期末提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（浙教版·新教材）

期末提优测评卷 答案P109 时间：120分钟总分：120分 第I卷（选择题 共30分) 一、选择题（每题3分，共30分） 1.下列四组线段中，是成比例线段的一组是( ) A.3,4,5,6 B.5,6,7,8 C.2,4,6,9 D.3,4,12,16 数 2.参数法(2026·浙江期中)一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同.红 球、黄球、黑球的个数之比为2：3：4.从布袋里任意摸出1个球为红球的概率是(). 弘 A号 R台 c 1 D. 3.如图，已知AB//CD//EF,AD=2,BC=4,DF=5,则CE的长为( 12 D 15 A.6 B.10 C. 中 (第3题) (第4题) (第6题) (第7题) 4.(2026·杭州西湖区月考)函数y=x2十bx十c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b>0;②b= 一3；③c=一3b;④当0<x<1时，x2+(b一1)x+c>0.其中正确的结论有(). A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5.(2026·绍兴新昌期中)已知二次函数y=ax2十bx十c(a为常数，且a>0)的图象上有四点A(一1， y1),B(3,y1),C(2,y2),D(-2,y3),则y1y2y3的大小关系是( 的 A.y1<y2<y3 B.y2<y<ys C.y2<y3<y D.y1<y3<y2 6.如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，若∠ABD=30°，则∠BCD等 于( ) A.30° B.459 C.52 D.60° 7.(2026·北京首都师大附中期中)如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线L3,l4,l2,L1上.若直线11∥ 12,且间距相等，CB交直线l,于点G,AB=4,BC=3,则0的值为( BG A.8 R是 C 5 2 D.v15 15 8.新情境飞镖游戏如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小 正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每一块小正方 形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击 31 中扇形OAB(阴影部分)的概率是() A.12 B. C.10π W5π 24 D. 60 60 0 B 0 E D (第8题) (第9题) 9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB,点E在AD上，连结CE,AE.若CE平分 ∠OCD,则∠A：∠E=(). A.2:3 B.3:4 C.4:5 D.5:6 10.(2026·杭州上城区期中)设函数y1=一(x一m)2,y2=一(x一n)2,直线x=1与函数y1,y2的图象 分别交于点A(1,a1),B(1,a2),则下列说法正确的是(). A.若m<1<n,则a1>a2 B.若m<1<n,则a1<a2 C.若m<n<1,则a1<a2 D.若m<n<1,则a2<a1 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（每题4分，共24分） 11.将y=2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的函数表达式为 12.垂径定理模型如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,AE=1,CD=6,则OC的长为 B D (第12题) (第13题) (第14题) 13.(2026·杭州钱塘区月考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ADC=122°，则∠AOC的 度数为 14.(2026·安徽三模)如图，在等腰三角形中，CA=CB,∠ACB=45°，以腰AC为直径的半圆分别交 AB,BC于点E,D,若CD=22,则DE的长度为 15.跨学科光的反射(2025·广东河源期末改编)如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示 意图，如果镜子P与古城墙的距离PD=12米，镜子P与小明的距离BP=1.5米，小明刚好 从镜子中看到古城墙顶端点C,小明的眼晴距地面的高度AB=1.2米，解决本题应用了光的 反射的光学知识，该古城墙CD的高度是 C BP (第15题) (第16题) 32 16.(2025·四川成都我侯区期中)如图，在平面直角坐标系中，函数y=2（x>0)的图象与矩形OABC 相交于D,E两点，其中D点坐标为(1,2)，点E的横坐标为m,点A,C分别在x轴和y轴的 正半轴上，连结DE,OB,则DE与OB相交于点F,连结OD,当△ODF是直角三角形时，则 m的值为 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 17.(6分)如图，在6×6的正方形网格中，网线的交点称为格点，点A,B,C都是格点.