第3章 圆的基本性质 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（浙教版·新教材）

:∠JHC+∠ACB=90°，∠ACB+∠EBC=90°， ∴.∠GBC=∠JHC. CF=CH,∴.BG=CG=CH ∠IBG=∠JHC, 在△BGI和△HCJ中，∠BIG=∠HJC, BG=HC. ∴.△BGI≌△HCJ(AAS),∴.HJ=BI=IC. :SA4=10,2B1,B1=10, 2 .BI=√10，即BC=2√I0, 令CE=x, 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE2=102-(10-x)2, 在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2=(2√/I0)2-x2, .CE=2. 5.(1)S△BPC DP PE (2)如图(1)，过点C作CM⊥AB于点M,过点F作FN⊥ CG于点N △ABC是等边三角形，AC=3,.AB=AC=3. CMLAB,∴AM=BM=,∠ACM=∠BCM=30 在直角三角形ACM中，由勾股定理，得 CM=ac-A-√-(-39 2 AG-1.MG-AM-AG-1 在Rt△CGM中，由勾股定理，得CG=√GM+CM= V（）》+()-. 将线段CG绕点C逆时针旋转60得到CF, ∴.CG=CF,∠GCF=60°，∴△CGF是等边三角形， CN-GN-G 2,则NF=2虹 21 ·由(I)可得PD+PE=FN=」 2 (1) (2) (第5题) (3)△PAC和△PBE的面积之和为24.理由如下： 如图(2)，延长AC,BE交于点T,过点P作PS⊥BE于点 S,连结BC. 设CD=x,AB是半圆O的直径，∠ACB=90° AB=10,AD=2,BD=4V5, ∴.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AB2-AC2= 102一(2+x)2, ∴.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=BD2-CD2= (4√5)2-x2,∴.102-(2+x)2=(45)2-x2, 解得x=4,即CD=4. .AC=BE,..AE=BC,BE=AC=AD+CD=2+4=6, ∴∠ABT=∠BAT,.AT=BT 由(2)可得BC=PD+PS. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AB2-AC 答案6D详解◇ √102-62=8，∴.PD+PS=8. .'AC=BE, ∴Se+SE-7AC·PD+号BE·PS-号AC· (PD+PS)=号×6X8=24 竞赛思维空间 1.B 2.C[解析]如图，设半径为2的圆的圆心是O,在圆周上作 正六边形ABCDEF,其边长都是2.再分别以各边中点为 圆心作六个半径为1的圆，加上中间的一个半径为1的圆， 共需7盏灯.故选C (第2题) 3.C4.(2+2√2,4+2W2) 5.过P1,P2,…,P1中每两点都作它们的垂直平分线，这样 画出的垂直平分线有有限条。 在平面上任取一点O不在上述所画的直线上. 根据中垂线的性质知OP1,OP2,…,OP1o两两不等，不妨 从小到大排序， OP1<OP2<OP3<<OP<OP10, 取r=-OP+OP 2 OP<OP2<OP3<.<OP<r, 故P1,P2,…,P。都在⊙O内. 而r<OPk+1<…<OP1o,故P+1,Pk+2,…,P9,P1o0这 (100-k)个点均在半径为r的⊙0外. 按照上述方法就可以作出符合要求的圆. 6.如图，设OA=a(定值)， 过点O作OB⊥PQ,OC⊥RS,B,C 为垂足. 设OB=x,OC=y(0≤x≤a, 0≤y≤a),且x2+y2=a2, PQ=2PB=2√1-x, RS=2W1-y2, ∴.PQ+RS=2(W1-x2+ (第6题) W1-y2), .(PQ+RS)2=4(2-a2+2W√1-a2+x2y), 面rg=ra-)=(x-)》+ 当r-时，2y'a- 此时(PQ十RS)最大值=√4(2-a2+2-a)=2√4-2a2. 当x2=0或x2=a2时，(x2y2)小值=0， 此时(PQ十RS)最小值=2(1+√1-a). 第3章提优测评卷 1.C解析]：PO=5,半径为4，.点P与⊙O的位置关系 是点在圆外.故选C. 2C[解析]当这点在圆外时，则这个圆的半径是(6一2)÷ 67拿 今实验班提优训练数学九年级上Z小Y 2=2;当点在圆内时，则这个圆的半径是(6十2)÷2=4.故 选C 3.D[解析]设直线AB的表达式为y=kx十b,由题意，得 德。锅得信2，六直线AB的表达式为y 2x-3,当x=5时，y=2×5-3=7,∴.点(5,7)在直线AB 上，.A,B,C三点可以确定一个圆时，n≠7.故选D. 4.A 5.B[解析].四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠BAD+∠C=180°. .