第4章 相似三角形 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（浙教版·新教材）

第4章 相似三角形 知识梳理导图 号=音合ad=bca,b,c,d都不为0) 两个三角形相似 8=→ 2=cd 例 d 线 成 1.两角分别相等 (a,b,c,d都不为0) 比 线 相似三角形 2.两边对应成比例，且夹角相等 -=…=(6叶d+…+≠0) 基 的 的判定 3.三边对应成比例 → a十c+.十m 段 4.直角三角形的斜边和 8d+...n b 质 一条直角边对应成比例 比例中项，黄金分割 相似三 1.对应边成比例， 相似多边形的性质：具有相似三 相 相似 对应角相等 角形的一切性质 三角形 相似多边形的判定：所有的对应 2.对应高的比，对应中 多 形 相似三角形 线的比，对应角平分 角都相等且对应边都成比例 边 的性质 线的比等于相似比 形 1.具有相似图形的一切性质 3.周长之比等于相似比， 2.位似图形上每组对应点和位似 面积之比等于相似比 中心在同一直线上 的平方 3.位似中心到两个对应点的距离 位 1.测量旗杆（人、楼房、 之比等于位似比（相似比) 似 相似三角形 小山等高度) 的应用 4.位似图形上对应线段互相平行 2.测量河的宽度 (或在同一条直线上) 重难疑点解法 上分点个 利用比例的基本性质求代数式 上分点2黄金分割 的值 例1若a:3=4:b(a,b均不为0)，则ab的 例2(2025·宁波镇海区期中)点P为线段AB 的黄金分割点，且AP>BP,下列说法错误的是 值是( ) ) A.12 B.7 C.6 D.1 A.AP-5AB B.AP-15BP 2 名师启发 根据内项之积等于外项之积求解， 义归纳总转 c部熙 D.BP≈0.618AP 利用比例的基本性质求代数式的值时，可以有 名师启发 根据黄金分割的定义，得AP= 多种方法求解，同学们可以用自己最熟悉，又比较 AP 快捷的方法求解。 2AB,S-船，则AP-5即，B即≈ 2 0.618AP,即可得出结论. 26 第4章 个关键提醒 (2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角 解决此类问题时，应首先找出哪两条线段是黄 形相似； 金分割比的关系，再根据“较长线段的长度三 5-1 (3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且 2 X线段总长”求解。 其夹角对应相等的两个三角形相似； (4)两角法：有两个角对应相等的两个三角形 2上分点3三角形相似的条件 相似 例3(2025·宁波余姚期末)如图，四边形ABCD 上分点4相似三角形的性质 为平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE,且 例4如图，在平行四边形ABCD中，E为BC ∠CAE=∠D 边上的点（不与点B、点C重合），连结DE并延长，交 (1)求证：△ABE∽△CAE; AB的延长线于点F. (2)若AE=5,BE=8,求CE的长， B 名师启发(1)根据平行四边形的性质得 (1)求证：△CDE∽△AFD; ∠B=∠D,因为∠CAE=∠D,得出∠CAE=∠B,又 (2)若BE:CE=1:2,且△BEF的面积为1，求 ∠E=∠E,即可得出△ABEP△CAE; 平行四边形ABCD的面积. (2)根据(1)中相似三角形对应边成比例即可 名师启发(1)根据平行四边形的性质，得CD 解答. BF,∠A=∠C,则∠CDF=∠F,即可证明△CDE ∽△AFD; （2②)由△CBDn△BEF,脊部-E-合，可袋 SACD=4SABr=4,同理可得SAAr=9,即可求出 S四边形ABD=8,从而得出答案。 女方法技巧 判定三角形相似的常用方法： (1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与 其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法.相似的基本 图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示.