第3章 圆的基本性质 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（浙教版·新教材）

第3章 圆的基本性质 知识梳理导图 圆的定义：在同一平面内，围绕 个点并以一定长度为距离旋转一 确定圆的条件：过一点能作无数个 周所形成的封闭曲线 圆；过两点能作无数个圆；过在同一 直线上的三点不能作圆；不在同一直 最长的弦—直径，弦 点 与圆有关 线上的三个点确定一个圆，圆心确定 的概念 圆的位置，半径确定圆的大小 劣孤、半圆、优孤孤 圆 圆 圆心角、圆周角 的 点与圆的 点在圆内今d<r 位 位置关系 点在圆上台d=r 轴对称性— 垂径定理（垂 关 置 ,点在圆外今d>r 直于弦的直径平分这条弦， 圆的基 并且平分弦所对的孤) 质 本性质 系 三角形的外接圆及外心 旋转不变性—等对等定 圆的 理（在同圆或等圆中，如 有关 正多边形与圆 果两个圆心角、两条孤、两 性质 条弦、两个弦心距中有一 求半径、弦长、弦心距 对量相等，那么它们所对 应的其余各对量都相等) 圆的相 求圆心角、圆周角、弧长、扇形的面积 关计算 圆内接四边形—每组内对角互补 求不规则阴影部分的面积 重难疑点解法 分上分点1点与圆的位置关系 其外接圆的半径. 例1(2026·江西赣州章贡区期末)已知圆的半径 名师启发过点A作AD⊥BC于点D,由等 为7cm,同一平面内一点到圆心的距离是9cm,则这 腰三角形的性质可知△ABC的外接圆的圆心O必在 点在(). AD上，连结OC,利用勾股定理列方程即可求解. A.圆外 B.圆上 C.圆内 D.不能确定 名师启发根据平面内一点到圆心的距离大 于圆的半径即可得到结论. 关键提醒 设圆O的半径为r,点P到圆心O的距离 OP=d,则有①d>r台，点P在圆外；②d=r台点 P在圆上；③d<r曰，点P在圆内 分上分点2三角形的外接圆 例2在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,求 15 实验班提优训练数学九年级上Z小Y 个关键提醒 BP=CP,利用勾股定理列方程求解即可得出答案. 求三角形外接圆半径时，通常使条件化归到含 有外接圆半径的直角三角形中，并应用勾股定理加 以解答， 分上分点3圆心角 例3(2026·绍兴上虞区期中改 编)如图，在⊙O中，OC⊥AB,∠APC= 30°，求∠B℃的度数 名师启发连结QA,则∠AOC= 2∠APC=60°，由OCLAB,根据垂径定理得EC=AC,所 以∠BOC=∠AOC=60°，即可得解. 归纳总结 本题主要考查圆周角定理和垂径定理以及勾 股定理等知识，作出合适的辅助线是解题关键， )上分点⑤垂径定理的实际应用 例5(2025·北京交大附中期中)往一个水平放置 的圆柱形油槽内注入一些油以后，其侧面如图所示， 若宽AB-24dm,油的最大深度为8dm,则该圆柱形 油槽截面的半径为( ) 归纳总结 (1)同孤所对的圆周角是圆心角的一半； (2)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的孤； 24 dm (3)在同圆或等圆中，同孤或等孤所对的圆周 A.13 dm B.16 dm C.17 dm D.26 dm 角、圆心角相等。 名师启发连结OA,过点O作OD⊥AB交 上分点4垂径定理 AB于点C,交⊙O于点D,由垂径定理求出AC的 例4(2026·广东梅州期末)如 长，再根据勾股定理构建方程求解即可、 图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD 归纳龙跨 于点P,连结AB,BD (1)辅助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是 (1)求证：∠A=∠DBC; 两条常用的辅助线； (2)若BC=16,PD=4,求⊙O的半径. (2)若圆的半径为r,圆心到弦的距离为d,弦 名师启发(I)由垂径定理可得BD=CD,再 长为a,则，a,d之间的关系为r=d+(侣)月， 由等弧所对的圆周角相等即可得出结论； 因此已知r,a,d中的两个量就可求出第三个量 (2)连结OB,设⊙O的半径为r,由垂径定理可得 16 第3章 分上分点6圆周角 方法技巧 例6(2025·湖北十堰丹江口期中)已知：如图，在 利用圆内接四边形的对角互补，并结合圆周角 定理求解。 △ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点 D,交AC于点E. 分上分点8 正多边形与圆 (I)求证：BD=DE: 例8(2025·杭州滨江区期中) (2)连结BE,如果BC=6, 如图，正五边形ABCDE内接于 B AB=5,求BE的长， B ⊙O,P为DE上的一点（点P与点 名师启发(1)连结AD,根据直径所对的圆 D不重合)，则∠CPD的度数为 周角为直角得到∠ADB=90°，则有∠BAD= ∠CAD,即有BD=DE; 名师启发 由正多边形的中心角相等求出 (2)根据题意得∠BEA=∠ADB=90°，且BD= ∠COD,由圆周角定理即可求出∠CPD的度数， DC=2BC,利用勾股定理可求得AD,结合等面积法 义归纳总跨 即可求得BE. 圆内接正n边形的中心角的度数为360 即弦 所对的圆心角的度数， 上分点9弧长及扇形面积计算 例9在圆O中，若点A,B,C在圆上，圆O的 半径为3，∠B=60°，求AC的长， 名师启发连结O℃，由圆周角定理可得 关建提醒 ∠AOC=2∠B=120°，再求出半径OA=3,根据弧长 在解决与圆有关的问题时，可借助条件中的直 公式计算求解即可. 