第23章 解直角三角形 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（沪科版·新教材）

第23章 解直角三角形 知识梳理导图 sinA=∠A的对边 斜边 在直角三角形中，除直角外， C0SA=∠A的邻边 概念 由已知元素求出未知元素的过 斜边 锐角三角函数的概念 程，叫作解直角三角形 tanA=∠A的对边 ∠A的邻边 锐 解 已知两边解直角三角形 特殊角的三角函数值 自 解直角 角 类型 已知一个锐角及 sin2A++cos2A=1 三角形 一边解直角三角形 tan A=sin A 同角三角函数间关系 函 cosA 形 应用 构造直角三角形解决实际问题 已知度数求三角函数值 计算器求锐角 已知三角函数值求度数 三角函数值 重难疑点解法 上分点1锐角三角函数的概念 名师启发 根诺cas45-受n0 2 例1(2026·安徽合肥第四十六中学期末)如图， tan60°=√3，tan45°=1，依次代入求解. △ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则sinA的 值为( ) A 2 方法技巧 名师启发根据勾股定理，可得AC的长，根据 本题主要考查了三角函数值的计算，解答此题 锐角三角函数的正弦等于对边比斜边可得答案。 的关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值. 中归纳总线 本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边， 上分点3解直角三角形 再求锐角三角函数的正弦值 例3(2024·连云港中考) D 分上分点2特殊角的三角函数值及其应用 如图，将一张矩形纸片ABCD 上下对折，使之完全重合，打开 例2(2026·安徽合肥包河区期末)计算： B-= G 后，得到折痕EF,连接BF.再 2sin30° c0s245° tan60°-tan45: 将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕 为AG.若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五 D24 第23章 等分点，AB=4,则BC的长为 定义得出品求出x一得即可得D下的长。 38 名师启发设AG与BF交于点M,BG=a,则 BC=5a,由勾股定理求出AG,BF,等积法求出BM, 然后根据勾股定理求出DC的长，最后比较即可. 根据cOs∠FBC-,列出方程进行求解即可. 型归纳总结 本题考查了矩形折叠、勾股定理、解直角三角 形，难点是分解图形，找到等量关系，列出等式. 分上分点4解直角三角形的应用 例4(2026·安微合肥第四十五中学期末)“限速红 线不可碰，安全底线记心间”，为了解“金寨路高架”芜 湖路出口下坡路段车辆行驶速度，在离下坡路终点 3米处（即AC=3米）的电线杆上安装一个电子眼进 合方法技巧 行区间测速，电子眼位于点B处，区间测速的起点为 利用锐角三角函数解直角三角形时，要把已知 坡面点D处，此时电子眼的俯角为10°；区间测速的 条件和要求的量定位在一个直角三角形中，如果直 终点为下坡路终点C处，此时电子眼的俯角为53° 角三角形不存在，可以作辅助线来构造直角三角形. (A,B,C,D四点在同一平面内). 例5研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色 B 记忆”，学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄 河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模 搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据. (1)∠EBD= °，∠EBC= 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的 (2)求电线杆AB的高度； 长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平 (3)已知“金寨路高架”芜湖路出口下坡路段CD 地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点 坡比=1：3，如果该路段限速8写米/秒，某汽车用 C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN 时1秒匀速通过测速路段CD,该汽车是否超速？请 方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD= 说明理由.（参考数据：sin53°≈ 3 37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米； ，c0853≈号， 4 tam53≈，sin10≈0.17，cos10≈0.98，tan10≈ 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内， E,A,B三点在同一条直线上.