第2章 特殊三角形 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（浙教版·新教材）

∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF= ∠BAD-∠EAF=∠EAF, ∴.∠EAF=∠GAF. 在△AEF和△AGF中， (AE-AG, ∠EAF=∠GAF, AF-AF, ∴.△AEF≌△AGF(SAS), .'.EF=FG, ∴.EF=FG=DG+FD=BE+DF [结论运用]如图(2)，连结EF,延长AE,BF交于 点C. B (2) (第4题) .∠AOB=30°+90°+(90°-70)=140°， ∠P0F=70,∴∠EB0F=2∠A0B. ,OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°-30)+ (70°+50)=180°， .符合[探索延伸]中的条件， 结论EF=AE十BF成立， 即EF=1.5×(60+80)=210(海里). 故此时两舰艇之间的距离是210海里. (AD=CB, 5.(1)在△ABD和△CDB中，AB=CD, BD=DB, ∴.△ABD≌△CDB(SSS), ∴.∠ADB=∠CBD,∴.ADBC. (2)设运动时间为t,点G的运动速度为v, ①当0<≤专时， (DE=BF, 若△DEG≌△BFG,则 DG=BG, t=4-3t, ft=1, .0=3; 6-BG-BG,BG=3, DE=BG, 若△DEG≌△BGF,则 DG=BF, ，36 t=BG, t=-1, . 6-BG=4-3t,BG=-1; (舍去) (DE=BF, 若△DEG≌△BFG,则 DG=BG, t=3t-4, 、∫t=2，.v=。; 。。 6-BG=BG,BG=3, DE=BG, 若△DEG≌△BGF,则 DG=BF, 5 (t=BG, t2' .v=1. (6-BG=3t-4, BG=2' 5 综上所述，当点G的速度为每秒3个单位或每秒 1.5个单位或每秒1个单位时，会出现△DEG与 △BFG全等的情况. 素养考向本题需根据全等条件建立关于时间t 和速度？的方程，通过代数运算求解速度的可能 值.全面考查学生的几何直观、逻辑推理、代数建 模及分类讨论能力，属于中考常见的“几何与运动 综合题”. 第2章特殊三角形 例1c 例2100[解析]：∠DAE=∠BAC, ∴.∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, .∠EAC=∠DAB. 在△DAB和△EAC中， (AB=AC, ∠DAB=∠EAC, AD=AE, .△DAB≌△EAC(SAS), ∴.∠ACE=∠B,∠BAD=∠CAE=30° .'CE∥AD,AC=AB, ∴.∠B=∠ACB,∠ADB=∠ECD,∠ACE=∠CAD= ∠B, ∴.∠B+∠ADB=∠B+∠ECD=∠B+∠ACE+ ∠ACB=3∠B=180°-∠BAD=180°-30°=150°， ∠B=50°， ∴.∠B=∠CAD=∠ACE=50° .AE=AD, ∠ADE=∠AED-号×180-50-30)=50， ∴.∠DOC=∠ADE+∠DAC=50°+50°=100°. 故答案为100°. 例3(1)，∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°， ∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB). ,BD,CE是△ABC的角平分线， ∴.∠PBC=2∠ABC,∠PCB=∠ACB, ∴∠PBC+∠PCB=2(∠ABC+∠ACB). .∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∠PBC+∠PCB=2(180°-∠A), ∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180° 180-∠A)=90r+∠A. ,∠A=80°， ∴.∠BPC=90°+40°=130°. (2)MN=BM+CN.理由如下： .BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∴.∠ABP=∠CBP,∠ACP=∠BCP. .MN//BC, ∴.∠MPB=∠CBP,∠NPC=∠BCP, ∴.∠MBP=∠MPB,∠NPC=∠NCP, ∴.BM=MP,PN=CN, ∴.MN=MP+PN=BM+CN. (3)点M在线段AB上，点N在直线AC上， →点N在直线AC上，有三种情况 .分三种情况： ①如图(1)，当点N在线段AC上时， ∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-(180°- ∠PBC-∠PCB)=号（∠ABC+∠ACB)- 2180-∠A)-90-3∠A: ②如图(2)，当点N在AC的延长线上时， .