第12章 全等三角形 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（华东师大版·新教材）

(a-b)2. (4)2(a+b)2-4(a+b)c+2c2=2[(a+b)2 2(a+b)c+c2]=2(a+b-c)2」 旧纳总结本题主要考查了分解因式，熟知分解 因式的方法是解题的关键， 样反白 1.(1)(a+2b)(b+2a)[解析]通过观察图形可 以得出大长方形的面积是(2a2+5ab+2b2)cm2, 大长方形的长是(2a十b)cm,宽是(a十2b)cm, 由此可得2a2+5ab+2b2=(a+2b)(b+2a). (2)①.大长方形的周长为30cm, ∴.2(2a+b+a+2b)=30,.2(3a+3b)=30, .∴.6(a+b)=30,即a+b=5. 故a+b的值为5. ②根据①，得a十b=5, ,题图中阴影部分的面积为34cm,且阴影部分 的面积表示为2a2+2b2,∴.a2+b2=17. .(a十b)2-2ab=a2+b2,∴.52-2ab=17, ∴.ab=4,∴.5ab=20. ∴.题图中空白部分的面积为20cm2 思路得本题考查了整式乘法与因式分解、完 全平方公式在几何图形中的应用， (1)根据大长方形的面积的两种不同算法可得出 答案； (2)①根据长方形的周长是2(3a+3b)=30即可 得出a十b的值；②由题图可得空白部分的面积 是5abcm2,根据①中求出的a十b的值，以及阴 影部分的面积，即可推出空白部分的面积. 2.C[解析]a4+b4=47,a十b=3, .∴.(a4+b4)(a+b)=47×3=141, .∴.a5+ab4+ba4+b5=141, ∴.a5+b5=141-ab4-ba4=141-ab(a3+b3)= 141-1×18=123.故选C. 3.(1)假设36是神秘数，则能表示为两个连续偶 数的平方差，设较小的偶数为x,则较大的偶数为 x+2, .(x十2)2-x2=36,解得x=8,.x+2=10, ∴.36=102一82，∴.36是“神秘数” (2)设较小的偶数为2k,则较大的偶数为2k+2. ∴.(2k+2)2-(2k)2=8k+4=4(2k+1). ,为非负整数，.2k十1为正整数， .“神秘数”一定是4的倍数. (3)2000不是“神秘数”.理由如下： 假设2000是“神秘数”，由（2)，得4(2k+1)= 2000,解得k=249.5. 不是整数，假设不成立， .2000不是“神秘数”. 第12章全等三角形 例TAC=AD(或BC=BD或∠BAC=∠BAD或 ∠ABC=∠ABD)[解析]，'AC⊥CB,AD⊥DB, ∴∠C=∠D=90°.又AB=AB,.添加AC=AD或 BC=BD可根据“HL”得到△ACB≌△ADB, 添加∠BAC=∠BAD或∠ABC=∠ABD可根据 “AAS”得到△ACB≌△ADB, 即还需要添加的条件是AC=AD(或BC=BD或 ∠BAC=∠BAD或∠ABC=∠ABD). 例2(1)DB=DEBF=EF[解析]，△ABC是 等边三角形，D是AC的中点，∴.AD=DC,∠DBC= ∠ABC=30,∠ACB=60 1 .'AD=CE,.CD=CE,∴∠E=∠CDE .∠ACB=∠E+∠CDE=60°， ∴.∠E=∠CDE=30°， ∴∠DBE=∠E,DB=DE DF⊥BE,BF=EF. (2)结论仍然成立.理由如下： 如图，过点D作DHBC交AB于点H,则∠ADH= ∠ACB=60°. B ∠A=60°，△ADH是等边三角形， .AD=DH=AH,∠AHD=60°， ∴.∠BHD=∠DCE=180°-60°=120°. .‘AB=AC,AD=AH,∴.BH=CD. 又DH=AD=CE, ∴.△BHD≌△DCE(SAS),∴.DB=DE 334 DF⊥BE,∴.BF=EF. (3).点B、G关于AC对称， .△CDB≌△CDG,.SACDB=S△cG :SAe=4,即SAa6=4SAD8, S△ADB .SACDB-4SAADBCD-4AD. >同高的三角形的面积比等于底边的比 AD=CE,∴.BE=6CE, SADBE =6SADCEACE= SADBE 6 例3(1)，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点 D、E, .'