圆上各点的最大距离是9，最小距离是2，所以圆的 直径为7，半径为2故⊙0的半径等于号或号 11 3.C[解析]如图，连接OD,过 点D作DH⊥BC于点H, ,∠ABC=90°，∠ACB= 30°，AB=2,∴.AC=2AB= (第3题) 4,∴.BC=√AC2-AB2=√/4-2=23】 ,O为BC的中点，以O为圆心、OB长为半径作 半圆，交AC于点D,.BO=CO=DO=√3 .∠DOH=2∠ACB=60°，.∠ODH=30°， OH-ODDH-/OD-O 2 ∴.S阴影=S△ABc一S扇形OBD-SAoc=2V3X2X 1 60πX(W3)2 2 360 ×号 =26-登-3￥95v35 4 42 故选C. 知识拓展求不规则图形面积的方法：(1)相加 法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基 本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出 整个图形的面积；(2)相减法：这种方法是将所求 的不规则图形的面积看成若干个基本规则图形的 面积之差；(3)直接求法：这种方法是根据已知条 件，从整体出发直接求出不规则图形的面积； (4)重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开， 根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个 新的图形，设法求出这个新图形的面积即可. D48 举反白 1.(1)9[解析]由题意可知，圆锥形帐篷的底面积 为S≈3.14×(6÷2)2=28.26(m2), 28.26÷3=9.42, ∴.估计该帐篷最多可住9人 (2).圆锥高h=4m,底面半径r=6÷2=3(m), ∴.根据勾股定理，得母线长1=√，2+h= √32+4=5(m), “圆锥形帐篷的侧面积为2×5×6=15π(m2), 底面积为π×32=9π(m), .15π+9π=24π(m2). 故至少需要24πm2的涤纶布. 2.(1)如图，作半径OE⊥AB于点 H,连接OA,OB, 设∠AOB=n°，⊙O的半径为 R cm. (第2题) :B的长度为⊙0的周长的日， 了八2π义R三×2元R,解得n=60, 180 即∠AOB=60°，∴.OA=OB=AB=3cm, ∴.⊙O的直径为6cm. OH LAB,.AH-BH-7AB-cm, 0=V3-(-89(m. 故表盘⊙O的直径为6cm,表盘圆心O到表带边 缘A8的矩离为39cm (2)表带被表盘覆盖的面积（阴影部分）=2× 360 3由题位可知，一个地支的夹角为智-30 ,从“巳”时开始到“申”时结束走过的图形是扇形， 且圆心角为120°，.∠AOB=120°. 又晷面内圈的半径OA为24cm, S期形=120元X24 360 =192x(cm2), '.晷针投影在晷面上划过的图形面积是192πcm2.