∠MPB+∠BPN=180°，∠BPN=∠BPC ∠NPC, ∠BPC=S0+号∠A, ∴.∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°， ∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=90°-2∠A: ③如图(3)，当点N在CA的延长线上时， .∠MPB+∠NPC+∠BPC=360°， .∠MPB+∠NP℃=360°-∠BP℃=360°-（90°+ 2∠A）=270°-∠A. N (1) (2) (3) 例4(1)连结DE,如图. .AD是边BC上的高线， .∠ADB=∠ADC=90°. .CE是边AB上的中线， E是AB边上的中点， .'.AB=2DE. .'AB=2CD, .'.CD=DE. ,F是CE中点， .DF⊥EC, .∠DFC=90°， .∠FDC+∠DCF=90° .∠ADC=90°， .∠FDC+∠ADF=90°， .∠DCE=∠ADF. (2),∠BAC=90°，在Rt△ACE中，由勾股定理，得 EC=√AE2+AC=√/6+82=10. ,F是CE中点， CF-EC-5. ,∠ADB=90°，E是边AB上的中点， ..DE=AE=6, ∴.CD=DE=6. 在Rt△CDF中，由勾股定理，得 374 DF=√CD2-CF2=√62-5=√11. 例5(1)BF=AC成立. 理由如下：.∠ABC=45°，CD⊥AB, ∴△BCD是等腰直角三角形， ..BD=CD. ,CD⊥AB,BE⊥AC, 在Rt△DFB和Rt△EFC中， ∠DBF=90°-∠BFD,∠DCA=90°-∠EFC. 又∠BFD=∠EFC, ∴∠DBF=∠DCA. ,∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD, ..Rt△DFB≌Rt△DAC. .'.BF=AC. (2).BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE. .BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°， .Rt△BEA≌Rt△BEC. :.CE-AE-zAC. 由(1)得BF=AC, CE-7AC-BF. 1 例6B[解析]根据题意，可得AB=15cm,AC 2cm, ∴.BC2=AB2-AC2=221(cm2). 令OB=xcm,则OC=(x-2)cm, 由勾股定理可得OB2=BC2十OC2, 即x2=221+(x-2)2, 解得x=225-56.25.故选B. 4 巩固特圳 1.D[解析]全等三角形的面积一定相等，周长一 定相等，一定能够完全重合，但不一定能成轴对 称.故选D. 2.C 3.C[解析]设ts后△POQ是等腰三角形： 、→遇到此类没有明确说明等 腰三角形的底和腰的问题时， 需分类讨论 分两种情况：当点P在线段OC上时， ，38 OP=OC-CP=OQ, 即8-3=2，解得4=号； 当点P在CO的延长线上，且△POQ是等腰三角 形时， ∠POQ=60, △POQ是等边三角形， ∴.OP=OQ,即2t=3t-8,解得t=8. 故当：=8或时，△POQ是等膜三角形，即甲，乙 合在一起才正确.故选C. 4.25或7[解析]当第三边上的高在三角形内部 时，如图(1)所示，AB=20,AC=15,AD=12. ,AD是高， ,.△ABD,△ACD是直角三角形， .BD2=AB2-AD2=202-122=256, .BD=16.同理可得CD=9, .BC=BD+CD=16+9=25; B (1) (2) (第4题) 当第三边上的高在三角形外部时，如图(2)所示， AB=20,AC=15,AD=12. ,AD是高， △ABD,△ACD是直角三角形， ∴.BD2=AB2-AD2=202-122=256, .BD=16.同理可得CD=9, ∴.BC=BD-CD=16-9=7. 综上所述，第三边的长为25或7. 样反白 1.3.2[解析]AC⊥A1C,∴∠A1CB=90°. .在Rt△A1CB中，A1C=1.6m,BC=1.2m, .A1B=√/BC2+A1C2=2m. ,挡板AB折落在地面A1处， .'.AB=AB=2 m. 点A,B,C在同一条直线上， .AC=AB+BC=2+1.2=3.2(m). 2.(1)学校能听到宣传.理由如下： ,学校A到公路MN的距离AB=480米<800米， 学校能听到宣传。 (2)如图，假设当宣讲车行驶到点G时，学校A开 始听到宣传，行驶到点H时，学校A恰好听不到 宣传，则AG=AH=800米，AB=480米， .BG2=BH2=8002-4802=6402, .BG=BH=640米， ∴.GH=1280米， ∴.1280÷256=5（分钟）， ∴.学校A总共能听到5分钟的宣传. M G (第2题) 3.如图，过点B作BD⊥AE于点D. AD (第3题) 则四边形BCED是长方形. .DE=BC=3 m,BD=CE=16 m, ∴.AD=AE-DE=15-3=12(m). 