在应 女方法技巧 用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形； 在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中 已有的公共角、等角等隐含条件，以充分发挥基本 图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作 平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性 D 质求三角形的面积. 27 实验班提优训练数学九年级上ZJ小Y 分上分点5相似三角形的应用 名师启发根据如果位似变换是以原点为位 例5已知有一块三角形材料如图所示，在 似中心，位似比为飞，那么位似图形对应点的坐标的 比等于或一得出答案。 △ABC中，BC=120cm,高AD=80cm,现需要在三 角形ABC上裁下一块正方形材料做零件，使得正方 归纳总烤 本题考查的是位似图形知识，位似图形的定 形EFGH的顶点E,F分别在边AB,AC上，H,G 义：如果两个图形不仅是相似图形，且各对应点连 在BC上，则裁下的正方形EFGH的边长是多少？ 线相交于一点，对应边相互平行（或在同一直线 上)，那么这样的两个图形叫作位似图形，位似图形 E 各对应点连线的交点是位似中心 分上分点7相似形的实际应用 例7如图为某体育公园内的火炬塔.某校九年 名师启发利用几何图形的特征和相似三角 级学习兴趣小组想利用所学知识测量火炬塔塔身PQ 形的性质，列出方程，正确计算即可求解. 的高度.如图所示，在阳光下，塔身PQ在地面上的影 子为AP,某同学站在影子AP上的点B处时，他的影 子刚好为AB,此时测得AB=2m,BP=34m,已知 该同学的身高BC=1.72m,求火炬塔塔身PQ的高 度（结果精确到1m). 名师启发 根据题意易证明△ABC∽△APQ, 中归纳总结 再根据对应边成比例解答即可. 相似三角形的应用问题，其实就是一个几何问题 加了一定的情境，需从实际问题中建立几何模型，再 解决这个几何问题，最后结合实际验证是否符合实际 意义即可， 上分点6图形的位似 例6(2025·广元苍溪模拟)在平面直角坐标系 中，已知点A(一4,2)，B(-6,一4)，以原点O为位似 中心，位似比为2，把△AB0缩小，则点A的对应 点A'的坐标是( ) A.（-8,4) 关键提醒 B.(8,-4) 本题考查的是相似三角形的应用，利用相似三 C.(-8,4)或(8，-4) 角形的对应边成比例是解答此题的关键， D.(-2,1)或(2，-1) 28 第4章 易错易混辨析 )易错点1忽略等比性质的条件 解析 A.∠AED=∠B,∠A=∠A,则可判定 △ADE∽△ACB,故A选项不符合题意； 例D已知x=a+b-6千。-a十c求x的值. B.∠ADE=∠C,∠A=∠A,则可判定△ADE 解答①当a十b十c≠0时，x=a十b-b十c a ∽△ACB,故B选项不符合题意； b a+b+c 1 C船-C不能判定△ADEv△ACB,成C卷 a+c2(a+b+c)-2 项符合题意； ②当a+b+c=0时，有c=一(a+b),所以x= D AD AE =_a十b C=AB,且夹角∠A=∠A,则能判定 a+b atb =-1, △ADE△ACB,故D选项不符合题意. 所以x的值为2或-1. 答案C 归纳总结 舞析纳 本题考查了相似三角形的判定，先找出题中已知 在利用等比性质时，要注意分母的和不等 的一对角相等，再判断加上其他条件是否能得到结 于0. 论，熟练掌握相似三角形的几种判定方法是关键.较 易出现错误的是如果两个三角形的两组对应边成比 巩固特训 例，但相等的对应角不是其夹角，那么这两个三角形 1.有一题目“已知数x,y,之，m满足+义=y十之 不一定相似 x十之=m,求m的值.”对于其答案，甲答：m=2,乙 y 巩固特 1 答：m=2,丙答：m=一1，则正确的是（ 2.(2026·宁波率州区期中)如图，在四边形ABCD中，对角 线AC平分∠BAD,∠BCA=2∠DCA,点E在AC A.甲的答案正确 B.甲、乙的答案合在一起才完整 上，∠EDC=∠ABC.若BC=5,CD=2V5,AD= C.乙、丙的答案合在一起才完整 2AE,求AC的长. D.甲、丙的答案合在一起才完整 易错点2因找错对应边或对应角而出错 例2(2025·三门峡模拟)如图，在△ABC中，点 (第2题) D,E分别在边AB,AC上，下列条件中不能判定 △AED∽△ABC的是(). A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C C.DE-BC AD AC AD AE D.AC-AB 29 实验班提优训练数学九年级上Z小Y 3.