第24章 一元二次方程 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（冀教版·新教材）

第二十四章 一元二次方程 知识梳理导图 只含有一个未知数，并且未知数的最高 方程有两个不 次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。定义 b2-4ac>0←→相等的实数根 ax2+bx十c=0(a≠0)。一般形式 概 根的判别式 方程有两个相 念 b2-4ac b2-4ac=0←→等的实数根 x2=a(a≥0)。直接开平方法 (1)将方程化为一般形式 根 62- 4ac<0←→方程无实数根 元二次 (2)将二次项系数化为1 配方法 方程 系 根与系数的关系： (3)将方程两边化为平方的形式 (4)开平方求解 十x2=- xix2-a 解 x=-b±y6-4ac(62-4ac≥0) 法 增长率问题 2a 公式法 际 利润问题 (x+a)(x+b)=0, 则x1=一a,x2=一b 因式分解法 用 几何图形问题 重难疑点解法 上分点1利用一元二次方程的根求值 (1)x2-2x-5=0;(2)(x-2)2=3x-6. 例①(2026·北京海淀区师达中学月考)已知a是 名师启发(1)运用配方法进行解方程即可； (2)先移项，再运用因式分解法进行解方程即可. 方程2x2-3x-1=0的一个根，求代数式2a(2a 3)+1的值 名师启发一元二次方程的解是使方程左右两 边相等的未知数的值，据此把x=a代入原方程可求 出a(2a一3)=1，据此利用整体代入法求解即可. 归纳总烤 本题考查解一元二次方程，熟知解一元二次方 程的方法 因式分解法和配方法是解题的关键. 个关建提醒 根的判别式和根与系数关系的 本题主要考查了一元二次方程的解的定义及 上分点3 应用 代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键. 例3(2026·四川眉山东坡区苏辙中学期末)已知关 于x的方程b(x2-1)+2a.x+c(x2+1)=0,其中a, 分上分点2解一元二次方程 b,c分别为△ABC三边的长. 例2(2026·河南平顶山鲁山期末)用适当的方法 (1)若x=一1是方程的根，试判断△ABC的 解下列方程： 形状； 6 第二十四章 (2)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套， 的形状 且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ 名师启发(1)把x=一1代入一元二次方程 (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把 b(x2-1)十2ax十c(x2+1)=0,得出a=c,即可得出 这21天生产的汤圆在10天内销售完毕.据统计，每 △ABC的形状；(2)根据方程有两个相等的实数根， 袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售 得出4a2+4(b+c)(b-c)=0,即可得出a2+b2= 出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋.汤 c2,说明△ABC为直角三角形， 圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促 销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋 的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则 促销时每袋应降价多少元？ 名师启发(1)设总共生产了a袋手工汤圆，利 用生产汤圆馅和汤圆粉恰好花费21天列出方程即 可；(2)设促销时每袋应降价x元，利用最终获利 40500元列出方程即可. 关键提喝 本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三 角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，根据一元 二次方程根的情况，得出a,b,c之间的数量关系 是解题的关键. 上分点4一元二次方程的应用 例4(2026·石家庄八十一中期中)正月十五是中 华民族传统的节日一元宵节，家家挂彩灯、户户吃 关建提睡 汤圆已成为世代相沿的习俗.位于北关古城内的盼盼 手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋 本题考查了一元一次方程的应用以及一元二 装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤 次方程的应用，解题的关键：(1)找准等量关系，正 汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤 确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出 汤圆粉（每天只能生产其中一种）. 一元二次方程，需要注意分情况讨论。 