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2, ∴.AB=√/122+162=20(m). 故至少需要20m的彩旗带. 4.10°或80°或140°或20°[解析].∠ABC=130°， ∠ACB=30°，.∠BAC=180°-∠ABC ∠ACB=20° 分三种情况： 当AP=AB,点P在CA的延长线上时，如图(1). P (1) ,∠BAC是△ABP的一个外角， ∴.∠BAC=∠APB+∠ABP=20°. .AB=AP, ∴.∠APB=∠ABP=10°； 当AP=AB,点P在AC上时，如图(2). B (2) .AB=AP,∠BAP=20°， ∠ABP=∠APB=180-∠BAP=80: 2 当BA=BP,点P在AC的延长线上时，如图(3) B P (3) .BA=BP, ∴∠BPA=∠BAP=20°， .∠ABP=180°-∠BAP-∠BPA=140°； 当PA=PB,点P在AC上时，如图(4). D (4) (第4题) .PA=PB, .∠ABP=∠BAP=20° 综上所述，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的 度数是10°或80°或140°或20°. 5.(1)图中等腰三角形有△BMO,△CNO.MN= BM+CN.理由如下： BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 1 ·.∠MBO=∠OBC=2∠ABC,∠NCO= ∠0CB=7∠ACB. .MN//BC, ∴.∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB, ∴.∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NCO, ∴.BM=OM,CN=ON, ∴.△BMO,△CNO是等腰三角形， 即图中等腰三角形有△BMO,△CNO. MN=OM+ON=BM+CN. (2)图中等腰三角形有△BMO,△CNO. MN与BM,CN之间的关系是MN=BM-CN.理 由如下： ,BO平分∠ABC,CO平分∠ACH, 394 ∴.∠MBO=∠OBC,∠NCO=∠OCH. .OM//BC, ∴.∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCH, ∴.∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NCO, ∴.BM=OM,CN=ON, '.△BMO,△CNO是等腰三角形， 即图中等腰三角形有△BMO,△CNO. MN-OM-ON-BM-CN. 第3章一元一次不等式 例0C例2D 例3A[解析]由x十2>0，得x>-2, 由x一1<0，得x<1,在数轴上表示如图. -3-2-1012 故选A 例08[解析解不等式。1<x+1,得x<4, 解不等式2(x+1)≥-x十a,得x≥a,2, 3， 所以不等式组的解集为°写2≤<4又至少有2个 整数解，所以。≤2，解得a≤8，则。的大整数值 整戴解至少为3,2，注意是否可以取等号 为8. 2x+1<3x+3,① Du-0+@ 解不等式①，得x>一2， 解不等式②，得x<5, ∴.不等式组的解集为一2<x<5. 4x-3≤x,① (2){ 3(x+1)>2x,② 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x>一3， .不等式组的解集为一3<x≤1. 负整数解有-2，一1. 例6(1)设书架上数学书有x本，语文书有y本， x+y=90, 根据题意，得 0.8x+1.2y=84, /x=60, 解得 y=30. 40 故书架上数学书有60本，语文书有30本. (2)设数学书还可以摆m本， 则10×1.2十0.8m≤84， 解得m≤90， 故数学书最多还可以摆90本. 巩固特 1.A[解析]关于x的不等式(a一3)x>a一3的 解集是x>1,∴.a-3>0,解得a>3.故选A. 2.A[解析](a+b)-(a-b)=a+b-a+b=2b. 当b>0时，a十b>a-b;当b<0时，a+b<a- b;当b=0时，a十b=a-b,∴.只与b的取值有关 故选A 12+x>a,① 3.D[解析] x-3≤0，② 解不等式①，得x>a一2，解不等式②，得x≤3. .不等式组无解，∴.a-2≥3，解得a≥5.故选D. 2x<3(x-3)+1,① 4.B[解析3x+2 4 >x+a,② 由①，得x>8,由②，得x<2-4a, 故原不等式组的解集为8<x<2-4a. ,不等式组的整数解有4个， .其整数解为9,10,11,12， .12<2-4a≤13， 4 归纳总结解含有参数的一元一次不等式组的 步骤： (1)解不等式组，把参数当已知数来解； (2)借助于数轴，形象准确地把握不等式组有解、 无解以及有几个整数解的问题； (3)注意端点值，这类问题一般都与端点有关，一 是用数轴来说明是哪个端点；二是进行检验，有无 端点不满足题意。 