请根据上述数据，计算 2 w10≈3.16) 纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长.（结果精确 名师启发本题考查了解直角三角形的应用，矩 到1米.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95， 形的判定与性质，解题的关键是： tan18.4°≈0.33) (1)根据俯角的定义解答即可； (2)在Rt△ABC中，根据正切的定义求解即可； (3)过点D作DF⊥AC于点F,DG⊥AB于点 G,则四边形AFDG是矩形，得出AG=DF,DG=AF, C D DG/AF//BE,进而求出∠BDG=∠EBD=10°，设DF= AG=x米，根据坡比定义求出F℃=3x米，BG=(4 x)米，DG=(3+3x)米，在Rt△BDG中，根据正切的 254 实验班提优训练数学九年级上SHKJ 归纳总结 名师启发延长CD交AB于点H,根据矩形的 本题考查解直角三角形的应用一仰角、俯角 性质得到HB=CM=20米，解直角三角形即可. 问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合 的思想解答.解直角三角形是初中数学重要的知识 点，在综合题中常与相似结合考查.难，点是如何把 不规则的图形转化为特殊的四边形和直角三角形， 一般情形下我们是通过作水平线的垂线和平行线 构造直角三角形，也可以通过作重要直线的垂线来 构造直角三角形 易错易混辨析 )易错点1混淆特殊角的三角函数值 例计算：3° () ·sin30°+√8·cos45. 解析3-1，() =2,sin30°=28= 1 B C 解答(1)如图，延长CB,过点A作AD⊥BC, 2V2,c0s45°=2 ∠ABC=135°，∠ABD=45°. 原武=1-4X}+8×号-1-2+2=1 在Rt△ABD中，AB=2W2,∠ABD=45°， 答亲 2 .AD=AB×sin45°=2， 辨析归纳 △ABC的面积=2BC·AD=1. 本题考查了实数的混合运算，先根据相关知识将 算式简化，然后按实数运算法则进行计算即可解答 (2)∠ABD=45°，∠D=90°， ∴△ABD是等腰直角三角形. 巩固特划 AD=2,.DB=2, 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4,BC=2W3,则 .DC=DB+BC=2+1=3, 在Rt△ACD中，AC=√AD2+DC=√W13】 2.(2025·淮安淮安区模拟)计算：cos30°·tan60°十 4sin 30. B 辨析归纳 求解三角形时，必须说明所求三角形为直角三 角形或通过添加辅助线转化为直角三角形进行 求解 )易错点2 求解三角形时，忽视直角三角形 而出错 巩固特训 例2(2025·山东淄博周村区期末)在△ABC中， 3.(2025·江苏无锡梁溪区期末)已知△ABC中，∠A ∠B=135°，AB=2W2,BC=1. 30°，AB=6. (1)求△ABC的面积； (1)如图(1)，若∠C=90°，则AC= (2)求AC的长. (2)如图(2)，若∠C=45°，求AC的长. 26 第23章 .PE2=16+(12+x)2=AP2+AE2=81+ 15 x2+132,解得x= (1) (2) 学上济送，BP药长为号减安6 (第3题) 答亲 或6 辨析归纳 本题主要考查了解直角三角形的相关知识，容 易出现错误的地方是题意给出的动，点是在直线 BC上，即存在三角形的三个角都有可能是直角三 种情况，解答此类问题关键是要仔细审题，采用数 形结合思想及分类讨论思想解答 饥固特 4.(2025·北京清华附中期中)在△ABC中，AB=√5， tan B=1 2,AC=√2，则BC= 把实际问题转化为解直角三角 )易错点3忽视不同的情况而致错 易错点4 形问题出错 例3在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在 例4在综合与实践活动中，要利用测角仪测量 边CD上，且CE=4,点P是直线BC上的一个动点，若 塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台， △APE是直角三角形，则BP的长为 已知CD=6m,∠DCE=30°，点E,C,A在同一条水平 解析由题意知，△APE是直角三角形. 直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角 .AB=CD=9,CE=4,..DE=5, 为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°. .AE=√AD2+DE2=√122+5=13. (1)求DE的长； 分三种情况讨论： (2)设塔AB的高度为h.(单位：m) ①∠APE=90°.设BP=x,则CP=12-x. ①用含有h的式子表示线段EA的长；（结果保 .AP2=AB2+BP2=92+x2,PE2=CE2+ 留根号) CP2=4+(12-x)2, ②求塔AB的高度.(tan27°取0.5，W3取1.7，结 ∴.AE2=132=AP2+PE2=81+x2+16+(12-x)2, 果取整数) 整理，得x2一12x十36=0，解得x=6. ②∠AEP=90°.