第2章 特殊三角形 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（浙教版·新教材）

今实验班提优训练数学八年级上Z小Y 如图(2)，同(1)可得△ABD≌△ACE, .BD=EC,∠ACE=∠ABD=90°， 又△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°， .∠FBC=90°-∠ABC=30°，∠BCF=180°-∠ACE ∠ACB=30°， ∴∠FBC=∠FCB=30°，∴.FB=FC, .'DF=BF-BD=CF-CE. 如图(3)，同理可证DF=CE十CF, (3) (第4题) (3)①如图(1)，，BD=2DF, 设BF=DF=CF=x, .EF=6,BD=EC, .3x=6,.x=2..CF=2. ②如图(3)，设BF=CF=x,则BD=2x. ,BD=EC,EF=6,∴.6十x=2x, x=6,∴.CF=6.综上所述，CF=2或6. 竞赛思维空间 1.B[解析]过点E作EM⊥AC,交CA的延长线于点M, EN⊥AB于点N,EF⊥BC,交CB的延长线于点F. :E是∠ACB的平分线与∠ABF的平分线的交点， ∴.EM=EF,EN=EF, ∴.EM=EN,.AE是∠CAB的邻补角的平分线 ,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， 六∠ABC-60,∠BAM=150,∠BAE=15 2 =75°. ,BE是∠ABC的邻补角的平分线， ∠ABE=60°，.∠AEB=180°-60°-75°=45°.故选B. 2.45[解析]设∠B=x°，则∠A=(90-x)° .AC=AE, ∴∠ACE=∠AEC=180-90+zx)°_(90+x)° 2 2 ·BC=BF,∠BCF=∠BFC=180-x° 2 ·∠ECP=∠ACE+∠BCF-∠ACB=90x)°+ 2 (180-x)° -90°=45. 2 3.①②⑤⑥ 4.设斜边长为10a十b,则有一直角边长为10b十a,设另一直 角边为m,其中a,b为一位正整数，m为两位正整数，显然 a>b,由勾股定理，得m2=(10a十b)2-(10b十a)2= (11a+11b)(9a-9b)=32×11(a+b)(a-b), 由3≤a+b≤17,1≤a-b≤8， 可知a+b1解得a=6,斜边的长为65 a-b=1, b=5, 第2章提优测评卷 1.A 2.C[解析]，'ABCD,∴.∠DFE=∠BAE=48. CF=EF,.∠C=∠E ◆50 :∠C+∠E=∠DFE,∠E-?∠DFE=2故选C 3.C[解析]如图， D A -3 -2 (第3题) 由题意可知，BA=BC,∠BDC=90°，BD=CD=2, ∴.BC2=BD2+CD2=22+22=8, BA三√⑧.点B表示的数为二1 >点A在点B右边⑧个单位长度 数轴上点A所表示的数为一1十√⑧.故选C. 4.B[解析]如图，过点C作CH⊥AB于点H, H (第4题) AC=BC,∠ACB=2∠ACH. ,CH⊥AB,DE⊥AC, ∴∠A+∠ACH=∠A十∠D=90° ∴∠ACH=∠D,∴∠ACB=2∠D. 故选B 5.B[解析]设AC=AB=xm ,四边形EFCD是长方形，∴.CF=DE=4m .BE=1 m,:.AD=AE-DE=x+1-4=(x-3)m, 在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2, ·x2=(x-3)2+62,解得x=2, 15 15 AC=2m,故选B 6.A[解析]A.全等三角形的对应角相等的逆命题是对应 角相等的两个三角形全等，逆命题不成立，符合题意；B.线 段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是 到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，逆命题 成立，不符合题意； C.三个角都是60°的三角形是等边三角形的逆命题是等边 三角形的三个角都是60°，逆命题成立，不符合题意； D.负数没有平方根的逆命题是没有平方根的数是负数，逆 命题成立，不符合题意.故选A 7.A[解析]在EA上截取EH=EG=1,连结HG,BF,如 图所示， D (第7题) EF垂直平分AB, ∴∠HEG=90°，AF=BF,AB=2AE, ∴△EHG是等腰直角三角形，∴∠EHG=45°. 由勾股定理，得HG=EH+EG=2,∴.HG=√2. 在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高线，∠BAC= 45,∠BAD=∠CAD-=号∠BAC=2. ,∠EHG=∠BAD+∠AGH, ∴.45°=22.5°+∠AGH, ∴∠AGH=22.5°，∴∠AGH=∠BAD=22.5, ∴AH=HG=√2，∴.AE=AH+EH=√2+1， .∴.AC=AB=2AE=2√2+2. ∠BAC=45°，AF=BF,∴.△ABF是等腰直角三角形 由勾股定理，得AB=√AF2+BF=√2AF, 易得AF=2十√2， .CF=AC-AF=√2.