5.当0≤x≤1时， >首先分情况讨论x的取值，再化简不等式组解题 1H(x,1)>4, 关于正数x的不等式组 H(-1,x)≤a 1-x>4,① 变为 x+1≤a,②第2章 特殊三角形 知识梳理导图 对称轴 轴 勾股定理 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段 对 性质两个锐角互余 成轴对称的两个图形是全等图形 称 斜边上的中线等于斜边的一半 轴对称图形 在同一个三角形中，等边对等角性质 等 有一个角是直角的三 顶角平分线、底边上的 腰 角 角形是直角三角形 中线和高线互相重合 三 有两个角互余的三 角 判定 角 角形是直角三角形 在同一个三角形中，等角对等边判定 形 形 勾股定理的逆定理 具有等腰三角形的所有性质 特殊 三条边都相等 性质 三角形 两个直角三角形全等的判定：HL 各个内角都等于60° 等腰 三条边都相等的三角形 边 直角 具有等腰三角形和直角 三角形所有的性质 三个角都相等的三角形 判定 角 三角 形 有一个角是60° 的等腰三角形 到线段两端距离相等的点 在线段的垂直平分线上 互逆命题、原命题、逆命题、 相关 相关 角的内部，到角两边距离相等 逆定理、互逆定理 概念 知识 的点在这个角的平分线上 重难疑点解法 上分点1图形的轴对称 例1(2025·宁波余姚期末)在中国传统文化中， 有一种特殊的花卉纹样.下列四个花卉纹样分别代表 玉簪花、杏花、水仙花和茶花，其中是轴对称图形的是 名师启发本题考查轴对称图形的判别，根据 轴对称图形的定义依次判断各选项即可，为基础题. ②2 史归纳总结 如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧 的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图 形，这条直线叫作对称轴. B 7 实验班提优训练数学八年级上Z小小Y 上分点2等腰三角形的性质和判定 名师启发利用角平分线的定义、三角形的内 例2(2026·江苏盐城阜宁期中)如图，在△ABC 角和定理和等腰三角形的判定即可解答. 中，AB=AC,D为BC上的一点，∠BAD=30°，在 AD的右侧作△ADE,使得AE=AD,∠DAE= ∠BAC,连结CE,DE,DE交AC于点O,若CE∥ AD,则∠DOC的度数为 B 个关键提醒 名师启发根据已知条件证明△DAB≌ 本题考查的是三角形的内角和定理、角平分线 △EAC,可得∠B=∠ACE,再根据CE∥AD,可得 的定义、等腰三角形的判定，解题的关键是画出正确 ∠ADB=∠ECD,∠ACE=∠CAD=∠B,在 图形，会利用三角形内角和表示角之间的关系 △ABC中，利用三角形内角和得∠B=50°，在 △ADE中，求得∠ADE=50°，进而根据三角形外角 公上分点3直角三角形相关 的性质即可解决问题。 扩方法技巧 例4(2026·山东青岛期中)如图，在△ABC中， 本题是初中数学中常见的手拉手模型，当出现 AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，AB= 手拉手模型时，必然伴随着两组边相等，且这两组 2CD,F是CE中点. 对边的夹角相等，从而利用SAS判定三角形全等， 继而解决问题， 例3如图(1)，△ABC的角平分线BD,CE相 B 交于点P. (1)求证：∠DCE=∠ADF; (1)如果∠A=80°，求∠BPC的度数； (2)若∠BAC=90°，AE=6,AC=8,求DF的长 (2)如图(2)，过点P作直线MN,分别交AB和 名师启发(1)连结DE,根据直角三角形的 AC于点M和N,且MN平行于BC,试写出MN, 性质得AB=2DE,进而得CD=DE,再根据直角三 BM,CN三者之间的数量关系，并说明理由； 角形两个锐角互余得出答案； (3)将(2)中的直线MN绕点P旋转，分别交线 (2)先根据勾股定理求出EC=10,可得CF=5, 段AB于点M(不与，点A,B重合)，交直线AC于点 再结合(1)得CD=DE=6,最后根据勾股定理可得 N,试探索∠MPB,∠NPC,∠A三者之间的数量关 答案 系，并说明理由 (1) 备用图 》8 第2章 女方法技巧 扩方法技巧 如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b, 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三 斜边长为c,那么a2十b2=c2;直角三角形斜边上 角形全等的一般方法有：SSS,SAS,ASA,AAS, 的中线等于斜边的一半 HL.