设BP=x,则CP=12-x. .AP2=AB2+BP2=92+x2,PE2=CE2+ CP2=42+(12-x)2, D1279 ∴.AP2=81+x2=AE2+PE2=132+16+(12 1308 45 2,解得x= 解析(1)根据题意，在Rt△DEC中，利用含 ③∠PAE=90°，设BP=x,则CP=12+x. 30°角的直角三角形的性质进行计算即可解答； .AP2=AB2+BP2=92+x2,PE2=CE2+ (2)①在Rt△DEC和Rt△ABC中，利用锐角三 CP2=42+(12+x)2, 角函数的定义分别求出EC和AC的长，从而利用线 274 实验班提优训练数学九年级上SHKJ 段的和差关系进行计算，即可解答；②过点D作 辨析归纳 DF⊥AB,垂足为F,根据题意可得DF=AE= 本题考查了解直角三角形的应用—仰角、俯 (3√3+h)m,DE=FA=3m,则BF=(h-3)m,然 角问题，构造仰角所在的直角三角形是常用的解直角 后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出 三角形的方法.在进行测量时，从下向上看，视线与水 平线的夹角叫作仰角；从上往下看，视线与水平线的 BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答， 夹角叫作俯角. 答案(1)由题意，得DE⊥EC, 在Rt△DEC中，CD=6m,∠DCE=30°， 巩固特训 ÷DE=2CD=3m故DE的长为3m 5.(2026·安徽毫州蒙城期末)洗手盆上装有一 (2)①由题意，得BA⊥EA, 种抬启式水龙头（如图(1）)，完全开启后， 在Rt△DEC中，DE=3m,∠DCE=30°， 洗手盆及水龙头示意图如图(2)，把手与 iamm. ..CE=DE 水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B 和落水点C在同一条直线上，其相关数据为AM= 在Rt△ABC中，AB=hm,∠BCA=45°， 10cm,MD=6cm,DE=22cm,求落水点C到洗 ·AC=AB tan 45=h m,AE=EC+AC= 手盆边的宽度EC.（结果取整数，参考数据： (33+h)m,.线段EA的长为(33+h)m. sin37≈3 ,c0s37°≈4 ,tan37≈3 w3≈1.7) ②如图，过点D作DF⊥AB,垂足为F. M37 D B 127 60° 30人459 (1) (2) C (第5题) 由题意，得DF=EA=(3√3十h)m,DE=FA=3m. .'AB=h m,.'.BF=AB-AF=(h-3)m 在Rt△BDF中，∠BDF=27°， .BF=DF·tan27°≈0.5(3√3+h)m, ∴.h-3≈0.5(3√3+h), 獬得h≈3√3+6≈11，∴.AB≈11m. 故塔AB的高度约为11m. 素养考向提分 新情境 AB=60米，∠PAB=79°，∠PBA=64°.画出示意 例1[实践课题]测量湖边观测点A和湖心岛上 图，如图(1). 鸟类栖息点P之间的距离. [问题解决](1)计算A,P两点间的距离. [实践工具]皮尺、测角仪等测量工具 (参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98， [实践活动]某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸 cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75) 边选取合适的点B.测量A,B两点间的距离以及 [交流研讨]甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一 ∠PAB和∠PBA,测量三次取平均值，得到数据： 种方案：如图(2)，选择合适的点D,E,F,使得A,D,E ，28 第23章 在同一条直线上，且AD=DE,∠DEF=∠DAP,当F,笔反日 D,P在同一条直线上时，只需测量EF即可. 1.回雁峰坐落于衡阳雁峰公园， 十二峰之首，王安石曾赋诗 雁，寻常到此回”，峰前开辟 中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小 组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测 得以下数据：如图，AE=10m,∠BDG=30°， ∠BFG=60°.已知测角仪DA的高度为1.5m,则大 m(结果精确到 (1) (2) 雁雕塑BC的高度约为 (2)乙小组的方案用到了 ,(填写正确答 0.1m,参考数据：√3≈1.732) 案的序号) ①解直角三角形；②三角形全等. [教师评价]甲、乙两小组的方案都很好，对于实 际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案。 D30° F60° G 解析(1)过点B作BH⊥AP于点H,先求解 A E C AH=AB·cos79°，BH=AB·sin79°，再求解 (第1题) ∠APB的度数和PH的长即可； 2.