专题13 一次函数的应用（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦一次函数的应用核心知识点，系统梳理从实际情境提取变量关系、列出解析式，到图像解读（横轴纵轴含义、交点起点终点），再到解决行程、费用方案、增减变化三类必考题型及求最值、比较方案的学习脉络，搭建完整知识支架。 该资料以模型化与情境化设计为亮点，通过行程问题中速度与路程、费用问题中单价与固定费用等实际情境，培养学生抽象能力（数学眼光），结合图像关键节点分析（如交点表示方案费用相等）提升推理意识（数学思维），典例与变式训练帮助学生用函数语言表达现实问题（数学语言），课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

专题13 一次函数的应用 1. 能从实际情境中提取变量关系，列出一次函数解析式； 2. 掌握图像读图能力：看懂横轴、纵轴、交点、起点、终点含义； 3. 熟练解决三类必考应用题型：行程问题、费用方案问题、增减变化问题； 4. 会利用一次函数求最值、比较两种方案优劣； 5. 掌握一次函数图像交点的实际意义，解决月考期中压轴小题、大题。 一、一次函数应用核心模型 实际问题绝大多数都符合：y=kx+b - k：变化速度、单价、速率、每千米费用 - b：初始量、起步价、初始距离、固定费用 二、三大必考题型模型 模型1：行程类问题（走路、骑车、行驶） - x：时间 - y：路程/距离 - k：速度 - b：初始距离（起点不在原点时） 图像解读： 1. 上升直线：远离起点 2. 下降直线：靠近起点 3. 水平直线：静止、停留（速度为0） 模型2：收费方案问题（打车、水费、电费、会员费） x：数量/里程 y：总费用 k：单价、每单位收费 b：固定起步价、会员费、保底费用 模型3：增减变化问题（蓄水、注水、降温、升温） k>0：增加、上升、注水 k<0：减少、下降、放水、降温 三、图像关键节点实际意义（考试最爱考） 1. 起点：初始状态（初始费用、初始距离） 2. 交点：两个方案费用相等 / 两人相遇 3. 终点：运动结束、计费截止 4. 交叉前后：判断谁更省钱、谁速度快、谁在前面 四、两种方案比较万能思路 已知方案①y1=k1x+b1;方案② y2=k2x+b2 1. 交点处：y1=y2，两种方案一样 2. 交点左侧：某方案更优 3. 交点右侧：另一方案更优 五、实际问题自变量取值范围 所有生活应用题，x不能为负数 常见限制： 人数、个数：x>0 整数 时间、路程：x>0 六、高频易错点 1. 一般的，图像水平线段=静止，不是匀速运动； 2. 交点是“相等时刻”，不是最大值最小值； 3. 实际函数图像大多是射线、线段，不是整条直线； 4. 求最值必须看自变量取值范围，不能直接看解析式。 题型01 行程图像读图题 【典例】一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶路程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．轮船的速度为km/h B．轮船比快艇先出发 C．快艇的速度为km/h D．快艇比轮船早到 【变式】甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（    ） A．甲车的平均速度为60km/h． B．乙车的平均速度为100km/h． C．甲乙两车在10：00时相遇． D．乙比甲车先到达B地． 题型02 费用建模：列一次函数解析式 【典例】小明用20元零花钱购买水果慰问老人，已知水果单价是每千克4元，设购买水果x千克用去的钱为y元，用图象表示y与x的函数关系，其中正确的是（　　） A．B．C． D． 【变式】某电器进价为250元/台，售价为400元/台，若售出x台，售出x台的总利润为y元，则y与x之间的关系式为________． 题型03 两种方案对比最优选择（大题必考） 【典例】某电信公司推出了A，B两种手机上网套餐，每种套餐一个月的手机上网费用y（元）与上网时间x（分钟）之间的关系如图，如果顾客一个月上网300分钟，那么选择套餐 _______（填A或B）产生的费用比较高，高 __________ 元． 【变式】某电信公司推出两种手机套餐收费方式：A种方式月租20元，B种方式月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t（min）与所需电话费s（元）的函数关系如图所示，当打出电话150min时，这两种收费方式的电话费相差________元． 题型04 蓄水、增减变化应用题 【典例】一水池蓄水，打开阀门后每小时流出，放水后池内剩余的水量Q与放水时间t（时）的函数关系用图象表示为（    ） A．B．C． D． 【变式】“漏壶”是一种古代计时器，如图所示，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出，壶内壁画有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，下列图象能表示y与x对应关系的是（    ） A． B． C． D． 题型05 利用一次函数求最值 【典例】某地长途汽车站规定前来乘车的旅客可以免费随身携带一定质量的行李，如果行李质量超过规定，则应交纳行李费，行李费用y（元）与行李质量x（千克）之间的关系可以用如图所示的图象表示，请观察图象回答下列问题： 旅客最多能免费携带多少千克的行李？ 