径添加辅助线构造直角三角形. 分上分点7圆内接四边形 例7如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边 形，若∠BCD=120°，则∠BOD的大小是( ) B A.60° B.110°C.120° D.90° 归纳总结 本题考查了圆周角定理，孤长的计算，熟练掌 名师启发利用圆内接四边形的性质、圆周角 握孤长的计算公式是解题的关键， 定理求解. 17 实验班提优训练数学九年级上Z小Y 易错易混辨析 )易错点1忽视点与圆的位置关系 巩固特圳 例①点P到⊙0的最短距离为2，最长距离 2.半径为10cm的圆内有两条平行弦，弦AB,CD的长 为6，则⊙0的半径为 分别为16cm和12cm,则两弦间的距离为 解析当点P在圆内时，则直径=2+6=8，因 ()cm. 而半径是4； A.2B.14 C.4 D.2或14 当点P在圆外时，直径=6一2=4，因而半径是2. 3.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB∥ 所以⊙0的半径为2或4. CD,且AB=8cm,CD=6cm,⊙O的半径为 答案2或4 5cm,则四边形ABCD的面积是 辨析伯纳 )易错点3求圆周角时漏解 当题中没有给出图形时，要注意全面考虑可能 例3在半径为2cm的⊙0内有长为23cm 的情况，做到不重不漏。 的弦AB,求此弦所对的圆周角∠ACB的度数， 巩固特 解答如图，根据题意，画出图形，作OD⊥AB 于点D 1.在平面内，一个点到圆的最大距离为10cm,最小 距离为6cm,则圆的半径为(). .⊙O的半径为2cm,AB=2√3cm, A.16cm或4cmB.8cm或2cm ∴.OA=2cm,AD=√cm. C.8cm D.2 cm ∴.OD=√/OA2-AD=√22-(W3)2=1(cm). )易错点2 求平行弦之间的距离时忽略圆 的对称性 :0D=20A.∠1=30.∠2=60 例2在直径为50的⊙0中，弦AB∥CD,若 .∠3=60° AB=30,CD=48,则这两条平行弦之间的距离为 ∴.∠AOB=∠3+∠2=120°. 解析由垂径定理易得圆心O到弦AB的距离 ∴∠ACB=2∠AOB=60°， 为√252-152=20，圆心O到弦CD的距离为 √/252-242=7， ①当弦AB和CD在⊙O的圆心O同侧时，d= 20-7=13; 13 ②当弦AB和CD在⊙O的圆心O两侧时，d= D 20+7=27. C 故这两条平行弦之间的距离是13或27. ,四边形ACBC是圆内接四边形， 答案13或27 ∴∠ACB+∠AC'B=180°. 辨析伯纳-- ∴.∠AC'B=120°. 当只告诉两平行弦的长度与半径（或直径），要 .∠ACB的度数为60或120°. 求两平行弦之间的距离时，需要分如下两种情况讨 辨析伯纳 论：(1)两平行弦位于圆心同侧；(2)两平行弦位于 在求弦所对的圆周角的度数时，一定要注意弦 圆心两侧. 所对的圆周角有两个。 18 第3章 巩固特训 )易错点5忽视分类讨论而出错 4.半径为3的圆中，弦AB,AC的长分别为3和3√2，则 例5等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O, ∠BAC的度数是(). 点O到底边BC的距离为3，则AB的长为 A.15 B.105° 解析本题分两种情况考虑：当△ABC为锐角 C.15°或75 D.15°或105° 三角形时，如图(1)所示，过点A作AD⊥BC,由题 )易错点4概念和性质混淆而出错 意，得AD过圆心O,连结OB, 例④下列说法：①三点确定一个圆；②长度相 .OD=3,OB=5, ∴.在Rt△OBD中，根据勾股定理，得BD=4. 等的两条弧是等弧；③两条弦相等，它们所对的弧也相 在Rt△ABD中，AD=AO+OD=8,BD=4,根 等；④同弧所对的圆心角相等；⑤平分弦的直径，也平 分这条弦所对的两条弧.其中正确的个数是(). 据勾股定理，得AB=√82+4=4V5】 A.1B.2 C.3 D.4 解析①不在同一条直线上的三个点确定一个 圆，故不符合题意 ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧， (1) (2) 故不符合题意； 当△ABC为钝角三角形时，如图(2)所示，过点A作 ③在同圆或等圆中，两条弦相等，它们所对的弧 AD⊥BC,由题意，得AD的延长线过圆心O,连结OB, 也相等，故不符合题意； ,OD=3,OB=5,∴.在Rt△OBD中，根据勾股 ④同弧所对的圆心角相等，故符合题意； 定理，得BD=4. ⑤平分弦（非直径）的直径，也平分这条弦所对的 在Rt△ABD中，AD=AO-OD=2,BD=4,根 两条弧，故不符合题意. 答案A 据勾股定理，得AB=√22十4=2√5】 舞析伯纳 综上，AB的长为2√5或4W5. 解决此类问题的关键在于对圆的有关的概念 答案2√5或45 和性质熟记于心.如本题考查了垂径定理、确定圆 辨析归纳 的条件等 圆是轴对称图形，在解决与圆有关的计算问题 时，通常要进行分类讨论 巩固特训 5.下列有关圆的一些结论：①任意一个三角形有且只 巩固特训 有一个外接圆；②在圆中直角所对的弦是直径；③平 7.(2025·海南万宁期中)数轴上有两个点A和B,点B 分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内 表示实数16，点A从原点出发，以每秒2个单位 接四边形对角互补.