易错易混辨析 易错点1 利用公式法解方程时没有把方 辨析归纳 程化为一般形式 把选项中各方程都化为一般式后，即可发现 例下列方程中，可以利用公式x= A,C,D中的方程相同，应利用公式 -(-5)±√(-5)2-4×6×3 -(-5)士√/(-5)2-4×6×(-3) 求方程的根的是( 求方程的根，排 2×6 2×6 A.6x2-5x-3=0B.6.x2=5x-3 除；选项B中方程化为一般式后为6x2一5x十3= C.6x2-5x=3 D.6x2=3+5x 0,可利用题目中的公式求方程的根，符合题意 答案B 7 实验班提优训练数学九年级上HBJY 巩固特划 )易错点3忽略对方程的根的取舍造成错误 1.(2026·广东汕头龙湖区期末)解方程x2=3x十2时， 例3基本事实：“若ab=0,则a=0或b=0”. 小海同学解答如下： 方程x2一x一6=0可通过因式分解化为(x一3)(x十 解：原方程中，a=1,b=3,c=2.第一步 2)=0,由基本事实得x一3=0或x十2=0，即方程的 b2-4ac=32-4×1×2=1.第二步 解为x=3或x=-一2. x=-b士=4ac=二3生出，第三步 (1)试利用上述基本事实，解方程：3x2一x=0; 2a 2 (2)若实数m,n满足(m2+n)(m2+n2-1) 即x1=一1或x2=-2.第四步 6=0,求m2十n2的值. 所以，原方程的根是x1=一1，x2=一2.第五步 答案(1)由原方程，得x(3x一1)=0， (1)上述解题过程从第 步开始出现错误； 所以x=0或3x-1=0, (2)请写出完整的正确解题过程. 解得x1=0x2=3 (2)t=m2十n2(t≥0)， 则由原方程，得t(t一1)一6=0. 整理，得(t-3)(t十2)=0. 所以t=3或t=一2（舍去）. )易错点2】 利用根与系数的关系求值时漏 掉判别式的条件 故m2十n2的值是3. 例2下列一元二次方程：①3x2+2x-1=0; 辨析伯纳 ②3x2-6.x+1=0;③3x2-6.x+4=0;④3x2+6.x+ 本题主要考查了因式分解法和换元法解一元 2=0.其中，两根之和为2的方程有(). 二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设 元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将 A.1个B.2个 C.3个D.4个 答案A 问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标 准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理 辨析伯纳 ①方程的两根之和为 3,排除；②方程的两 饥固特训 根之和为一3=2，正确：③根据根的判别式可知， 3.某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号 汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现： 方程没有实数根，排除；④方程的两根之和为 当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周 6 3 =一2，排除 售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出 1辆.若该店计划平均每周的销售利润是90万元， 巩固特划 为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价. 2.已知关于x的一元二次方程2x2一8x+3m一3=0. (1)若方程有一个根为0，求m的值和另一根； (2)试取m的一个整数值，使方程有两个根都是正 整数，写出m的值，并求此时方程的解. 8 第二十四章 素养考向提分 新情境 量逐年增加，到2026年该茶园的单位面积产茶量 例①(2026·山西大学附中月考)12月10日，中央 达到了72千克.请你计算该茶园这两年单位面积 产茶量的年平均增长率. 广播电视总台发布2026年春晚的主题为—“骐骥 驰骋，势不可挡”.《楚辞·离骚》中写道：“乘骐骥以驰 骋兮，来吾道夫先路.”“骐骥”是古人对骏马、千里马 的雅称，凝聚着中华民族开拓进取、驰而不息的精神 品格；又音同“奇迹”，传递出创造奇迹的决心和一往 无前的信心，饱含对新时代新征程满怀期冀的美好愿 景.春节来临之际，商场以80元/件的进价购进一款 印有“骐骥驰骋纹”的卫衣.试销发现：当售价为 120元/件时，平均每天能卖出60件；若这种卫衣的售 新考法 价每下降5元，则平均每天能多售出20件.商场要使 销售此款卫衣平均每天的利润为3000元，且尽可能 例2(2026·山东聊城期中)定义：我们把关于 让利于消费者，每件卫衣应降价多少元？ x的一元二次方程a.x2十bx十c=0与cx2十bx十a 解析设每件卫衣应降价x元，则每件卫衣的销 0(ac≠0，a≠c)称为一对“友好方程”.如2x2一7x十 售利润为(120一x一80)元，平均每天可售出(60+ 3=0的“友好方程”是3x2一7x+2=0. 4x)件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可 (1)写出一元二次方程x2十3x一10=0的“友好 列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再 方程”： 结合要尽可能让利于消费者，即可确定结论， (2)已知一元二次方程x2十3x一10=0的两根 答案设每件卫衣应降价x元，则每件卫衣的销 为x1=2,x2=一5，它的“友好方程”的两根x3= 售利润为(120一x一80)元，平均每天可售出60+ ,x4= 根据以上结论，猜想ax2+ 言×20=(60+4红)作， bx十c=0的两根x1,x2,与其“友好方程”cx2十bx十 a=0的两根x3,x4之间存在的一种特殊关系为 根据题意，得(120一x一80)(60+4x)=3000, 整理，得x2一25x十150=0， (3)已知关于x的方程2024x2+b.x+c=0的两 解得x1=10,x2=15. 