(2026·河北石家庄新华区期中)如图，在四边形AB 辨析归纳 CD中，AB∥CD,∠B=∠C=90°，AB=2,CD= 相似三角形的对应边之比就是相似比，相似三 6,点P在边BC上. 角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周 (1)当BC=8时， 长比等于相似比. ①当BP=3时，△ABP与△PCD (填 “相似”或“不相似”)； 巩固特训 ②当△ABP与△PCD相似时，求BP的长； 4.两个相似三角形对应边之比为2：5，那么它们的 (2)当△ABP与△PCD相似，满足条件的BP有三 对应中线之比为( 个不同的值时，直接写出BC的取值范围 A.2:5 B.5:2 C.4:25 D.25:4 5.若△ABCP△DEF且△ABC与△DEF的周长 比为2：3，则△ABC与△DEF的面积的比为 (). (第3题) A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4 )易错点4考虑不周全 例4如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm, AC=12cm,动点D从A点出发到B点停止，动点E 从C点出发到A点停止.点D运动的速度为1cm/s, 点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么 当以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时， 运动的时间是 D 解析本题应分两种情况讨论. 设当以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相 似时，运动的时间是x秒.第1种情况为若△ADE∽ △ABC,则AD:AB=AE:AC,即x:6=(12 )易错点3对相似三角形的性质不熟悉 2x):12,解得x=3,所以运动的时间是3s; 例3如图，已知△ADE与△ABC相似，相似比 第2种情况为若△ADE∽△ACB, 为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为 则AD:AC=AE:AB, 即x:12=(12-2x)：6,解得x=4.8。 综上所述，当以点A,D,E为顶点的三角形与 △ABC相似时，运动的时间是3s或4.8s. 答案3s或4.8s 辨析伯纳 解析因为△ADE与△ABC相似，相似比为1： 本题考查了相似三角形的判定，题干中没有明 2,所以△ADE与△ABC的面积比为1：22=1：4. 确△ABC的各对应，点，所以解题时要注意此题有 两种相似形式，别漏解. 答案1：4 30 第4章 巩固特训 不能，请说明理由. 6.“如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC= 90°，AB=8,AD=3,BC=4,P为边AB上一动 点，若△APD与△BPC是相似三角形，则满足条 件的点P的个数是( (第7题) D p (第6题) A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图，在四边形ABCD中 ∠A=90°，AB=2,AD=5, 上一动点（点P不与A,D ⊥BP,PE交DC于点E. (1)求证：△ABP△DPE. (2)请你探索在点P运动的过程中，四边形A BED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果 素养考向提分 新情境 .'OA=150 cm,OB=50 cm,BD=20 cm, 例)(2025·内江中考)阿基米德曾说过：“给我 4AC150 20 0,AC=60cm, 一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠 ∴.AC的长度为60cm. 杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力 答案B 就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲， 这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一 的点拔 本题在杠杆原理的背景下抽象出相似三角 端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150cm,阻力 形，根据相似三角形的性质即可求解。 