第1章 有理数 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年七年级上册数学提优训练（青岛版·新教材）

第1章 有理数 知识梳理导图 0既不是正数，也不是负数 正数和负数 在数轴上，表示数a的点到原点的 距离叫作这个数的绝对值，记作|a 正整数、零和负整数统称整数 正数的绝对值是它本身 正分数和负分数统称分数 分类 绝对值 负数的绝对值是它的相反数 整数和分数统称有理数 0的绝对值是0 规定了原点、正方向和 有理数 互为相反数的两个数的绝对值相等 单位长度的直线叫作数轴数轴 大小比正数大于0，负数小 如果两个数只有符号不同， 较法则于0，正数大于负数 那么我们称其中一个数为另 两个正数比较大小，绝 一个数的相反数，也称这两 对值大的数大 个数互为相反数 有理数 利用绝对值比较两个负数比较大小， 在数轴上，表示一个非零 数与它的相反数的两个点 相反数 的大小 绝对值大的反而小 分别位于原点两侧，并且 借助数 在数轴上右边的点所表示的 与原点的距离相等 轴比较 数比左边的点所表示的数大 重难疑点解法 分上分点1正数和负数 分别填入相应的大括号内， 例①(2026·天津南开区田家炳中学月考)在跳远比 -2,-47,0,-元，12,0.62，-2.2，-7,3· 赛中，合格的标准为2.00m,小菲同学跳了2.12m被 负有理数：{ …}; 记为+0.12m,那么小燕同学跳了1.95m可记为 正分数：{ …}； (). 非负整数：{ …}. A.+0.05m B.-0.05m 名师启发 根据有理数的分类，观察各数的特 C.+1.95m D.-1.95m 征，可得答案， 名师启发在一对具有相反意义的量中，先规定 方法技巧 其中一个超过标准的为正，则另一个不到标准的就用 本题主要考查了有理数的分类，熟知负有理 负表示，即可解决 数、正分数、非负整数的定义与特点是解答本题的 少归纳总结 关键。 本题主要考查了正负数的意义，解题的关键是 理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相 分上分点3数轴 反意义的量 例3如图，数轴上的A,B,C三点所表示的数 分别为a,b,c,且原点为O,根据图中各点位置，下列 分上分点2有理数的分类 四个式子的值最大的是(). 例2(2025·江苏徐州三十六中期末)把下列各数 实验班提优训川练数学七年级上QD A.lal+1b B.lal+lc (1)a= ,b= C.a-cl D.6-c 7 名师启发根据绝对值的意义以及数轴与绝对 (2)写出大于一2的所有负整数： 值的关系分别判断即可 (3)在数轴上标出表示一0，--1，一6-1 归纳总结 本题的解题关键是理解绝对值的含义以及用 的点，并用“>”连接起来。 绝对值表示两点之间的距离。 名师启发(I)根据点M表示的数即可求出a, 再求出b即可； 上分点4相反数与绝对值 (2)根据有理数的大小比较法则即可得出答案； (3)先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可， 例4(2026·聊城甘泉高级中学月考)下列各组数 中，结果互为相反数的是(). A.-(十6)与 B.-1-71与11-8 C.-(-5)与1-51 D.+(-9)与-|-9 名师启发利用绝对值的性质以及相反数的定 义分别分析即可. 归纳总结 本题考查了绝对值的性质以及相反数的定义， 解题的关键是掌握相反数的定义， 上分点5有理数的大小比较 例5(2026·重庆恭江区期末)已知有理数a,b,☆方法技巧 其中数a在如图所示的数轴上对应点M,b是负数， 本题考查了有理数的大小比较及数轴的知识， 且b在数轴上对应的点与原点的距离为4. 关键是掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的 M 点表示的数大。 4-3-2-101之3 易错易混辨析 )易错点1理解概念“主观臆断” 分数；负有理数分为负整数、负分数 例1下列说法正确的是(). 答亲D A.一个有理数不是正数就是负数 辨析伯纳 有理数分类的注意点：(1)分类必须有标准，分 B.有理数可以分成整数、分数、正有理数、零、负 有理数这五类 、 类标准不同，分类结果就不同. C.一个整数不是正整数就是负整数 (2)分类应不重不漏，即在同一种分类标准下，任意 D.以上三种说法都不正确 一个数属于且只能属于其中的一类，但在不同的分 解析本题考查有理数的分类.