∠C=80°，∴.∠BAD=180°-∠C=100. :点A是BD上的点，OA⊥BD,.AB=AD, .∠ADB=∠ABD. ∠BAD+∠ADB+∠ABD=180°，∴.100°+2∠ABD= 180°，∠ABD=40°.故选B. 6.A[解析]设“图上”圆的圆心为O,连结OA,过点O作 OD⊥AB于点D,如图所示. AB=16厘米，AD三7AB=8厘米 ,OA=10厘米，.OD=√OA-AD2=6(厘米)， ∴.海平线以下部分的高度为10+6=16（厘米）. ,太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，∴.“图上”太阳 升起的速度为16÷16=1（厘米/分）.故选A. 海平线 (第6题) 7.C[解析]如图，连结OA,OB,则OA=OB. ,四边形ABCD是正方形， D ∴./AOB=90°， .△OAB是等腰直角三角形. ,正方形ABCD的面积是18， .AB=√/18=32， ..OA=OB=3, (第7题) =n迟_90XπX3_3π .l8=180 180 21 故选C. 方陆技巧正方形的边长等于其面积的算术平方根 8.D[解析]连结OD,OC. ,BC=CD=DA=4cm,∴.∠AOD=∠DOC=∠BOC= 60°.又OA=OD,∴.△AOD是等边三角形，.OA=AD= 4cm,∴.⊙O的直径AB为8cm.故选D. 9.D[解析]如图，连结ON,DN, MC,MD,由作法，得CM=CD= DN,.∠COM=∠COD,∴.A正 确；.OM=ON,.当OM=MN 时，△OMN为等边三角形， ,∴.∠MON=60°.，CM=CD=DN, ZA0B=∠0A=∠N0B=3× (第9题) 60°=20°，∴.B正确； :MC=DN,∴∠MOC=∠OD,MC=DN. .'OM=OC=ON,∴.∠OMC=∠OCM,∠OCD= ∠ODC,∠ODN=∠OND,∴.∠MCD=∠NDC, 拿68 .∠CMN=∠DNM..四边形CMND内角和为360°， .∠MCD+∠CDN+∠CMN+∠DNM=360°， ∴∠CMN+∠MCD=180°，.MN∥CD,.C正确； CM+CD+DN>MN,∴.3CD>MN,∴.D错误.故 选D. 10.A[解析]如图，连结OB,OC,OD,OE,DC. .BC=4DE, ∴.∠BOC=4∠DOE. ∠BOC=2∠BDC, ∠DOE=2∠DCE, '.∠BDC=4∠DCE :∠DFC=105°， ∴.∠BDC+∠DCE=75°， (第10题) ∠DCE=15°，∠A<15°，.只有A选项符合题意. 故选A 11.130°[解析].BE∥AD,∠BEC=50°， ∴.∠D=∠BEC=50°. .四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠ABC+∠D=180°， .∠ABC=180°-50°=130°. 12.213.4514.23 5.(4π一2√3)[解析]中间部分为正六边形，AM的延长线 恰好过点C,圆的半径为2cm,如图，连结OA,OD,过 点O作OH⊥AM于点H. 由题意，得∠CMN=∠CNM=60°， △CMN是等边三角形， ..MN-DM-MC=AD, 设AD=x,则DH=x,OH= 2x, M HD (第15题) AH-2 3 在Rt△AOH中，由勾股定理，得2=（ )+（月， 解得x=2 250H-9×2 =1, 12W3 :∴S阴=S圆一S正大边形=4r一6X之X 3 X1=(4π 23)cm2. 16.√/10-1[解析]如图，在矩形 ABCD中，AB=3,BC=2, ..AB=CD=3,BC=AD=2. ,M是边AD的中点， .AM=MD=1.由题意，MA'= MA=1,.点A'在以M为圆心， (第16题) 1为半径的⊙M上运动.连结CM,交⊙M于点A1,则当 点A'在A1处时，CA'取得最小值，最小值是CA1的长 CM=√DM+CD=√0，∴.CA1=CM-MA1= √10-1，即A'C的最小值为W√10-1. 17..∠1=∠2，∴.∠1+∠BOC=∠2+∠BOC,∴∠AOC= ∠BOD,.AC=BD 18.如图，连结OC, (第18题) 设⊙O的半径为r, .BE=7,..OE=7-r. AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,CD=4V7, CE-CD-2/TCBO-90 由勾股定理，可得(2√7)2+(7-r)2=r2. 解得r=只即⊙0的半径为 11 19.(1)如图，连结OA,设NE=x, 则MN=3NE=3x,ME=2x. .MD=DE,..MD=DE=x. MN是⊙O的直径， 0 0A=0M-=号c, ∴0D-OM-MD=2x. (第19题) MN⊥AB于点D, AD=BD=号AB=号×46=2W6. 在Rt△AOD中，AD2+OD2=OA2, 5+(合)-(2， 解得x=2√3（负值舍去），.DE=2√5 在Rt△AED中，AE=√DE2+AD=6. (2)如图，连结BM,AM,BE 'AD=BD,DE=DM,AB⊥ME .