臂OB=50cm,BD=20cm,则AC的长度是( ) 释反白 B 1.(2025·陕西西安期中)小军想用镜子测量一棵古松 0 D 甲 乙 树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与 A.80cm B.60 cm 树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如 C.50 cm D.40 cm 图，第一次他把镜子放在点C处，他在点F处正好 解析，AC⊥AB,BD⊥AB, 在镜中看到树尖A的像；第二次他把镜子放在点 ∴.ACBD, C处，他在点F'处正好在镜中看到树尖A的像. ∴.△AOCc∽△BOD, 已知AB⊥BF',EF⊥BF',E'F'⊥BF',小军的眼 品8器 睛距地面1.7m(即EF=EF'=1.7m),量得 CC=12m,CF=1.8m,C'F=4.2m.求这棵古松 31 实验班提优训练数学九年级上Z小Y 树的高度AB.（镜子大小忽略不计) 续表 DE=2.1 m,DF=2.1 m,DM=1 m, 测量数据 MN=1.2m. 备注 点F,M,D,C在同一水平线上. C 根据以上信息，解决下列问题， (第1题) (1)求纪念碑AB的高度. (2)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪 念碑AB的高度约为18.5m.查阅资料得知，纪念 碑的实际高度为19.64m.请判断小红的结果和 (1)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的 可能原因（写出一条即可）. 2.(2025·河南中考改编)焦裕禄纪念园是全国重点革 命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位 于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测 量纪念碑高度的活动，记录如下 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和 测量示意图 新考法 例2[问题背景]如图(1)，在矩形ABCD中， (第2题) 点E,F分别是AB,BC的中点，连结BD,EF,求证： 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台 △BCDP△FBE: BC上，太阳光下，其顶端A的影子落 [问题探究]如图(2)，在四边形ABCD中，AD∥ 在点D处，同一时刻，竖直放置的标 BC,∠BCD=90°，E是AB的中点，点F在边BC 测量说明 杆DE顶端E的影子落在点F处，位 上，AD=2CF,EF与BD交于点G,求证：BG=FG. 于点M处的观测者眼睛所在位置为点 [问题拓展]如图(3)，在[问题探究]的条件下，连 N,点N,E,A在一条直线上，纪念碑底 部点B在观测者的水平视线上 结AG,AD-CD,AG=PG,直接写出票的值。 32 第4章 '.∠AMF=∠CBD 又∠AMF=∠BFG, ∴.∠CBD=∠BFG, ∴.BG=FG (1) (2 (3) H D 解析(1)根据中点可得出两边对应成比例且 夹角相等的两个三角形相似； (2)由中点和平行线可以联想作倍长中线证全 等，即延长FE交DA延长线于点M,作FH⊥AD于 (1) (2) 点H,证△AME≌△BFE(AAS),再证△MFH≌ (3)如图(2)，过点F作FM⊥AD于点M,取BD △BDC(SAS)即可得证； 中点H,连结AF,EH,则四边形CDMF是矩形， (3)这一问是建立在第二问的基础上，所以很容 ∴.CF=DM. 易想到构造相似通过线段关系转化求解，过点F作 .AD=2CF,∴.AM=DM=CF FM⊥AD于点M,取BD中点H,连结AF,EH,设 设CF=a,则AM=DM=CF=a,AD=CD= CF=a,AM=DM=CF=a,AD=CD=2a=MF, 2a=MF, 从而得AF=√5a,证FE垂直平分AB得到AF= ∴.AF=√AM+MF2=√5a. BF=√5a,再证△EGH∽△FGB即可求解， ,E是AB的中点，且AG=FG=GB, 答案[问题背景]，E,F分别是AB和BC的 ∴.FE垂直平分AB, 中点， ∴.BF=AF=√5a. BE 1 BF 1 ,H是BD的中点， 小AB2'BC=2 .EH是△ABD的中位线， .