【变式】10．如图，直线与 x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为上一动点，当的值最小时，点P的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为．则关于的函数解析式是（   ）    A． B． C． D． 2．“千里游学，古已有之”，两名老师带领x名学生到某红色旅游景点研学，此次研学每位老师的费用为元，每位学生的费用为元．设研学的总费用为y元，则y与x的函数关系为（    ） A． B． C． D．        3．一蓄水池中有的水，打开排水阀门开始放水后水池中的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 … 水池中的水量/ 48 46 44 42 … 下列说法不正确的是（ ） A．蓄水池每分钟放水 B．放水18分钟后，水池中的水量为 C．放水25分钟后，水池中的水量为 D．放水12分钟后，水池中的水量为 4．甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（    ） A．甲车的平均速度为60km/h． B．乙车的平均速度为100km/h． C．甲乙两车在10：00时相遇． D．乙比甲车先到达B地． 5．物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（    ） 拉力/N 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度/cm 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 22.0 A．24cm B．25cm C．25.5cm D．26cm 6．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥施用量一定时，土豆产量与氮肥施用量有如下表所示的关系： 氮肥施用量 0 土豆产量 通过阅读表格，甲、乙、丙三位同学分别获得以下信息： 甲：氮肥施用量越大，土豆产量越高． 乙：氮肥施用量为时，土豆产量可能是． 丙：土豆产量为时，氮肥施用量一定是． 下列说法正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．只有丙对 D．甲、乙、丙均不对 7．某市出租车计费标准为：收费起步价为10元，即路程不超过3千米时收费10元，超过部分每千米收费2元．小明周末准备乘出租车到距家超过3千米的图书馆学习，则小明应付车费y（元）与行驶里程数x（千米）之间的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 8．如图，图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中（单位：米）和（单位：秒）分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法： ①甲让乙先跑了12米； ②射线表示甲的路程与时间的函数关系； ③甲的速度比乙快1.5米/秒； ④8秒钟后，甲超过了乙 其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进，由于途中遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，小刚加快了速度，仍保持匀速，行进距离y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象交于点A．设x轴上一点，过点P作x轴的垂线，分别交和的图象于点B、C，若，则的值为（　　） A．8 B．4 C．0或8 D．0或4 【强化训练】 1．如图①所示，正方形边长为6，动点P从点A出发，在正方形边上沿A→B→C→D运动，设运动时间为t（s），的面积为S（），如图②表示的面积随着点P的运动时间变化的函数图象，的面积为10时，t的值是（　　）．    A． B． C．或 D．或 2．一台饮水机盛满20升水，打开阀门每分钟可流出0.5升水，饮水机中剩余水量y（升）与打开阀门时间x（分）之间的关系是________． 3．小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是________（只需填序号） 4．已知两地之间有一条笔直的公路．甲车从地出发匀速去往地，到达地后立即以原速原路返回地，乙车从地出发匀速去往地，两车同时出发，乙车比甲车晚10分钟到达地．甲车距地的路程为（千米）与甲车行驶的时间（分）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出乙车距地的路程（千米）与（分）之间的函数图象，并求出它所对应的函数关系式（写出自变量的取值范围） (2)甲、乙两车在行驶过程中相遇了___________次． (3)求甲车到达地时，乙车距地的路程． 5．甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表： 一次性购买质量 优惠方案 不优惠 超过的部分打七五折 设购买枇杷（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用． (1)直接写出关于x的函数表达式； (2)请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？ 6．某地居民生活用水的收费标准如下表： 月用水量x（立方米） 0<x≤8 8<x≤16 x>16 收费标准w（元/立方米） 1.50 2.5 4 (1)小玉家7月份用水量为10立方米，8月份用水量为8立方米，则小玉家这两个月合计应付水费多少元？ (2)写出水费y（元）与x（立方米）之间的函数关系式． 7．在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村支书提出两种购买垃圾桶方案：方案1：买分类垃圾桶，需要费用300元，以后每月的垃圾处理费用25元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用100元，以后每月的垃圾处理费用50元.设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月. (1)直接写出y1，y2与x之间的函数关系式； (2)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案更省钱？ 8．如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 9．水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量与滴水时间的关系用可以显示水量的容器做如图的试验，并根据试验数据绘制出如图的函数图象，结合图象解答下列问题． (1)容器内原有水多少升？ (2)求与之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？ 10．2021年年末，我省某市海关接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，海关缉私局迅速派出快艇追赶（如图1）．图2中、分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系．根据图象回答问题： (1)直线与直线中，______表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系？ (2)设与对应的两个一次函数表达式为与，求出两个具体表达式． (3)15分钟内能否追上？为什么？ (4)当逃离海岸9海里的公海时，将无法对其进行检查，照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？为什么？ 5 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 一次函数的应用 1. 能从实际情境中提取变量关系，列出一次函数解析式； 2. 掌握图像读图能力：看懂横轴、纵轴、交点、起点、终点含义； 3. 熟练解决三类必考应用题型：行程问题、费用方案问题、增减变化问题； 4. 会利用一次函数求最值、比较两种方案优劣； 5. 掌握一次函数图像交点的实际意义，解决月考期中压轴小题、大题。 一、一次函数应用核心模型 实际问题绝大多数都符合：y=kx+b - k：变化速度、单价、速率、每千米费用 - b：初始量、起步价、初始距离、固定费用 二、三大必考题型模型 模型1：行程类问题（走路、骑车、行驶） - x：时间 - y：路程/距离 - k：速度 - b：初始距离（起点不在原点时） 图像解读： 1. 上升直线：远离起点 2. 下降直线：靠近起点 3. 水平直线：静止、停留（速度为0） 模型2：收费方案问题（打车、水费、电费、会员费） x：数量/里程 y：总费用 k：单价、每单位收费 b：固定起步价、会员费、保底费用 模型3：增减变化问题（蓄水、注水、降温、升温） k>0：增加、上升、注水 k<0：减少、下降、放水、降温 三、图像关键节点实际意义（考试最爱考） 1. 起点：初始状态（初始费用、初始距离） 2. 交点：两个方案费用相等 / 两人相遇 3. 终点：运动结束、计费截止 4. 交叉前后：判断谁更省钱、谁速度快、谁在前面 四、两种方案比较万能思路 已知方案①y1=k1x+b1;方案② y2=k2x+b2 1. 交点处：y1=y2，两种方案一样 2. 交点左侧：某方案更优 3. 交点右侧：另一方案更优 五、实际问题自变量取值范围 所有生活应用题，x不能为负数 常见限制： 人数、个数：x>0 整数 时间、路程：x>0 六、高频易错点 1. 一般的，图像水平线段=静止，不是匀速运动； 2. 交点是“相等时刻”，不是最大值最小值； 3. 实际函数图像大多是射线、线段，不是整条直线； 4. 求最值必须看自变量取值范围，不能直接看解析式。 题型01 行程图像读图题 【典例】一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶路程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．轮船的速度为km/h B．轮船比快艇先出发 C．快艇的速度为km/h D．快艇比轮船早到 【答案】C 【分析】观察图象可知，该函数图象表示的是路程与时间的函数关系，依据图象中的数据进行计算即可． 