故选A 解后反思本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂 直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直 平分线的性质是解决问题的关键 8.D 9.C[解析]当P在BD之间时，如图，作AD⊥BC,垂足为D, (第9题) 在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2,① 在Rt△APD中，AD2=AP2-PD2,② 由①②联立，得AB2-BD2=AP2-PD2, 整理，得AB2-AP2=BD2-PD2, 因此(BD+PD)(BD-PD)=AB2-AP2 又△ABC是等腰三角形，AD⊥BC, ..BD=CD, ..(CD+PD)(BD-PD)=AB-AP2, 即PB·PC=62-42=20.当P在DC之间时，同理可证 PB·PC=62-42=20.故选C. 10.C[解析].∠AOB=∠COD=40°， .∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD 即∠AOC=∠BOD.又OA=OB,OC=OD， .∴.△AOC≌△BOD(SAS), ∴.∠OCA=∠ODB,AC=BD,①正确： ∴./OAC=/OBD, 由三角形的外角性质，得∠AMB十∠OAC=∠AOB+ ∠OBD,∴·∠AMB=∠AOB=40°，②正确： 作OG⊥MC于点G,OH⊥MB于点H,如图所示： (第10题) 答案6D详解 则∠OGC=∠OHD=90°， ∠OGC=∠OHD, 在△OCG和△ODH中，∠OCG=∠ODH, OC=OD, ∴.△OCG≌△ODH(AAS),.OG=OH, ∴.OM平分∠BMC,④正确； :∠AOB=∠COD, .∴.当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC, 假设∠DOM=∠AOM, △AOC≌△BOD,∴∠COM=∠BOM, MO平分∠BMC,∴·∠CMO=∠BMO, ∠COM=∠BOM, 在△COM和△BOM中，OM=OM, ∠CMO=∠BMO, ∴.△COM≌△BOM(ASA),∴.OB=OC, ,OA=OB,∴.OA=OC,与OA>OC矛盾，∴.③错误； 正确的有①②④.故选C 1M.40°[解析]：AB=AC,∠ABC=∠ACB, 而∠ACD=110°， .∠ACB=∠ABC=180°-110°=70°， ,∴.∠A=180°-70°-70°=40°.故答案为40° 1270°[解析]，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在 AC边上的点E处，∠ACB=90°， ∴.∠BCD=∠ECD=45°，∠B=∠CED ∠A=25°，∠B=90°-25°=65， .∠CED=65°，∠CDE=180°-45°-65°=70°. 3.一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 真 14.22[解析].长方形ABCD沿其对角线AC折叠， ..AB'=AB=8,B'C=BC=AD=3. 阴影部分周长=AD十DE十EA十EB'+B'C十EC =AD+DE+EC+EA+EB'+B'C -AD+DC+AB'+B'C =3+8+8+3 =22.故答案为22. 15安[解折设D5=x,则AB=6-z 四边形ABCD为长方形，∴.ADBC, ∠EDB=∠DBC. 由折叠的性质，得∠EBD=∠DBC, ∴∠EDB=∠EBD,∴.BE=DE=x, 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE2=AB2+AE2, 即2=9+(6-，解得x-只DE-只 16.8 17.,∠ACB=90°，∴∠ACE=∠ACB=90°. 在Rt△BCD和Rt△ACE中，{DC5， .Rt△BCD≌Rt△ACE(HL).∴.BC=AC 18.(1)AB=AC,∠B=∠C. ∠A=30°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=75°. (2)AB=AC,∠B=30°， ∠B=∠C=30°. .∠A=180°-∠B-∠C=120°， 51● 今实验班提优训练数学八年级上ZY 19.(1)△ABC是等边三角形，∴∠B=60° DE∥AB,∠B=∠EDC=60°.，DE⊥EF, .∠DEF=90°，.∠F=90°-60°=30°. (2),△ABC是等边三角形，∴.∠B=∠BCA=∠A= 60°.：DE∥AB,∴.∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°， .△DEC是等边三角形，.CE=DC :∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°， ∠CEF=∠F=30°，∴.EC=CF,∴.DC=CF. 20.(1),AB=AC,∴.∠C=∠ABC. ,∠C=40°，∴.∠ABC=40° AB=AC,D为BC的中点， .AD⊥BC,∴.∠BDA=90°， .∠BAD=90°-∠ABC=90°-40°=50°. (2).BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC. 又EF∥BC,∴∠EBC=∠BEF, ∠EBF=∠FEB,∴.BF=EF,∴△BEF是等腰三 角形 (3),△AEF的周长为15，∴.AE+AF+EF=15 .BF=EF,..AE+AF+BF=15,AE+AB=15. ,BE平分△ABC的周长， .'.AE+AB=BC+CE=15, .△ABC的周长=AE+AB+BC+CE=15十15=30. 