四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD, ∴EH=专AD=a,EH/AD,/BC, 儡器 ∴.△EGH∽△FGB, ,'∠C=∠EBF=90°， .EG_EHa /5 GF BF 5a 51 ∴.△BCD∽△FBE. [问题探究]如图(1)，延长FE交DA的延长线于 点拨 本题主要考查了相似三角形的判定和性 点M,过点F作FH⊥AD于点H,则四边形CDHF 质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及 是矩形 中位线定理等知识，点，熟练掌握以上知识和添 ,E是AB的中点， 加辅助线是解题的关键. .'.AE=BE. .∵AMBC, 例3在△ABC中，AC=AB,∠CAB=a, ∴∠AME=∠BFE,∠MAE=∠FBE, D是平面内不与B,C重合的任意一点，连结CD,将 ∴.△AME≌△BFE(AAS), 线段CD绕点C逆时针旋转a得到线段CE,连结 ∴.AM=BF. AD,BE,DE. .AD=2CF,CF=DH, AD ..AH=DH=CF, (1)如图(1)，当a=60时，BE ,求直 ..AM+AH=BF+CF,MH=BC. 线BE与直线AD所夹的角度； ,FH=CD,∠MHF=∠BCD=90°， (2)如图(2)，当a=90时，若P,Q分别是AC, ∴.△MFH≌△BDC(SAS), AB的中点，点D在直线PQ上，求点A,D,E在同 33 实验班提优训练数学九年级上Z小Y 一直线上时需的值 ∠CAB-∠CAD=60°-0. 在△FBA中，∠F=180°-∠FBA-∠FAB= 180°-(60°+0)-(60°-0)=60°， 即直线BE与直线AD所夹的角度是60°， (2)①当点E在线段AD上时，如图(1). 由题意，得△ABC,△CDE是等腰直角三角形， ∴.∠CDA=45,∠ACB=45°. (1) (2) P,Q分别为AC,AB的中点， 解析 (I)证明△ACD≌△BCE即可求得AP BE ∴.PQBC,∴.∠APQ=∠ACB=45°. 1,延长AD,BE交于点F,设∠CAD=∠CBE=0,根 .∠CPD=∠APQ=45°=∠CDA, 据三角形内角和定理即可求得∠F,得到直线BE与 ∠DCA=∠PCD,△CPD∽△CDA. 直线AD所夹的角度. 设CE=a,AC=2b,则CD=a,DE=√2a,AP= (2)①当点E在线段AD上时，根据P,Q分别为 AC,AB的中点，可得PQ是△ABC的中位线，进而 C-6需贵-元 即a=26 可得∠DPC=∠APQ=45°=∠CDA,∠DCA= a>0,b>0,.a=√2b,∴.DE=√2a=2b ∠PCD,证明△CPD∽△CDA,设CE=a,则CD= .∠CED=45°，∴.∠CEA=135°. a,设AC=2b,则AP=PC=b,代入比例式求得a= .∠CPD=45°， √2b,进而证明△CAE△DAP.设AE=x,列方程 ∴.∠DPA=180°-∠CPD=135°， 解得AE=U5-1Db,即可求得需的值：②当点D在 ∴.∠CEA=∠DPA. 又∠CAE=∠DAP,.△CAE∽△DAP, 线段AE上时，同理可得CE=√2b,AD=(W3-1)b,即 则铝品设A5-x则后- 26 可求得乐尚位。 解得x1=(W3-1)b,x2=-(3+1)b(舍去)】 答案(1)1提示：在△ABC中，AC=AB, 经检验，x=(W3一1)b是原方程的解， ∠CAB=60°，∴.△ABC是等边三角形，.AC=BC, ∴.AE=(W3-1)b, ∠BCA=60°. √2b ,将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段 =6-② D2b士/3-162 CE,∴.∠DCE=60°，CD=CE, ∴△CDE是等边三角形 :∠ACD=∠ACB-∠BCD,∠BCE=∠DCE ∠DCB,∴∠ACD=∠BCE. (AC-BC, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, (1) (2) CD=CE, ②如图(2)，当点D在线段AE上时， '.