其中正确的结论是( ) 长度的速度向右运动，运动时间为t秒，⊙B半径 A.①②B.②③C.③④D.①④ 为4.若点A在⊙B外，则(). 6.(2025·江苏无锡期中)下面有关圆的一些结论，其中 A.t<6或t>10 B.6<t<10 错误的结论有(). C.t<12或t>20D.1<t<20 ①三点确定一个圆； 8.(2025·河北邯郸期未)点A,B,C在⊙O上，且四边 ②相等的圆心角所对的弧相等； 形OABC为平行四边形，P为⊙O上异于A,B,C ③平分弦的直径平分弦对的两条弧； 的一点，则∠APC的度数为(). ④三角形的外心到三个顶点的距离相等. A.30° B.60° A.1个B.2个C.3个D.4个 C.60°或120° D.30°或150° 19 实验班提优训练数学九年级上Z小小Y 素养考向提分 新情境 AB(孤所对的弦)的长为8米，拱高CD(孤的中点到 例汽车上有电动雨制装置，雨刷刮过的区域 弦的距离)为2米 (1)求该圆弧所在圆的半径； 是如图所示的阴影部分，雨刷呈扇形摆动的圆心角是 (2)在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端(，点B) 108°，弧CD的长度是18.84厘米，AC的长度是30厘 1米处将竖立支撑杆EF,求支撑杆EF的高度. 米.（π取3.14） (1)求雨刷刮过的区域的面积； (2)调整雨刷呈扇形摆动的圆心角的度数（其他 条件不变)，使雨刷刮过的面积达到1570平方厘米， 求调整后雨刷呈扇形摆动的圆心角的度数 解析(1)根据垂径定理的推论得到圆心O在 DC的延长线上，设⊙O的半径为r米，则OC=(r一 2)米.由垂径定理得到CA=4米.在Rt△OAC中，由 勾股定理得AC2+OC2=AO2,得到方程，解方程即 解析(1)先由孤CD的长度求出OC的长，再 可求出该圆弧所在圆的半径： 求得OA的长，根据扇形面积公式即可得雨刷刮过的 (2)过点F作FH⊥CD于点H,连结OF,先求出 区域的面积；(2)由扇形面积公式计算即可得圆心角 CE=3米，证明四边形EFHC为矩形，则FH=CE 度数。 3米.在Rt△OFH中，OH=√OF2-FH=4米，求出 答案(1).弧CD的长度是18.84厘米， HC=1米.根据矩形的性质即可得到答案。 :108xX0C=18.84,.0C=10厘米， 答亲(1)CD垂直平分AB, 180 .圆心O在DC的延长线上 .OA=40厘米， :108mX40108xX102 设⊙O的半径为r米，则OC=(r-2)米. 360 360 =1413(平方厘米). ,OD⊥AB, 故雨刷刮过的区域的面积为1413平方厘米. CA=BC=,AB=4米 (2)设圆心角为n°，则”r×40 nπX102 360 360 =1570, 在Rt△OAC中， 解得n=120. 由勾股定理，得AC2+OC2=AO2, 故调整后雨刷呈扇形摆动的圆心角的度数为120°. 即42+(r-2)2=r2,解得r=5. 故该圆弧所在圆的半径为5米， 的点拔 (2)如图，过点F作FH⊥CD于点H,连结OF. 以图形运动为背景，求在图形运动过程中 某一线段扫过的区域面积问题是近年来中考常 考的题型，解决这类问题的基本方法是从特殊 位置或极端位置入手，确定，点的运动轨迹，从而 确定扫过区域的图形形状. 0 .BE=1米，.CE=4-1=3(米). 例2(2025·湖北孝感期中)某村为了促进农村经 ,∠FHC=∠HCE=∠CEF=9O°， 济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚.如图 ∴.四边形EFHC为矩形， 是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧形，圆心为O,跨度 ∴.FH=CE=3米，EF=HC ，20 第3章 在Rt△OFH中，OH=√OF2-FH=4米. 传统文化 .OC=3米，∴.HC=1米 例3沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度 .EF=HC=1米 的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计 故支撑杆EF的高度为1米. 算.如图，AB是以O为圆心、OA为半径的圆弧，C是 ⊙点拔 弦AB的中点，D是AB的中点，则AB长度的近似值 通过把垂径定理和勾股定理相结合，可解 决计算弦长、半径、弦心距等问题.这类题中一 FAB士CD.若CD=2,AB=8,则1=() 般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几 何问题的数学思想方法一定要掌握， 释反白 1.(2025·湖北十堰期中)如图，⊙0是 A.8.8 B.8.7C.8.6 D.8.5 城市雨水排水管道的横截面，⊙O 的半径为20cm.水的最深处到水 0 解析如图，连结OC.设OA=r. 面AB的距离为8cm,则水面AB ,C是弦AB的中点，D是 B 的宽度是 AB的中点，.O,C,D三点共线， cm. (第1题) 2.石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图 .OD⊥AB, (1),隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是 :AC-CB-TAB-4. 我国古代石拱桥的代表.