(2025·绍兴嵊州模拟)如图(1)是某机器人在展示中 (2)由全等三角形的判定方法可得△ADP≌ 国功夫时的精彩瞬间，图(2)是其瞬间的几何示意 △EDF,可得AP=EF,从而可得答案. 图，机器人的一条腿AB直立于地面MN,另一条 答案(1)过点B作BH⊥AP于点H. 腿的大腿部分AC与AB所成的角度为140°，小腿 .AB=60米，∠PAB=79°， 部分CD刚好平行于地面MN,即AB⊥MN于点 .AH=AB·cos79°≈60X0.19=11.4(米)， B,∠CAB=140°，CD∥MN.已知AB=60cm, BH=AB·sin79°≈60×0.98=58.8（米）. AC-35cm,CD=25cm.CE是机器人小腿CD ∠PAB=79°，∠PBA=64°， 上踢后与大腿AC在同一直线上的瞬间.（这里的 ∴.∠APB=180°-79°-64°=37°， 小腿CD,CE都包括脚面部分). tan∠APB=tan37°=BIH (1)求∠DCE的度数； PH≈0.75， (2)求点E距离地面的高度.（结果精确到1cm.参 PH≈58,8=78.4（米）， 考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈ 0.75 1.192) .AP=AH+PH≈11.4+78.4=89.8（米）. 故A,P两点间的距离约为89.8米 (2)②提示：当F,D,P在同一条直线上时， ∠ADP=∠EDF.,AD=DE,∠DAP=∠DEF, ∴.△ADP≌△EDF(ASA),.AP=EF, (1) (2) ∴.只需测量EF即可得到AP的长度， (第2题) ∴.乙小组的方案用到了②. 的点拨本题考查了解直角三角形的应用及全等 三角形的判定与性质的应用，灵活应用知识点构 造直角三角形是解本题的关键 291 实验班提优训练数学九年级上SHKJ 传统文化 (2)如图，过点A1作A1D⊥BC于点D 例2图1)是古代数学家杨辉在《详獬九章算法》中 √2 在R△CA,A中，AA1-m,∠CA,A=76, 对“邑的计算”的相关研究数学兴趣小组也类比进行了如 下探究：如图(2)，正八边形游乐城A1A2A3AA5A6A,Ag gCA,=AA2·tam76≈号X400=22m 的边长为号km,南门0设立在边AA,的正中央， 在Rt△CA1D中，∠CA1D=90°-45°=45°， 游乐城南侧有一条东西走向的道路BM,A,A,在 AD-CA·cs45=22X 2 =2.0(km. BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一 故点A1到道路BC的距离约为2.0km. 条南北走向的道路BC,C处有一座雕塑.在A1处测 得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏 东59°方向上. 599 0 599 AEG B A (3)如图，连接CAg并延长交BM于点E,延长 A1Ag交BE于点G,过点A:作A8F⊥BC于点F. B :正八边形的外角均为45°， (1) (2) 1 (1)∠CA1A2= °，∠CA2A1= 心在Rt△A,A。G中，AG=2km, (2)求点A1到道路BC的距离. (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB aFB=A,G=号km 向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观 又AF=A,D=CD≈2km,DF=A,A,-Y号km, 2 察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km, 参考数据：√2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00， CB=CD+DF+FB≈5+2 2 km. sin59°≈0.86，tan59°≈1.66) 解析(1)求出正八边形的一个外角的度数，再 ∠CFAg=∠B,∠FCA8=∠BCE, 根据角的和差关系进行求解即可； ∴.Rt△CA8Fc∽Rt△CEB, (2)过点A1作AD⊥BC于点D,解 Rt△CA2A1,求出CA1=A1A2·tan76°，解 器 AsF ② 12 2 EB,即 5+√2 ≈EB Rt△CA1D,求出AD=CA1·cos45°，即可求解； 2 (3)连接CAg并延长交BM于点E,延长A1Ag交 √2≈1.41，∴.EB≈2.4km. BE于点G,过点A8作AF⊥BC于点F,通过解 经检验，EB≈2.4是原方程的解，符合题意， Rt△A,AG,求出AG,证明Rt△CA FORU△CEB,列 故小李离点B大约不超过2.4km,才能确保观 出比例式进行求解即可. 答案(1)9076提示：.正八边形的一个外 察雕塑不会受到游乐城的影响。 角的度数为。 =45°， 的点拨本题考查了正多边形的外角、解直角三角 ∴.∠CA1A2=45°+45°=90°，∠CA2A1=180° 形及相似三角形的判定和性质，掌握综合推理 能力是解题的关键 45°-59°=76°. 30 第23章 绳反白 跨学科 3.