有理数有两种分 类标准下，同一个数，有可能同时属于几类。 类方法：一是按有理数的“整与不整”可分为整数和分 数，其中的整数又分为正整数、0、负整数，分数可分为 巩固特训 正分数、负分数，二是按有理数的性质可分为正有理1，如图是小明同学的课堂小测卷，他的最终得分为 数、0、负有理数，而其中的正有理数又分为正整数、正 (). 2 第1章 小测卷 点的距离为4，那么点A所表示的数是 判断题：每题10分 解析由题可知，当点A在原点的左边时，点A (1)零既不是正数也不是负数；（√） 所表示的数是一4；当点A在原点的右边时，点A所 (2)有理数不是整数就是分数；（√） 表示的数是4，则点A所表示的数是一4或4. (3)整数一定是正数；(×) 答案4或-4 (4)-a一定是负数；（√） 辨析归纳 (5)负整数和负分数统称为有理数.（√） 本题考查数轴上点与点之间的距离，注意分类 讨论，熟练掌握数轴上，点的特征是解题的关键. (第1题) A.50分 B.40分 视固特训 C.30分 D.20分 2.(2025·菏泽定陶区期中)数轴上，将点A平移7个单 )易错点2考虑不全面导致漏解 位长度到达点B,则点B表示的数1，点A表示的 例2(2025·上海杨浦区期末)在数轴上，点A到原 数是 素养考向提分 新情境 城市四个路段在早高峰时的TMC值：甲：一2，乙：1， 例①某邮局检修队在东西走向的公路检修线 丙：一3，丁：0.则最拥堵的路段是(). A.甲 B.乙C.丙 D丁 路，规定向东为正，向西为负，某天自点A出发到收工 2.(2025·淄博桓台期末)在抗洪抢险中，解放军战士的 时所走路程为（单位：千米）：十10，一3，+4，一8， 冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨 +13,-2,+7,+5,-5,-2. 从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向， (1)收工时，检修队距点A的距离是 千米； 当天的航行路程记录如下（单位：千米）： (2)若每千米耗油0.3升，问从点A出发到收工， +14,-9,+8,-6,+13,-6,+12,-5. 共耗油多少升 (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距 解析(1)分别计算出向东和向西走的路程，即 离A地多少千米， 可得出收工时检修队距点A的距离. (2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升， (2)将所有数据的绝对值相加，再乘每千米的油 求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油， 耗即可得解。 答案(1)19 (2)(10+|-3|+4+|-8|+13+|-21+7+5+ 1-51+1-2)×0.3=17.7(升) 故从点A出发到收工共耗油17.7升. 点拨 本题考查了正数和负数，熟悉正负数的意 义是解题的关键。 释反自 1.(2026·烟台蓬菜区期末)手机导航中常用“TMC”(交通 信息频道)来实时反映路况拥堵情况.通常用“一3”到 “3”之间的整数表示，数值越小表示越拥堵.以下是某 3 实验班提优训练数学七年级上QD 3.(2025·天津和平区十九中月考)商人小周于上周日收购 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用 某农产品10000kg,每千克2.3元，进入批发市场后 纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如 共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000kg该农 “⊥T=m”表示的数是6729，“LT ”表 产品，每个摊位市场管理价为每天20元，批发市 示的数是6709.若已知一个用这种方式表示的四位 场该农产品上周日的批发价为每千克2.4元，下 数中含有“”“兰”和两个空位，则这个四位数 表为本周内该农产品每天的批发价格比前一天的 是 涨跌情况（涨记为正，跌记为负）： 解析由题意知，在四位数中，个位用纵式，十位 星期 三 四 五 用横式，百位用纵式，千位用横式，故千位是横式的9， 与前一天 纵式的1在百位或者个位. 