如图(2)是根据某石拱桥的 在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2, 实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示 r2=42+(r-2)2, 为AB,桥的跨度（孤所对的弦长）AB=26m,设AB ∴.r=5,.OA=5, 所在圆的圆心为O,半径OC⊥AB,垂足为D.拱 高（孤的中点到弦的距离）CD=5m.连结OB.求 ∴AB长度的近似值l=AB十 -8+号-&8 CD 这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m) 答案 A 各点 本题考查垂径定理的应用，解题关键是学 会利用参数构建方程。 (1) 反白 (第2题) (2025·南京中考)一枚圆形古钱币的正中间是一个 正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm)如图，这枚古 钱币的半径为 mm. 10 (第3题) 4.(2025·金华东阳期末)司南是我国古代辨别方向用 的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所 用指南针的始祖（如图(1）).司南中心为一圆形， 21 实验班提优训练数学九年级上Z小Y 圆心为点O,直径为20cm,根据八个方位将圆形 [数学理解] 八等分（图(2）中的点A~H),连结DG,BH并延 (1)如图(2)，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA,OD⊥1 长交于点P. OB,分别交⊙O于点C,D,连结CD.求证：AB,CD是 (1)点P位于点D的北偏东 的方向上； ⊙O的等垂弦； (2)求PH的长； (2)在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB, (3)连结BG,比较线段BG与PH大小 (写出你作出判断的理由). CD的分制点能-名求AB的长度： 北 [问题解决] 西北B H东北 (3)AB,CD是O0的两条弦，CD=2AB,且CD1 西 0) C东 AB,垂足为F.若⊙O的半径为r,AB=mr(m为常 西南)” F东南 数)，垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变 南 化，直接写出点F与⊙O的位置关系及对应的m的 (1 (2) 取值范围， (第4题) 解析(I)连结BC,由圆心角相等可得AB=CD,由 圆周舟定理可得∠ABC-号∠0C=45,∠BCD- ∠BOD=45°，可证AB⊥CD,可得结论；(2)分两 1 种情况讨论，过点O作OH⊥AB,作OG⊥CD,可证 矩形OHEG为正方形，利用勾股定理可求解；(3)先 求出点F在⊙O上时m的值即可求解. 答案(1)如图(1)，连结BC. 新考法 .OC⊥OA,OD⊥OB, 例4[概念认识] ∴.∠AOC=∠BOD=90°， 在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为 ∴.∠AOB=∠COD,∴.AB=CD, “等垂弦”，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割 ·∠ABC=2∠AOC=45°， 点.如图(1)，AB,CD是⊙O的弦，AB=CD,AB⊥ CD,垂足为E,则AB,CD是等垂弦，E为等垂弦 ∠BCD-号∠B0D=45, AB,CD的分割点， ∴.∠AEC=∠ABC+∠BCD=90°， 即AB⊥CD. .AB=CD,AB⊥CD, 0 ∴.AB,CD是⊙O的等垂弦 (1) (2) (1) (2) (2)如图(2)，若点E在⊙O内，过点O作OH⊥ 备用图 AB,垂足为H,作OG⊥CD,垂足为G,连结OA,OD. ，22 第3章 AB,CD是⊙O的等垂弦， 点 ∴.AB=CD,AB⊥CD, 本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识， 又OH⊥AB,OG⊥CD, 全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利 ∴AH-2AB,DG-CD,四边形OHEG是 用分类讨论思想解决问题是解答本题的关键 矩形， 例5[特例感知] .'.AH=DG. (1)如图(1)，AB是⊙0的直径，∠BAC是⊙O 又OA=OD, 的圆周角，AD平分∠BAC交⊙O于点D,连结CD, ∴.Rt△AHO≌Rt△DGO,∴.OH=OG, BD.已知BD=3,∠BAD=30°，则∠BDC的度数为 .矩形OHEG为正方形，.OH=HE. °，点D到直线AC的距离为 E-3且AH=BH, [类比迁移] (2)如图(2)，∠BAC是⊙O的圆周角，AD平分 ∴.AH=2BE=2OH, ∠BAC交⊙O于点D,过点D作DM⊥AB,垂足为 在Rt△AOH中，AO2=AH2+OH2, M,探索线段AB,AC,AM之间的数量关系，并说明 即(2OH)2+OH2=A02=25, 理由； 解得OH=√5， [问题解决] (3)如图(3)，四边形ABCD为⊙O的内接四边 ..AB=40H=4V5. 形，∠BAD=90°，AC平分∠BAD,AB=5,AD+ 如图(3)，若点E在⊙O外，过点O作OH⊥AB, AC=15,求线段AC的长. 