第4章 相似三角形 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（浙教版·新教材）

第4章提优测评卷 答案P96 时间：90分钟 总分：100分 第I卷（选择题 共30分) 一、选择题（每题3分，共30分） = 3 1.参数法2025·金华兰溪模拟)已知5三4，则2十白> 的值为( 7 A.4 B.7 c. 7 n号 2.(2026·陕西宝鸡渭滨区期末)如图，AB/CDEF,AC:CE=2：3.若BF=10,则DF的长为( 别 A.6 B.8 C.9 D.10 D ② ① ③ 0 E (第2题) (第6题) (第7题) 毁 3.下列说法中，不正确的是( A,两角对应相等的两个三角形相似 B.两边对应成比例的两个三角形相似 C.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D.三边对应成比例的两个三角形相似 4.若两个相似三角形的对应角平分线的比为3：5，则它们的面积比为( A.3:5 B.9:25 C.5:3 D.25:9 5.(2026·杭州期中)点C,D是线段AB的两个黄金分割点，若AB=2,则CD的长为(). 的 A.3-√5 B.2√2-4 C.25-4 D.3-√2 6.(2026·宁波鄞州区期中)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将这个四边形分成 ①②③④四个三角形，若OA·OD=OC·OB,则下列结论中一定正确的是( A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似 7.(2025·沈阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标分别为（一2,4），以原点O为位似中心， 把△ABO缩小为原来的)，则点A的对应点A的坐标为(). A.(-1,2)或(1，-2)B.(-1,2) C.(-2,1)或(2，-1)D.(1,-2) 8.新情境使用跳眼法估距离“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法.如图，点A为左眼，点B为 右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物(CD∥ AB),目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离. 已知大多数人的眼距AB长约为6.4厘米左右，手臂长OB约为64厘米左右.若CD的估测长 25 度为40米，那么C0的长度为(). A.100米 B.200米 C.300米 D.400米 D (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF,将△AEH,△CFG 分别沿边EH,PG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的6时，则为 A.3 B.2 6 c. D.4 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，∠EPF=90°且∠EPF的顶点P是BC的中点， 两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,当∠EPF在△ABC内绕点P旋转时，下列结论错 误的是( ). A.AE=CF B.△EPF为等腰直角三角形 C.EP-AP D.2S四边形AEPF=S△ABC 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题（每题3分，共18分） 1L00上年长宁g-)心如号号≠0，那么的的值为 12.如图，线段BE,CD相交于点A,连结DE,BC,请添加一个条件，使△ADEp△ABC,这个条 件可以是 (写出一个条件即可). R M E (第12题) (第13题) (第14题) (第15题) 13.如图，在△ABC中，AC=6,AB=4,点D,A在直线BC同侧，且∠ACD=∠ABC,CD=2,E 是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为 14.如图，在正方形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且EF=2AE=2CF,连结DE并延 长交AB于点M,连结DP并延张长交BC于点N,连结MN,则兮网 = 15.(2025·辽宁沈阳沈北新区期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为3的等边三角形OAB的边 OA在x轴上，C,D,E分别是AB,OB,OA上的动点，且满足BD=2AC,DE∥AB,连结 CD,CE,当点E的坐标为 时，△CDE与△ACE相似. 26 16.新情境挖隧道希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图， 4.9 A,B是两侧山脚的入口，从点B出发任作线段BC,过点C作CDLD, BC,然后依次作垂线段DE,EF,FG,GH,直到接近A点，作AJ⊥ GH于点J.