已知每个 小正方形的边长为1. (1)画出△ABC的外接圆⊙O,并求⊙O上AC的长； (2)连结AC,在网格中画出一个格点P,使得△PAC是直角三角形，且点P 在⊙O上. A B (第17题) 18.(6分)(2026·镇江模拟)如图，甲转盘中两个扇形的面积不相等，其中小扇形的圆心角等于120°， 大小扇形内分别标有数字1,2；乙转盘中四个扇形的面积相等，四个扇形内分别标有数字1,2， 3,4.转动甲、乙转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所指扇形中的两个数字相加（当指针 指向扇形的交线时，重新转动转盘).若规定两个数字的和为5时小明赢，两个数字的和为4时 小丽赢，则这个规定对小明、小丽两人是否公平？ 乙 (第18题) 19.(6分)新考法课题实践活动一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因 挖沙形成的“圆维形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响.如图是同学们选择（确保测量 过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下： 33 期末提优测评卷 ①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米； ②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的 位置，当他位于点B时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A 看到坑底S(甲同学的视线起点C与，点A、点S共线).经测量：AB= 1.2米，BC=1.6米 (第19题) 根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度（圆锥的高）.（π取3.14，结果精确到0.1米） 20.(8分)(2026·安徽江淮教育联盟期末)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,M是弦AD上 一点，连结CM交AB于点F,连结BC,∠BCD=∠DCM. (1)求证：CM⊥AD; (2)若AB=12,OF=2,求CD的长， (第20题) 21.(8分)(2025·南充中考)学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有 我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题， 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员的情况下，每辆A型客车比 材料一 每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数 相同 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆. 材料二 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用为(3200一50m)元/辆； 租用B型客车，租车费用打8折. 租车公司最多提供8辆A型客车； 材料三 学校参加研学活动师生共有530人，租用A,B两种型号客车共10辆. (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ 实验班提优训练数学九年级上ZJJY 34 (2)本次研学活动的学校的最少租车费用是多少？ 22.(10分)(2026·河北邯郸峰峰矿区期中)在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AC上，AD与BE 交于点F. AE 1 (1)如图(1)，D是BC中点，F是AD中点，DG/BE交AC于点G,求证：E元-2： (2)如图(2)，若BD:DC=1：4,AF:FD=3:2,求AE:EC的值. (1) (2) (第22题) 23.(10分)如图(1)，△ABC内接于⊙O,D是AB的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交 AB于点E. (1)求证：△ADE∽△CDA; (2)如图(2)，若⊙O的直径AB=46,CE=2,求AD和 0 CD的长. D D (1) (2) (第23题) 35 24.（12分)跨学科探索材料的疏水性(2025·扬州中考)材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗 入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质。 [概念理解] 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部 分，经过球心的纵截面如图(I)所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N)所作的 气一液界线的切线与固一液界线的夹角，图(I)中的∠PMN就是水滴的一个接触角 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图(2)中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角 (保留作图痕迹，写出必要的文字说明)； (2)材料的疏水性随着接触角的变大而 (选填“变强”“不变”“变弱”). [实践探索] 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC),求出∠BAC 的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图(3）). (3)请探索图(3)中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由. [创新思考] (4)材料的疏水性除了用接触角以及图(3)中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来 描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化， +空气（气相） +气一液界线 →水滴（液相） →固一液界线 M N子→材料（固相） (1) C (2) (3) (第24题) 36①当≤x≤7时，y随x的增大而增大； ②当x=14时，y有最小值为80. (3)由图象，当y=260时，x=5或x=10或x=18 x=23,.当5<x<10或18<x<23时，y>260,即 <x<10或18<x<23时，适合货轮进出此港口. 15.(1),四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=90° AB,=BC=CD,=DA1=音AB, 1 AA:-BB-5 AB. (AA=BB1, 在△A1AB1和△B1BC1中，∠A=∠B, AB=BC1, .△A1AB1≌△B1BC1(SAS). ∴.A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1. ∠BB1C1+∠BC1B1=90°， .∠AB1A1+∠BB1C1=90°， ∠A1B1C1=90°. 同理可证B1C1=C1D1=D1A1, ∴四边形ABCD1是正方形 >有一个角是直角的菱形是正方形 (2)设AB=5a,则AB1=4a,AA1=a, 由勾股定理，得AB1=√17a, .A:B:_7e 7 AB 5 包相等线假翁比为或正明下。 BB,=号AB,BB:=号A,B BB AB 5117 B.B:A B17 B B:-A:B 17 BB AB 5 同理可限台总给品：- B2B3 5 相邻线度能比为或 ,5w17 16.(1)如图(1)，设O0'和AB交于点D, 由折叠可知AB垂直平分OO',OB=O'B, .∠ODB=90° OB=OO',∴.OB=OO=O'B, .△OBO为等边三角形， .∠BOO'=60°，.∠ABO=30° 0D=2OB=3(cm),BD=√62-3=33(cm) .AB=2BD=6√3(cm). .OA=OB,∠ODA=90°， ∴.∠AOB=2∠B00'=120°， 扇形0AB的面积为120xX6 =12π≈36(cm). 360 故AB的长为6√3cm,扇形OAB的面积约为36cm2. (1) (2) (第16题) 答案6D详解 (2)如图(2)，作圆锥的高OH,连结O'H 设圆锥底面圆的半径为r 或 2πr 120xX6,r=2. 180 今底面圆周长=侧面展开图扇形系长 在Rt△OHO'中， OH=√O02-0H=√62-2=4√2(cm). 故圆锥的高为42cm (3)每个圆形纸片可制作120°的扇形纸片360°÷120°= 3(个)， 20个这样的立体图形需要120°的扇形20×2=40（个）， 40÷3=133(个)， ,.最少需要准备14个半径为6cm的圆形纸片 期末提优测评卷 1.D[解析]A,3X5≠4X6,.四条线段不成比例； B.5X8≠6×7，.四条线段不成比例； C.2×9≠4×6，.四条线段不成比例； D.,12×4=3×16,∴.四条线段成比例.故选D. 2.C[解析]，红球、黄球、黑球的个数之比为2：3：4， ∴.设红球、黄球、黑球的数量分别为2k,3k,4(k为正整 数)，∴.总球数为2k+3k+4k=9k, ∴P(摸出红球)= 红球数2k2 总球数一9=9·故选C 3.B[解析].AB//CD//EF, ..AD DF=BC CE, 2:5=4:CE,.CE=10.故选B. 易错警示】此类问题容易出错的地方是应用平行线分线 段成比例定理得出比例式时没有注意“对应” 4.C[解析]将点(1,1)和点(3,3)代入二次函数表达式，得 6站每得化3 所以二次函数的表达式为y=x2-3x十3. 则b=一3，故①错误，②正确；c=3=一b,故③错误； 当0<x<1时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 所以x2+bx+c>x,即x2+(b-1)x十c>0. 故④正确.故选C 5.B[解析]依题意，A(一1，y1),B(3,y1)在二次函数y a.x2十bx十c(a为常数，且a>0)的图象上， 对称轴为直线工=一士31，抛物线开口向上 二次函数y=ax2+bx十c(a为常数，且a>0)的图象上 有四点A(-1,y1),B(3,y1),C(2,y2),D(-2,y3), 点D(一2，y3)到对称轴的距离最远，点C(2,y2)到对称 轴的距离最近， ·y2<y1<yg.故选B. 6.D[解析]，AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°. ∠ABD=30°， ∠A=90°-30°=60° ,∠A和∠C是同弧所对的圆周角， ∴∠C=60°.