1.2.4绝对值（导学案）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学导学案聚焦“绝对值”核心内容，引导学生理解绝对值的几何意义、代数意义及性质，掌握符号表示与求法。通过回顾相反数知识，结合数轴上点到原点的距离实例引入新课，搭建起前后知识的衔接支架。 导学案以自主学习与合作探究为特色，从具体实例到抽象概念的形成过程，培养学生抽象能力与推理意识。分题型习题覆盖求绝对值、已知绝对值求数等多维度应用，结合实际问题提升应用意识，便于学生自主学习与教师教学评估。

1.2.4绝对值 导学案导学案 1.理解绝对值的几何意义，掌握绝对值的表示方法，能准确求出一个有理数的绝对值。 2.能根据数的正负性正确写出绝对值的结果，理解、、 三种情形的适用条件。 3.经历从具体实例到抽象概念的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力。 学习重点：绝对值的定义及符号表示。 学习难点：与 区别及使用条件。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 知识回顾 上节课我们学习了相反数，回顾一下：什么叫做互为相反数？请举例说明。 例如： 1. 5 和 互为相反数； 2. 和-互为相反数； 3. 0 的相反数是 。 4. a 的相反数记作 ；a可以是 、0、负数. 注：互为相反数的两个数在数轴上对应的点到 相等 新课引入 互为相反数的两个数（除0以外）只有符号不同，那么它们在数轴上的位置有什么共同特征呢？ 请大家在练习本上画一条数轴，并在数轴上标出表示3和-3的点，观察这两个点到原点的距离分别是多少。 表示3的点到原点的距离是 . 表示-3的点到原点的距离也是 . 这两个距离有什么关系呢？这就是今天我们要学习的主题——绝对值. 新知自研：自研课本第13--14页的内容． 【学法指导】 自研课本P13-14的内容，思考： ●探究一：绝对值的几何意义 ◆1.讨论交流 请同学们再画一条数轴，并在数轴上标出表示10和-10的点，观察这两个点到原点的距离分别是多少？ 在数轴上分别用点 A，B 表示这两个数. 他们到原点的距离都相等. 表示10的点到原点的距离是 ； 表示﹣10的点到原点的距离也是 . 可以发现，无论是3和﹣3还是10和﹣10，每组相反数到原点的距离都 . ◆2.思考交流 ①设 a 表示一个数，−a 与a 到原点的距离都相等吗？ 可以发现，无论a取什么数， −a 与a 到原点的距离都 . 绝对值的概念:一般地，数轴上表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值，记作 ，读作“ ”. 因为距离不可能是负数，所以|a |为非负数，即 . a 可以是正数、0、负数. ②0的绝对值是多少呢？为什么？ 表示0的点就是 . 因为原点到原点的距离是 ，所以|0|= . 请大家再观察数轴，比较﹣2.5和2这两个数，它们的绝对值分别是多少？在数轴上如何体现？ 观察到﹣2.5到原点的距离是 ，2到原点的距离是 ，因此|﹣2.5|= ，|2|= . 也就是说|a|是非负数， 即| . ◆3.新知巩固 如图，在数轴上与表示−2的点距离2个单位长度的点表示的数是（   ） A．0 B．−4 C．0或−4 D．2 ●探究二：绝对值的代数意义 ◆1.探究思考 一个数的绝对值与这个数本身有什么关系呢？ 例：尝试求出下列各数的绝对值. |5|=?,|3.2|=?,|0|=?,|−3|=?,|−0.5|=?,|−|=? 在以上的例题中，正数的绝对值有什么特点？0的绝对值又有什么特点？负数的呢？ ◆2.知识小结 由以上例子可以发现： ①一个正数的绝对值是它 ； ②一个负数的绝对值是它的 ； ③0的绝对值是 . 用字母表示数后，可以用含字母的式子表达一般规律： （1）如果a是正数，那么|a|= ； （2）如果a是0，那么|a|= ； （3）如果a是负数，那么|a|= . ◆3.思考探究 当a是负数时，|a|=−a，这里的”−a”表示什么？ 绝对值的代数意义可以简记为： 由此可知，当a 是负数时，|a |=−a ，这里的”−a ”表示的是a 的相反数，是一个正数，而不是负数。 例如，当a =−3时，|a |=|−3|=−(−3)=3。 不能误认为“−a ”就是负数。 ◆4.新知巩固 下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 ●探究三：绝对值的性质深化 ◆1.绝对值大小与数轴上点的位置关系 在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值是越大还是越小？离原点越远呢？ |a|越来越 ，最小时|a|=0 在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值 ； 离原点越远，这个数的绝对值 . ◆2.绝对值等于本身或相反数的数的范围 ①如果一个数的绝对值等于它本身，即|a |=a ，那么这个数a 是什么数？一定是正数吗？ 观察绝对值的代数意义可知： 正数的绝对值等于它本身，0的绝对值也等于0（即它本身），所以绝对值等于它本身的数是 ，即 . ②如果一个数的绝对值等于它的相反数，即|a|=−a，那么这个数a是什么数？一定是负数吗？ 如：|﹣3|=3,|﹣0.5|=0.5,|﹣|= 因此负数的绝对值等于它的相反数，而0的绝对值是0，0的相反数也是 0,所以0也满足|a|=−a。 因此，绝对值等于它的相反数的数是 ，即 . 注：0既满足|a|=a,也满足|a|=−a,因为0的相反数就是它本身. ◆3.绝对值为正数的数有 且互为 . 如果|x|=2，那么x等于多少？有几个解？请结合数轴说明. 观察数轴可知：|﹣2|=2，|2|=2 数轴上到原点距离等于2的点有 ，分别在原点的左右 . 表示的数是2和﹣2，所以x= 或x= ，即x= . 