旧纳总结本题考查等腰三角形的判定和性质，解题的 关键是理解题意、灵活运用所学知识 21.(1)在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2=102-62=64, ∴.BC=8cm. (2)由题意知BP=2tcm, ①当∠APB为直角时，如图(1)，点P与点C重合，BP= BC=8cm,即t=4; ②当∠BAP为直角时，如图(2)，BP=2tcm,CP=(2t 8)cm,AC=6 cm, B C(P) C (1) (2) 在Rt△ACP中， AP2=62+(2t-8)2, 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2, 即102+[62+(2t-8)2]=(2t)2, 解得1二25 故当△ABP为直角三角形时，1=4或L=25 4 (3)①当AB=BP时，如图(3)，BP=AB=10,t=5; →分三种情况讨论 ②当AB=AP时，如图(4)，BP=2BC=16cm,t=8; B C P C (3) 4) 拿52 PC (5) (第21题) ③当BP=AP时，如图(5)，AP=BP=2tcm,CP= 12t-8|cm,AC=6 cm, 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2, 所以(2t)2=62+(2t-8)2, 25 解得t=8’ 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或 t28 25 22(1),BD为△ABC的角平分线， ∴.∠ABD=∠EBC, (AB=EB, 在△ABD和△EBC中，∠ABD=∠EBC, BD-BC, .'.△ABD2△EBC(SAS). (2)△ABD≌△EBC,∴.∠BCE=∠BDA. :∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BDA=∠DAE+∠BEA, .∠BCD+∠DCE=∠DAE+∠BEA. .BD=BC,BE=BA, △BCD和△BEA为等腰三角形. ,∠ABD=∠EBC, ∴∠BCD=∠BEA. ∴.∠DCE=∠DAE. ..AE=EC. (3)如图，过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G, .A B (第22题) ,BE平分∠ABC,EF⊥AB,EG⊥BG, ∴.EF=EG, 在Rt△BFE和Rt△BGE中，BE=BE, (EF=EG, .Rt△BFE≌Rt△BGE(HL),.BF=BG. (EF=EG, 在Rt△AFE和R△CGE中，EA=EC, .Rt△AFE≌Rt△CGE(HL),∴.FA=CG. ∴.BA+BC=BF+FA十BG-CG=BF+BG=2BF. 23.(1).ABCD, ∴∠CEP=∠BAP,∠ECP=∠ABP. P为AE的中点， ..PE=PA, ∠ECP=∠ABP, 在△CEP和△BAP中，∠CEP=∠BAP, PE=PA, ∴.△CEP≌△BAP(AAS), PC=PB,.P也是BC的中点 (2),CB⊥AB,AB/CD,∴∠DCP=∠ABP=90°. 在Rt△DCP中，CP=3, 由(1)，得CP=PB=3, 在Rt△ABP中，AP=√AB2+BP2=√42+3=5. (3)①当AQ=AB时，AQ=AB=4; ②当BA=BQ时，过点B作BN⊥AQ于N,如图(I) 所示，则AN=NQ, SA-AB BP- AP·BN, 即4×3=5BN, BN=12 51 在Rt△ABN中，AN=√AB2-BN= 5 AQ=2AN=32, (第23题) ③当AQ=QB时，如图(2)所示： .AQ=QB,.∠QAB=∠QBA, :∠QAB+∠QPB=90°，∠QBA+∠QBP=90°， ∴∠QPB=∠QBP, ∴.QB=QP,.QB=AQ=QP, ∴AQ合AP=号： 综上所述，△ABQ是等腰三角形时，AQ的长为4或 或 24.(1)912[解析]由作图得BE是AD的垂直平分线， .AB=BD,∠A=∠D. :3∠A+∠ABC=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°， .∠BCA=2∠A. :∠BCA=∠D+∠CBD,∴∠BCA=∠A+∠CBD= 2∠A,∴∠CBD=∠A,∴∠CBD=∠D, .DC=BC=8,∴.AD=DC+AC=8+10=18, ..AE=ED=9,..EC=DE-CD=9-8-1. 在Rt△BCE和Rt△AEB中，由勾股定理，得BC2 CE2=AB2-AE2,即82-12=AB2-92, 解得AB=12. (2)如图，作BE⊥AC,交AC延长线于点E,在AC的延 长线上取点D,使得DE=AE,连结BD, (第24题) 则BE是边AD的垂直平分线， .AB=BD,∠A=∠D 3∠A+2∠ABC=180°，∠A+∠ABC+∠ACB= 答案6D详解 180°，'.2∠A+∠ABC=∠ACB .∠ACB=∠D+∠DBC, .2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC. ∠A=∠D, ∴∠A+∠ABC=∠DBC,即∠DCB=∠DBC, ∴.DB=DC=AB=c. 