故选D. 思路引得“在同圆或等圆中，同孤（或等孤）所对的圆周 角相等”是转化圆中圆周角的重要性质定理，特别地，当圆 中有直径时，通常根据“直径所对的圆周角是直角”，在圆 中构造直角三角形来解决问题 109 令实验班提优训练数学九年级上Z山Y 7.A[解析]如图，过点C作CF⊥L4于点F,交l3于点E. D F (第7题) CG CE 由已知，可得GE/BF,CE=EF,G品-E萨=1， ..CG=BG. BC-3,GB=号BC-. 四边形ABCD是矩形，AB=4, ∴.CD=AB=4, 3 .BG_BG2 3 `CDAB=4=8故选A 8.A[解析]，长方形网格的面积为5×6=30，其中扇形 0AB的面积为90mX(V10)25x 360 Γ2 5π 2π ∴飞镖击中扇形OAB的概率是0一12故选A 9.B[解析]如图，设CD垂直平分OB于点F,连结AD. D (第9题 ,'AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB, 0f=号0c, ./OCF=30°，./COB=60°， ∴.∠AOC=120°，∠BAD=30°， ∠ADC=60°，∠E=60°. .'CE平分∠OCD, .∠ECD=15°， ∴.∠EAD=15, .∠EAB=∠BAD+∠EAD=45°， ∴∠BAE:∠E=45°：60°=3：4.故选B. 旧纳总结本题考查了圆周角定理以及垂径定理，解题 的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同孤或等孤所对的圆 周角相等，都等于这条孤所对的圆心角的一半 10.C[解析]如图(1)(2)，若m<1<n,则a1>a2或a1<a2, x=1 (1 故A,B选项错误； 如图(3)，若m<n<1,则a1<a2, 拿110 y y10y3 (3) (第10题) 故C选项正确，D选项错误.故选C 11.y=2(x+2)2-1 2.5[解析]设OC=OA=r. ,AB⊥CD,.EC=DE=3. 在Rt△EOC中，，OC2=EC2+OE2, .r2=32+(r-1)2,解得r=5. 13.116°[解析]由条件可知∠ADC+∠B=180°. .∠ADC=122°，∠B=180°-122°=58°， .∠AOC=2∠B=116° 14受[解析]如图，连结AD,0D,0B, 半圆分别交AB,BC于点E,D, C .∠CDA=90°. ∠ACB=45,.∠CAD=45°，∠AOD= 2∠ACB=90°，.AD=CD=2√2， .AC=√AD2+CD2=4, ∴.OD=AO=2. (第14题) ,CA=CB,∠ACB=45°， ∴∠CAB=∠B. ,OE=OA,.∠OEA=∠CAB, ∴.∠OEA=∠B,∴.OEBC, .∠AOE=∠ACB=45°， ∴.∠DOE=∠AOD-∠AOE=45°， 则D配的长度为45X0”- 180 5.9.6米[解析]由题意，得AB⊥BD,DC⊥BD, ∴∠ABP=∠CDP=90°，由光的反射定律可知∠APB= ∠CPD△APBO△CPD,器器 PD=12米，BP=1.5米，AB=1.2米， 是是D=,6米 旧纳总结利用相似三角形对应边成比例的性质是求线 段长的重要方法.运用相似求线段的长时，首先根据相似 三角形的判定条件找出相似三角形，再根据相似三角形对 应边成比例的性质建立比例式，通过比例式搭建已知线段 与要求线段之间的关系 16.4或2[解析]：点D的坐标为(1,2)，点E的横坐标为 m,四边形OABC是矩形，.点B(m,2),点A(m,0), ∠COA=∠OAB=∠ABC=∠BCO=90°，BC/∥OA, .BC=OA=m,OC=AB=2,CD=1.,点E在函数 y=是c>0)的图象上∴点E的坐标为(m,品) AE-BD=BC-CD-m-1,BE=AB-AF- 2-2=2m=2.:∠C0A=90°，∠D0F<90°，.当 m m △ODF是直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠ODF=90时，如图(1)所示， 则∠CDO+∠BDE=90°. 又∠COD+∠CDO=90°，∠COD=∠BDE. 又∠BCO=∠ABC=90°，..△OCDC△DBE, .CD:BE=OC:BD,.CD·BD=BE·OC, 即1Xm-1）=2×2m-2,整理，得m2-5m十4=0， m 解得m1=4,m2=1(不合题意，舍去) (1) (2) (第16题) ②当∠OFD=90时，如图(2)所示. BE AB=2m-2:2--1,BD OA=m-1 m m .BE:AB=BD:OA.又∠ABC=∠OAB=90, .△DBEC∽△OAB, ,.∠BDF=∠AOB BC∥OA,∴.∠AOB=∠DBF. 又∠OFD=90°，.∠BDF=∠DBF=45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， BD=BE,∴m-1=2m-2 m 整理，得m2-3m十2=0， 解得m1=2,m2=1(不合题意，舍去). 综上所述，当△ODF是直角三角形时，则m的值为4或2. 17.(1)如图，⊙0即为所求。 OA=√12+2=√5，∠A0C=90°， ∴C的长为5 (2)如图，点P或点P'即为所求. A B (第17题) 8.这个规定对小明、小丽两人公平，列表如下： 2 2 1 3 3 4 3 4 5 6 由表知，共有12种等可能的结果，其中和为5的有3种结 果，和为4的有3种结果， 所以小明赢的概率=小丽赢的概率，均为品-子， ∴这个规定对小明、小丽两人公平 答案6D详解 名师启发甲转盘中标有数字2的扇形可以看作2个标 有数字2的扇形，这样甲转盘中，每转动一次，转到1,2,2 的概率相等。 