注意：解题时不能只写出一个解而遗漏另一个解. ◆4.互为相反数的两个数绝对值 . 如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值有什么关系？反过来，如果两个数的绝对值相等，那么这两个数有什么关系？ 若a与b互为相反数，即a=-b，则|a|= . ★总结归纳： （1）互为相反数的两个数到原点的 相等，所以它们的 相等. （2）反过来，如果两个数的绝对值相等，那么这两个数 或互为 . 即若|a|=|b|，则a= 或a= . ◆5.新知巩固 一个有理数a，满足a 的相反数等于a的绝对值，则a 可以是_____．（写出一个即可） ◆6.例题讲解 （1）写出1，−0.5，−的绝对值； （2）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 【分析】对于（2），一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点 ；反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值 . 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨绝对值的定义以及如何求一个数的绝对值； B.探究绝对值的性质以及互为相反数的两个数的绝对值的性质. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.点M在数轴上表示的数为负数，且点M到原点的距离小于4，则点M表示的数可以是（   ） A．6 B．3 C．−3.8 D．−6 2.关于|1−a|的说法不正确的是（ ） A. 1与a的差的绝对值 B. 1到a的距离 C. a到1的距离 D. 1与a的差的相反数 3.计算：−|−(−2)−2|=___________． 4. 若|x|=−x，则x一定是（ ） A．负数  B．正数  C．非负数  D．非正数 5.已知|−a|=a−，请写一个符合条件的整数a=_______． 6．小贝认为：若有理数 a，b 满足 |a|>|b|，则 a>b．小贝的观点正确吗？请说明理由． 7．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且A、B两点之间的距离可以表示为AB，则AB=|a−b|（或|b−a|）． （1）求|5−(−3)|=___； （2）|x−4|+|x+3|的最小值是多少？ ▲1、绝对值的概念： 一般地，数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值，记作 ，读作 ”. 因为距离不可能是负数，所以|a |为 ，即 . a 可以是正数、0、负数 ▲2、绝对值的性质： ①一个正数的绝对值是它 ； ②一个负数的绝对值是它的 ； ③0的绝对值是 . ▲3、绝对值的性质深化： （1）互为相反数的两个数到原点的 相等，所以它们的绝对值相等. （2）反过来，如果两个数的绝对值相等，那么这两个数 或互为 . 题型一： 求一个数的绝对值 1．绝对值是（　　） A． B． C． D． 2．﹣2026的绝对值是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 3． 化简：|－|＝ ；－|－1.5|＝ ；|－(－2)|＝ ． 4．写出下列各数的绝对值． （1）﹣1.5； （2）； （3）﹣6； （4）； （5）3． 题型二 已知绝对值求数 5．若一个数的绝对值是5，则这个数是（　　） A．5 B．-5 C．±5 D．0或5 6．一个数的绝对值等于，则这个数是（　　） A． B． C．± D．± 7．一个数的绝对值是4，则这个数是______． 8．一个数的绝对值是，则这个数是_____． 题型三： 绝对值的非负性 9．对于任意有理数a，下列结论正确的是（　　） A．|a|是正数 B．﹣a是负数 C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数 10．如果x为有理数，式子2019﹣|x﹣2|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2016 B．2017 C．2019 D．2021 11．若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝　 　． 12．若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0． 计算：（1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|﹣|z|的值． 题型四： 利用绝对值解决实际问题 13．有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（　　） A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1 14．太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标准质量为1000g，实际质量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 15．小明同学在一条南北走向的公路上晨练，跑步情况记录如下：（向北为正，单位：m）：500，﹣400，﹣700，800，小明同学跑步的总路程为（　　） A．800 m B．200 m C．2400 m D．﹣200 m 16．世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数). 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 －0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 题型五： 数轴、相反数、绝对值的综合应用 17．