由题意，得DE=AE=b十C 2 BC=AE-AC=告-6= 2· 在Rt△BEC中，BE2=BC2-EC2, 在Rt△BEA中，BE2=BA2-EA2, BC-EC=BM-EA3,即a2-(（2）°=c2 (生)，整理，得6-二 期中提优测评卷 1.C2.A3.C 4B[解析]当顶角为100时，底角为180°，10°=40， 2 当底角为100°时，两底角的和为100°+100°=200>180°， 不满足三角形内角和定理.故选B. 5.B[解析]可添加条件AD=CF. 理由如下：AD=CF, .∴.AD+CD=CF+DC,即AC=DF, (AB=DE, 在△ABC和△DEF中，BC=EF, AC=DF, .△ABC≌△DEF(SSS).故选B. 6.C[解析]如图，过点B作BM⊥a于点M,过点C作CN ⊥a于点N, a d (第6题) 则有∠BMA=∠ANC=90°， ∴∠MBA+∠MAB=90. 在正方形ABDC中，AB=AC,∠BAC=90°， .∠MAB+∠CAN=90°， .∠CAN=∠MBA, .△MAB≌△NCA(AAS),.AN=MB. h1=6,h2=3, ∴.AN=MB=6,NC=6+3=9. 根据勾股定理，得AC=√62+92=√17， .正方形ABDC的面积S=117.故选C. 7.B[解析]由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平 分线，DF为线段AB的垂直平分线. 由垂直平分线的性质，得AF=BF,故A选项不符合题意； 根据已知条件不能得出AE=AC,故B送项符合题意， :DF为线段AB的垂直平分线，∴∠BDF=90°， ∴∠DBF十∠DFB=90°，故C选项不符合题意； 53拿第2章提优测评卷 答案P50 时间：90分钟 总分：100分 第I卷（选择题 共30分) 一、 选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1.(2025·安徽芜湖无为期中)“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现， 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( A B D 2.(2025·四川成都锦江区嘉祥外语期末)某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD,道路AB 与AE的夹角∠BAE=48°.城市规划部门想新修一条道路CE,要求CF=EF,则∠E的度数 为( ) A.22° B.23° C.24° D.25° 毁 B (第2题) (第3题) (第4题) 3.(2025·金华永康期末改编)如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在 格点上，直角顶点与数轴上表示一1的点重合，则数轴上点A所表示的数为( A.√⑧ B.1.8 C.-1+√8 D.√3 总 4.(2025·湖北武汉黄陂区期末)如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于点E.若AC= BC,下列结论正确的是( ). A.∠C=∠D B.∠C=2∠D C.∠C+∠D=90° D.以上结论都不对 5.如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m,将它往前 推6m至C处时（即水平距离CD=6m),踏板离地的垂直高 度CF=4m,它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( B 21 A.2 m 15 B.2 m (第5题) C.6m 9 D.2 6.(2026·湖南岳阳月考)下列命题的逆命题不成立的是( 7 A,全等三角形的对应角相等 B.线段垂直平分线上的，点到线段两端的距离相等 C.三个角都是60°的三角形是等边三角形 D.负数没有平方根 7.(2025·杭州拱墅区期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高线，EF垂直平分AB, 分别交AB,AC,AD于点E,F,G.若∠BAC=45°，EG=1,则CF=( 7 4 A.√2 B.6 c.3 D. 3 B40人400 D (第7题) (第8题) (第10题) 8.一线三等角模型(2025·河南洛阳新安期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=40°，D为线段BC上 一动点（不与点B,C重合），连结AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E,以下四个结论： ①∠CDE=∠BAD;②当D为BC中点时，DE⊥AC;③当△ADE为等腰三角形时， ∠BAD=20°；④当∠BAD=30时，BD=CE.其中正确的结论是(). A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④ 9.(宁波慈溪中学自主招生)在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,P为BC上一点，且PA=4,则 PB·PC的值为(). A.10 B.15 C.20 D.25 10.(2026·四川绵阳期中)如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB= ∠COD=40°，连结AC,BD交于点M,连结OM.