.AD=BD,AE=CE, ..AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=12, ∴.△ADE的周长为12. (2)点O在BC的垂直平分线上.理由如下： 如图，连结AO、BO、CO .OM、ON分别是AB、AC的垂直平分线， ∴.OA=OB,OA=OC,∴.OB=OC, .点O在BC的垂直平分线上. 例4C[解析]①过点P作PH⊥AC于点H,如 图所示： BP是∠ABC的平分线，PM⊥BE,PN⊥BF ∴.PM=PN ,AP是∠EAC的平分线，PM⊥BE,PH⊥AC, ∴.PM=PH,∴.PN=PH. ,点P在∠ACF的内部， ∴.点P在∠ACF的平分线上， 即CP平分∠ACF, 故结论①正确； ②.PM⊥BE,PH⊥AC, ∴.△AMP和△AHP都是直角三角形. ，34 在Rt△AMP和Rt△AHP中， (PA-PA, PM-PH, .Rt△AMP≌Rt△AHP(HL), .∠APM=∠APH, 同理，得Rt△NCP≌Rt△HCP(HL), ∴.∠CPN=∠CPH, .∠APC=∠APH+∠CPH=∠APM+∠CPN, .∠MPN=∠APC+∠APM+∠CPN=2∠APC, ∴LAPC-号∠MPN, 故结论②不正确； ③.'Rt△AMP≌Rt△AHP,Rt△NCP≌Rt△HCP, .S△MR=S△AHiP,SANCP=S△HCP, ∴.S△AMP+SANCP=S△AHP+SAHCP. 又S△PAC=S△AHP+S△HCP, ∴.S△PAC=S△AMP+SANCP, 故结论③正确； ④设∠ABC=a, 在△ABC中，∠BAC+∠BCA=180°-a. .∠EAC=180°-∠BAC,∠FCA=180°-∠BCA, .∠EAC+∠FCA=360°-（∠BAC+∠BCA)= 360°-(180°-a)=180°+a, ∴.当a=90时，∠EAC+∠FCA=270°， 即当∠ABC=90时，∠EAC+∠FCA=270°. 依题意可知，∠ABC不一定等于90°， .∠EAC+∠FCA不一定等于270°， 故结论④不正确， 综上所述，正确结论的序号是①③，共2个 故选C 见固特 1.B[解析]①.∠C=∠D,AC=AD,AB=AE, ∴.△ABC和△AED不一定全等，故①不符合题意； ②，∠C=∠D,AC=AD,BC=ED, ∴.△ABC≌△AED(SAS),故②符合题意； ③.∠1=∠2，∴.∠1+∠EAB=∠2+∠EAB, .∠CAB=∠DAE. ,∠C=∠D,AC=AD, ∴.△ABC≌△AED(ASA),故③符合题意； ④.∠B=∠E,∠C=∠D,AC=AD, ∴.△ABC≌△AED(AAS),故④符合题意， 故选B. 2.D[解析]，等腰三角形的一个外角是70°， ∴.与这个外角相邻的内角为180°一70°=110°. 三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等， .若110°为底角，则两个底角和为220>180°，不 符合三角形内角和定理， ∴.110°只能是等腰三角形的顶角， .它的一个底角大小为(180°-110)÷2=35°. 故选D. 方陆技巧本题考查的是等腰三角形的性质和三 角形内角和定理，灵活运用“等腰三角形两底角相 等”以及“三角形内角和为180”是解题的关键.根 据外角与相邻内角互补，先求出与外角相邻的内 角为110°，再由三角形内角和定理及等腰三角形 的性质判断出110°只能为顶角，进而求出底角的 大小 3.20或22[解析]，|x一6l+(y-8)2=0, .x-6|=0,(y-8)2=0, ∴.x一6=0，y-8=0,解得x=6,y=8. 当6为腰长，8为底边长时，三角形的三边分别 为6、6、8，满足三角形三边关系， ∴.周长=6+6+8=20； 当8为腰长，6为底边长时，三角形的三边分别 为8、8、6，满足三角形三边关系， .周长=8+8+6=22， .该等腰三角形的周长为20或22. 方法释本题考查了非负数的性质、等腰三角 形的性质、三角形三边关系，根据绝对值与偶次幂 的非负性求出x、y的值，再分两种情况讨论等腰 三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判 断能否构成三角形，进而计算三角形周长 举反目 1.B[解析]如图，过点A作AN⊥BC于点N,过 点B作BM⊥AD于点M. .AB=AC,BC=10dm,AN⊥BC,∴.BN= 号Bc=5dm .