四边形AMBE是菱形， ∴AM=AE,BMAC,∴.∠MBA=∠BAC, ∴.BC=AM,∴.BC=AM,∴.BC=AE. 20.(1),BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°. 在Rt△CAB中，BC=10,AB=6, 由勾股定理，得AC=V√BC2-AB2=√102-62=8. AD平分∠CAB, ∴CD=BD,CD=BD. 在Rt△BDC中，BC=10,CD2+BD2=BC2, ∴BD=CD=5V2. (2)如图，连结OB,OD B (第20题) AD平分∠CAB,且∠CAB=60°， ∠DAB=3∠CB-30, ∴.∠DOB=2∠DAB=60 又OB=OD,∴.△OBD是等边三角形， ∴.BD=OB=OD. ,⊙0的直径为10，∴.OB=BD=5. 21.(1).AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°， .∠A=90°-∠ABC. CE⊥AB,∴∠CEB=90°， ∴.∠ECB=90°-∠ABC,∴∠ECB=∠A 又点C是BD的中点，∴CD=CB. ∠DBC=∠A,∴∠ECB=∠DBC,∴.CF=BF. 答察6D详解 (2).BC=CD,..BC=CD=6. ∠ACB=90°， .AB=√BC2+AC=V62+82=10, ∴.⊙0的半径为5. S=AB.CE=C·AC. :CE=BC·AC_6x824 AB 10-5 22(1),四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B=∠D. :平行四边形ABCD内接于⊙O, ∠B+∠D=180°，∠B=∠D=90°， .平行四边形ABCD为矩形. (2)①如图，连结AE,EC,过E作EG⊥CB交CB的延长 线于点G. .AE=CE,.'.AE=CE. EF⊥AB,EG⊥CB,.∠EFA= ∠G=90°. :∠EAF=∠ECG, ∴.△AEF≌△CEG, ..EF=EG. (第22题) ,四边形ABCD为矩形， ∠ABC=90°， ∴.∠FBG=90°， ∴.∠EFB=∠FBG=∠G=90°， ∴四边形EFBG为矩形， .EG=BF,.'.EF=BF. ②由①知，EF=BF=1,.BG=EF=1. :△AEF≌△CBG.CG-=AF=号， BC=0G-BG-是AB=AF+BF-子， SE四-AB·BC-号X号-头 23.(1).BD是⊙0的直径， ∴.∠BAD=90° AB=AD∴∠ABD=∠ADB=)(I8O-∠BAD) 合×10-90-45 :四边形ABDE是⊙O的内接四边形， .∠ABD+∠E=180°， ∠E=180°-∠ABD=180°-45°=135°， ∴.∠E的度数为135°. (2)如图，连结AC. 'AB=AD,∠ABD=∠ADB, AB=AED,.∠ACB=∠ADB, ∠ACD=∠ABD, 1 .∠ACB=∠ACD= 20, ∠ABD=∠ACD=2a. (第23题) ,四边形ABDE是⊙O的内接四边形 ∴∠ABD+∠E=180,7a+∠E=180, ∴∠E=180-70,即∠E的度数为∠E=180 2a. 69 今实验班提优训练数学九年级上ZWY 24.(1),AC是⊙O直径，.∠ABC=90°， ∴∠PBC+∠ABF=90. ,DE⊥AB,.∠DAE+∠ADE=90° ,∠ADE=∠ABF,∴.∠PBC=∠DAE .∠PCB=∠DAE,.∠PBC=∠PCB, ,.PB=PC,.△PCB是等腰三角形 (2)①如图，连结OD,OB,AC和DE交于点M. ,AC是⊙O直径，∠ABC=90°，∴.BC⊥AB. ,DE⊥AB,.DEBC, 同理BHDC, ,.四边形DHBC是平行四边形， ..BC=DH=1. ,∠ACB=60°，OB=OC,∴△OBC是等边三角形， .OC=BC=1,.⊙O的半径长是1. ②'OD=DH=1,∴.∠DOH=∠DHO=80° ,DE∥BC,∴.∠OMH=∠ACB=60°， ∴.∠MOH=40°，∴.∠DOM=∠DOH-∠MOH=40°， ·∠DBC-=7∠D0C=20,∴∠BDE=∠DBC-=2O G (第24题) 第4章 相似三角形 4.1比例线段 第1课时 比例线段（1) 1B[解折]：5x=4,专-岩故选B 2.C 3C[解折]号-号…若-2告-号放迹C b 知识西围0老号=台剥ad=c,(②)老号-=台·剩 a+地_+4 d 4设8=6c 3=4=2=k,则a=3k,b=4k,c=26. .a+b-2c=6,.3k+4k-2X2k=6,.k=2,∴.a=6. 归纳总结通过设比例的值为，所有字母都用k表示， 代入化简即可求值. 5.C[解析]设x=4k,y=5k,z=6k, :2m+y_8k+5 x-y 6k-5k =13.故选C. 6.C 7.D[解析]分两种情况： 2a+2b+2c ①当a+b+c≠0时，b=b+c十a十c+a+b-1, 所以k2=1; ②当a+b+c=0时，a+b=-c,k=2 +6=-2, 所以2=4. 