在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要 用到等腰直角三角形 例5如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD1 AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与 上分点4勾股定理的应用 CD相交于点F,H是边BC的中点，连结DH与BE 例6(2026·苏州期末)某型号推拉式窗户如 相交于点G. 图(1)所示，当窗户关闭时点A与点B重合.窗户拉 开时，如图(2)，AB=15cm,此时，窗户的最低点B相 对于未开启时的最低点A升高了2cm,则该窗户的 高OA为( (1)BF=AC成立吗？请说明你的理由. (2)试说明CE=2BF. B 名师启发(1)根据全等三角形的判定定理证 (1) (2) 得Rt△DFB≌Rt△DAC可得.(2)可先证Rt△BEA ≌Rt△BEC,然后由(1)的结论思考. A.57cm B.56.25cm C.54 cm D.58.25cm 名师启发结合勾股定理，可计算出BC的长 度，令OB=xcm,则OC=(x一2)cm,根据OB2= BC2十OC2可得方程，解出方程即可. 归纳总烤 本题考查勾股定理的应用，理解题意以及熟练 使用勾股定理是解题的关键。 易错易混辨析 )易错点1概念不清导致混淆 如果再加上条件“D是BC的中点，且AD⊥BC”, 例1在△ABC中，如果只给出条件∠A=60°，那 即AD垂直平分BC,所以AB=AC,那么可以判断 △ABC是等边三角形，所以③正确； 么还不能判定△ABC是等边三角形，给出下面四种 如果再加上条件“AB,AC边上的高相等”，利用 说法：①如果再加上条件“AB=AC”,那么△ABC是 面积法得到AB=AC,所以可判断△ABC是等边三 等边三角形；②如果再加上条件“∠B=∠C”,那么 △ABC是等边三角形；③如果再加上条件“D是BC 角形，所以④正确， 的中点，且AD⊥BC”,那么△ABC是等边三角形； 答亲①②③④ ④如果再加上条件“AB,AC边上的高相等”，那么 辨析伯纳 △ABC是等边三角形.其中正确的说法有 本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的判 (把你认为正确的序号全部填上) 定，关键是灵活运用等边三角形的判定解决问题， 解析如果再加上条件“∠B=∠C”或“AB= AC”,那么根据有一个角为60°的等腰三角形为等边 心巩固特训 三角形判断△ABC是等边三角形，所以①②正确； 1.下列说法不正确的是( 9 实验班提优训练数学八年级上Z小小Y A.两个全等三角形的面积一定相等 B.两个全等三角形的周长一定相等 C.两个全等三角形一定能够重合 D.两个全等三角形一定能成轴对称 (1) (2) 2.给出下列命题：其中真命题的个数为( 则∠ADC=∠BDC=90°，△ABC的面积为 ①在直角三角形ABC中，已知两边长为5和12， 则第三边长为13； 3AB·CD=号X5XCD=10, ②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； 解得CD=4, ③在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:5:6,则 ∴.AD2=AC2-CD2=25-16=9, △ABC是直角三角形： .AD=3. ④到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 分两种情况： A.1B.2C.3 D.4 ①当等腰三角形ABC为锐角三角形时，如图(1) )易错点2分类讨论不全面，出现漏解 所示 .BD=AB-AD=5-3=2, 例2(2025·吉林第二实验学校期末)如图，在6× ∴.BC2=BD2+CD2=4+16=20; 6的正方形网格中，选取13个格点，以其中的三个格 ②当等腰三角形ABC为钝角三角形时，如图(2) 点A,B,C为顶点画△ABC,请你在图中以选取的格 所示. 点为顶点再画出一个△ABP,使△ABP与△ABC成 .BD=AB+AD=5+3=8, 轴对称.满足条件的点P的个数为 ∴.BC2=BD2+CD2=64+16=80. 综上所述，BC边的平方为20或80. 答案20或80 辨析伯纳 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积 公式及勾股定理，解题的关键是画出图形，分两种 解析如图所示： 情况讨论， 巩固特切 3.题目：“如图，∠AOB=60°，C是射线OB反向延长 线上的一点，OC=8cm,动点P从点C出发沿CB 以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA 以2cm/s的速度移动，已知点P,Q同时出发， 满足条件的△ABP有2个. t(s)表示移动的时间，若△POQ是等腰三角形， 答案2 辨析归纳 求：的值”对于其答案，甲答“=8”，乙答1= 本题考查轴对称的性质、分类讨论，解题的关 8”,则正确的是(). 