每条线段可测量，长度如图所示.分别在BC,AJ上任选 5.5 /R 点M,N,作MQLRC,NPLAJ,使得器器-，此时点P,A C(单位：km） (第16题) B,Q共线.挖隧道时始终能看见P,Q处的标志即可. (1)CD-EF-GJ= km; (2)k= 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17.(6分)(2026·河北沧州入中期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(一2， -2),B(-6,-4),C(-2,-8). (1)在图中作出△ABC绕原点O旋转180°后的△A1B1C1(点A,B的对应点是，点A1,点B1), 并直接写出点B1的坐标； (2)在(1)的基础上，在第一象限内，以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABC缩小成 △A2B2C2,请在图中作出△A2B2C2,并直接写出点C2的坐标. C (第17题) 6分)如图，在△ABC中，AB=AC=1,BC=52,在AC边上截取AD=BC,连结BD (1)通过计算，判断AD与AC·CD的大小关系； (2)求∠ABD的度数. B (第18题) 27 第4章提优测评卷 19.(6分)如图，四边形ABCD,DEFG都是正方形，连结AE,CG,AE与CG相交于点M,CG与 AD相交于点N.求证： G (1)AE=CG; (2)AN·DN=CN·MN. D C (第19题) 20.(6分)(2025·安徽合肥瑶海区期中)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，连结 DE,DF,BE,DF与BE交于点G,已知四边形DFCE是平行四边形，且2 51 A (1)若AC=25,求线段AE,GF的长； (2)若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积. D G (第20题) 实验班提优训练数学九年级上ZJJY 28 21.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上移动（点E不与点B,C重合），满足 ∠DEF=∠B,且点D,F分别在AB,AC上 (1)求证：△BDEp△CEF; (2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC. B E (第21题) 2.(6分)越形特合8想如图，在平面直角坐标系0中，函数)y-x十3的图象与x轴交于点A,与 y轴交于点B.C为线段AO上的一个动点（点C不与点A,O重合），点D为第一象限内一 点，且同时满足∠DBC=∠OBA,BD:BC=3:5. (1)求点A,点B的坐标 y 3 (2)是否存在满足条件的点D在函数y=4z(x>0)的图象上？ 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由， D (第22题) 29 23.(8分)手拉手模型如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B,C重合），点N 在CD边的延长线上，且满足∠MAN=90°，连结MN,AC,MN与边AD交于点E. (1)求证：AM=AN; D (2)如果∠CAD=2∠NAD,求证：AM=AC·AE; (3)MN和AC相交于O点，若BM=1,AB=3,试猜想线段OM,ON的数 量关系并证明， (第23题) 24.(8分)(2025·成都中考)如图，在□ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落 在□ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. [特例感知] (1)如图(1)，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ; [问题探究] (2)在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求DQ的长； [拓展延伸] ③)加图②，当CE=-2证时，点P在C边上，若爱求瓷的值，（周合n的代复式表示） D (1) (2) (第24题) 30◇实验班提优训练数学九年级上ZY 2B[解析]设正方形边长为a,AM=x(x<号a),则 BM=a-x,NB=2x,NC=a-2x,当△DAM≌△DCN 1 时，x=a-2x,则x=3a,有意义；当△DAM与△MBN 相似时，a：x=(a一x):2x,无有意义的解，或a：x= 2x:(a-x),无有意义的解；当△MBN与△DCN相似 时，a:(a-2x)=(a-x):2x,解得x=5-7。 - (-计。>a(含去或a:a-2x)=2a:a- x),无解.故这样的点M有2个.故选B. 3.AB=AD,∴∠ADB=∠ABN. ∴∠ACM=∠ADB=∠ABN. 又∠CAM=∠BAN,∴.△ABNU∽△ACM. 怨器 ,∠BAE=∠CAB,∠ABE=∠ACB, △ABE△ACRC器@， 又M为边BC的中点，∴.CM=BM. 