圭表（如图(1）)是我国古代一种通过测量正午日 例3单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某 影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立 兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探 的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆 究，并撰写实验报告如下 放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳 照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日 验主 探究摆球运动过程中高度的变化 影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的 那一天定为夏至.图(2)是一个根据某市地理位置 设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC,已知 实验用具 摆球、摆线、支架、摄像机等。 该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC)为37°，夏至 正午太阳高度角（即∠ADC)为84°，圭面上冬至线 如图(1)，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个 与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米. 摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动. 实 (摆线的长度变化忽略不计) 夏至正午阳光 冬至正 验 如图(2)，摆球静止时的位置为点A,拉紧摆线 夏至米 冬至 午阳光 说 将摆球拉至点B处，BD⊥OA,∠BOA=64°， 明 举 BD=20.5cm;当摆球运动至点C时， 南 ∠COA=37°，CE⊥OA.(点O,A,B,C,D,E 日影 北 C D B 在同一平面内) (1) (2) (第3题) (1)求∠BAD的度数； 实 验 (2)求表AC的长.（结果精确到0.1米.参考数 图 示 据：sin37°≈号，c0s37”≈ 3 4 (1) (2) am84*》 解决问题：根据以上信息，求ED的长.（结果精 确到0.1cm) 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75,sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05. 解析利用锐角三角函数先求解OD,OB,OC, 再求解OE,从而可得答案。 答案.BD⊥OA,∠BOA=64°，BD=20.5cm, ..OD= BD20.5 tan64°≈2.05 =10(cm), OB= BD≈20.5≈22.78(cm), sin64e≈0.90 .OC=OB≈22.78cm. .∠COA=37°，CE⊥OA, ∴.OE=OC·cos37≈22.78X0.80=18.224(cm), .DE=OE-OD≈18.224-10≈8.2(cm). 314 实验班提优训练数学九年级上SHKJ 故ED的长约为8.2cm. 5.(2025·景德镇模拟)如图是液体过滤的实验装置的侧 品点迈本题者杏的是解直角三角形的实际应用。 面示意图，已知底座高度AB=3cm,烧杯高度 EF=12cm,漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥 熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的 形部分MN=GH=8cm,且∠MNH=∠GHN= 关键 60°，漏斗管位于烧杯的上方部分FG=6cm,玻璃 样反白 棒斜靠在三层滤纸的点P处，PG-号GH,玻璃棒 4.实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如 PQ长度为30cm.(结果精确到0.1cm,参考数据： 图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为 sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√3≈ 试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三 1.73) 分之-处已知试管AB=24cm,BE-号AB,试 (1)求漏斗口处点N到底座AD的高度； 管倾斜角a为10°. (2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为53°， (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度（结 求此时玻璃棒顶端点Q到桌面的距离. 