垂足为H,作OG⊥CD,垂足为G,连结OA,OD. B E H B(C,F) M G D (1) (2) (3) (3) (4) 解答 (1)120 3w3 提示：.AD平分∠BAC, 同理，AH=√5，则AB=2AH=2√5. ∴.∠CAD=∠BAD=30°， (3)如图(4)，当点F在⊙O上时，过点O作OH⊥ ∴.∠BAC=∠CAD+∠BAD=60°， AB,垂足为H,作OG⊥CD,垂足为G. ∴.∠BDC=180°-∠BAC=120°， 同理可证四边形OHBG是矩形， ∴.∠BDC的度数为120°. .BH-,OH-BG- 如图(1)，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC 4 交AC的延长线于点F,则DF=DE. .OB2=BH2+OH2, ,AB是⊙O的直径，.∠ADB=90° 字+ 16,m=46 ∠BAD=30°，BD=3,.AB=2BD=6, 5 ∴.AD=√AB2-BD2=√62-32=3√3， 当m=45 时，点F在⊙0上； .5mA-X6DE-2X3X3/3, 当0m4时，点F在00外 .DE=3/ 2,DF=33 、当45<n≤2时，点F在⊙O内. 六点D到直线AC的距离为3y3 2 23 实验班提优训练数学九年级上Z小Y 解得x1=15-10W2,x2=15+10√2（不符合题 D 意，舍去)， ∴.AC=10-2×(15-10W2)=20√2-20， ∴.线段AC的长为20√2-20. (1) (2) (2)AB十AC=2AM.理由如下： 6⊙点拨 本题重点考查圆内接四边形的对角互补、 如图(2)，连结BD,CD,过点D作DN⊥AC交 直径所对的圆周角等于90°、角平分线的性质、 AC的延长线于点N, 全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角 ,AD平分∠BAC,∴.DN=DM. 所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、一元 :∠DCN+∠ACD=180°，∠B+∠ACD= 二次方程的解法等知识与方法，正确地作出所 180°，∴.∠DCN=∠B. 需要的辅助线是解题的关键 .'∠N=∠DMB=90°， ∴.△DCN≌△DBM(AAS), 超反白 ∴.CN=BM. 5.(2025·遂宁中考)我们知道，如果一个四边形的四个 :'∠N=∠AMD=90°，AD=AD,DN=DM, 顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的 '.Rt△ADN≌Rt△ADM(HL), 内接四边形.我们规定：若圆的内接四边形有一组 .'.AN=AM, 邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接 ..AB+AC=AM+BM+AC=AM+CN+ 四边形”. AC-AM+AN-2AM. (1)请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直 (3)如图(3)，过点C作CG⊥AD D 角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是 于点G,CH⊥AB交AB的延长线于 0. 邻等内接四边形的有 (填序号)； 点H. (2)如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且 ,AC平分∠BAD, B H (3) ∠BAC=90°，AB=3,AC=4,AB=AD.求四边 ..CG-CH. 形ABCD的面积 ,∠D+∠ABC=180°， ∠CBH+∠ABC=180°， .∠D=∠CBH. :∠CGD=∠H=90°， ∴.△CGD≌△CHB(AAS), .DG=BH.设DG=BH=x. .∠BAD=∠AGC=∠H=90°， .四边形AGCH是矩形 (第5题) ,CG=CH,.四边形AGCH是正方形， ..AG=AH-CG. .AB=5,AD+AC=15, ..CG=AG=AH=5+x,AD=AG+x= AH+x=5+2x, .AC=15-AD=15-(5+2x)=10-2x. .在Rt△AGC中，AG2+CG2=AC2, ∴.(5十x)2+(5十x)2=(10-2x)2, 24 第3章 6.已知A,B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为 定义2：如图(2)，在△ABC中，△PQR的三个顶 AB所对的圆周角. 点P,Q,R分别在BC,AC,AB上，若RP和QP 关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满 足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性 质”，则称△PQR为△ABC的光线三角形 阅读以上定义，并探究问题： (1) (2) (3) (第6题) [知识回顾] (1)如图(1)，⊙O中，B,C位于直线AO异侧， 1入人2 ∠AOB+∠C=135°. (1) (2) ①求∠C的度数； ②若⊙O的半径为5，AC=8,求BC的长. [逆向思考] (2)如图(2)，若P为圆内一点，且∠APB<120°， PA=PB,∠APB=2∠C.求证：P为该圆的 B D C 圆心 (3) (4) [拓展应用] (第7题) (3)如图(3)，在(2)的条件下，若∠APB=90°，点 在△ABC中，∠A=30°，AB=AC,△DEF三个 C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动. 