【详解】A．轮船的速度为=20千米时，故本选项正确； B．轮船比快艇先出发2小时，故本选项正确； C．快艇的速度为=40千米时，故本选项错误； D．快艇比轮船早到2小时，故本选项正确； 故选C． 【变式】甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（    ） A．甲车的平均速度为60km/h． B．乙车的平均速度为100km/h． C．甲乙两车在10：00时相遇． D．乙比甲车先到达B地． 【答案】C 【分析】由可得甲，乙车的速度，根据甲出发1小时后乙再出发及甲、乙车速度，可得到乙追上甲的时刻． 【详解】解：甲车5小时行了，甲车的平均速度为，故A正确． 乙车3小时行了，乙车的平均速度为100km/h，故B正确． 设乙出发追上甲，则，解出，甲乙两车在时相遇，故C错误． 乙车到达B地，甲车到达B地，故D正确． 故选C． 题型02 费用建模：列一次函数解析式 【典例】小明用20元零花钱购买水果慰问老人，已知水果单价是每千克4元，设购买水果x千克用去的钱为y元，用图象表示y与x的函数关系，其中正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立正比例函数关系. 【详解】由题意得，y=4x(0<x),故选C. 【变式】某电器进价为250元/台，售价为400元/台，若售出x台，售出x台的总利润为y元，则y与x之间的关系式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数在销售问题中的应用，等量关系式：利润销售每台电器的利润销售量，此次即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 题型03 两种方案对比最优选择（大题必考） 【典例】某电信公司推出了A，B两种手机上网套餐，每种套餐一个月的手机上网费用y（元）与上网时间x（分钟）之间的关系如图，如果顾客一个月上网300分钟，那么选择套餐 _______（填A或B）产生的费用比较高，高 __________ 元． 【答案】 B 8 【详解】根据图象可知，当顾客一个月上网300分钟时，套餐B产生的费用比较高. 设yA=kAx,yB=kBx+20， 当x=500时,yA=yB,即500kA=500kB+20， ∴kB−kA=−， 当x=300时,yB−yA=300kB+20−300kA=300(kB−kA)+20=8， ∴如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高8元， 故答案为B；8. 【变式】某电信公司推出两种手机套餐收费方式：A种方式月租20元，B种方式月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t（min）与所需电话费s（元）的函数关系如图所示，当打出电话150min时，这两种收费方式的电话费相差________元． 【答案】10 【分析】解法1：设A种方式打电话每分钟付费x元，B种方式打电话每分钟付费y元，当打出电话100min时，所需电话费相同，则，即，由此计算当打出电话150min时，两种收费方式的电话费差即可. 解法2：可设A种方式对应的函数解析式及B种方式对应的函数解析式，先计算出当打出电话100min时，所需电话费相同时的关系，再求当打出电话150分钟时，这两种方式的电话费，后作差即得． 【详解】解：解法1：由题图可知，当打出电话100min时，所需电话费相同． 可设A种方式打电话每分钟付费x元，B种方式打电话每分钟付费y元，则，整理得， 所以打出电话150min时，两种收费方式的电话费相差（元）． 解法2：设A种方式对应的函数解析式为y=k1t+20，B种方式对应的函数解析式为y=k2t， 当t=100时，100k1+20=100k2， ∴k2－k1=， 当t=150时，150k2－150k1－20=150×－20=10． 题型04 蓄水、增减变化应用题 【典例】一水池蓄水，打开阀门后每小时流出，放水后池内剩余的水量Q与放水时间t（时）的函数关系用图象表示为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】水池里的水，打开阀门后，会随着时间的延续，而随着减少．另外，池内剩下的水的立方数Q 与放水时间t（时）都应该是非负数． 【详解】选项A，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q 随着放水时间t（时）的延续而增长，选项错误； 选项B，图象显示，打开阀门后池内剩下的水的立方数Q的量不变，选项错误； 选项C，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q 随着放水时间t（时）的延续而减少，但是，池中原有的蓄水量超出了，选项错误； 选项D，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q 随着放水时间t（时）的延续而减少，选项正确． 故选D． 