结合O,得AB_BNBN AC CM BM 结合@，器是-器 ∴.MNEC,即MN∥AC. 第4章提优测评卷 1A[解析设a=6=,≠0，则吉-资-子。 故选A. 一题多解】 …43 3 b=4.a=4b, 3 、。+b40467 b 6= b=4 2A3.B 4B[解析]根据题意，由两个相似三角形的对应角平分线 的比为3：5，可知它们的相似比为3：5，所以面积比是32 :52=9:25.故选B. 5.C[解析]如图， A B (第5题) 由黄金分刻点可知，AC=BD-52AB-一后-1， .CD=√5-1+√5-1-2=2√5-4.故选C. 6.B[解析]∠AOB,∠COD是对顶角， ∠AOB=∠COD.,OA·OD=OC·OB, :÷28哪△A0B∽△cOD,即D与③湘似放选B 7.A[解析]，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来 的2，点A的坐标分别为（一2,4），点A的对应点A'的 坐标为(-2×2,4×2)或[-2×(2)，4× (-2)门，即(-1,2或1，-2》.故选A 8.D[解析]64厘米=0.64米，6.4厘米=0.064米.CD∥ ◆96 AB,.△OABO△ODC,∴.AB:DC=OB：OC, ∴.0.064：40=0.64：OC,∴.O℃=400，∴.C0的长度为 400米.故选D. 9.A 10.C[解析]，AB=AC,∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°. 点P是BC的中点，∴.AP⊥BC,∠CAP=∠BAP= 45,AP-2BC-CP,∴∠C=-∠BAP.:∠EPF=90, .∠CPF+∠FPA=∠FPA+∠APE=90°， ∴∠CPF=∠APE. 「∠C=∠PAE, 在△PCF和△PAE中，CP=AP, ∴.△PCF≌ ∠CPF=∠APE, △PAE(ASA),.AE=CF,PF=PE,△PEF是等腰 直角三角形.故A,B选项不符合题意.，AP⊥BC, ∠B=45°，.△APB是等腰直角三角形.又∠EPF在 △ABC内，点E在AB上，∴.EP<AP.故C选项符合 题意.，△PCF≌△PAE,∴.SAPCF=S△PaE, .S四边形AEPF=S△PAE十S△PAF=S△PCF十S△PAF=S△APC. 又SAMn=2S△MBC,S网边形ABPF=2S△MC, 即2S四边形ABPr=S△ABc.故D选项不符合题意.故选C, 12∠B=∠D(答案不唯-)13号或3 11. 6 [解析]设AB=AD=BC=CD=3a. 4.4 :四边形ABCD是正方形， .∠DAE=∠DCF=45°，∠DAM=∠DCN=90, (DA-DC, 在△DAE和△DCF中，∠DAE=∠DCF, AE-CF, .△DAE≌△DCF(SAS), ∠ADE=∠CDF. 「∠ADM=∠CDN, 在△DAM和△DCN中，DA=DC, ∠DAM=∠DCN, ∴.△DAM≌△DCN(ASA),.AM=CN. .AB=BC,.'.BM=BN. .CN CF 1 CN//AD,EF=2AE=2CF,AD-AF-3 .'.CN=AM=a,BM=BN=2a, .S△MDM_ AD AM 3axa3 ·SABN BM BN 2a×2a-4 151,0>或（号，0）[解析：DEAB, ∠DEC=∠ACE,△ODEP△OBA, ∴△ODE也是等边三角形，则OD=OE=DE. 设E(a,0),则OE=OD=DE=a,BD=AE=3一a. △CDE与△ACE相似，分两种情况讨论： ①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE=∠CEA, ∴.CD∥AE,∴.四边形AEDC是平行四边形，.AC=a. BD=2AC,.3-a=2a,∴.a=1, ∴.点E的坐标为(1,0)； ②当△CDEP△AEC时，∠DE=∠EAC=60°=∠B, .∠BCD+∠ECA=180°-60°=120°. 又∠BDC+∠BCD=180°-∠B=120°， ∴.∠BCD+∠ECA=∠BDC+∠BCD, .∠ECA=∠BDC,.∴.△BDCc∽△ACE, =2,.BC=2AE=2(3-a)=6-2a, :AC-BD--号 Dc+Ac=AB=6-2a+号-号-3ia=号， “点E的坐标为（号0）片 综上所述，点E的坐标为1,0)或（号，0）】 16.(1)1.8[解析CD-EF-GJ=5.5-1-2.7=1.8(km). 2号 [解析]如图，连结AB,过点A作AZ⊥CB,交 CB的延长线于点Z, 4.9 （单位：km) (第16题) 由题可得AZ=CD-EF-GJ=l.8(km),BZ=DE+ FG-CB-AJ=4.9+3.1-3-2.4=2.6. 点P,A,B,Q共线，∴∠MBQ=∠ZBA. ,∠BMQ=∠BZA=90°，∴.△BMQO△BZA, 器影器影8品 17.(1)作出△ABC绕原点O旋转180°后的△A1B1C1如图 所示.B1(6,4). (2)以原点0为位似中心，相似比为？，把△A,B,C缩 小成△A2B2C2,如图所示.C2(1,4) y个 (第17题) 18.(1)AD2=AC·CD.