顶点D,E,F分别在BC,AC,AB上. 点D在⊙P上，满足CD=√2CB-CA的所有点 (1)如图(3)，若FE∥BC,DE和FE关于AC满足 D中，必有一个点的位置始终不变.请证明. “光学性质”，求∠EDC的度数； (2)如图(4)，在△ABC中，作CF⊥AB于点F,以 AB为直径的圆分别交AC,BC于点E,D.证明： △DEF为△ABC的光线三角形. 7.定义1：如图(1)，若点H在直线l上 l的同侧有两条以H为端点的笃 MH,NH,满足∠1=∠2，则称MH NH关于直线l满足“光学性质”； 25(2)这个游戏对双方不公平.理由如下： 因为号> 所以这个游戏对双方不公平 3.B[解析]画树状图如图： 开始 ① ⊙ ③ (④ ①②③④①②③④①②③④①②③④ (第3题) 共有16种等可能的结果，其中他们选取的诗句恰 好相同的结果有4种， “他们选取的诗句恰好相同的概率为6一4 41 故选B. 旧纳总结本题考查了画树状图法与列表法求概 率.此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树 状图或列出表格，注意画树状图法与列表法可以 不重不漏地表示出所有等可能的结果，注意用到 的知识，点为概率等于所求情况数与总情况数 之比 4.6 [解析]由于田忌的上、中等马分别比齐王的 中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10,8， 6时，田忌的马按5,9,7的顺序出场，田忌才能赢 得比赛，当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对 阵情况如下： 齐王 上中下上中下上中下上中下上中下上中下 的马 田忌 上中下上下中 中上下 中下上下上中下中上 的马 双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢， “田忌能赢得比赛的概率为行 5.(1)90°[解析]总人数为20÷10%=200（人），意 向参加D研学基地人数为200×15%=30（人）， ∴.意向参加A研学基地人数为200一50一40一 30一20=60（人），补全条形统计图如图所示. 》40 ◆人数 60 60 50 50 40 40 30 20 DE研学基地 (第5题) 意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度 50 数是200×360°=90° 60 (2)2000×20 =600(人). 故估计全校参加A研学基地的学生人数为 600人. (3)列表如下： 甲 乙 B D C BC CC DC BD CD DD 共有6种等可能结果，其中两位同学选择相同研 学基地的结果有2种，.两位同学选择相同研学 21 基地的概率为6=3 知识拓属画树状图列举法一般是选择一个元素 再和其他元素分别组合，依次列出，像树的枝丫形 式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果数n. 第3章圆的基本性质 例1A[解析]因为这点到圆的距离9cm> 7cm,所以点在圆外.故选A. 例2如图，过点A作AD⊥BC于点D, 04 AB-AC,BC-12,:BD-CD-BC-6. 在Rt△ABD中， AD=√WAB2-BD2=√102-62=8. .'AD⊥BC于点D,AB=AC, ∴.△ABC的外接圆圆心O在AD上. 连结OC,设OA=OC=R, 则OD=AD-AO=8-R. 在Rt△ODC中，OD2+CD2=OC2, (8-R)+6=R,解得R-装 故△ABC外接圆的半径为空. 例3如图，连结OA. .∠AOC=2∠APC,且∠APC=30°， .∠AOC=60°. :OC⊥AB,.BC=AC, ∴.∠BOC=∠AOC=60°. 例4(1)，AD是⊙O的直径，BC⊥AD,∴BD= CD,∠A=∠DBC. (2)如图，连结OB, D 设⊙O的半径为r,,AD是⊙O的直径，BC⊥AD, ∴.∠OPB=90°，BP=CP BC=16,∴.BP=8. 在Rt△OPB中，OP2+BP2=OB2, .PD=4,∴.OP=r-4,.(r-4)2+82=r2,解得 r=10.故⊙0的半径为10. 例5A[解析]如图，连结OA,过点O作OD⊥ AB交AB于点C,交⊙O于点D, 24 dm 1 设OA=OD=rdm,在Rt△ACO中，AC= 2AB= 2×24=12(dm）,0c=0D-8=(r-8)dm .OA2=OC2+AC2,.r2=(r-8)2+122, ∴.r=13.故选A. 例6(1)如图，连结AD. ,AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°，.AD⊥BC .AB=AC,∴.∠BAD=∠CAD, ..BD=DE. B (2)如图，连结BE, ,AB为⊙O的直径， .∠BEA=∠ADB=90° BC=6,∴.BD=3, ∴.AD=√AB2-BD2=√52-32=4. 则SAAIC= pC·AD古AC·BE, 解得BE= 24 5 例7C[解析]：四边形ABCD为⊙O的内接四 边形，∴∠A=180°-∠BCD=60 由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=120°. 故选C. 