∠DAC=90°，∠BAD=30°， ∴.∠BAC=60°. .AB=AC,.△ABC是等边 三角形， ∴∠BAN-号∠BAC-30 M .∠BAM=30°，∴.∠BAN= (第1题) ∠BAM. 在△ABN和△ABM中， I∠ANB=∠AMB, ∠BAN=∠BAM, AB=AB, .△ABN≌△ABM(AAS), ∴.BM=BN=5dm. 故选B. 思路得本题考查了等腰三角形的性质、等边 三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质， 熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等腰三角 形三线合一的性质是解题的关键.先过点A作 AN⊥BC于点N,过，点B作BM⊥AD于点M, 利用等腰三角形三线合一的性质求出BN的长 度，再通过证明△ABN≌△ABM,从而得到 BM=BN,即可求出，点B到水平线AD的距离. 2.(1)如图(1)，连结PA、PB,PB交直线l于点M, 连结AM, ,直线1是线段AB的垂直平分线， .'.AM=BM, ∴.PB=PM+MB=PM+AM. .'PM+AM>PA, >三角形的两边之和大于第三边 ∴.PA<PB. (2)AD+CD≥BC.理由如下： 如图(2)，当点D不在线段BC上时，连结BD. .直线1是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD, .BD十CD>BC,∴.AD+CD>BC; 当点D在线段BC上时，AD+CD=BC. 综上所述，AD+CD≥BC. M B (1) (2) (第2题) 354 中高考粗势本题基于学生已学的“线段垂直平分 线上的点到线段两端的距离相等”这一性质，进一 步探究不在垂直平分线上的，点到线段两端距离的 情况，这要求学生不能仅停留在对定理的记忆，更 要深入理解、主动探究知识的延伸部分，符合当下 考试对学生知识深度挖掘能力的要求.本题(1)问 要求学生证明PA<PB,需要学生依据几何图形 的性质、定理，通过严谨的推理步骤得出结论，这 一考查方式在中高考几何题中频繁出现，引导学 生构建严密的逻辑思维体系. 3.(1)在△ACB和△ECD中， AC=EC, ∠ACB=∠ECD,∴.△ACB≌△ECD(SAS), BC=DC, ∴∠A=∠E,∴.ABDE. (2)点P从点A出发，在线段AB上沿A→B→A 以3cm/s的速度运动，设点P的运动时间为ts, 当点P先从点A运动到点B时，AP=3tcm (≤)： 当点P再从点B运动到点A时，AP=(10-3t)cm (得<<9》 (3)过点C连结PQ.由(1)，得∠A=∠E. ∠A=∠E, 在△ACP和△ECQ中，AC=EC, ∠ACP=∠ECQ, .△ACP≌△ECQ(ASA),∴.AP=EQ, 5 当0≤t≤3时，AP=3tcm,EQ=DE-DQ= (6-)cm,3影=5-t,解得1=号 当；<<9时，AP-(10-32)cm,B0=DE DQ=(5-t)cm, 5 .10-3t=5-t,解得t=2: 综上所述的值为或号 4.(1)如图(1)，过点E作ET⊥CD于点T. AD∥BC,∠A=90°， ∴.∠B=180°-∠A=90°. ,DE平分∠ADC,∠A=90°，ET⊥CD, ，36 ..EA=ET. ,E是线段AB的中点，∴.EA=EB ..EB=ET. .ET⊥CD,∠B=90°， ∴.CE平分∠BCD. B (第4题(1) (2)如图(1)，过点E作ET⊥DC于点T, 在Rt△ADE和Rt△TDE中， (DE=DE, AE-TE, .Rt△ADE≌Rt△TDE(HL), ∴.AD=TD=1, 同理，得CT=CB=4, .DC=DT+CT=1+4=5. (3)如图(2)，CQ=2AD.证明如下： D B (第4题(2) 由翻折可得EC=EP, .AE=EB,∠A=∠B=90°， '.Rt△AEP≌Rt△BEC(HL), ∴.BC=AP=AD+DP 由(2)知BC=CT=CQ+QT, ∴.AD+DP=CQ+QT. ,DE平分∠ADC, ∴∠ADE=∠TDE PQ//DE, ∴.