要尽可能让利于消费者， 根是x1=-1,x。一2024，请利用(2)中的结论，求出 .x=15. 关于x的方程c(x一1)2十bx一b=一2024的两根. 故每件卫衣应降价15元. 解析(1)根据“友好方程”的定义，即可得答案； (2)先写出x2十3x-10=0的“友好方程”，然后 问点拔本题考查了一元二次方程的应用，找准等 再解得其“友好方程”的根，通过观察，可猜想出原方 量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 程与其“友好方程”两根之间的关系； (3)由(2)可知，cx2+bx+2024=0的两个根分 释反9 别是x3=-1,x4=2024,将c(x-1)2+bx-b= 1.女娲银峰绿茶富含人体必须的硒、锌等微量元素， 一2024整理为c(x一1)2+b(x一1)十2024=0，那么 冲泡汤色嫩绿清澈，入口滋味醇厚鲜爽，堪称中国 有x-1=一1或x一1=2014，从而解得答案， 高档名茶.某茶叶园2024年的单位面积产茶量 答案(1)10x2-3x一1=0提示：由“友好方 为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产茶程”的定义可知，一元二次方程x2+3x一10=0的“友 94 实验班提优训练数学九年级上HBY 好方程”为-10x2+3x+1=0,即10x2-3x一1=0. 根方程”，求代数式n的值 互为倒数提示：由(1)可知，一 元二次方程x2十3x一10=0的友好方程为10x2一 3x-1=0, 1 解得x3= 2x4=一 5 观察可知，x1·x3=2X 2=1,x2·x4=-5X ()=1, 3.(2026·福建福州平潭一中期中)阅读材料： 所以猜想ax2十bz十c=0的两根x1,x2,与其 材料1：关于x的一元二次方程ax2十bx+c=0 “友好方程”cx2十bx十a=0的两根x3,x4之间存在 (a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a,b,c有如下 的一种特殊关系是互为倒数. a,i=t a (3)已知关于x的方程2024x2+bx十c=0的两 关系：十2= 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的两个实 1 根是x1=-1,x2=2024 数根分别为m,n,求m2n十m2的值 则cx2十bx十2024=0的两个根分别是x3= 解：.m,n是一元二次方程x2一x一1=0的两个 -1,x4=2024, 实数根， 将c(x-1)2十bx一b=一2024整理为c(x一 ∴.m+n=1,mn=-1. 1)2+b(x-1)+2024=0, 故m2n+m2=mm(m+n)=-1X1=-1. 那么有x-1=-1或x-1=2024, 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 即x5=0,x6=2025, (1)应用：一元二次方程2x2+3.x-1=0的两个实 所以关于x的方程c(x-1)2十bx-b= 数根为x1,x2,则x1十x2= ,x1℃2= 一2024的两根为x=0或x=2025. 各 (2)类比：已知一元二次方程2x2+3x一1=0的两 本题主要考查了新定义问题、一元二次方 个实数根为m,n,求m2十n2的值； 程的一般形式、一元二次方程的解，用因式分解 (3)提升：已知实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+ 法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用 新定义是解题的关键 数-1-0且，水的值 样反白 2.如果关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0有两 个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么 称这样的方程为“三倍根方程”.例如：方程x2 4x+3=0的两个根是1和3，则这个方程就是“三 倍根方程” (1)方程x2-12x十27=0 (填“是”或“不 是”)“三倍根方程”； (2)若关于x的方程x2一8x十c=0是“三倍根方 程”，求c的值； (3)若x2-(m+n)x+mm=0是关于x的“三倍 1087.6(分). 87.4<87.6,.乙班将获胜 第二十四章一元二次方程 例①由条件可知2a2-3a-1=0, .2a2-3a=1,∴.a(2a-3)=1, ∴.2a(2a-3)+1=2×1+1=3. 例2(1).x2-2x-5=0, .x2-2x=5, .x2-2x+1=5+1, 即x2-2x+1=6, ∴.(x-1)2=6, .x-1=土√6， .x1=1+√6，x2=1-√6. (2).(x-2)2=3x-6, .(x-2)2=3(x-2), ∴.(x-2)2-3(x-2)=0, .(x-2)(x-2-3)=0, ∴.x-2=0或x-5=0, .x1=2,x2=5. 例3(1)，x=-1是一元二次方程b(x2-1) 2ax十c(x2+1)=0的根， .