△ACD≌△BCE(SAS), 同理可得CE=√2b,AD=(W5-1)b, RAD=BE,∠CAD=∠CBE,8=D . √2b√6+√2 延长AD,BE交于点F. AD(3-1)62 设∠CAD=∠CBE=0, CE 则∠FBA=∠ABC+∠FBC=60°+0，∠FAB= 黎上所述需的值为5或6士 2 34 第4章 点拔 4. 阅读理解： 本题考查了全等三角形的性质与判定、相 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射 似三角形的性质与判定，设参数法求解是解题 线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三 关键， 角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角 形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我 举反白 们把这条线段叫作这个三角形的完美分割线， 3.如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一 (1)如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°， 点（不与B,C重合），点N在边CD延长线上，且 ∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线； 满足∠MAN=90°，连结MN,AC,MN与边AD (2)在△ABC中，∠A=48°，CD为△ABC的完美 交于点E. 分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的 (1)求证：AM=AN; 度数 (2)如果∠CAD=2∠NAD,求证：AM=√2AB ·AE; ⑧N交AC于点O,名-， (第4题) (用含k的代数式表示) D 0 351∴.P为该圆的圆心 (3)如图(3)，过点B作BC的垂线交CA的延长 线于点E,连结AB,延长AP交⊙O于点F,连结 CF,FB. (3) (第6题) .∠APB=90°， ∴∠C-3∠APB=45 又BC⊥BE, ∴.△BCE是等腰直角三角形， ..BE=BC, ∴.CE=√2BC. BP⊥AF,PA=PF, ∴.BA=BF AF是直径， ∴.∠ABF=90 .∠EBC=∠ABF=90°， ∴.∠EBA=∠CBF, ∴.△EBA≌△CBF(SAS), ∴.AE=CF. .CD=/2CB-CA=CE-CA=AE, ∴.CD=CF, ∴.必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求 7.(1).AB=AC,∠A=30°， ∴.∠B=∠C=75°. .EFCB,.∠AEF=75° .DE和FE关于AC满足“光学性质”， ∴.∠AEF=∠DEC=75°， ∴.∠EDC=180°-∠DEC-∠DCE=30°. (2)如图，连结AD. .AB=AC,∠BAC=30°， ∴.∠B=∠ACB=75°. .AB是直径，.∠ADB=90°， F .AD⊥BC, B D ∴.BD=CD,∠BAD=∠CAD, (第7题) ∴BD=DE,BD=DE. .CF⊥AB,∴.∠CFB=90°. .DB=DC,.'.DF=DB=DC, ∴.DF=DB=DE=DC, ∴.∠B=∠DFB=75°，∠DCE=∠DEC=75°， ∴.∠FDB=∠EDC=30°， ∴.DF,DE关于BC满足“光学性质” .∠FDE=180°-30°-30°=120°，DE=DF, ∴.∠DEF=∠DFE=30°， ∴.∠DEF=∠EDC,.EFBC, ∴.∠AEF=∠ACB=75°，∠AFE=∠B=75°， ∴.∠AEF=∠DEC=75°，∠AFE=∠DFB=75°， .FE,DE关于AC满足“光学性质”，EF,DF关 于AB满足“光学性质”， ∴.△DEF是△ABC的光线三角形 第4章相似三角形 例1A[解析]，a:3=4:b, ∴.ab=3×4=12.故选A. 一题3解，a:3=4:b=k≠0， a=3b=青oh=3谈·青=12 例2C[解析]，点P为线段AB的黄金分割点， 且AP>B即AP-5AB器-福AP 2 5+1BP,BP≈0.618AP,故选项C符合题意，选项 A,B,D不符合题意.故选C. 例3(1)，四边形ABCD是平行四边形， ∠B=∠D. .∠CAE=∠D, ∴.∠CAE=∠B. 又∠E=∠E, ∴.