下列结论：①AC=BD;②∠AMB=40°； ③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC.其中正确的是( A.①② B.①②③④ C.①②④ D.①③④ 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题（本题包括6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，在△ABC中，AB=AC,外角∠ACD=110°，则∠A= E 110 D B (第11题) (第12题) (第14题) (第15题) 12.(2025·台州玉环期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折 叠，使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=25°，则∠CDE= 13.命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ,它是 8 (填“真”或“假”)命题 14.新考法操作探究如图，将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B'的位置， AB'与CD交于点E.若AB=8,AD=3,则图中阴影部分的周长为 15.如图，在长方形ABCD中，BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折，使点C落在点C 处，BC交AD于点E,则线段DE的长为 16.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，在直线AC或BC上取点M,使得△MAB为等 腰三角形，符合条件的点M有 个 三、解答题（本题包括8小题，共52分） 17.(6分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E是BC延长线上一点，D为AC边上一点，AE= BD,且CE=CD.求证：BC=AC. (第17题) 18.(6分)(2026·黑龙江哈尔滨期中)已知，在△ABC中，AB=AC (1)如图(1)，∠A=30°，求∠B的度数； (2)如图(2)，∠B=30°，求∠A的度数. (1) (2) (第18题) 9 第2章提优测评卷 19.(6分)如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，DE∥AB,过点E作EF⊥ DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数： (2)求证：DC=CF. (第19题) 20.(6分)(2025·广东东莞期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边的中点，连结AD,BE平分 ∠ABC交AC于点E, (1)若∠C=40°，求∠BAD的度数； (2)过点E作EF∥BC交AB于点F,求证：△BEF是等腰三角形； (3)在(2)的条件下，若BE平分△ABC的周长，△AEF的周长为15，求 (第20题) △ABC的周长. 21.(6分)新考法探究动点问题(2026·安徽芜湖期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm, AC=6cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒， (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值 B (第21题) 备用图1 备用图2 实验班提优训练数学八年级上ZJY 10 22.(6分)(2026·杭州钱塘区二模)已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长 线上的一点，BE=BA,过点E作EF⊥AB,F为垂足.求证： (1)△ABD≌△EBC; (2)AE=CE; (3)BA+BC=2BF. B (第22题) 23.(8分)(2026·杭州余杭期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AE交BC于点P,交DC的延 长线于点E,P为AE的中点 (1)求证：P也是BC的中点； (②若CB1AB,且DP-9,CD-号AB=4求AP的长： (3)在(2)的条件下，若线段AE上有一点Q,使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的长， B (第23题) 11 24.(8分)如图(1)，在△ABC中，3∠A+∠B=180°，BC=8,AC=10,求AB的长. 小明的思路：如图(2)，作BE⊥AC于点E,在AC的延长线上取点D,使得DE=AE,连结 BD,易得∠A=∠D,△ABD为等腰三角形，由3∠A十∠B=180°和∠A十∠ABC+ ∠BCA=180°，易得∠BCA=2∠A,△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB 的长 解决下列问题： (1)图(2)中，AE= ,AB= (2)在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.如图(3)，当3∠A十2∠B=180时，用 含a,c的式子表示b. h CE (1) (2) (3 (第24题) 12