理由如下： AB=AC=1,AD=BC=5-1】 2 CD=AC-AD=1-5-1_3-5 2 2 AD-5）-254c0-8=5j 2 2 .AD2=AC·CD (2),AD=BC,AD2=AC·CD,.BC2=AC·CD,即 BC:AC=CD:BC.又∠C=∠C,.△BCD∽△ACB. .'.BD AB=BC AC,.AB AC=BD BC=1, 答案6D详解 ∠DBC=∠A.,.DB=CB=AD..∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC. 设∠A=x,则∠ABD=x,∠DBC=x,∠C=2x. ,∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180°，解得x=36°.∴∠ABD=36°. 19.(1),四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， .AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠EDG=90° ,∠ADE=90°+∠ADG,∠CDG=90°+∠ADG, .∠ADE=∠CDG, (AD-CD, 在△ADE和△CDG中，∠ADE=∠CDG, DE-DG. △ADE≌△CDG(SAS),∴.AE=CG. (2)由(1)，得△ADE≌△CDG,则∠DAE=∠DCG. 又∠ANM=∠CND,∴.△AMN△CDN, ÷器S即aN:DN-CNMN 20.(1):四边形DFCE是平行四边形， ..DEBC,DF∥AC,DE=CF, ∴△ADB△AC,能器-号 .'AC=25,.AE=10, ..CE=25-10=15. 器既-既-是 ,DF∥AC,∴.△BFG∽△BCE, 宽既-6=9 (2 BFGAIKE,8既-音 器-（得》-品 ,SABFG十S四边形GFCE=S△BCE, ,.四边形GFCE的面积：△BCE的面积=(25一9)： 25=16:25. ,四边形GFCE的面积为48，.SAcE=75. 能-号AE+CE=AC光-号， -号5-1 21.(1)AB=AC,∴.∠B=∠C. :∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180° ∠DEF-∠DEB,∠DEF=∠B, ∴∠BDE=∠CEF.∴.△BDE∽△CEF. (2:△BDEn△CEF,CF-EF BE DE 点E是BC的中点，BE=CE. 器保 ∠DEF=∠B=∠C, ∴.△DEF△ECF. ∴.∠DFE=∠EFC. ∴.FE平分∠DFC. 22(1:函数y=子x+3的图象与x轴交于点A,与y轴 交于点B,令y=0,则子x十3=0，解得x=一4， A(-4,0).令x=0,则y=3,.B(0,3). 97● 实验班提优训练数学九年级上ZY (2)存在.如图，过点D作DE⊥x轴于点E y D OE■ (第22题) .OA=4,OB=3, AB=V0A+OB-5,AB-5 OB 3 ∠DBC=∠OBA,∠DBO=∠ABC. BD:c=-35小88-9C-g, ∴.△BOD∽△BAC, ∠0D=∠BACS器-0号 设4Cn,则00=子m :∠BAC+∠ABO=90°=∠BOD+∠DOE, '.∠DOE=∠ABO. ,∠AOB=∠DEO=90°， ∴.△AOB△DEO, 3 器器号-华 3 4 5 5m,OE-9 DE=1 25m,…D(912 25m,25m: :点D在函数y=4 (x>0)的图象上， >点坐标满是函轰表达式 3 解得m(负值合去D(任，小 23.(1),四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠CAD=45°=∠ACB,∠BAD=90i ∠CDA=∠B, .∠BAM+∠MAD=90°. ∠MAN=90°， .∠MAD+∠DAN=90, .∠BAM=∠DAN. :AD=AB,∠ABM=∠ADN=90°， ∴.△ABM≌△ADN(ASA), .'.AM=AN. (2)AM=AN,∠MAN=90°， .∠MNA=45°. '∠CAD=2∠NAD=45, ∴∠NAD=22.5, ∴.∠CAM=∠MAN-∠CAD-∠NAD=22.5°， '.∠CAM=∠NAD,∠ACB=∠MNA=45°， ∴.△AMC∽△AEN, 觉报， .AM·AN=AC·AE. .'AN-AM, ..AM=AC·AE. (3)ON=2OM.证明如下： 如图， 拿98 B (第23题) 在Rt△ABM中，BM=1,AB=3, 根据勾股定理，得AM=√BMP+AB2=√I0, 过点A作AF⊥MN于点F, .∠OFA=∠B=90° 由(1)知，AM=AN. :∠MAN=90°， ∴FA=NF=MF= √2 =5,∠MAF=45, AC是正方形ABCD的对角线， ∴.∠BAC=45°=∠MAF, ∴∠BAM=∠FAO,∴.△ABM∽△AFO, 贵器清动0- 3, OM-MF-FO-25.ON-NF+O 3 ∴.ON=2OM. 24.(1)由折叠的性质，得∠B=∠AFE,BE=FE. ,四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD, ∴.∠B=∠PCG,.∠AFE=∠PCG. '∠AFE=∠QFG,∴∠PCG=∠QFG ∠FGQ=∠CGP,∴.