△ABEp△CAE (2)△ABE△CAE,AE=5,BE=8, 能器品cE-罗 8 例4(1)：四边形ABCD是平行四边形， .CDBF,∠A=∠C,∴.∠CDF=∠F, ∴.△CDEP△AFD. (2),四边形ABCD是平行四边形， 45 ..CD//BF,CD=AB, .△CEDP△BEF, 哪器 BF 1 Scm=4SAE题=4，AF=3· >相似三角形的面积比等于相似比的平方 由(1)知，△CDE∽△AFD, .△BEFP△ADF, .S△ADF=9S△BBF=9,.S四边形ABED=8, ∴.SABCD=S△CED十S四边形ABED=8+4=12. 例5：正方形EFGH的边HG在BC上， .EF∥BC,∴.△AEF∽△ABC. AD是△ABC的高，宽- 相似三角形的高的此等于相似此 '.设EF=xcm,则EH=FG=MD=xcm, ∴品000，解得x=48 ∴.裁下的正方形零件的边长为48cm. 例6D[解析]，△ABO的一个顶点A的坐标是 (-4,2),以原点0为位似中心，位似比为2，将 △ABO缩小得到它的位似图形△A'B'O, ∴若点A'与A在原点O的同侧，则将A点的横纵坐 标均乘以2，得到点A'的坐标是（一2,1）： 若点A'与A在原点O的异侧，则将A点的横纵坐标 均乘以-，得到点A的坐标是（(2，-1). 综上所述，点A的对应点A'的坐标是（一2,1）或 （2,-1).故选D. 例7由题意，得BCPQ, ∴.△ABCO△APQ, A8G24-设 21.72 解得PQ=30.96m..PQ≈31m. 巩固特 1.D 2.如图，在AB上取一点F,使AF=AD,连结CF. ，46 (第2题) .'AC平分∠BAD,∴.∠FAC=∠DAC. AC=AC,∴.△AFC≌△ADC(SAS), .CF=CD,∠FCA=∠DCA,∠AFC=∠ADC. .∠FCA+∠BCF=∠BCA=2∠DCA, ∴.∠DCA=∠BCF,即∠DCE=∠BCF. .∠EDC=∠ABC,即∠EDC=∠FBC, .△DCEP△BCF, C-票∠DEC=∠BPC ,BC=5,CF=CD=2√5， CE=CD·CF_(25)2 BC 4. 5 :∠AED+∠DEC=180°，∠AFC+∠BFC= 180°，∴.∠AED=∠AFC=∠ADC. 又∠EAD=∠DAC,.△EADp△DAC. AD-2AEAB-A0- AC-2AD-=AE=gCE=号×4-9 3.(1)①不相似[解析]，BC=8,BP=3,.CP= BC-BP-5,.AB2,BP_1.AB BP PC=5'CD=2PC≠CD, ∴.△ABP与△PCD不相似. ②∠B=∠C=90°， ∴分两种情况： 当能器时g即罗郁得印-2或， 2 BP 当识-部时号-gP解得Bp-2 2 BP .当△ABP与△PCD相似时，BP的长为2或6. (2)BC>43且BC≠8[解析]同②中分两种情 况讨论，设BC=k, 当能部时即， 2 BP ∴.BP2-kBP+12=0; 当光部号 2 BP 解得BP-子. 由题意，得方程BP2一kBP+12=0有两个不同 的解，方程BP=寻有一个解，且两个方程的解 不同， .△=k2-4×1×12=k2-48>0. 又k>0,∴.k>√48=43， 代入BP=,得()°-·寻+12=0，解得 k=8(负值已舍去)，.k≠8，.k>4√3且k≠8， 即BC>4√3，且BC≠8， 4.A[解析]因为两个相似三角形的相似比与对应 中线的比相等，所以它们对应中线之比为2：5. 故选A. 5.C[解析].△ABC∽△DEF且△ABC与 △DEF的周长比为2：3，相似三角形的周长比 等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的 平方，∴△ABC与△DEF的面积的比为4：9.故 选C 6.C 7.(1),∠A=90°，∴.∠ABP+∠APB=90° .PE⊥BP,.∠EPD+∠APB=90 .∠ABP=∠EPD. .ABCD,∠A=90°， ∴∠D=90.°.△ABPO△DPE. (2)设AP=x,DE=y. △ABPP△DPE, 部能即品专 2 x 则y=名+号✉0<<5， 当四边形ABED为矩形时，DE=AB=2, 即y=2则-+号=2。 解得x1=1,x2=4. ∴.当AP=1或4时，四边形ABED能构成矩形. 举反目 1.·∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF 利用反射定律中对应角的相等关系← AMNFPE小E .