果精确到0.1cm); 10 (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN时，延长BM 交CN的延长线于点F,且MN⊥CF(点C,D, N,F在同一条直线上)，经测得：DE=27.36cm, MN=8cm,∠ABM=145°，求线段DN的长度. (结果精确到0.1cm.参考数据：sin10°≈0.17， cos10°≈0.98，tan10°≈0.18) 高锰酸钾 蓬松的棉花团 A&E B (第4题) 法 例4定义：在△ABC中，∠C=30°，我们把 的对边与∠C的对边的比叫作∠A的邻弦，记作 thiA,即thiA=∠A的对边_BC ∠C的对边AB' 请解答下列问题： 已知：在△ABC中，∠C=30°. (1)若∠A=45°，求thiA的值； (2)若thiA=√3，则∠A= (3)若∠A是锐角，探究thiA与sinA的数量关系. 32 第23章 解析(1)如图，作BH⊥AC,垂足为H.根据锐 举反白 角三角函数的定义即可得到结论； 6.阅读下列材料： (2)根据特殊角的三角函数值即可得到结果； 在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a, (3)根据锐角三角函数的定义即可得到结论. bc,求证A- b 答案(1)如图(1)，过点B作BH⊥AC,垂足 为H. 证明：如图(1)，过点C作CD⊥AB于点D, 在Rt△BCD中，CD=asin B, 在Rt△ACD中，CD=bsin A, as如B=bsnA,∴AB b (1) 在Rt△BHC中，sinC= BH 1 根据上面的材料解决下列问题： BC 2' (1)如图(2)，在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的 ∴.BC=2BH. b。c 在R△BHA中，sinA=Bg-2】 边分别为a,b,c,求证：sinB-sinC AB 2 (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市 AAB=2BH,∴hiA-B 2. 积极优化旅游环境.如图(3)，规划中的一片三角形 区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC= (2)60或120提示：如图(2)，过点B作BH⊥ 80米，求这片区域的面积.（结果保留根号.参考数 AC面iA-5%-有BC=5AB 据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9) ∠C=30,BH=号5c- 2AB, D mA-器-号/A=80 53o (1) (2) (第6题) (2) 如图(2)，根据对称性，当△A'BC是钝角三角形 时，∠BA'C=120°. 综上所述，∠A=60°或120°. (3)如图(I),在△ABC中，thiA=BC, AB' 在Rt△BHA中，sinA= BH AB’ 在R△BHC中，sinC- BH 1 BC=2' 即BC=2BH,∴.thiA=2sinA. 心点拔本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角 三角函数的定义是解题的关键 334,S>0,解得S≥6+6√2， ∴.S的最小值为6+6√2，即△EFG面积的最小值 为6+6√2. 6.(1)由题意，得AP=t,BQ=2t, .BP=15-t,CQ=24-2t. .15÷1=15(秒)，24÷2=12（秒），.0<t≤12. 0Ac器误即5后-会得=号 'AB 人平行线分线段成比例 a当-时，PQAC (2)当t=10时，使得△PCQ的面积等于6.理由 如下： 如图(1)，过点A作AF⊥BC于点F,过点P作 PH⊥BC于点H, 则AF/PH,△BPHO△BAF,.PH=BP ·AF-BA AB-AC,AFLBC.:.BF-CF-7BC-12, ∴.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF= VAB2-BF=V15-12=9,:.PH_15-t, 9 15, HQPH-6, 即224-2)(9-)=6， 解得t1=10,t2=17.0<t≤12，.t=10, 勿忘判断运动时间，避免出酷← ∴.当t=10时，△PCQ的面积等于6. Q F M (1) (2) (第6题) 《③存在=贺使得PQLR理由如下： 如图(2)，过点A作AF⊥BC于点F,AM⊥BE于 点K,交BC于点M,过点E作EN⊥BC于点N, ，44 则AF=9,BF=CF=12. :E是AC的中点，AE=EC=)AC 1 2, EN-2AF-2.CN-2CF-6. .BN=BC-CN=24-6=18, ∴.在Rt△BEN中， BE-vN于N-V18+(- 2· ,'S△ABC=2S△ABE, ÷2AF·BC=2X2BEAK, ..AK= 吉Ap.Bc吉x9x21 24/17 BE 9/17 17 在Rt△ABK中，BK=√AB2-AK= Vis-) 57W/17 17 .∠BKM=∠BNE=90°，∠MBK=∠EBN, .△BMKの△BEN, 57/17 纸然 17 9/17 18, 2 2 M=571 68 ,BM=57 Γ4 .PQ⊥BE,AM⊥BE,∴.PQ∥AM, 器即5后萄解得需 15 Γ57 “存在1 ,使得FQLBE. 