如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 18．如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.4绝对值 导学案导学案 1.理解绝对值的几何意义，掌握绝对值的表示方法，能准确求出一个有理数的绝对值。 2.能根据数的正负性正确写出绝对值的结果，理解、、 三种情形的适用条件。 3.经历从具体实例到抽象概念的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力。 学习重点：绝对值的定义及符号表示。 学习难点：与 区别及使用条件。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 知识回顾 上节课我们学习了相反数，回顾一下：什么叫做互为相反数？请举例说明。 相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 例如： 1. 5 和-5互为相反数； 2. 和-互为相反数； 3. 0 的相反数是0。 4. a 的相反数记作-a；a可以是正数、0、负数. 注：互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点距离相等 新课引入 互为相反数的两个数（除0以外）只有符号不同，那么它们在数轴上的位置有什么共同特征呢？ 请大家在练习本上画一条数轴，并在数轴上标出表示3和-3的点，观察这两个点到原点的距离分别是多少。 表示3的点到原点的距离是3 表示-3的点到原点的距离也是3 这两个距离有什么关系呢？这就是今天我们要学习的主题——绝对值. 新知自研：自研课本第13--14页的内容． 【学法指导】 自研课本P13-14的内容，思考： ●探究一：绝对值的几何意义 ◆1.讨论交流 请同学们再画一条数轴，并在数轴上标出表示10和-10的点，观察这两个点到原点的距离分别是多少？ 在数轴上分别用点 A，B 表示这两个数. 他们到原点的距离都相等. 表示10的点到原点的距离是10； 表示﹣10的点到原点的距离也是10. 可以发现，无论是3和﹣3还是10和﹣10，每组相反数到原点的距离都相等. ◆2.思考交流 ①设 a 表示一个数，−a 与a 到原点的距离都相等吗？ 可以发现，无论a取什么数， −a 与a 到原点的距离都相等. 绝对值的概念:一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |，读作“a 的绝对值”. 因为距离不可能是负数，所以|a |为非负数，即|a |≥0. a 可以是正数、0、负数. ②0的绝对值是多少呢？为什么？ 表示0的点就是原点. 因为原点到原点的距离是0，所以|0|=0. 请大家再观察数轴，比较﹣2.5和2这两个数，它们的绝对值分别是多少？在数轴上如何体现？ 观察到﹣2.5到原点的距离是2.5，2到原点的距离是2，因此|﹣2.5|=2.5，|2|=2. 也就是说|a|是非负数， 即|a|≥0. ◆3.新知巩固 如图，在数轴上与表示−2的点距离2个单位长度的点表示的数是（   ） A．0 B．−4 C．0或−4 D．2 【答案】C． 【分析】先设该点表示的数为a，根据两点之间的距离得|a−(−2)|=2，求出解即可． 解：设该点表示的数为a，根据题意，得 |a−(−2)|=2， 解得a=0或a=−4， 所以该点表示的数是0或−4． ●探究二：绝对值的代数意义 ◆1.探究思考 一个数的绝对值与这个数本身有什么关系呢？ 例：尝试求出下列各数的绝对值. |5|=?,|3.2|=?,|0|=?,|−3|=?,|−0.5|=?,|−|=? 解：|5|=5,|3.2|=3.2,|0|=0,|-3|=3,|-0.5|=0.5,|−|= 在以上的例题中，正数的绝对值有什么特点？0的绝对值又有什么特点？负数的呢？ ◆2.知识小结 由以上例子可以发现： ①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0. 用字母表示数后，可以用含字母的式子表达一般规律： （1）如果a是正数，那么|a|=a； （2）如果a是0，那么|a|=0； （3）如果a是负数，那么|a|=-a. ◆3.思考探究 当a是负数时，|a|=−a，这里的”−a”表示什么？ 绝对值的代数意义可以简记为： 由此可知，当a 是负数时，|a |=−a ，这里的”−a ”表示的是a 的相反数，是一个正数，而不是负数。 例如，当a =−3时，|a |=|−3|=−(−3)=3。 不能误认为“−a ”就是负数。 ◆4.新知巩固 下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】A. 【分析】根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确. 故选A. ●探究三：绝对值的性质深化 ◆1.绝对值大小与数轴上点的位置关系 在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值是越大还是越小？离原点越远呢？ |a|越来越小，最小时|a|=0 在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小； 离原点越远，这个数的绝对值越大。 ◆2.绝对值等于本身或相反数的数的范围 ①如果一个数的绝对值等于它本身，即|a |=a ，那么这个数a 是什么数？一定是正数吗？ 观察绝对值的代数意义可知： 正数的绝对值等于它本身，0的绝对值也等于0（即它本身），所以绝对值等于它本身的数是非负数，即a≥0。 ②如果一个数的绝对值等于它的相反数，即|a|=−a，那么这个数a是什么数？一定是负数吗？ 