综上所述，2的值为1或4.故选D. 毫70 8盖得折1号-受设红=8y-2 ÷2-- 4 3x+y-9t+2t 3 9.23或3或3 10贸解折设音-兰-号-6， 则x=3k,y=4k,之=5k, “原式=15k+12227 20k2 20 89 [解析]·a十b十c=10, ∴.a=10-(b+c),b=10-(a+c),c=10-(a+b), 10_b+c+10c十a+10_a+b b+c b+cc+a c+aa+b a+b 6-1+.1品。1 =10+10+ -b+ccta atb-3. 1 14 114 a+bb+cc+a 17' 原式-特×10-8”-39 12当a十b+c≠0时，设十c_a十9_a+b=k, a b ∴.b十c=ak,a+c=bk,a十b=ck, b+c+a+c+a+b=ak+bk+ck .2(a+b+c)=(a+b+c)k, 注意运用等式的基本性质时的前提条件为除式不为0 6=2a+6=2,即26=2 当a十b+c=0时，a+b=-c, 。千6=-1.故千6的值为2或-1 13.(1)设a=3k,b=2k且k≠0， 4红3b_4X3k3X2k_6站-2. 3k -3k (2)已知分-台： 设片=后=（≠0），则a=bk,c=d, C 给0-， b-d ÷号-8-6-d≠0. 14.设原来有男生x名，女生y名， 则品4擦得化 故原来有男生45名，女生30名. 15.(1)a:b:c=1:2:3, .设a=k,b=2k,c=3k, a-b十c_-2k+3k261 a+b+c k+2k+3k6k3 (2).a:b:c=1:2:3,∴.设a=k,b=2k,c=3k, .a十2b-c=k十4k-3k=2k=10,∴.k=5, ∴.a=5,b=10,c=15.第3章提优测评卷 ,答案P67 时间：90分钟 总分：100分 第工卷（选择题 共30分) 一、选择题（每题3分，共30分） 1(2025·江苏徐州期中)已知⊙0的半径为4，若PO=5,则点P与⊙0的位置关系是( A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 数 C.点P在⊙O外 D.无法判断 2.(2025·杭州期中)已知P点到⊙O的最大距离是6，最小距离是2，则⊙O的半径是( 别 A.2 B.4 C.2或4 D.4或8 3.(2026·江苏扬州仪征期中)在平面直角坐标系中，若A(1,一1)，B(3,3),C(5,n)三点可以确定一个 圆，则n的取值范围是(). A.n≠3 B.n≤5 C.n>6 D.n≠7 4.(2026·黑龙江大庆龙凤区期末)如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形 的中心角为( 戡 A.30° B.40° C.50° D.60° 海平线 A ● 蛋 B (第4题) (第5题) (第6题) (第7题) 5.(2025·杭州拱墅区文澜中学月考)如图，圆内接四边形ABCD中，点A是BD 上的点，O为圆心， 韵 OA⊥BD,∠C=80°，则∠ABD的度数是(). A.30° B.40° C.50° D.60° 6.新情境海上日出如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线 交于A,B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太 阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为(. A.1厘米/分 B.0.8厘米/分 C.1.2厘米/分 D.1.4厘米/分 7.如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O,则AB的长度为( A.9π B.2 c品 D. 8.如图，AB是⊙O的直径，点C,D均在⊙O上，若BC=CD=DA=4c,则⊙O的直径AB为( A.5cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 19 D 0 (第8题) (第9题) (第10题) 9.(2026·黑龙江哈尔滨松北区期末)如图，已知锐角∠AOB,在射线OA上取一点C,以点O为圆心、OC 长为半径作PQ,交射线OB于点D,连结CD,分别以点C,D为圆心、CD长为半径作弧，交 PQ于点M,N,连结OM,MN.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(). A.∠COM=∠COD B.若OM=MN,则∠AOB=20° C.MN//CD D.MN-3CD 10.如图，在⊙0中，弦BD与弦CE相交于点F,∠DFC=105°，BC=4DE,延长EC至点A,连 结DA,设∠A=a,则a所在范围可能是(). A.12°<a<16° B.15°<a<18 C.17°<a<20° D.19°<a<229 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，四边形ABCD内接于⊙O.