-2a+2c=0,∴.a=c, ∴△ABC为等腰三角形 (2).b(x2-1)+2a.x+c(x2+1)=0, .(b+c)x2+2ax+(c-b)=0. 方程有两个相等的实数根， ∴.△=4a2+4(b+c)(b-c)=0, ∴.a2+b2=c2, ∴.△ABC为直角三角形 例4(1)设总共生产了a袋手工汤圆， 依题意，得十00-21，解得a=90 故总共生产了9000袋手工汤圆. (2)设促销时每袋应降价x元，当刚好10天全部卖完时 依题意，得225×2×(25-13)+8(25-13-x) (25+5x)=4050, 整理得x2-6.x十45=0. .△=b2-4ac=62-4×45=-144<0, ∴.此方程无解，即第10天不能全部销售完， ∴.第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋 的价格全部卖给古城小吃店的利润为(15一13)· [900-2×25-8(25+5+)]=(1350-60x)元， ∴25×2x(25-13)+8(25-13-x)(25+75x)+ 13500-600x=40500, 解得x1=0,x2=4. 是促销， ∴x=4.故促销时每袋应降价4元. 巩固特训 1.(1)一[解析]，原方程没有变形为一般形式就 进行求解， ∴解题过程从第一步开始出现错误。 (2)x2=3x+2, 原方程可变形为x2一3x一2=0， .a=1,b=-3,c=-2, .△=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17, x=-b±6-4ac_3±17 2a 2 x,=3+17 x2317 2 2 关键提醒本题考查了解一元二次方程，熟练掌 握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键. 2.(1)由条件可知3m-3=0, 解得m=1, .原方程化为2x2-8x=0, 分解因式得2x(x一4)=0， 解得x1=0,x2=4, .方程的另一根为x=4. (2)设关于x的一元二次方程2x2一8x十3m 3=0的两个根分别为x1,x2, 侧有名-子 2 方程有两个根且都是正整数， 13m-3>0, 4=(-8)2-4×2(3m-3)≥0， 解得1<m<号当m=2时&=名，此时 3 x2不都是正整数，因此m-2不符合题意；当m= 374 3时，x1x2=3, 原方程为2x2一8x十+6=0， 整理，得x2一4x十3=0， 分獬因式可得(x一1)(x-3)=0, 解得x1=1,x2=3. 综上，m=3,方程的解为x1=1,x2=3. 旧纳总结本题考查了一元二次方程根与系数的 关系、一元二次方程的解及解一元二次方程；若一 元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两个根分别 为1，剥有十4=一合1=离练字 a 握以上知识点是关键， 3.设每辆汽车降价x万元， 根据题意，得(25-x-15)(8+2x)=90, 解得x1=1,x2=5, 当x=1时，销售数量为8十2×1=10（辆）； 当x=5时，销售数量为8十2×5=18（辆）. 为了尽快减少库存，∴x=5,此时每辆汽车的售 价为25-5=20（万元）. 故每辆汽车的售价为20万元. 释反白 1.设该茶园这两年单位面积产茶量的年平均增长率 为x, 根据题意，得50(1十x)2=72, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去) 故这两年单位面积产茶量的年平均增长率为 20%. 关键提醒本题考查一元二次方程的应用，关键 是根据题意找到等量关系 2.(1)是[解析]解方程x2-12x十27=0，得x1= 3,x2=9, ∴.x2-12x十27=0是“三倍根方程”. (2)设方程的两根为t,3t, 则t+3t=8,t·3t=c, 解得t=2,∴.c=2×6=12. (3)设方程的两根为a,3a, 则a十3a=m十n,a·3a=mn, 即m+n=4a,mn=3a2, m 3a2 3 …m2+n2(m+n)2-2m16a2-2X3a210 ，38 -8- 2 (2).一元二次方程2x2十3x-1=0的两根分别 为m,n, 六m十n=-3 1 mm=-2, 六m2+n2=(m+n)2-2mm= 4+1= 13 41 (3).实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1= 0且s≠t, .st是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实 数根， 3 :(t-)2=(+)2-4t=(-)}°-4× （》---, 11= -=士17. s t st 1 2 第二十五章图形的相似 D吕第折设2-}日-则一及y xy之 公，5.F2x+4y一之及十b一台1 4 5 kkk 17 x-3y十5z312,251616 及一及F及及 ⑤DB[解析]由条件可得AP-5。己AB, .'AB=4 cm, ÷AP=5,X4=(2w5-2)cm.故选B. 2 例3D[解析]过点A作与五线谱垂直的直线。 五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成 的，0-是AB=9BC=3,放选D 例4C 例5在平行四边形ABCD中. 'ADBC,AB∥CD ∴.∠ADN=∠DMC,∠B+∠C=180°. ,∠ANM=∠B,∠AND+∠ANM=180°，