285 第23章解直角三角形 例D[解析]如图， D B 在Rt△CDA中，由勾股定理，得 AC=√CD2+AD2=√22+4=2√5. 由锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，得 sin A= CD_25 AC2√55 .故选D. 2×2 例2原式= √5-1 1 23-1 1 √3+1 2(3-1)(3+1) =13+1=一3 2 2 21 例32√I0[解析]如图，设AG与BF交于点M. D B .四边形ABCD为矩形， ∴.∠ABC=∠C=90°，AB=CD=4. 由折叠可知，CF=CD=2,AG1BH. 设BG=a,则BC=5a,∴.AG=√AB+BG= √16+a2,BF=√BC+CF2=√25a2+4. 1 :SAA=2AB·BG=2AG·BM, →用等面积法表示出线段长度 ∴BM=AB·BG 4a AG √a2+16 .∠BMG=∠C=90°， coS∠FBC=BM_BC BG BF' ∴.BM·BF=BG·BC, Aa ·√25a2+4=a·5a, √a2+16 解得a1=0(舍去)，a2= 2(会去，-2 5 经检验，a=2√10 5是原方程的解，且符合题意。 .BC=5a=2√10. 例4(1)1053 (2)由题意知BE∥AC,.∠ACB=∠EBC=53°. 在Rt△ABC中，AB=AC·tan∠ACB=3tan53°≈ 3×4=4(米). 31 故电线杆AB的高度为4米. (3)不超速.理由如下： 如图，过点D作DF⊥AC于点F,DG⊥AB于点G, E 则四边形AFDG是矩形， ..AG=DF,DG=AF,DG//AF//BE, .∠BDG=∠EBD=10. 设DF=AG=x米， .CD的坡比i=1:3,.FC=3x米， ∴.BG=(4-x)米，DG=AF=(3+3x)米 在R△BDG中，m∠BDG=m10-C, 小品品解得x=即DF-器米。 4-x2 CF=8DF-普米， DC=√CF+DF_38,0米. 17 38V0<8 125 17 -3’ ∴.该汽车不超速. 例5如图，延长CD交AB于点H. M 由题意，得四边形CMBH为矩形， ∴.HB=CM=20米. 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，∠ACH=18.4°， ∴.tan∠ACH= AH CH' 454 ∴CH=AH AH AH tan∠ACH-tanl8.4o≈o.33: 在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=37°， ∴mBCH-8器， .CH-taCH EH 设AH=x米. .AE=9米，.EH=(x+9)米， x十9 “0.33≈0.75，解得x≈7.1， ∴.AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）. 故纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长约为27米 巩固特训 1.2 [解析在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4,BC= 2v3,.sin A-BC_2/3_3 AB-42 ∠A=60,sin号-sn30=2 A 2原武-号×5+4x-2+?=名 3.(1)3√3[解析]因为∠C=90°，∠A=30°， 所以cosA-AS=cos30. 所以AC-9所以AC=35。 (2)如图，过点B作AC的垂线，垂足为M. 在Rt△ABM中， sin A-AB' BM 所以子， (第3题) 所以BM=3. 同理可得AM=3√3. 在Rt△BCM中， mC-器所以品=1，所以CM=3, 3 所以AC=AM+CM=3W3+3. 4.3或1[解析]依题意有以下两种情况： ，46 ①当∠C为锐角时，过点A作AD⊥BC于点D, 如图(1)所示： (1) 在Rt△ABD中，AB-5,tanB=AD=1 BD2 ∴.BD=2AD 由勾股定理，得AB=√AD十BD?= √AD2+(2AD)2=√5AD, √5AD=√5， ∴AD=1,∴.BD=2AD=2. 在Rt△ACD中，AC=√2，AD=1, 由勾股定理，得CD=√AC2一AD2=1, ∴.BC=BD+CD=3; ②当∠C为钝角时，过点A作AE⊥BC,交BC的 延长线于点E,如图(2)所示： C (2) (第4题) 在R△ABE中，AB-5,amBE-, .BE=2AE. 由勾股定理，得AB=√AE十BE= √AE+(2AE)=√5AE,5AE=√5， ∴.AE=1,.BE=2AE=2. 在Rt△ACE中，AC=√2，AE=1, 由勾股定理，得CE=√AC2一AE2=1, ∴.BC=BE-CE=1. 综上所述，BC的长为3或1. 5.如图，过点A作AG⊥EC于点G,过点M作 MN⊥AG于点N, M37 D B 60° G (第5题) 则四边形MEGN为矩形， .'.EG=MN,NG=ME-MD+DE=6+22- 28(cm) 在Rt△AMN中，sin∠AMN=AN, AM' cos∠AMN= MN AM' AN=AMXsin37°≈10X3=6(cm),MN= 5 AMXos37r1≈0X号-8(cm）， ∴.EG≈8cm,AG=AN+NG≈6+28=34(cm). .'