∠DPQ=∠ADE,∠DQP=∠TDE, ∴.∠DPQ=∠DQP, ..DP-DQ-DT+TQ. .AD+DP=CQ+QT, ∴.AD+DT+TQ=CQ+QT, '.AD+DT=CQ.由(2)得AD=TD, ∴.AD+AD=CQ,∴.CQ=2AD. 归纳总结本题考查了角平分线的性质与判定、 全等三角形的判定与性质、折叠的性质及等腰三 角形的判定等知识点.第12章 全等三角形 知识梳理导图 通过轴对称、平移和旋转等 表示判断的语句叫做命题。命题 图形变换，能够完全重合的 如果条件成立，那么结论一定 定义。两个三角形是全等三角形 成立的命题，叫做真命题 真命题 全等 性质。对应边、对应角分别相等 如果条件成立，不能保证结论 三角形 总是正确的命题，叫做假命题 假命题 判定方法。SAS、ASA、AAS、SSS、HL 命 两底角相等，简称“等边对等角” 如果第一个命题的条件是第二个 命题的结论，而第一个命题的结论 题 底边上的高、中线及顶角的平分线 是第二个命题的条件，那么这两个 性质」 重合，简称“三线合一” 命题叫做互逆命题.如果把其中一 等腰 判定 是轴对称图形 个命题叫做原命题，那么另一个命 互逆 三角形 方法。 等角对等边 题就叫做它的逆命题 命题 等 性质。三条边相等，三个角相等 说明名词所包含的确切意义。定义 边 三个角都相等的三 公认的真命题。基本事实 全等 角形是等边三角形 三角形 可以作为进一步判定其他 判定方法 有一个角等于60°的等腰 命题真假依据的真命题 定理 定义、 形 三角形是等边三角形 如果一个定理的逆命题也是 定理 性质 线段垂直平分线上的点 定理，那么这两个定理叫做 与证明 线段 定理 到线段两端的距离相等 互逆定理，其中的一个定理 互逆 垂直 叫做另一个定理的逆定理 判定 到线段两端距离相等的点 定理 平分线 定理 在线段的垂直平分线上 根据条件、定义及基本 事实、定理等，经过演 角 性质角平分线上的点到角 绎推理，来判断一个命 定理两边的距离相等 题是否正确的推理过程证明 分 判定 角的内部到角两边距离 线 定理相等的，点在角的平分线上 重难疑点解法 )上分点个灵活选用判定方法证明三角形全等 即可 例①(2026·江苏镇江期末)如图，AC LCB,AD⊥ 义归纳总线 本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角 DB,要证明△ACB≌△ADB,还需要添加的条件是 形的判定定理是解题的关键.全等三角形的判定定 理有SAS、ASA、AAS、SSS、HL. 上分点2等腰三角形的判定与性质 例2如图，△ABC为等边三角形，D是边AC 上的一个动点，E为BC延长线上的点，且CE=AD, 名师启发根据全等三角形的判定方法添加条件 过点D作BC的垂线，交BC于点F 134 实验班提优训练数学八年级上HD 关键提醒 本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三 角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌 握相关知识，点并灵活运用是解题的关键， (1 (2) 上分点3线段垂直平分线的判定与性质 例3(2025·山东日照期中)如图，在△ABC中， 边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D,边 AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E,MD NE的延长线交于点O. (3) (1)若BC=12,求△ADE的周长； (1)如图(1)，若D是AC的中点，则DB与DE (2)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并 的数量关系为 ,BF和EF的数量关系为 说明理由. (2)如图(2)，若D是边AC上的任意一点，则(1) 中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不 成立，请说明理由. 0 (3)如图(3)，若点G和点B关于AC对称，连结 名师启发(1)根据垂直平分线的性质得出 0G.G,名=4，情直接写出二的收， AD=BD,AE=CE,从而求出△ADE的周长即可. (2)连结OA、OB、OC,证明OB=OC即可. 