如：|﹣3|=3,|﹣0.5|=0.5,|﹣|= 因此负数的绝对值等于它的相反数，而0的绝对值是0，0的相反数也是 0,所以0也满足|a|=−a. 因此，绝对值等于它的相反数的数是非正数，即a≤0. 注：0既满足|a|=a,也满足|a|=−a,因为0的相反数就是它本身. ◆3.绝对值为正数的数有两个且互为相反数 如果|x|=2，那么x等于多少？有几个解？请结合数轴说明. 观察数轴可知：|﹣2|=2，|2|=2 数轴上到原点距离等于2的点有两个，分别在原点的左右两侧. 表示的数是2和﹣2，所以x=2或x=−2，即x=±2. 注意：解题时不能只写出一个解而遗漏另一个解. ◆4.互为相反数的两个数绝对值相等 如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值有什么关系？反过来，如果两个数的绝对值相等，那么这两个数有什么关系？ 若a与b互为相反数，即a=-b，则|a|=|b|. ★总结归纳： （1）互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以它们的绝对值相等. （2）反过来，如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数. 即若|a|=|b|，则a=b或a=−b. ◆5.新知巩固 一个有理数a，满足a 的相反数等于a的绝对值，则a 可以是_____．（写出一个即可） 【分析】设 a的相反数为 −a，a的绝对值为 |a|，则 −a=|a|，得出a≤0，即可得出答案. 解：设 a 的相反数为 −a，a 的绝对值为 |a|， ∴−a=|a|， ∵|a|≥0， ∴−a≥0，即 a≤0， 当 a≤0 时，|a|=−a，等式成立， ∴a 可以是任何非正有理数，例如 0， 故答案为：0（答案不唯一）． ◆6.例题讲解 （1）写出1，−0.5，−的绝对值； （2）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 【分析】对于（2），一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小. 【解答】解：(1)|1|=1,|−0.5|=0.5,|−|=; (2)因为在点A,B,C,D中，点C离原点最近，所以在有理数a,b, c,d 中，c 的绝对值最小. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨绝对值的定义以及如何求一个数的绝对值； B.探究绝对值的性质以及互为相反数的两个数的绝对值的性质. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.点M在数轴上表示的数为负数，且点M到原点的距离小于4，则点M表示的数可以是（   ） A．6 B．3 C．−3.8 D．−6 【分析】到原点的距离表示该数的绝对值．根据数轴上点的特点进行解答即可 解：点M在数轴上表示的数为负数，且点M到原点的距离小于4，则点M表示的数大于−4， ∴点M表示的数可以是−3.8． 故选：C． 2.关于|1−a|的说法不正确的是（ ） A. 1与a的差的绝对值 B. 1到a的距离 C. a到1的距离 D. 1与a的差的相反数 解：A、|1−a|表示的是1与a的差的绝对值，原说法正确，不符合题意； B、|1−a|表示的是1到a的距离，原说法正确，不符合题意； C、|1−a|表示的是a到1的距离，原说法正确，不符合题意； D、1与a的差的相反数为−(1−a)，而当1−a≥0时，|1−a|=1−a 当1−a<0时，|1−a|=−(1−a)，原说法错误，符合题意； 3.计算：−|−(−2)−2|=___________． 【分析】先计算括号内的负负得正，得到2，然后计算绝对值内的差值为0，绝对值为0，最后取负得0． 解：计算：−(−2)=2，则原式变为 −|2−2|， 计算绝对值内：2−2=0，故 |0|=0， 最后取负：−0=0. 4. 若|x|=−x，则x一定是（ ） A．负数  B．正数  C．非负数  D．非正数 解：∵ |x|=−x， 当x>0时，|x|=x，不满足条件； 当x=0时，|0|=0=−0，满足条件； 当x<0时，|x|=−x，满足条件； ∴x≤0，即x为非正数 5.已知|−a|=a−，请写一个符合条件的整数a=_______． 【分析】根据绝对值的意义，得到a−≥0，进而得到a≥，写出一个整数a的值即可． 解：∵|−a|=a−≥0， ∴a≥， ∴符合条件的一个整数a=3； 故答案为：3（答案不唯一） 6．小贝认为：若有理数 a，b 满足 |a|>|b|，则 a>b．小贝的观点正确吗？请说明理由． 解：小贝的观点不正确． 理由如下： 因为当 a= −2,b= −1 时，|−2|>|−1| 但是 −2<−1， 所以若 |a|>|b| 则 a>b 不一定成立 所以小贝的观点不正确． 7．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且A、B两点之间的距离可以表示为AB，则AB=|a−b|（或|b−a|）． （1）求|5−(−3)|=___； （2）|x−4|+|x+3|的最小值是多少？ 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键. 解：（1）∵|5−(−3)|表示5，−3所对应的点之间的距离， ∴|5−(−3)|=|5+3|=|8|=8 （2）|x−4|+|x+3|可以看作x对应的点到4和−3对应的点的距离之和， 当x<−3时，则x−4<0，x+3<0， ∴|x−4|+|x+3|=−(x−4)−(x+3)=−x+4−x−3=−2x+1 ∵x<−3， ∴−2x+1>7； 当−3≤x≤4时，则x−4≤0，x+3≥0， ∴|x−4|+|x+3|=−(x−4)+(x+3)=−x+4+x+3=7； 当x>4时，则x−4>0，x+3>0， ∴|x−4|+|x+3|=(x−4)+(x+3)=x−4+x+3=2x−1， ∵x>4， ∴2x−1>7； ∴|x−4|+|x+3|的最小值为7 ▲1、绝对值的概念： 一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |，读作“a 的绝对值”. 