【变式】“漏壶”是一种古代计时器，如图所示，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出，壶内壁画有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，下列图象能表示y与x对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，y随x的增大而减小，符合一次函数图象， 故选B． 题型05 利用一次函数求最值 【典例】某地长途汽车站规定前来乘车的旅客可以免费随身携带一定质量的行李，如果行李质量超过规定，则应交纳行李费，行李费用y（元）与行李质量x（千克）之间的关系可以用如图所示的图象表示，请观察图象回答下列问题： 旅客最多能免费携带多少千克的行李？ 【答案】（1）40千克； 【分析】（1）根据图像即可得到最多能免费携带行李的重量； 【详解】（1）由图可知旅客最多能免费携带40千克的行李； 【变式】10．如图，直线与 x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为上一动点，当的值最小时，点P的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称-最短路线问题．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合点C、D分别为线段的中点，可得出点C，D的坐标，取点D关于x轴对称的点E，连接CE交x轴于点P，此时取最小值，由点D的坐标可得出点E的坐标，由点C，E的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为； 当时，，解得：， ∴点A的坐标为． ∵点C、D分别为线段的中点， ∴点C的坐标为，点D的坐标为． 如图，取点D关于x轴对称的点E，连接交x轴于点P，此时取最小值， ∴点E的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为． 故选：C 【巩固训练】 1．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为．则关于的函数解析式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长得出，再移项即可得出答案． 【详解】根据题意可得 故选A． 2．“千里游学，古已有之”，两名老师带领x名学生到某红色旅游景点研学，此次研学每位老师的费用为元，每位学生的费用为元．设研学的总费用为y元，则y与x的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据题意确定一次函数解析式是解题的关键． 依题意得，，整理作答即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：C．        3．一蓄水池中有的水，打开排水阀门开始放水后水池中的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 … 水池中的水量/ 48 46 44 42 … 下列说法不正确的是（ ） A．蓄水池每分钟放水 B．放水18分钟后，水池中的水量为 C．放水25分钟后，水池中的水量为 D．放水12分钟后，水池中的水量为 【答案】D 【分析】根据题意可得蓄水量，从而进行各选项的判断即可． 【详解】解：设蓄水量为y，时间为t， 设关系式为， 将，代入得， 解得 则可得， A、蓄水池每分钟放水，故本选项不合题意； B、放水18分钟后，水池中水量为：，故本选项不合题意； C、放水25分钟后，水池中水量为：，故本选项不合题意； D、放水12分钟后，水池中水量为：，故本选项符合题意； 故选：D． 4．甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（    ） A．甲车的平均速度为60km/h． B．乙车的平均速度为100km/h． C．甲乙两车在10：00时相遇． D．乙比甲车先到达B地． 【答案】C 【分析】由可得甲，乙车的速度，根据甲出发1小时后乙再出发及甲、乙车速度，可得到乙追上甲的时刻． 【详解】解：甲车5小时行了，甲车的平均速度为，故A正确． 乙车3小时行了，乙车的平均速度为100km/h，故B正确． 设乙出发追上甲，则，解出，甲乙两车在时相遇，故C错误． 乙车到达B地，甲车到达B地，故D正确． 故选C． 5．物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（    ） 拉力/N 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度/cm 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 22.0 A．24cm B．25cm C．25.5cm D．26cm 【答案】B 【分析】根据题意得：拉力每增加1N， 弹簧的长度增加2cm，弹簧的长度与受到的拉力之间是一次函数的关系，利用待定系数解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：拉力每增加1N， 弹簧的长度增加2cm， 设弹簧的长度为y，受到的拉力为x， 则， 当时，， 即拉力为7.5N，则弹簧长度为25cm． 故选：B 6．