∠ABC'=∠E'FC'=90°，∠AC'B=∠E'C'F', AABCOAE'F'CEEF'C ABBCT -Er-1.8器器 .CC'=12m,CF=1.8m,C'F=4.2m, 18=n4.2 ~BC-BC+12:解得BC=9m, 品-1g解得AB=85m 故这棵古松树的高度为8.5m. 2.(1)如图，令BN与DE的交点为H, FMD (第2题) 则四边形BCDH和MNHD是矩形. .'DE=2.1 m,DF =2.1 m,DM=1 m,MN= 1.2m, .'.CD=BH,BC DH MN =1.2 m,NH= DM=1 m,.'.EH=DE-DH=0.9 m. 设AB=xm,则CD=AC=AB+BC=(1.2+ x)m,.BH=CD=(1.2+x)m, .'NB=BH+NH=(2.2+x)m. ,EH∥AB,∴.△NEHc∽△NAB, 022 解得x=19.8. 经检验，x=19.8为原方程的解. 故纪念碑AB的高度为19.8m. (2)纪念碑的实际高度为19.64m,小红求出纪念 碑AB的高度约为18.5m,(1)中纪念碑AB的 高度为19.8m,则小红的结果误差较大. 原因：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C 的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影 响计算结果（答案不唯一） 3.(1).四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠CAD=∠ACB=45°， ∠BAD=∠CDA=∠B=90°， 47 ∴.∠BAM+∠MAD=90° .∠MAN=90°， ∴.∠MAD+∠DAN=90°， ∴.∠BAM=∠DAN AB=AD,∠ABC=∠ADN=90°， ∴.△ABM≌△ADN(ASA), ..AM=AN. (2).AM=AN,∠MAN=90°， ∴.∠MNA=45°. .∠CAD=2∠NAD=45°， ∴.∠NAD=22.5°，∴.∠CAM=∠MAN- ∠CAD-∠NAD=22.5°， ∴.∠CAM=∠NAD,∠ACB=∠MNA=45°， ∴.△AMCp△AEN, SAM·AN-ACAE ,AN=AM,AC=√2AB, ∴.AM=√2AB·AE. ③车2 [解析]如图，过点M作MF∥AB交 AC于点F, D 0 M B (第3题) 设BM=a, BM-k.:.CM-ak,BC-(k+1)a: ND=BM=a,AB=CD=BC=(k+1)a. .MF∥AB/CD, 溜 .'.MF=ka, 微瓷-+年 ka 4.(1).∠A=40°，∠B=60°， ∠ACB=180°-∠A-∠B=80° >三角形的内角和定理 ∠A≠∠B≠∠ACB, ∴.△ABC不是等腰三角形. 48 .CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD=2∠ACB=40°， ∴.∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形. .∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC, .△BCDp△BAC, ∴.CD是△ABC的完美分割线. (2)①如图(1)， P (1) 当AD=CD时，∠ACD=∠A=48°， >围绕等腰三角形的不同情形展开分类讨论 根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA, ∴.∠BCD=∠A=48°， 则∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°； ②如图(2)， B D (2) 当AD=AC时，∠ACD=∠ADC-180°，48=66， 2 根据完美分割线的定义，可得△BDCp△BCA, ∴.∠BCD=∠A=48°， ∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°； ③如图(3)， B (3) (第4题) 当AC=CD时，∠ADC=∠A=48. 根据完美分割线的定义，可得△BDCP△BCA, .∠BCD=∠A=48°， 这与∠ADC>∠BCD矛盾， ∴.图(3)的情况不符合题意. 综上所述，∠ACB的度数为96或114°.