键是理解题意，画出图形解决问题， 例3在等腰三角形ABC中，AB=AC=5, △ABC的面积为10，则BC边的平方等于 0 解析过点C作CD⊥AB于点D, (第3题) 10 第2章 A.只有甲正确 D.甲、乙合在一起也不正确 B.只有乙正确 4.一个三角形有两边长分别为15和20，第三边上的 C.甲、乙合在一起才正确 高为12，则第三边的长为 素养考向提分 新情境 BC=1.2m,则车高AC= m. 例①如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小 船.河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C 移动到E,同时小船从A移动到B,且绳长始终保持 不变.回答下列问题： (第1题) (1)根据题意可知：AC BC+CE(填 “>”“<”或“=”)】 2.某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣 传动员，如图，笔直公路MN的一侧点A处有一 (2)若CF=5米，AF=12米，AB=8米，求小男 孩需向右移动的距离.（结果保留根号） 学校，学校A到公路MN的距离AB=480米，若 EO 宣讲车P周围800米以内能听到广播宣传，宣讲 车P在公路MN上沿M到N的方向行驶， (1)学校A能否听到宣传，请说明理由； (2)已知宣讲车的速度是256米/分，如果能听到，求 学校A总共能听到多长时间的宣传 解析(1)由绳长始终保持不变即可求解； 4 (2)由勾股定理求出AC,BC的长，然后根据CE= AC一BC即可求解. 答案(1)= M B (第2题) (2)连结AB,则点A,B,F三点共线。 在Rt△CAF中，AC2=AF2+CF2=122+52= 132,.AC=13米（负值舍去）. .BF=AF-AB=12-8=4(米)， ∴.在Rt△CBF中，BC=CF2+BF2=52+42= 41,∴.BC=√41米（负值舍去）. .AC=BC+CE, .CE=AC-BC=(13-√4I)米， 故男孩需向右移动的距离为(13一√4红)米， o点拨 本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理 求出AC,BC的长是解题的关键 释反白 1.(2026·陕西西安期末改编)如图，货车卸货时后面挡 3.(2026·江苏南京建邺区期末)如图，某校校庆时，从教 板AB折落在地面A1处，已知点A,B,C在同一 学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗.已 条直线上，AC⊥A1C,经过测量A1C=1.6m, 知点B和教学楼的水平距离为16m,教学楼高 114 实验班提优训练数学八年级上ZJY 15m,围墙BC高3m,问至少需要多长的彩旗带？ ⊙点拨 本题主要考查了勾股定理，如果直角三 VVVVVVVV 角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c, 那么a2+b2=c2. 样反白 △ABC的顶点A,C在直线L上，∠B= ∠ACB=30°，若点P在直线l上运动，当 P是等腰三角形时，∠ABP的度数是 新考法 B 例2(2026·嘉兴经开实验学校期中)如果三角形 有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个 (第4题) 三角形为“奇妙三角形”. 5.(2025·福建龙岩漳平期中)在△ABC (1)如图，在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4, ∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,MN经过点 求证：△ABC是“奇妙三角形”； O,与AB,AC相交于点M,N,且MN∥BC. (1)如图(1)，直接写出图中所有的等腰三角形；猜 (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，若 想：MN与BM,CN之间有怎样的数量关系，并说 △ABC是“奇妙三角形”，求BC的长， 明理由。 (2)如图(2)，在△ABC中，∠ABC的平分线BO 与三角形外角平分线CO交于点O,过点O作 OM/∥BC交AB于点M,交AC于点N.图中有等 (备用图) 腰三角形吗？如果有，分别指出它们.写出MN与 解析(1)过点A作AD⊥BC于点D. BM,CN之间的数量关系，并说明理由. D 1 .AB=AC,AD⊥BC, (2) (第5题) :.BDBC2 由勾股定理，得AD=√AB2-BD2=4, ∴.AD=BC, 即△ABC是“奇妙三角形”. (2)当边AC上的中线BD等于AC时，BC= √BD2-CD2=3; 当BC边上的中线AE等于BC时， AC=AE-CE,即BC-(2BC‘=(233, 解得BC=4(负数舍去)， 综上所述，BC的长是3或4. 12