的价格涨 +0.3 -0.1 +0.25 +0.2 0.5 答案9100或9001 跌情况/元 当天的交 ⊙点拔】 题考查数字的变化规律，根据题意确定 2500 2000 3000 1500 1000 易量/kg 千位是横式的9是解题的关键， (1)星期四该农产品批发价格为每千克多少元？ (2)本周内该农产品的最高批发价格为每千克多 举反白 少元？最低批发价格为每千克多少元？ 4.《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负 (3)小周在销售过程中采用逐步减少摊位个数的 以名之.”意思是：“今有两数若其意义相反，则分 方法来降低成本，增加收益，这样他在本周的买卖 别叫作正数和负数.”如果气温升高6℃时气温变 中共赚了多少钱？请你帮他算一算， 化记作+6℃，那么气温下降6℃时气温变化记作 ℃. 跨学科 例3(2026·四川绵阳平武期末)弹簧振子是物理 学中研究简谐振动规律的理想化模型，在实际生活 中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统.如图 是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态 向右拉伸3cm记作+3cm,则弹簧振子从自然状态 向左压缩2cm记作( 000000 传统文化 OO000000 例2算筹是在珠算发明以前我国独创并且有 /00000000 效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的 A.++2 cm B.-2 cm 贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式 C.-1 cm D.+1cm 来表示数字，如表： 解析 ,“向左压缩”与“向右拉伸”是一对具有 数字 相反意义的量，且规定了向右拉伸为正， 形式 向左压缩就为负，弹簧振子从自然状态向左 纵式 压缩2cm应记作-2cm. 横式 答案B 第1章 辨析归纳- 离表示为BC=|3一1|，A,C之间的距离表示为 本题主要考查正负数的意义，解题关键在于理 AC=|3-(-2)川=|3+21.若点P在数轴上表示 解“正”和“负”所代表的实际意义， 的数为x,则P,A之间的距离表示为PA=|x一 (一2)|=|x十2|，P,B之间的距离表示为PB= 举反9 |x-1. 5.(2026·辽宁抚顺新抚区期末)初中常用部分元素常见 B 化合价如表所示，其中化合价最小的元素是 古43之10十46 (1) ) (1)如图(1). 元素 氧0 镁Mg 氯CI 铝A1 ①若PB=5,则P的值x= 化合价 -2 +2 -1 +3 ②若点P在线段AB上，化简|x十2|+|x一1|= A.氧O B.镁Mg C.氯CI D.铝Al 新考法 ③由图(1)可知，|x+2+|x一3|的最小值是 例④若在正方形的四个顶点处按逆时针依次 (2)请按照(1)问的方法思考：x+3|+x一1|十 标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数 |x一2的最小值是 轴上，其中“中”“华”对应的数分别为一2和一1，如 (3)如图(2)，在一条笔直的街道上有E,F,G,H 图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右 四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为 无滑动地翻滚.例如，第一次翻滚后“振”所对应的数 200m.已知E,F,G,H四个小区各有2个，2个， 为0，则连续翻滚后数轴上数2026对应的字是 3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学， ( 安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇 -65-4-3-2-10123456 合，再一起去学校.聪明的小朋友们通过分析，发 A.振B.兴C.中D.华 现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区 解析根据规律可知，数轴上的数与字的对应关 门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇 系，“中”字对应的数是除以4余2的，“华”字对应的 合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇 数是除以4余3的，“振”字对应的数是能被4整除 合地点的路程之和的最小值. 的，“兴”字对应的数是除以4余1的，由此可得连续 E (2) 翻滚后数轴上数2026对应的字. .2026÷4=506…2, (第6题) .数字2026对应的字是“中” 答案C ⊙点拨 本题考查了与数轴有关的规律探究，根据 翻滚的变化规律确定出每4次翻滚为一个循环 组是解题的关键」 举反目 6.(2026·四川德阳广汉中学月考)已知数轴上两个点之 间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值. 如图(1)，在数轴上点A表示的数为一2，点B表 示的数为1，点C表示的数为3，则B,C之间的距 5答亲6D详解 第1章有理数 综上所述，点A表示的数是一6或8. 例1B[解析]“正”和“负”相对，所以小菲跳了 举反€ 2.12m,比标准多0.12m,记为+0.12m,小燕跳了 1.C 1.95m,比标准少0.05m,应记作-0.05m. 2.(1)由题意，得向东航行的路程为14+8+13+12 故选B. 47(千米)，向西航行的路程为9+6+6+5=26（千 米)，47-26=21（千米）. 例2负有理数： -2,-47,-2.2,- 故B地位于A地的东边，距离A地21千米， (2)这一天走的总路程为14+|一9|+8+|一6+ 正分数：0.62,3，“ 13+|-61+12+|-5=73(千米)， 非负整数：{0,12，…. 应耗油73×0.5=36.5（升）， 还需补充的油量为36.5一28=8.5（升）. 例3A[解析]由数轴和绝对值的意义，得a|+ 故冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充8.5升油. |b表示点A与点B之间的距离，a+|c|表示点A 3. (1)因为2.4+0.3-0.1+0.25+0.2=3.05（元）， 与点C之间的距离，|a一c|表示点A与点C之间的 所以星期四该农产品批发价格为每千克3.05元. 距离，b一c|表示点B与点C之间的距离，由数轴上 (2)星期一的批发价格是2.4十0.3=2.7（元）； 各点的位置可知a|+b|的值最大.故选A. 星期二的批发价格是2.7-0.1=2.6（元）； 例4B[解析]A.-(+6)=-6,故-(+6)与 星期三的批发价格是2.6+0.25=2.85（元）； 一名不互为相反数，不符合题意， 星期四的批发价格是2.85+0.2=3.05（元）； 星期五的批发价格是3.05-0.5=2.55（元）. B.-|-7|=-7,1-81=7,故--7|与|1-8互 故本周内该农产品的最高批发价格为每千克 为相反数，符合题意； 3.05元，最低批发价格为每千克2.55元 C.-(-5)=5,1-5引=5，-(-5)与-5不互为相 (3)[(2.7-2.3)×2500-20×5]+[(2.6-2.3)× 反数，不符合题意； 2000-20×4]+[(2.85-2.3)×3000-20× D.+(-9)=-9,-|-9|=-9,+(-9)与-|-9 3]+[(3.05-2.3)×1500-20×2]+[(2.55 不互为相反数，不符合题意， 2.3)×1000-20×1]=(0.4×2500-100)+ 故选B. (0.3×2000-80)+(0.55×3000-60)+ 例5(1)2-4[解析]由题意可得a=2, (0.75×1500-40)+(0.25×1000-20)=900+ b=0-4=-4 520+1590+1085+230=4325(元).故他在本周的 (2)大于-乙的所有负整数是-3，-2，-1. 买卖中共赚了4325元. 4.-6 (3)-1-1|=-1,-b-1=3, 5.A[解析].-2<-1<+2<+3， 在数轴上表示如图所示： .所给元素中，化合价最小的是氧O. 故选A 2--10 M-b-1 4321 6.(1)①一4或6[解析]若点P在点B左侧，得 x=一4； 则6-1>0--1>- 若点P在点B右侧，得x=6. 故P的值x=-4或6. 巩固特却 ②3[解析]若点P在线段AB上，得x+2≥0， 1.C x-1≤0， 2.一6或8[解析]由题知， .x+2|+|x-1|=x+2-x+1=3. 