因为距离不可能是负数，所以|a |为非负数，即|a |≥0. a 可以是正数、0、负数 ▲2、绝对值的性质： ①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0. ▲3、绝对值的性质深化： （1）互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以它们的绝对值相等. （2）反过来，如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数. 题型一： 求一个数的绝对值 1．绝对值是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题依据有理数绝对值的计算即可得到答案． 【解答】解：负数的绝对值等于这个数的相反数，绝对值等于． 故选：B． 【点评】本题主要考查了绝对值的性质． 2．﹣2026的绝对值是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【解答】解：﹣2026的绝对值是2026． 故选：A． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握． 3． 化简：|－|＝ ；－|－1.5|＝ ；|－(－2)|＝ ． 【分析】根据绝对值的意义解答即可. 【解答】解：|－|＝；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2. 【点评】根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a. 4．写出下列各数的绝对值． （1）﹣1.5； （2）； （3）﹣6； （4）； （5）3． 【分析】根据绝对值的定义逐个进行计算即可． 【解答】解：（1）|﹣1.5|＝1.5； （2）||； （3）|﹣6|＝6； （4）||； （5）|3|＝3． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提． 题型二 已知绝对值求数 5．若一个数的绝对值是5，则这个数是（　　） A．5 B．-5 C．±5 D．0或5 【答案】C 【详解】绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，所以|±5|=5． 故选C． 6．一个数的绝对值等于，则这个数是（　　） A． B． C．± D．± 【分析】直接利用绝对值的定义得出答案． 【解答】解：∵一个数的绝对值等于， ∴这个数是：±． 故选：C． 【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键． 7．一个数的绝对值是4，则这个数是______． 【答案】4和﹣4． 【详解】解：一个数的绝对值是4，根据绝对值的意义，这个数是：4和﹣4. 故答案为4和﹣4． 8．一个数的绝对值是，则这个数是_____． 【答案】±. 【分析】根据绝对值的性质得，||=，|-|=，故求得绝对值等于的数． 【详解】||=， |−|=， 所以一个数的绝对值是,则这个数是±. 故答案为±. 【点睛】此题考查负数的意义及其应用，解题关键在于掌握绝对值的性质. 题型三： 绝对值的非负性 9．对于任意有理数a，下列结论正确的是（　　） A．|a|是正数 B．﹣a是负数 C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数 【分析】根据绝对值非负数对各选项举反例分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a＝0时|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误； B、a是负数时，﹣a是正数，故本选项错误； C、a＝0时，﹣|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误； D、﹣|a|不是正数，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值非负数的性质，举反例排除更简便． 10．如果x为有理数，式子2019﹣|x﹣2|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2016 B．2017 C．2019 D．2021 【分析】直接利用绝对值的性质得出|x﹣2|的最小值为0．进而得出答案． 【解答】解：∵x为有理数，式子2019﹣|x﹣2|存在最大值， ∴|x﹣2|＝0时，2019﹣|x﹣2|最大为2019， 故选：C． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键． 11．若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝　 　． 【分析】由绝对值的非负性，求出a＝20，b＝﹣19，然后代入计算，即可得到答案． 【解答】解：∵|a﹣20|+|b+19|＝0， ∴a﹣20＝0，b+19＝0， ∴a＝20，b＝﹣19， ∴|a|﹣|b| ＝|20|﹣|﹣19| ＝20﹣19 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是关键． 12．若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0． 计算：（1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|﹣|z|的值． 【分析】（1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出三元一次方程组，即可解出x、y、z的值； （2）将（1）中求出的x、y、z的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可． 【解答】解：（1）由题意，得， 解得． 即x＝2，y＝﹣3，z＝5； （2）当x＝2，y＝﹣3，z＝5时， |x|+|y|﹣|z|＝|2|+|﹣3|﹣|5|＝2+3﹣5＝0， 即|x|+|y|﹣|z|的值是0． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质． 初中阶段有三种类型的非负数： （1）绝对值； （2）偶次方； （3）二次根式（算术平方根）． 当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 题型四： 利用绝对值解决实际问题 13．有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（　　） A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1 【分析】根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的． 【解答】解：|2|＝2，|﹣3|＝3，|+4|＝4，|﹣1|＝1， ∵1＜2＜3＜4， ∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为﹣1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 14．太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标准质量为1000g，实际质量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出各数绝对值，比较大小即可． 【解答】解：|+2.1|＝2.1，|﹣3.4|＝3.4，|+0.8|＝0.8，|﹣0.7|＝0.7， ∴|﹣0.7|＜|+0.8|＜|+2.1|＜|﹣3.4|， 则实际质量最接近标准质量的是﹣0.7g， 故选：D． 【点评】此题考查了正数与负数，正确理解正负数的意义是解题关键． 15．小明同学在一条南北走向的公路上晨练，跑步情况记录如下：（向北为正，单位：m）：500，﹣400，﹣700，800，小明同学跑步的总路程为（　　） A．800 m B．200 m C．2400 m D．﹣200 m 【分析】求出各个数的绝对值的和即可． 【解答】解：小明同学跑步的总路程为|500|+|﹣400|+|﹣700|+|800|＝2400（m） 故选：C． 【点评】本题考查正负数、绝对值等正数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16．世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数). 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 －0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【分析】由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量． 【解答】解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克． (2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球 |－0.15|＝0.15，合格品． 【点评】判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关． 题型五： 数轴、相反数、绝对值的综合应用 17．如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上的点表示数，是解题的关键． （1）根据点A表示的数为来确定原点； （2）根据点B在原点右侧3个单位长度处回答； （3）分点C在点B左侧和右侧两种情况解答． 【解答】（1）解：如图，∵点A表示的数是， ∴原点在点A右侧4个单位长度处， 用0表示出原点． ； （2）解：∵点B在原点右侧3个单位长度处， ∴点B表示的数为3． （3）解：∵，点B表示的数为3， ∴当点C在点B左侧时，点C表示的数为， 当点C在点B右侧时，点C表示的数为， 故点表示的数为或． 18．如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 【分析】本题考查数轴、相反数、绝对值，解答关键是确定原点的位置． （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等确定原点位置求解即可； （2）同（1）方法确定原点位置，再根据各点的位置即可求解． 【解答】（1）解：∵点A、B表示的数是互为相反数， ∴原点为线段的中点， ∵点C在原点左边一格位置， ∴点C表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点B、E表示的数是互为相反数， ∴原点为线段中点，即为点C， 点D距离点C5个单位， ∴点D表示的数的绝对值为5； 此时点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 故答案为：5． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $