第23章 解直角三角形 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（沪科版·新教材）

第23章提优测评卷 ,答案P104 时间：120分钟总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中 只有一个是正确的) 1.(2026·安徽毫州涡阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,下列不能表示 tanB的是( AD CD D. CD A. BD B. BD AD D 邻 B D (第1题) (第2题) (第3题) 2.(2026·安徽芜湖无为期末)如图，在6×7网格中，点A,B,C都是格点（网格线的交点），则siA等 于( ) A. 17√26 B. 17w26 26 130 C②6 17 n 3.(2025·浙江温州鹿城区期末)我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图，两条伞骨所成的角∠BAC= 130°，点D在伞柄AP上，AE=AF=DE=DF=m,则AD的长度可表示为( A.msin65° B.mcos65° C.2msin 65 D.2mcos65° 4.某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的 4 楼梯会加长( ).(参考教据：sin37r≈，os37r号m37r≈ A.6米 B.3米 C.2米 D.1米 童 5. 总 按如图所示的运算程序，能使输出y值为2的是( A.a=60°，B=45° B.a=30°，3=45 C.a=30°，β=30° D.a=45°，3=30° 是 y=sin a 43 输入a, C≥ 输出y值 35 y=cos B 否 0 (第5题) (第6题) 6. 新竹婆点用无人机纸空通临技术 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基 地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135的A处测得试验田右侧边 19 界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则 M,N之间的距离约为().（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈ 0.7,结果保留整数) A.188m B.269m C.286m D.312m 7.(2025·河北沧州期末)如图，鱼竿AC的长为4m.露在水面上的鱼线BC的长为2√2m,将鱼竿 AC逆时针转动15°到AD的位置，此时露在水面上的鱼线DE的长度是( ). A.3m B.2√2m C.2√3m D.3√3m B 1:3 A E B 459 D B -C (1) (2) (第7题) (第9题) (第10题) 8.(2025·湖南常德桃源文昌中学期未)阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关 系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问 题.余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则三角形中 任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍. 用公式可描述为：a2=b2+c2-2 bccosA,b2=a2+c2-2 accos B,c2=a2+b2-2 abcos C.现已 知在△ABC中，AB=2,AC=6,∠B=60°，则BC等于(). A.1+√13 B.1+√/33 C.√33 D.2√3 9.某货运站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带 AB,调整为坡度i=1:√3的新传送带AC(如图所示).已知原传送带AB的长是4√2米，则新 传送带AC的长是( ) A.8米 B.4米 C.6米 D.3米 10.(2025·河南南阳宛城区期末)一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如 图(1)是光束在空气和水中的径迹，如图(2)，现将一束光以一定的人射角a(（ana=)射入 水面GK,此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线1为法线，A,O,D三点共线，若水深 OE为3m,则线段CD的长为(). A.2m B.4m 、2 C.m 9 D.i 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1.已知sna-10-号则锐角&= 12.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠a,∠3如图所示，则si(a+B)= 20 B B E (第12题) (第13题) (第14题) 3.(2025·眉山中考)人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB,AC的长都为2m,当α=65°时， 人字梯顶端离地面的高度约是 m.（结果精确到0.1m,参考依据：sin65°≈0.91， cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 4.如图，正方形ABCD的边长为3，E,F分别是边BC,CD上的动点，且BE=CF,连接BF,DE. (1)若CE=2BE,则sin∠EDC= (2)BF+DE的最小值为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 5.(2026·安徽毫州涡阳期末)计算：2tan60°·cos30°一√2sin45°-3tan30°. 61.如图，在△ABD中，ACBD,BC=8,CD=4,eos∠ABC=等，BF为边AD上的中线. (1)求AC的长； (2)求tan∠FBD的值. B (第16题) 21 第23章提优测评卷 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.在△ABC中，AB=AC=8,∠BAC=120°.求底边BC的长及△ABC的面积. 18.(2025·湖北中考)如图，甲、乙两栋楼相距30m,从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地 面的距离为18m,求乙楼的高.（参考数据：tan35°≈0.7） 35 L■ 18m 30m (第18题) 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.新赞，作围如图，射线BA放置在5×5的正方形虚线网格中，请在图中找出点C,使△ABC为 直角三角形，并且分别满足下列要求. (1)在图(1)中使tan∠ABC的值为1； (2)在图C2②)中使a∠ABC的值为号 (1) (2) (第19题) 实验班提优训练数学九年级上SHKJ 22 20.如图，在一座大山的前方有一栋住宅，已知山高AB=120m,楼高CD=99m.某天上午9时 太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E处，在点A处测得点E的俯角∠EAM=45°，上 午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角∠FAM= 60°.已知每层楼的高度为3m,EF=40m,问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化， 至少要买住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（参考数据： √3≈1.73) M 60 120m 99m 40m B (第20题) 六、（本题12分） 21.对于钝角a,定义它的三角函数值如下：sina=sin(180°一a),cosa=一cos(180°一a). (1)求sin120°，cos120°，sin150的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A,B是这个三角形的两个顶点，siA,cosB 是方程4x2一mx一1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小. 七、（本题12分） 22.(2025·凉山州中考)某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图(1)，货物M与点 O的连线M0恰好平行于地面，BM=3米，∠BOM=18.17°.（参考数据：sin18.17°≈0.31， cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，c0s36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确 到1米) (1)求直吊臂OB的长. (2)如图(2)，直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM=36时， 23 货物M上升了多少米？ B 360 水平线 水平线1.1817 0 M (1) (2) (第22题) 八、（本题14分） 23.新慧某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了 一个简易测角仪，如图(1)所示 (1)如图(2)，在P点观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上A,B两点均在视线PC上 时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为B,请直接用含α的代数式表示3； (2)如图(3)，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B,C 分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B,C,D在同一水平直线 上，BC=20m,求气球A离地面的高度AD.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75) B C D (1) (2) (3) (第23题) 24实验班提优训练数学九年级上SHKJ D 450 163o 1102m dH B 地面 (第11题) 由题意可知，BD=102m. 设AD=xm,∠DCA=45°，∴.DC=AD=xm, tan63° BD_102≈2，DC=AD≈51m, DC ∴.AB=BD-AD≈102-51=51(m). 故测得黄鹤楼的高度约是51m. 12(1)过点D作DE LAB于点E,则DE=BC=24米， BE=CD=1.2米. 在R△ADE中，∠ADE=30',tan∠ADE=Ag, :AE=DEam30°=24X =83(米)， .AB=AE+BE=(83+1.2)米 (2)过点F作FG⊥AB于点G,则FG=BC+DF=24+ 10=34(米)，AG=AB-BG=8√3+1.2-1.2=83（米）. AG8√3 设此时仰角为a,则tana一元-34≈0.407， 通过参考数据可知，tan22°≈0.404，tan23°≈0.42， ∴.a≈22° (3)设测角仪应在距离建筑物底部x米的位置，即BC= x米.此时在Rt△ADE中，DE=BC=x米，∠ADE= 45°，tan45°=1. 'tanADE-AF=AB-BE=8/3+1.2-1.2 8/3(米)，1=83 解得x=83. 故测角仪应在距离建筑物底部8√3米的位置. 竞赛思维空间 2 [解析]（√39）2=62十(3)2， ∴.AB2=BC2十CA2, ∴.△ABC是直角三角形，且∠C是直角. 在R△AMC中，CA=-万，CM=号BC=3, ,∴.∠CMA=30°，'.∠DMB=30°. 在Rt△BDM中，BD=BM·sin∠DMB=3X2=2: 13 2(1).∠B=36°，AB=AC=BD=1, ∠C=36°，∠BDA=∠BAD=72°，∠DAC=36°， ∴∠DAC=∠B,∠C=∠C,△ADCD△BAC 瓷-瓷母CC+1=1 ∴c=15或Dc=125(含. 2 ∴DC=-1+5 2 (2)如图，过点B作BE⊥AD交AD于点E. 鲁104 .'AB=BD=1, .∠DBE=18°， AE-DE-ZAD. E :∠DAC=∠C, B D .'DC=AD=2DE (第2题) =-1+5 ,..DE= -1+5 2 …sin18°-DE=-1+5 BD 4 第23章提优测评卷 1.B 2.B[解析]设每个小方格的边长为1，在△ABC中，AB边 上的高为CM, 则Sam=4X5-号×3X4-号X5X1-2X3X2=8.5 S通过割补法求△ABC的面积 由勾股定理，得AB=√52+1严=√26，AC=√4+3=5. :Se=7AB·CM,8.5=2×V25CM, 1 ∴CM=1726 26 17√26 '.'sin A= CmA= CM 26 17√26 5 130 故选B. 3D4.D5.C 6.C[解析]由题意，得∠N=43°，∠M=35°，AO=135m, B0=A0-AB=95m,在Rt△AON中，tanN=AC NO tan43°，.N0= an43≈l50m在Rt△B0M中，tanM= AO Mtan 3MO-ta135.7m MNMO+ BO BO N0=135.7+150≈286(m).故选C. 7.C[解析]'sin∠CAB=BC-22-V2 AC 4 2 .∠CAB=45° ∠DAC=15°， .∠DAE=∠DAC+∠CAB=15°+45°=60°. 由旋转，得AD=AC=4m, ∴DAE=血60-5-停解得DE=25n 故选C 8.B[解析].AB=c=2,AC=b=6,∠B=60°，BC=a, b2=a2+c2-2accos B, 62=a2+22-2aX2Xcos60°， 1 即36=a2+4-4a×2,化简整理，得a2-2a-32=0, 解得a1=1十√33，a2=1-√33（舍去）， .BC=1+√33.故选B. 9.A[解析]如图，过点A作AD⊥CB交CB的延长线于 点D. A :∠ABD=45°，∴.AD= 1:3 BD..AB=4V2,..AD= BD=AB·sin45°=4√2X 45 =4米) B C 2 (第9题) 坡度i=1:√3， 贺流方圆心=8米， ∴.AC=√AD2+DC2=8米.故选A 思路得解一般三角形、求三角形的边或高的问题一 般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高 线.根据三角函数分别求AD,BD的长，从而得到CD的 长，再利用勾股定理求AC的长即可. 10.C[解析]如图， B e是1 E (第10题) 由题意，得a=∠1，∠OEC=90°， .∠EOC+∠EC0=90°. ,∠B0C=90°，∴.∠1+∠EOC=180°-∠B0C=90°， .∴.∠1=∠EC0,.a=∠ECO. :∠EOD=a,.tana=tan∠ECO=tan∠EOD=号 3 在Rt△ECO中，OE=3m, OE 39 ..CE= tan∠ECo 4 4(m). 3 在Rt△EOD中，DE=OE·ta∠EOD=3X号=4(m), 3 CD=DE-CE=4号-子m.故选C 11.70° 2 [解析]如图，连接DE, D (第12题) 在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC,∴.∠a=30° 同理得∠CDE=∠CED=30°=∠a.又∠AEC=60°， ∴.∠AED=∠AEC+∠CED=90°. 设等边三角形的边长为a, 则AE=2a,DE=2Xsin60°·a=√3a, AD=√AE2+DE=√(2a)2+(W3a)2=√7a. a+》铝会识 13.1.8[解析]如图，过点A作AD⊥BC于点D, 则∠ADC=90°. 在Rt△ADC中，AC=2m,a=65°， ,.AD=AC·sin65≈2X0.91≈1.8(m). 故人字梯顶端离地面的高度约是1.8m 42 ,[解析]：正方形ABCD B (第13题) 的边长为3，CE=2BE,∴∠C=90°， 答案6D详解◇ BC=CD=3,CE=号c=2。 ∴.DE=√CE2+CD2=√22+3z=√13， m∠EDC=票-2-2E DE√1313 (2)3√5[解析]如图(1)，连接AE. ,四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠BCF=90°，AB=BC. 又BE=CF,∴.△ABE≌△BCF(SAS),.AE=BF, .BF十DE的最小值等于AE+DE的最小值， B E (1) (2) (第14题) 如图(2)，作点A关于BC的对称点H,连接BH,则A, B,H三点共线，连接DH,DH与BC交点即为所求的点 E.根据对称性可得AE=HE, ∴AE+DE=HE+DE=DH. 在Rt△ADH中，AD=3,AH=AB+BH=3+3=6, .DH=√AD2+AH=√32+62=3√5， ∴BF+DE的最小值为3W5. 归纳总结本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、锐 角的三角函数、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练 掌握以上知识点的应用是解题的关键. 15.2tan60°·cos30°-√2sin45°-3tan30° -2x同x号反x号3x得 =3-1-√3 =2-√5. 6 ACIBD.ADC--6-号BC=8, .AB=10. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AC=√AB2-BC2=√102-8=6， 即AC的长为6. (2)如图，连接CF,过点F作BD的垂线，垂足为E. ,BF为边AD上的中线， 即F为AD的中点， ∴CF=2AD=FD, ▣ 在Rt△ACD中， B C 由勾股定理，得 (第16题) AD=√/AC2+CD2=√62+4=2/13. +CF-DF,FELCD,:CE-zCD-2. 在Rt△EFC中，EF=√CF2-CE=√/13-4=3， 105◆ ◇实验班提优训练数学九年级上SHKJ LFBD是CCE是 3 17过点A作AD⊥BC于点D,则∠BAD=号∠BAC=6O, BD=号BC.在R△ABD中，AD=AB·c0s60=4, BD=AB·sin60°=4V3, BC=85,5A=AD·BC=165. 故底边BC的长为8√3，△ABC的面积为16√3. 18.如图， 135 18m 30m 于百 工百 甲E D乙 (第18题) 由题意，得四边形AEDC为矩形，∠BAC=35°，AE= 18m,DE=30m, ∴.∠ACB=180°-∠ACD=180°-90°=90°，CD=AE= 18 m,AC=DE=30 m. :在R△ABC中，tan∠BAC-C, '.BC=AC·tan∠BAC=30Xtan35°≈30X0.7= 21(m),∴.BD=BC+CD≈21+18=39(m). 故乙楼的高约为39m. 19.(1)答案不唯一，如图(1)，点C即为所求，tan∠ABC=1. B (1) (2) (第19题) (2)答案不唯一，如图(2)，点C即为所求，tan∠ABC= 3 20.根据题意可知，四边形ABDM是矩形， ∴.AB=MD=120m. 在Rt△AME中，ME=AM·tan45°=AM. 在Rt△AMF中，MF=AM·tan60°=√J3AM. .EF=MF-ME=40 m, .'√3AM-AM=40,解得AM=(20V3+20)m. '.MF=√3AM=(60+203)m. .DF=MD-MF=60-20√3≈25.4(m). 25.4÷3≈8.5.8.5>8， ∴.至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光 线照射到该层楼的外墙. 21.(1)由题意，得sin120°=sin(180°-120°)=sin60°- 2, c0s120°=-c0s(180°-120)=-c0s60°=-2， 1 sn150=sim(18o-150)=m30=2 ◆106 (2)三角形的三个内角的比是1：1：4，三角形的内角 和为180°， 三个内角分别为30°，30°，120° →各角度数不明确，注意分情况讨论 ①当∠A=30,∠B=120时，方程的两根为2，一2，将 =号代人方程，得4X(分)°-m×号-1=0，解得m=0 经检酸，x=一合是方程4红2-1=0的根， ∴m=0符合题意； ②当∠A=120,∠B=30时，方程的两根为号，号，不符 合题意； 1√3 ③当∠A=30,∠B=30时，方程的两根为2，乞， 将：一代人方程得4X(侣) -m×号-1=0， 解得m=0. 经松食：-号不是方程红-1一0的根，不符合冠意. 综上所述，m=0,∠A=30°，∠B=120°. 22.(1)由题意，得BM⊥OM. .∠BOM=18.17°，BM=3米， MB 3 在R△BOM中，OB-sin∠BOM≈0.3i≈10（米）. 故直吊臂OB的长约为10米. (2)如图，记旋转后的点B,M的对应点为B',M',延长 B'M交OM于点F,过点B作BE⊥B'F于点E,则 ∠BEF=90°. B M 水平线0 .1181巾 M (第22题) 由题意，得B'M'=BM=3米，OB'=OB=10米. .∠BEF=∠EFM=∠BMF=90°， .四边形EFMB为矩形，∴.BM=EF=3米. 在Rt△B'OF中，B'F=OB'·cos∠OB'M≈10X0.81= 8.1(米)，.MF=B℉-BM=8.1-3=5.1≈5（米）. 故货物M约上升了5米. 23.(1)根据题意，得B=90°-a (2)设AD=xm, ·∠ACD=45°，∠ADB=90°，.CD=AD=xm. ,BC=20m,.BD=(20+x)m. 在RtAABD中，tan∠ABD-C, x 六tan37°=20千即0.75=20十z解得x=60, 经检验，x=60是分式方程的解，∴，AD=60m 故气球A离地面的高度AD约为60m. 综合与实践 1.获取最大利润 [观察感知] (1)由题意，得(170-2x)x-(500+30.x)=1750, 解得x1=25,x2=45.