19.如图，取圆锥底面圆圆心O,连结OS,OA,则∠O= ∠ABC=90°，OS∥BC, ∴.∠ASO=∠ACB. .△SOA∽△CBA. 0. .OSOA ·BC-BA ∴OS=OA·BC BA 04=34.54 2π =5.5(米)， (第19题) BC=1.6米，AB=1.2米， 0s-556=30米. 故“圆锥形坑”的深度约为7.3米. 20.(1)⊙0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E, ∴.∠CEF=90° ,∠BCD=∠A,∠BCD=∠DCM,∴∠DCM=∠A, 又∠AFM=∠CFE,.△AMFOACEF: >8字相似模型 ∠AMF=∠CEF=90°，.CM⊥AD. (2)如图，连结OC, 0 M (第20题) CD⊥AB, ∠CEF=∠CEB=90° ∠FCE=∠BCE, 在△CEF和△CEB中，CE=CE ∠CEF=∠CEB, △CEF≌△CEB(ASA), ..EF=EB. 0B=AB=7×12=6,0F=2, 1 ..EF=EB=2, ..OE=OFEF=4, 在Rt△OEC中，由勾股定理，可得CE=√OC2-OE= √62-4=2√5. ,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E, .CD=2CE=45. 21.(1)设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载 客量为(x一15)人， 根据题意，得600450 x-151 解得x=60, 经检验，x=60是分式方程的解，且符合题意， ,.x-15=60-15=45(人) 故A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为 45人. (2)由租用A型客车m辆，得租用B型客车(10-m)辆， 根据题意得60m十45(10-m2530,解得m≥号， 1110 ◇实验班提优训练数学九年级上ZY 设本次研学活动学校的租车总费用为元，则w= (3200-50m)m+3000×0.8(10-m)=-50m2+ 800m+24000. 800 “抛物线的对称轴为直线m=一2X二50)=8， ∴.当m≤8时，w随着m的增大而增大. “n取正整数，且m≥9， ∴.当m=6时，w取得最小值，最小值为一50×62+800× 6+24000=27000(元). 故本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 22.(1)DGBE,D是BC中点， CD-BD0器-G=-G F是AD中点，DG∥BE,.AF=DF, 能品片A证-c。 .AE AE 1 AE-CG-EGEC-EG+CG2 (2)如图，过点D作DHBE交AC于点H. B D (第22题) BD DC=1:4,DH//BE, s腮子cH-4HE .AF FD=3 2,DH//BE, 品-号AE=HB .AE EC= HE）:(HE+4HE)-3:10, AE:C的值为忌 思路引得利用平行线分线段成比例，将所求线段都用 HE表示，从而得到结论 23.(1):D是AB的中点， AD=BD,∠ACD=∠BAD. ∠ADE=∠CDA, ∴.△ADE∽△CDA. (2)如图，连结BD. 入B (第23题) D是ADB的中点，∴AD=BD. AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90, ∴.△ADB为等腰直角三角形， :AD=AB-45=45.由I,得△ADE△CDA, √2√2 AD:CD=ED:AD,即AD2=CD·ED, 112 .(43)2=CD(CD-2), ∴.CD2-2CD-48=0, 解得CD=8或-6（舍去）， .CD=8. 24.(1)如图(1)，①在圆弧上取一点C,设交界面与圆弧的交 点为M,N,连结MC,NC; ②分别作MC,NC的中垂线，交于点O,则点O为圆弧的 圆心： >确定圆心的方法：作两条弦的中垂线 ③连结OM,过点M作PM⊥OM,则PM为圆O的切 线，故∠PMN即为所求接触角. (1) (2)变强[解析]由题意和题图可知，接触角越大，水滴 越趋近于球形，疏水性越强，故材料的疏水性随着接触角 的变大而变强。 (3)∠CAD=2∠BAC.理由如下： 如图(2)，连结OA,则OA=OB, ..∠ABC=∠OAB. (2) (第24题) AD为⊙O的切线，.OA⊥AD, ,∴.∠OAB+∠BAD=90° :BC⊥AC,∠ABC+∠BAC=90° ,∠ABC=∠OAB, .∠BAD=∠BAC, ∴.∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC. (④：水滴弧的长度为1-需。 - :“可以根据二的大小进行判断，子越大，水滴越趋近于 球形，疏水性越强（答案不唯一. 思路得本题考查了尺规作图和圆的切线的判定与性质 (1)先作出圆孤的圆心，再作垂直于半径外端的直线即可； (2)根据题意可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水 性越强： (3)连结OA,利用等边对等角、切线的性质、等角的余角相 等来进行解答。 （④答案不障一，可以极据-需选行判斯，越大，水 滴越趋近于球形，疏水性越强