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥施用量一定时，土豆产量与氮肥施用量有如下表所示的关系： 氮肥施用量 0 土豆产量 通过阅读表格，甲、乙、丙三位同学分别获得以下信息： 甲：氮肥施用量越大，土豆产量越高． 乙：氮肥施用量为时，土豆产量可能是． 丙：土豆产量为时，氮肥施用量一定是． 下列说法正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．只有丙对 D．甲、乙、丙均不对 【答案】D 【分析】本题考查了函数的表示方法，从表格中的变量之间的变化关系以及对应值逐项判断即可得，理解函数的意义及其变化关系是解题的关键． 【详解】解：甲：氮肥施用量越大，土豆产量越高；根据表格可知，随着氮肥施用量的增加，土豆的产量并非一直在增加，故甲错误； 乙：氮肥施用量为时，土豆产量可能是与之间，故乙错误； 丙：土豆产量为时，氮肥施用量可能是，也可能是，故丙错误； 故选：D． 7．某市出租车计费标准为：收费起步价为10元，即路程不超过3千米时收费10元，超过部分每千米收费2元．小明周末准备乘出租车到距家超过3千米的图书馆学习，则小明应付车费y（元）与行驶里程数x（千米）之间的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了根据实际问题列函数解析式的能力，关键是能准确理解实际问题中的数量关系．当时，根据总车费等于起步价加另收车费部分进行列式整理即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，． 故选：B． 8．如图，图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中（单位：米）和（单位：秒）分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法： ①甲让乙先跑了12米； ②射线表示甲的路程与时间的函数关系； ③甲的速度比乙快1.5米/秒； ④8秒钟后，甲超过了乙 其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用．结合函数图象逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得，乙在离起点12米处开始跑，故①错误； 甲的速度比乙快， 射线表示乙的路程与时间的函数关系，故②错误； （米秒），（米秒）， 甲的速度比乙快（米秒），故③正确； 由图象可知，8秒后甲超过了乙，故④正确； 正确的有③④，故2个； 故选：B． 9．如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进，由于途中遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，小刚加快了速度，仍保持匀速，行进距离y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数图象，首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间t和运动的路程y之间的关系采用排除法求解即可． 【详解】解：开始随着时间的增多，行进的路程也将增多；由于途中遇到火车挡道，停下等待放行，此时时间在增多，行驶路程不变，因此排除B；后来加快了速度，仍保持匀速行进，此时行驶的路程随时间的增多，行驶的路程也增多，且比开始时，路程增加的比开始要快，因此可以排除，故C正确． 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象交于点A．设x轴上一点，过点P作x轴的垂线，分别交和的图象于点B、C，若，则的值为（　　） A．8 B．4 C．0或8 D．0或4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，把分别代入和，分别求解，的坐标，再利用，再建立方程求解即可． 【详解】解： 把分别代入和得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴a的值为0或8． 故选C 【强化训练】 1．如图①所示，正方形边长为6，动点P从点A出发，在正方形边上沿A→B→C→D运动，设运动时间为t（s），的面积为S（），如图②表示的面积随着点P的运动时间变化的函数图象，的面积为10时，t的值是（　　）．    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由图象结合题意可求出S与t的关系式为，再求出当时，t的值即可． 【详解】解：分类讨论：①当点P在上，即时， 设此时S与t的关系式为， 由图可知该图象过点， ∴， 解得：， ∴此时； ②当点P在上，即时， 由图可知此时S与t的关系式为； ③当点P在上，即时， 设此时S与t的关系式为， 由图可知该图象过点，， ∴， 解得：， ∴此时． 综上可知． 当的面积为10时，即， ∴或， 解得：或，且都符合题意． 故选D． 2．一台饮水机盛满20升水，打开阀门每分钟可流出0.5升水，饮水机中剩余水量y（升）与打开阀门时间x（分）之间的关系是________． 【答案】 【分析】根据题意列出函数关系式即可求解． 【详解】解：∵一台饮水机盛满20升水，打开阀门每分钟可流出0.5升水， ∴饮水机中剩余水量y（升）与打开阀门时间x（分）之间的关系是： 故答案为： 3．