当点A向左平移7个单位长度时， ③5[解析]当-2≤x≤3时，|x+2|+|x-3|的 →平移方向不确定，需分类付论 值最小，此时原式=(x十2)+(3一x)=5. 1+7=8, (2)5[解析]|x+3|+1x-1|+|x-21的几何 即点A表示的数是8. 意义是表示数x的点与一3,1,2三个数对应的点 当点A向右平移7个单位长度时， 的距离之和， 1-7=-6, 当数x=1时，距离之和最小，最小值为一3,2对应 即点A表示的数是一6. 两点间的距离， 34 ∴.|x+3|+|x-1+|x-2的最小值为5. 例5 A (3)如图， 例63.1[解析]π×(36000+6400)×2÷ E(FO MG H (3600×24)=π×(36000+6400)×2÷3600÷24≈ (第6题) 3.1(千米). 以其中一点F为原点建立数轴，则点E,F,G,H 故卫星在轨道上的绕行速度约为每秒3.1千米 四点分别表示一200,0,200,400，点M表示的数 为x,则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程 见固特训 之和表示为2|x+200|+2|x|+3|x-200|+ 1.(1)原式=10+3-5=13-5=8. |x-4001, (2)原式=16+12÷4×(-5)=16+3×(-5)= 当x满足0≤x≤200时，该距离之和最小， 16-15=1. ∴.2x+200|+2|x|+3x-200+|x-400|, 易错警示本题考查了有理数的运算，注意按照 =2(x+200)+2x+3(200-x)+(400-x), 正确的运算顺序计算. =1400, 2.(1)①除以一个数相当于乘这个数的倒数 .汇合地点M的位置在FG之间时，所有小朋友 ②同级运算应按从左到右的顺序依次进行计算 从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值 为1400m. 25÷(号-22-2)÷6=5()×6-5× 方法技巧本题考查了数轴，绝对值的几何意义 以及绝对值的化简，理解题中的方法是解决问题 的关键. 举反自 第2章有理数的运算 1.(1)-3×2+4×1-1×3+2×3-5X2 例1D[解析].|(-3)+)1-(-8)=15， =-6+4一3+6-10 =-9. ∴.1(-3)+○1=7， 故这天仓库的原料比原来减少9吨. .(-3)十○=7或(-3)十=-7， (2)选用方案二较合适.理由如下：方案一：(4× .被污损的地方表示的数为10或一4.故选D 1+2×3)×5+(3×2+1×3+5×2)×8=50+ 例2-4816 152=202(元)， 例3(1)相等.理由如下： 方案二：(3×2+4×1+1×3+2×3+5×2)×6= .(3×4)2=122=144,32×42=9×16=144,且 29×6=174(元). [-号)x9]=(-3=9.(-3）°×9=日×81= 因为174<202，所以选用方案二运费较合适 2.3.14[解析]用四舍五入法，把3.1415926精确 9,.每组两个算式的结果相等。 到0.01，所得到的近似数为3.14， (2)(ab)3=a3b3 思路引得本题考查了近似数，根据四舍五入法， (3)(ab)”=a"b”.理由如下： 把3.1415926精确到0.01，则观察千分位的数字 (ab)"=(ab)·(ab)·…·(ab) 与5的大小关系，若大于或等于5，则进一位，否 n个 则就舍去，即可作答 =a·a·…·0·b·b·……b 3.3752=3×83+7×82+5×81+2=1536+448+ 个 n个 =a"b" 40+2=2026. 例41或-3[解析]由条件可知a十b=0,cd=1. 4.(1)5(2)7 (3)2或一8[解析].|x+3=5,.x+3=士5， ,m是最小的正整数， ∴.x=2或一8. .lml=1,即m=1或m=-1. 当m=1时，2m+2026a+)-d=2X1+202sx0 (4)-3,一2，一1,0,1,2[解析]一3与2两数 在数轴上所对应的两点之间的距离是5，∴.使得 a a 1=2+0-1=1; |x+3|+|x一2=5成立的整数是-3和2之间 当m=-1时，2m+2026(a十b) 的所有整数（包括一3和2）， -cd=2×(-1)+ 这样的整数是一3，一2，一1,0,1,2. 5. 2026×0-1=-2+0-1=-3. 解法1：不对[解析]除法没有分配律 a ①先计算原式的倒数（号品+合 2 综上，原式的值为1或一3. 35