例836°[解析]连结OC,OD.,正五边形ABC >构造出CD所对的圆心角 DE内接于⊙O,∴∠COD= =72, 360° ∴∠CPD= 2∠00D=36 例9如图，连结OC. .∠B=60°， .∠AOC=2∠B=2×60°=120°. 1 直径AB=6,…OA=2X6=3, 41 :.AC的长为120X3=2元 180 巩固特划 1.B[解析]当点在圆内时，最小距离为6cm,最大 距离为10cm,则直径是16cm,因而半径是8cm; 当点在圆外时，最小距离为6cm,最大距离为 10cm,则直径是4cm,因而半径是2cm.故选B. 2.D[解析]①如图(1)，当弦AB和CD在圆心同 侧时，作OF⊥CD于点F,交AB于点E. ,AB∥CD,OF⊥CD, .OE⊥AB. .'AB=16 cm,CD=12 cm, .'.AE=8 cm,CF=6 cm. .OA=OC=10 cm, 由垂径定理，得OE=6cm,OF=8cm. .∴.EF=OF-OE=2cm. (1) (2) (第2题) ②如图(2)，当弦AB和CD在圆心异侧时，作OF⊥ AB于点F,延长FO交CD于点E. .AB/CD,OF⊥AB, ∴.OE⊥CD. .'AB=16 cm,CD=12 cm, ∴.AF=8cm,CE=6cm. .'OA=OC=10 cm, .'.EO=8 cm,OF=6 cm. ∴.EF=OF+OE=14cm. 综上可知，两弦间的距离为2cm或14cm.故选D. 3.49cm或7cm[解析]当两弦在圆心异侧时，如 图(1)，过点O作OE⊥AB于点E,延长EO交CD 于点F,连结OB,OC. AB/∥CD,OE⊥AB,点E,O,F在同一直线上， ∴.OF⊥CD, 1 CF-CD-3 cm. 在Rt△OCF中，OF=√OC2-CF2=√52-32= 4(cm),同理可得OE=3cm, 42 ∴四边形ABCD的面积-号×(8+6)×7 49(cm2). 当两弦在圆心同侧时，如图(2)，同理四边形ABCD 1 的面积-2×(8+6)×1=7(cm). 综上所述，四边形ABCD的面积是49cm2或7cm2. D 6 B (1) (2) (第3题) 4.D[解析]连结OA,OB,OC. .'AB=3,OA=OB=3, ∴.△OAB为等边三角形， ∴.∠OAB=60°. ,AC=3√2，OA=OC=3, ∴.OA2+OC2=AC2, .△OAC为等腰直角三角形， ∴.∠OAC=45. 如图(1)，当AB与AC在OA的异侧，∠BAC= ∠OAB+∠OAC=60°+45°=105°， 如图(2)，当AB与AC在OA的同侧，∠BAC= ∠0AB-∠0AC=60°-45°=15°， ∴.∠BAC为105°或15°.故选D. B B C (1) (2) (第4题) 5.D[解析]①任意一个三角形有且只有一个外接 圆，正确；②在圆中，圆周角角度为90°的弧所对的 弦才是直径，并不是所有的直角所对的弦都是直 径，故错误；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的弧，这条弦不能是直径，故错误；④圆内 接四边形对角互补，正确.故选D. 6.C 7.A[解析]点B表示实数16，⊙B的半径为4， ∴.数轴与⊙B的交点表示的数为12或20. t秒后，点A表示实数2t,点A在⊙B外， ∴.2t<12或2t>20, 解得t<6或t>10.故选A. 8.C[解析]连结OB,如图(1)所示 .四边形QABC为平行四边形，QA=QC, .平行四边形OABC为菱形， ..OA=AB=BC=OC .OB=OA=OC, ∴.OA=OB=AB=OC=BC, ∴.△OAB和△OBC都是等边三角形， ∴∠OBA=∠OBC=60°， ∴.∠ABC=∠OBA+∠OBC=120°. .点P为⊙O上异于A,B,C的一点， .有以下两种情况： ①当点P在优弧AC上时，如图(1)所示. .四边形PABC是⊙O的内接四边形， ∴.∠APC+∠ABC=180°， ∴.∠APC=180°-∠ABC=60°； (1) (2) (第8题) ②当点P在劣弧AC上时（与点B不重合），如图 (2)所示. 根据圆周角定理得∠APC=∠ABC=120°. 综上所述，∠APC的度数为60°或120°. 故选C 释反白 1.32[解析]如图，过点O作OD⊥AB于点C,交 ⊙O于点D,连结OA, AC-BC-AB. 由题意，知OA=20cm,CD=8cm, .0C=12cm. 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC=16cm, .'.AB=2AC=32 cm. (第1题) 2..OC⊥AB,AB=26m, .'.AD=DB=13 m. 设主桥拱的半径为Rm,即OB=OC=Rm. .CD=5m,∴.OD=(R-5)m. 在△BDO中，BD2+OD2=BO2, 即132+(R-5)2=R2, 解得R=19.4≈19， ∴.这座石拱桥主桥拱的半径约为19m. 3.13[解析]如图，设圆心为O,过点O作OC⊥AB 于点C,连结OB.由题可知OC=5mm,CB=5十 7=12(mm), ∴.OB=√OC2+BC2=√52+12=13(mm). (第3题) 4.(1)67.5 (2)如图(1)，连结DH,则DH为直径， 北 西北B H东北 西C ) G东 西南D F东南 南 (1) ∴.∠B=90°，DH=20cm, 由(1)知∠BDP=67.5°， .∠P=90°-67.5°=22.5° :HG=45, →G所对圆心角为360 =459 8 ∠HDC=2×45°=22.5，PH=DH=20cm (3)PH>BG.