∠CQE=∠P. .'CE=BE,BE=EF,..EF=EC. 又∠CEQ=∠FEP,∴.△EFP≌△ECQ(AAS), (2),△EFP≌△ECQ,∴.EQ=EP. .'EF=EC,.'.FQ=CP. :∠FGQ=∠CGP,∠CQE=∠P, .△FQG≌△CPG(AAS), .FG-CG-3,GQ=GP=5. 由折叠的性质，得AF=AB, ,四边形ABCD是平行四边形， .ABCD,AB=CD,∴.△CGP∽△BAP, 货铝小品B海得AB=12. 3 5 ..CD=12,..DQ=CD-CG-QG=4. (3)如图，延长AD,EQ交于点M, D --M 0 P (第24题) CBE-CE-BE, ∴.DQ=an,EC=2b,∴.AB=CD=(n+1)a,AD=3b. .△ABE关于AE折叠，∴.AF=AB=(n+1)a. AD∥BC,即DMEC,.△DQM∽△CQE, 小208器即兴-g=aDM=2咖 ,四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADQ. 又△ABE关于AE折叠，∴∠AFE=∠B. :∠AFQ+∠AFE=180°， .∠AFQ+∠ADQ=180°，∴.∠DAF+∠DQF=180° ,∠EQC+∠DQF=180°，.∠EQC=∠DAF ,'AD∥BC,∴∠DAF=∠FPE,∠EQC=∠FPE. ,∠FEP=∠CEQ,∴.△FEP∽△CEQ, 既需脚%职 pa. :'ADBC,∴.△AMF∽△PEF, 能架0a EP 1 2 解得EP= 3+2n 2n+2b, CP-Ec-Ep-26-82- (2n+1)b 2n+2 又PC∥AD,.△GPCc∽△GAD, (2n+1)b %6文+ 36 6n+6° 期末专题提优 专题（一）二次函数 1.A[解析]，抛物线y=ax2-2ax=ax(x-2)(a<0)开 口向下，与x轴交于点(0,0)，(2,0)，对称轴为直线x=1, ∴.当x<0时，y<0;当0<x<2时，y>0;当x>2时，y<0. Ax1<0,y1<0.y1·y2<0,∴.y2>0,故0<x2< 2,选项正确，符合题意； B.当x1<x2<1时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 故y1<y2,选项错误，不符合题意； C.x1<0,y1<0.y1·y2>0,y2<0,故x2<0或 x2>2,选项错误，不符合题意； D.当x1>x2>1时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 则y1<y2,选项错误，不符合题意. 故选A 托展山m≥号 [解析]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是二 次函数y=一x2+4x图象上任意两点， ,y=一x2+4x=一(x一2)2+4，∴.二次函数的开口向下， 对称轴为直线x=2, ∴.当x≥2时，y随着x的增大而减小，当x<2时，y随着 x的增大而增大 A(x1,y1),B(x2y2)是二次函数y=-x2十4x图象上 任意两点，当m≤x1≤m+1,m+1≤x2≤m十2时，y1≥ y2始终成立， …当m≥2时y1之y2始终成立： >此时x1,x2均在对称轴右侧 当m十2<2，即m<0时，y1<y2故不符合题意； 当0≤m<2时，要满足当m≤x1≤m+1,m+1≤x2≤ m十2时，y1≥y2始终成立， 3 则2-m≤m十1-2，解得m≥2·综上，m的取值范围是 托展12<0<号 9 [解析]A(x1,y1),B(x2,y2)是抛 物线y=ax2+3x+1上的两点，其对称轴是直线x=xo, 若|x1-xo>|x2-xo|时，总有y1>y2,.a>0. ,抛物线与线段MN有两个不相同的交点，即一元二次方 答案6D详解 程ax2十3x十1=0有两个不同的实数根， △>0，即9-4a>0,锯得a<是又0a<, 9 又要使抛物线与线段MN有两个不相同的交点则必须满 >线段MN的所在直线表达式为y=0 足：当x=一2和x=4时，抛物线上对应的点都应该在线 段上方或与M,N重合， n十中年得≥牙…<是 5 5 即当号<a<号时，抛物线y=ar2+3x+1与线段MN 9 有两个不相同的交点. 2”y=一受十6x十c的图象对称轴是直线=1， b 3 2x(-) =1,.b=2 点A(-1,0)在其图象上， 0= ×(-10+2×(-1D+cc=号 9 故此二次函数的表达式为y=一子+2x+号 (2):y=一子x+2x+的图象对称轴是直线x=1, ∴当n>0,m≤x≤n十2时，n++2=n十1>1， 2 y导+号+是的最小值在=十2处取到 -+22+26a+2+号 、3 、9 .9 Cy最小值=-3n2-3山9 -2n+4 (3)当t<0时. ,t≤x≤t+1, a=-+1yP+g+1D+ 4 ya=-+2+是 3 .9 二次函数的最大值比最小值大2， +1+2+1+-++是+2. = 当t>1时.，t≤x≤t+1, ya=-是e+1)2+2e+1D+, 3 3,9 y最大值=一2+之什4： 二次函数的最大值比最小值大2， u+1+a+0+号+2=-++ 11 t=6 当0≤≤t≤1时. +1y=--+3=8 若8-(++)-2， 解得=3士26 3 不符合 99拿