小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是________（只需填序号） 【答案】④② 【详解】∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回， ∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②； ∵父亲看了10分报纸后，用了15分返回家， ∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④ 4．已知两地之间有一条笔直的公路．甲车从地出发匀速去往地，到达地后立即以原速原路返回地，乙车从地出发匀速去往地，两车同时出发，乙车比甲车晚10分钟到达地．甲车距地的路程为（千米）与甲车行驶的时间（分）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出乙车距地的路程（千米）与（分）之间的函数图象，并求出它所对应的函数关系式（写出自变量的取值范围） (2)甲、乙两车在行驶过程中相遇了___________次． (3)求甲车到达地时，乙车距地的路程． 【答案】(1) 画出乙车距地的路程（千米）与（分）之间的函数图象如下： (2) (3)甲车到达地时，乙车距地的路程为千米 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的图象与性质，正确求出一次函数解析式，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据乙车比甲车晚10分钟到达地，得出乙车用分钟到达地，即可画出函数图象，设乙车距地的路程（千米）与（分）之间的函数关系式为：，利用待定系数法计算即可得出函数解析式； （2）根据函数图象即可得出答案； （3）在中，当时，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵乙车比甲车晚10分钟到达地， ∴乙车用分钟到达地， 设乙车距地的路程（千米）与（分）之间的函数关系式为：， 把，代入函数解析式得：， 解得：， ∴乙车距地的路程（千米）与（分）之间的函数关系式为； （2）解：由图象可得，甲车从地去往地和到达地后返回地时，分别与乙车各相遇一次， ∴甲、乙两车在行驶过程中相遇了次； 故答案为：2 （3）解：在中，当时，（千米）， ∴甲车到达地时，乙车距地的路程为千米． 5．甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表： 一次性购买质量 优惠方案 不优惠 超过的部分打七五折 设购买枇杷（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用． (1)直接写出关于x的函数表达式； (2)请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？ 【答案】(1)； (2)当时，到甲商店购买更合算；当时，到甲乙两家商店购买费用相同；当时，到乙商店购买更合算合算． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求出函数表达式以及分类讨论思想成为解题的关键 （1）根据优惠方案分别列出函数表达式即可； （2）分、、、四种情况，分别判断出和之间的大小关系，即可得到购买方案． 【详解】（1）解：根据题意得：； 当时，， 当时，， 综上，． （2）解：①当，，，即， ∴选择甲商店更合算； 由，解得， ②当时，到甲商店购买更合算； ③当时，到甲乙两家商店购买费用相同； ④当时，到乙商店购买更合算． 综上，当时，到甲商店购买更合算；当时，到甲乙两家商店购买费用相同；当时，到乙商店购买更合算． 6．某地居民生活用水的收费标准如下表： 月用水量x（立方米） 0<x≤8 8<x≤16 x>16 收费标准w（元/立方米） 1.50 2.5 4 (1)小玉家7月份用水量为10立方米，8月份用水量为8立方米，则小玉家这两个月合计应付水费多少元？ (2)写出水费y（元）与x（立方米）之间的函数关系式． 【答案】(1)小玉家这两个月合计应付水费29元 (2) 【分析】（1）分别算出小玉家7月份和8月份的应付水费，然后相加，即可得出小玉家这两个月合计应付水费； （2）根据题中收费标准，分三种情况列出解析式，即可得出结论． 【详解】（1）解：小玉家7月份的应付水费：（元）， 小玉家8月份的应付水费：（元）， 小玉家7月份和8月份合计应付水费：（元）， 答：小玉家这两个月合计应付水费29元． （2）解：①当时，； ②当时，； ③当时，， ∴水费y（元）与x（立方米）之间的函数关系式为：． 7．在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村支书提出两种购买垃圾桶方案：方案1：买分类垃圾桶，需要费用300元，以后每月的垃圾处理费用25元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用100元，以后每月的垃圾处理费用50元.设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月. (1)直接写出y1，y2与x之间的函数关系式； (2)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案更省钱？ 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】（1）根据总费用＝购买垃圾桶的费用＋每月的垃圾处理费用×月份数，即可求出y1，y2与x之间的函数关系式； （2）根据一次函数性质，运用两点法画出函数y1，y2图象，并结合图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， （2）解：根据两点法可知，当时，， 当时，，函数y1，y2图象如下： 结合图象可知，当0＜x＜8时，，方案2更省钱； 当时，，两种方案一样； 当时，，此时方案1更省钱． 8．如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 【答案】(1)增大；不变；减小； (2)； (3)； (4)当点出发5秒或14.5秒时，的面积是长方形面积的． 【分析】此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． （1）根据函数图象及动点运动即可得出结果； （2）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值； （3）确定y与x的等量关系后列出关系式即可； （4）结合题意，分四种情况确定相应的函数解析式，然后计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是． 【详解】（1）解：当点在上运动时，增大，的面积会增大；点在上运动时，的面积会不变；点在上运动时，的面积会减小； 故答案为：增大；不变；减小； （2）∵长方形中，，， ∴， 当点P在上时， 得： ， ∴， ， ； （3）∵， ∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：； （4）①当时 ， ； ②当时 ， ； ③当x运动到C点时 解得： 即：时 ； ④当时 ， ； 综上： ； ∵， ①时，，符合题意； ②时，，不符合题意，舍去； ③时，，不符合题意，舍去； ④，，符合题意； 所以点P出发后5秒或秒，的面积是长方形面积的． 9．水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量与滴水时间的关系用可以显示水量的容器做如图的试验，并根据试验数据绘制出如图的函数图象，结合图象解答下列问题． (1)容器内原有水多少升？ (2)求与之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？ 【答案】(1)容器的原有水升 (2)一天滴水量为升 【分析】（1）由图象可知，当时，，即容器内原有水升； （2）设与之间的函数关系式为，将代入，即可求出与之间的函数关系式；由解析式可知，每小时滴水量为升，即可求得一天的滴水量为． 【详解】（1）根据图象可知，当时，，即容器内原有水升； （2）设与之间的函数关系式为，将代入，得：， 解得：， 故与之间的函数关系式为； 由解析式可知，每小时滴水量为升，一天的滴水量为：升， 即在这种滴水状态下一天的滴水量是升． 10．2021年年末，我省某市海关接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，海关缉私局迅速派出快艇追赶（如图1）．图2中、分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系．根据图象回答问题： (1)直线与直线中，______表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系？ (2)设与对应的两个一次函数表达式为与，求出两个具体表达式． (3)15分钟内能否追上？为什么？ (4)当逃离海岸9海里的公海时，将无法对其进行检查，照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？为什么？ 【答案】(1) (2)， (3)15分钟内不能追上，理由见解析 (4)能在逃入公海前将其拦截，理由见解析 【分析】（1）根据题意，时，哪条直线对应的S值是0，哪条直线就表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系； （2）利用待定系数法即可求解； （3）时，比较和的大小即可判断； （4）计算出时所用时间，进而求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，时，B到海岸的距离为0， 观察图象可知，表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系． 故答案为：． （2）解：观察图象可知，直线图象经过点和，代入得， ， 解得， 对应的一次函数表达式为； 同理，直线图象经过点和，代入得， ， 解得， 对应的一次函数表达式为． （3）解： 15分钟内不能追上． 理由：由（2）知，时， ，， ， 15分钟内不能追上． （4）解：能在逃入公海前将其拦截． 理由：将代入得，， 解得， 此时， ， 能在逃入公海前将其拦截． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $