3.1.1函数的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念，从初中“变量依赖关系”引入，通过高速列车路程、工资计算等问题情境，引导学生发现非空数集、确定对应关系、唯一对应等共同特征，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接初中到高中概念深化。 其亮点是以现实情境为载体，通过问题链引导学生用数学眼光观察数量关系，抽象出函数定义，发展数学思维。例题设计注重定义域求解和函数要素辨析，如判断与y=x是否为同一函数，帮助学生理解概念本质。教师可利用结构化资源提升教学效率，学生通过多情境感知增强应用意识。

人教A版必修一 3.1.1 函数的概念 一 二 一、函数的概念 (1)初中我们已经学习过函数的概念,它是如何用函数描述变量之间的依赖关系的呢? 提示:在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x值,相应地就确定唯一的一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量. 三 课前篇 自主预习 学习目标 1.能够用集合语言和对应关系刻画函数，了解构成函数的要素，建立完整的函数概念； 2.会判断两个函数是否是同一个函数，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用； 3.能求简单函数的定义域，提升数学抽象和逻辑推理素养. 重点：用集合语言和对应关系刻画函数的概念，求简单函数的定义域。 难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念；理解函数的对应关系。 问题1某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t(单位：h）的关系可以表示为S=350t①. 问题2某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ w=350d② 思考：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 对于数集A1中的任意一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应 对于数集A2中的任意一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应 工作时间d天 1 2 3 4 5 6 所得工资w元 350 700 1050 1400 1750 2100 t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}， S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175} 你认为如何描述S和t的关系才更精确？ d的变化范围是数集A2＝{1,2,3,4,5,6}, w的变化范围是数集B2＝{350,700,1050,1400,1750,2100} (3)根据问题3和图3.1-1能找到中午12时的AQI值吗？这个值是唯一的吗？ t1 I1 任意给出时间t 时间t 空 气 质 量 I t的变化范围是数集A3={t|0≤t≤24}， I的变化范围是数集B3={I|0<I<150} 对于A3中的任意一个时刻t，按照图3.1-1中曲线所给的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的I值与之对应。因此，I是t的函数。 t2 I2 (4)问题4按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？类比前三个问题，如何来描述恩格尔系数r和年份y之间的函数关系？ 时间（年）y 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 恩格尔系数r(%) 32.0 30.1 30.0 29.7 29.3 28.6 27.7 27.6 29.2 28.6 年份y的取值范围是数集A4＝{2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021} r的取值范围是数集B4＝{r|0<r≤1} 对于数集A4中的任意一个年份y，按照表格中的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的r与之对应，所以r是y的函数。 (5)由初中函数定义可知上述问题1-4都是函数,它们有哪些共同特征? 提示:(1)每个问题中的都包含两个非空数集,用A,B来表示; (2)两个数集间都有一种确定的对应关系(解析式、图象、表格）, (3)尽管对应关系的表示方法不同：对于数集A中任意一个x,数集B中都有唯一确 定的数y和它对应. 问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在集合 函数值的集合 问题1 A1={t|0≤t≤0.5} S=350t B1={S|0≤S≤175} B1 问题2 A2＝{1,2,3,4,5,6}, w=350d B2＝{350,700,1050,1400,1750,2100} B2 问题3 A3={t|0≤t≤24} 图1 B3={I|0<I<150} C3 问题4 A4＝{2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021} 表1 B4={r|0<r≤1} C4 对应关系 1.一个函数的构成有哪些要素?起决定作用的是哪些?为什么? 2.在函数的定义中,定义域与集合A、值域与集合B 有怎样的关系? 3.新的函数定义与初中的函数定义有什么不同? 提示:定义域A、对应关系f和值域{f(x)|x∈A},共三个要素.起决定作用的是函数对应关系和定义域,因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定,当两个函数的定义域和对应关系相同时,值域一定相同. 提示:定义域就是集合A； 值域是集合B的子集. 提示:初中的定义是从运动变化的观点出发,新定义的对应关系是从集合与对应的观点出发. 函数 一次函数 二次函数 反比例函数 >0 <0 对应关系 定义域 值域 R R R R 新知应用 尝试总结 函数 一次函数 二次函数 反比例函数 对应关系 定义域 值域 课前篇 自主预习 练习1 小试牛刀 A.1              B.2                C.3            D.4 A B 小试牛刀 练习2 下列选项中是函数的是（   ） 例1 求下列函数的定义域: 例 题 讲 解 解： 思考？ 解： 反思感悟求函数的定义域时,常有以下几种情况: (1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R; (2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零0的实数组成的集合; (3)如果函数f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的公共部分的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 总 结 升 华 √ 下列各组函数是同一个函数的是_________. 变式训练 思考：如何判断两个函数是不是同一个函数？ √ 当堂检测 1.D 2.ACD 3. 课堂归纳 总结提升 今天你收获了什么？ 作业：课本67页1、2、3； 《同步》课时作业（十六） 讨论课本63页例1，自学课本64页区间 练规范、练技能、练速度 函数的概念 设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y=f(x), x∈A 定义域 x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 $