在Rt△AGC中，∠ACG=60°， AG 3434√3 ..CG= an∠Acc≈5 3 ≈19.3(cm), ∴.EC=EG+CG≈8+19.3≈27(cm). 故落水点C到洗手盆边的宽度EC约为27cm. 疑难疾破解决实际问题需要我们将实际问题抽象 为数学问题，建立数学模型，通过合理的逻辑推理、 数学运算来使问题得到解决。 释反9 1.10.2[解析]，∠BDG=30°，∠BFG=60°， ∴.∠DBF=∠BFG-∠BDG=30°， .∠DBF=∠BDG, ∴.BF=DF=AE=10m, ∴.BG=BF·sin60°=5√3≈8.66(m), .BC=BG+GC=BG+DA≈8.66+1.5≈ 10.2(m). 故大雁雕塑BC的高度约为10.2m. 2.(1)如图，过点A作APMN, .'CDMN,.∴.AP/CD//MN. 又AB⊥MN于点B,.AB⊥AP, ∴.∠PAB=90°. .∠CAB=140°， .∴.∠PAC=140°-90°=50°. .AP/CD,.∠DCE=∠PAC=50. M (第2题) (2)如图，过点E作EF⊥AP于点F. .AC=35cm,CD=25cm,CE是机器人小腿CD 上踢后与大腿AC在同一直线上的瞬间， ..AE=AC+CE=AC+CD=60(cm), ∴.EF=AE·sin∠PAC=AE·sin50°≈60X 0.766=45.96≈46(cm), 46+60=106(cm). 故点E距离地面的高度约是106cm, 3.(1).∠ADC=84°，∠ABC=37°， ∴.∠BAD=∠ADC-∠ABC=47° (2)在Rt△ABC中，tan37°=AC, BC' AC ..BC= tan37° 在Rt△ADC中，DC=,AC tan 84. BD=4米， ..BC-DC=_AC AC tan37°tan84=4, ÷号AC-号4C4,AC3.3米。 故表AC的长约为3.3米 方法技巧本题主要考查了三角形外角的性质和锐 角三角函数，熟练掌握建模思想是解决本题的关键 解直角三角形的应用问题，特点是将实际生活中的 物体抽象成数学模型，利用作辅助线构造直角三角 形的方法解题.因为是实际应用问题，数据有时略 大，计算要细心，要合理利用题目给定的数据，以勾 股定理、锐角三角函数为主要解题方法， 4.(1)如图，过点E作EG⊥AC于点G, 则四边形CGED为矩形，∴.CD=EG 47 E B H▣ (第4题) .AB=24 cm,BE= AB, ∴.BE=8cm,AE=16cm,∠AEG=10°， .CD=EG=AE·cos10°≈16×0.98≈15.7(cm). 故酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为 15.7cm. (2)如图，过点B分别作BH⊥DE,BP⊥FC,垂足分 别为H,P,则四边形DHBP为矩形. 在Rt△BEH中，BE=8cm,∠EBH=10°， ∴.HE=EB·sin10°≈1.36(cm),BH=EB· cos10°≈7.84(cm), ..BP=HD=DE-HE≈27.36-1.36=26(cm). ,∠ABF=145, ∴.∠PBF=145°-90°-10°=45°， ∴.BP=PF=HD≈26cm. .MN⊥CF,∠MFN=45°，MN=8cm, ∴.MN=NF=8cm, ∴.DN=DP+PF-NF=BH+PF-NF≈7.84+ 26-8≈25.8(cm). 故线段DN的长度约为25.8cm. 5.(1)由题意可知：NH∥AD,FE⊥AD, 如图，延长FG交NH于点T,则GT⊥NH, ∠GHN=60,.TG=GH·sin60°=8x 2 4√3(cm),∴.TE=TG+FG+EF=4W3+6+ 12≈24.9(cm). E D (第5题) >48 (2)如图，过点P作PKFG,交NH于点I,过点Q 作QK⊥PK于点K, 由题意可知，∠PQK=53°， .PK=PQ·sin∠PQK=PQ·sin53°≈30X 0.8≈24(cm). GH-8cm,-GH,PH-GH-S cm, :PI-PH·n∠GHN-gX号-5(m, 2 ∴.此时玻璃棒顶端点Q到桌面的距离为PK PI+TE+AB=24-45+24.9+3≈49.6(cm. 3 6.(1)如图(1)，过点A作AD⊥BC于点D. a D (1) 在Rt△ABD中，AD=csin B, 在Rt△ACD中，AD=bsin C, b ∴.csin B=bsin C,∴. ‘sin B sin C (2)如图(2)，过点A作AE⊥BC于点E. 653 (2) (第6题) .∠BAC=67°，∠B=53°，∴.∠C=60° 在Rt△ACE中，AE=AC·sin60°=80x5 2 40√3（米）. 又Ac BC 0.BC sin B sin∠BAC,即 .8≈0.9' ∴.BC≈90m, ∴.S△ABC≈ 2×90X403=1800W3(平方米). 故这片区域的面积约为1800√3平方米， 思路引导(1)根据题目提供的方法进行证明即可； (2)根据(1)的结论，直接进行计算即可.本题考查解 直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即 锐角三角函数的定义是解决问题的前提