理由如下： 如图(2)，连结BG,OG,BF,过G作GM⊥BF交 BF于点M. 43 北 西北B H东北 P 西来 C东 西南D F东南 南 (2) (第4题) ∠GOM=45°，OG=10cm, ∴.GM=OM=5√2cm, ∴.BM=OB+OM=(10+5√2)cm. 在Rt△BGM中，BG2=BMP+GM= 200+100√2<400. ,PH2=400,.PH2>BG2. 故PH>BG. 5.(1)③[解析]依题意，题图①、题图②和题图④ 没有对角互补，不是邻等内接四边形， 图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等内接四 边形 (2).∠BAC=90°，AB=3,AC=4, ∴.BC=√AB2+AC2=5. ,四边形ABCD是邻等内接四边形， ∠BAC=90°， ∴A,B,C,D四点共圆，且BC为直径 90°的圆周角所对的弦是直径< 把BC的中点记为点O,即A,B,C,D四点在 ⊙O上，如图，连结BD,AO,交点为H, (第5题) :BC=5,B0=0A=2 5 设OH=,则AH=号-， .AB=AD,∴AO⊥BD,BH=DH, 则在Rt△ABH中，BH=AB2-AH, 在Rt△BOH中，BH2=BO2-OH2, ∴B0-0H=AB2-AH,即(8)-x2=32 44 (停-x,解得x=0.7, .AH=1.8,则BH=√/32-1.82=2.4，即BD= 2.4×2=4.8. ,BC是直径，∴∠BDC=90°.BH=DH,BO= OC,.OH是△BDC的中位线， DC=2H0=1.4,则SAr=号BD·DC= X4.8X1.4=336,SA4=2BD·A 2×4.8x1.8=4.32) ∴S四边形AGD三SARDC十SABDA=7,68. →不规则四边形面积计算常用割补法 6.(1)①.∠AOB+∠C=135°，∠AOB=2∠C, .3∠C=135°， ∴.∠C=45°. ②如图(1)，连结AB,过点A作AM⊥BC,垂足为M,. .∠C=45°，AC=8, .△ACM是等腰直角三角形， 且AM=CM=4√2 .∠AOB=2∠C=90°，OA=OB, ∴.△AOB是等腰直角三角形， ∴.AB=√OA+OB2=√2OA=5√2. 在直角三角形ABM中， BM=√AB2-AM=3√2， ∴.BC=CM+BM=4√2+3√2=7√2， 0 (1) (2) (2)如图(2)，延长AP交⊙O于点N, 连结BN,则∠C=∠N. ∠APB=2∠C, .∠APB=2∠N. ∠APB=∠N+∠PBN, ∴∠N=∠PBN, ..PN=PB. .PA=PB, ..PA=PB=PN, ∴.P为该圆的圆心 (3)如图(3)，过点B作BC的垂线交CA的延长 线于点E,连结AB,延长AP交⊙O于点F,连结 CF,FB. (3) (第6题) .∠APB=90°， ∴∠C-3∠APB=45 又BC⊥BE, ∴.△BCE是等腰直角三角形， ..BE=BC, ∴.CE=√2BC. BP⊥AF,PA=PF, ∴.BA=BF AF是直径， ∴.∠ABF=90 .∠EBC=∠ABF=90°， ∴.∠EBA=∠CBF, ∴.△EBA≌△CBF(SAS), ∴.AE=CF. .CD=/2CB-CA=CE-CA=AE, ∴.CD=CF, ∴.必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求 7.(1).AB=AC,∠A=30°， ∴.∠B=∠C=75°. .EFCB,.∠AEF=75° .DE和FE关于AC满足“光学性质”， ∴.∠AEF=∠DEC=75°， ∴.∠EDC=180°-∠DEC-∠DCE=30°. (2)如图，连结AD. .AB=AC,∠BAC=30°， ∴.∠B=∠ACB=75°. .AB是直径，.∠ADB=90°， F .AD⊥BC, B D ∴.BD=CD,∠BAD=∠CAD, (第7题) ∴BD=DE,BD=DE. .CF⊥AB,∴.∠CFB=90°. .DB=DC,.'.DF=DB=DC, ∴.DF=DB=DE=DC, ∴.∠B=∠DFB=75°，∠DCE=∠DEC=75°， ∴.∠FDB=∠EDC=30°， ∴.DF,DE关于BC满足“光学性质” .∠FDE=180°-30°-30°=120°，DE=DF, ∴.∠DEF=∠DFE=30°， ∴.∠DEF=∠EDC,.EFBC, ∴.∠AEF=∠ACB=75°，∠AFE=∠B=75°， ∴.∠AEF=∠DEC=75°，∠AFE=∠DFB=75°， .FE,DE关于AC满足“光学性质”，EF,DF关 于AB满足“光学性质”， ∴.△DEF是△ABC的光线三角形 第4章相似三角形 例1A[解析]，a:3=4:b, ∴.ab=3×4=12.故选A. 一题3解，a:3=4:b=k≠0， a=3b=青oh=3谈·青=12 例2C[解析]，点P为线段AB的黄金分割点， 且AP>B即AP-5AB器-福AP 2 5+1BP,BP≈0.618AP,故选项C符合题意，选项 A,B,D不符合题意.故选C. 例3(1)，四边形ABCD是平行四边形， ∠B=∠D. .∠CAE=∠D, ∴.∠CAE=∠B. 又∠E=∠E, ∴.△ABEp△CAE (2)△ABE△CAE,AE=5,BE=8, 能器品cE-罗 8 例4(1)：四边形ABCD是平行四边形， .CDBF,∠A=∠C,∴.∠CDF=∠F, ∴.△CDEP△AFD. (2),四边形ABCD是平行四边形， 45