过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°，则 ∠ABC的度数是 D 0.λE /509 B C (第11题) (第12题) (第13题) (第14题) 12.(2026·河南南阳期末)如图，点C,D在⊙O上，∠COD=60°，连结CD,若△COD中CD边上的高 为√3，则⊙O的半径为 13.传统文化司南(2026·西藏日喀则期末)司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被 发明，也是如今指南针的前身，如图是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O,根据八个方 位将圆形八等分（如图中点A~H)且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度 14.如图，MN是⊙O的直径，MN=4,∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上 的一个动点，则PA十PB的最小值为 15.新情境了解相机镜头中的光圈结构(2025·河北保定二模)光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6 片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作 用.如图，左图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，右图中若AM的延长线恰好过点 C,圆的半径为2cm,则叶片所占区域（阴影部分）的面积是 cm2. 20 F/2.8 B F/4 (第15题) (第16题) 16.(2025·山东济宁实验中学期中)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,M是边AD的中点，N是 AB边上的一动点（不与点A重合），将△AMN沿MN所在直线折叠得到△A'MN,连结 A'C,则A'C的最小值是 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17.(6分)(2025·绍兴嵊州期中)已知：如图，A,B,C,D是⊙O上的点，∠1=∠2.求证：AC=BD (第17题) 18.(6分)(2026·北京西城区期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,若BE=7,CD= 4√7，求⊙O的半径. (第18题) 21 第3章提优测评卷 19.(6分)如图，已知△ABC内接于⊙O,直径MN⊥AB于点D,交AC于点E,且MD=DE. (1)若MN=3NE,且AB=4√6，求AE的长； M (2)求证：BC=AE D 0 N (第19题) 20.(6分)已知⊙O的直径为10，点A,B,C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D, (1)如图(1)，若BC为⊙O的直径，AB=6,求AC,BD,CD的长； (2)如图(2)，若∠CAB=60°，求BD的长. B (1) (2) (第20题) 实验班提优训练数学九年级上ZJJY 22 21.(6分)如图，AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，CE⊥AB于点E,BD交CE于点F. (1)求证：CF=BF; (2)若CD=6,AC=8,求⊙O的半径及CE的长， (第21题) 22.(6分)(2026·湖北武汉硚口区期未)如图，□ABCD内接于⊙O. (1)求证：□ABCD为矩形； (2)点E在⊙O上，AE=CE,过点E作EF⊥AB,垂足为F. ①求证：EF=BF; 0 @若BF=1,AF-,直接写出□ABCD的面积 (第22题) 23 23.(8分)(2025·江苏泰州兴化期末)如图，在⊙O中，弦AB=AD,点E在⊙O上. (1)如图(1)，若BD是⊙O的直径，求∠E的度数； (2)如图(2)，在弧BD上取一点C,若∠C=a(90°<a<180),请用含a的式子表示∠E的度数. (1) (2) (第23题) 24.(8分)已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB,垂足为E. (1)延长DE交⊙O于点F,延长DC,FB交于点P,如图(1).求证：△PCB是等腰三角形； (2)过点B作BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,连结OH,且点O和点A都在DE的左 侧，如图(2).若∠ACB=60°，DH=1,∠OHD=80°. D ①求⊙O的半径； ②求∠BDE的大小. (1) (2) (第24题) 24