名师启发(1)根据等边三角形的性质，得到 AD=DC,∠DBC=2∠ABC=30,∠ACB=60, 然后证明△BDE为等腰三角形，即可得出结论； (2)过点D作DH/BC交AB于点H,证明△ADH 是等边三角形，推出△BHD≌△DCE(SAS),进而得 关键提醒 到DB=DE,根据等腰三角形三线合一的性质，即可 本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，解 得到BF=EF; 题的关键是熟练运用垂直平分线的性质与判定进 (3)根据对称，得到△CDB≌△CDG,推出 行推理证明与计算. S△cDB=4S△ADB,根据同高三角形的面积比等于底边 比，进行求解即可. 上分点4角平分线的判定与性质 例4(2026·新疆乌鲁木齐十三 E 中期末)如图，点E、F分别在△ABC 的边BA、BC的延长线上，∠ABC、 ∠EAC的平分线BP、AP交于点P, PM⊥BE,PN⊥BF,垂足分别为M、N.下列结论：①CP 平分∠ACF;②∠APC=3∠MPN,③SaG=SAAP十 S△wcP;④∠EAC+∠PCA=270°.其中正确结论的个 数是(. 14 第12章 A.4B.3C.2 D.1 判断； 名师启发①过点P作PH⊥AC于点H,根 ④设∠ABC=a,则∠BAC+∠BCA=180°-a, 据角平分线性质得PM=PN=PH,再根据点P在 ∠EAC=180°-∠BAC,∠FCA=180°-∠BCA,由 ∠ACF的内部得点P在∠ACF的平分线上，据此可 此可得∠EAC+∠FCA=360°-（∠BAC+ 对结论①进行判断； ∠BCA)=180°十a,进而得当∠ABC=a=90°时， ②依据“HL”判定Rt△AMP和Rt△AHP全等， ∠EAC十∠FCA=270°，依题意可知∠ABC不一定 Rt△NCP和Rt△HCP全等，得∠APM=∠APH, 等于90°，据此可对结论④进行判断.综上所述即可得 ∠CPN=∠CPH,由此得∠APC=∠APM+∠CPN, 出答案。 进而得∠MPN=2∠APC,据此可对结论②进行判断； 归纳总结 ③根据Rt△AMP和Rt△AHP全等，Rt△NCP和 本题考查了角平分线的判定和性质、全等三角 Rt△HCP全等，得SAAMP=SAAHP,S△CP=S△HCP, 形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的 由此得S△PAc=S△AMP十S△NCP,据此可对结论③进行 关键 易错易混辨析 )易错点1判定方法运用不当 辨析纳 用“边边角”证明三角形全等是一类常见的错误， 例1(2026·天津滨海新区泰达实验中学期未)如 利用两条边和一个角证明两个三角形全等时，必须强 图，在△ABC和△DCE中，点B、D、C在同一直线 调是“两边的夹角(SAS)”,才能证明三角形全等成 上，已知∠ACB=∠E,AC=CE,添加以下条件后， 立.不少同学在判断两个三角形是否全等时，常 因判定方法运用不当，导致求证错误.判定两个三 仍不能判定△ABC≌△CDE的是(). 角形为全等三角形的方法有角边角定理(ASA)、边 角边定理(SAS)、角角边定理(AAS)、边边边定理 (SSS)以及斜边、直角边定理(HL)等.同学们要牢 固掌握这五种方法，切忌凭空臆造判定方法。 A.∠A=∠DCE B.AB//DE C.BC=DE D.AB=CD 巩固特训 解析在△ABC和△DCE中，∠ACB=∠E, 1.(2025·河南洛阳期末)如图，已知∠C=∠D,AC= AC=CE, AD,增加下列条件： A.添加∠A=∠DCE,利用“ASA”能判定 ①AB=AE;②BC=ED;③∠1=∠2，④∠B=∠E.其 △ABC≌△CDE,所以该选项正确，不符合题意； 中能使△ABC≌△AED的条件有(). B.添加ABDE,则∠B=∠CDE,利用“AAS”能 判定△ABC≌△CDE,所以该选项正确，不符合题意； C.添加BC=DE,利用“SAS”能判定△ABC ≌△CDE,所以该选项正确，不符合题意； D D.添加AB=CD,不能判定△ABC≌△CDE, (第1题) 所以该选项不正确，符合题意。 A.4个 B.3个 答案D C.2个 D.1个 154 实验班提优训练数学八年级上HSD )易错点2考虑问题不全面 辨析伯纳 例2等腰三角形的周长为21cm,一中线将周 本题考查了等腰三角形的定义、中线的定义、 ·元一次方程的解法.学会进行分类讨论是解题的 长分成的两部分差为3cm,则这个三角形三边长 关键， 为 解析设这个等腰三角形的腰长为xc,则底边 巩固特训 长为(21-2x)cm,根据题意，得x一(21一2x)=3或 (21-2x)-x=3, 2.(2026·吉林长春南关区期末)若等腰三角形的一个外 解得x=8或x=6, 角是70°，则它的一个底角的大小为(). .21-2x=5或21-2x=9, A.15 B.70° .这个三角形三边长为8cm、8cm、5cm或 C.110° D.35 6cm、6cm、9cm. 3.若实数x、y满足|x一6|十(y-8)2=0,则以x、 答案8cm、8cm、5cm或6cm、6cm、9cm y的值为两边长的等腰三角形的周长为 素养考向提分 新情境 故路灯AB的高度是8.2m. 例①小明利用一根3m长的竿子来测量路灯 点拔本题主要考查了全等三角形的应用，根据 的高度.他的方法是这样的：在路灯前选一点P,使 题意得出△CPD≌△PAB是解题的关键. BP=3m,并测得∠APB=70°，然后把竖直的竿子 CD(CD=3m)放在BP的延长线上移动，使∠DPC= 举反白 20°，此时量得BD=11.2m根据这些数据，小明计算 1.(2026·河南安阳期末)如图是某个机械装置的连杆 出了路灯的高度.你知道小明计算的路灯的高度是多 装置及简易图，杆AB可以绕转轴点A在竖直平 少吗？为什么？ 面内自由转动，在点A正上方固定一小定滑轮C, A路灯 细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，将杆AB 从水平位置AD缓慢向上拉起.已知AB=AC,当 杆AB与水平面夹角0为30°时，测得BC=10dm, 则此时点B到水平线AD的距离为(). 0 7777 B 解析根据题意可得△CPD≌△PAB,进而利 用AB=DP=DB一PB即可求解， 答案路灯的高度是8.2m.理由如下： (第1题) :∠CPD=20°，∠APB=70°，∠CDP= A.4 dm B.5 dm ∠ABP=90°，∴.∠PCD=∠APB=70°. C.6dm D.10 dm I∠CDP=∠PBA, 新考法 在△CPD和△PAB中，DC=BP, ∠PCD=∠APB, 例2[问题初探] ∴.△CPD≌△PAB(ASA),.PD=AB. (1)如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= .DB=11.2m,PB=3m, AC,D是BC上一点，连结AD,以AD为一边作 ∴.AB=PD=DB-PB=11.2-3=8.2(m). △ADE,使∠DAE=90°，AD=AE,连结BE,猜想 16 第2章 BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由， 在△BAE和△CAD中， [类比再探] (AB=AC, (2)如图(2)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, ∠BAE=∠CAD, M是AB上一点，D是BC上一点，连结MD,以MD AE-AD, 为一边作△MDE,使∠DME=90°，MD=ME,连结BE, ∴.△BAE≌△CAD(SAS),.BE=CD. 则∠EBD= .(直接写出答案，不写过程) (2)90°提示：如图(1)，过点M作MN∥AC交 [方法迁移] BC于点N,则∠BMN=∠A=90° (3)如图(3)，△ABC是等边三角形，D是BC上 在Rt△ABC中，AB=AC, 一点，连结AD,以AD为一边作等边三角形ADE, ∴.∠ABC=∠C=45°. 连结BE,则BD、BE、BC之间有怎样的数量关系？ .MN/∥AC, ·(直接写出答案，不写过程) ∴.∠MNB=∠C=∠ABC= D (1) [拓展创新] 45°， (4)如图(4)，△ABC是等边三角形，M是AB上 ∴.BM=MN. 一点，D是BC上一点，连结MD,以MD为一边作等 同(1)可得△MEB≌△MDN(SAS), 边三角形MDE,连结BE.猜想∠EBD的度数，并说 ∴.∠MBE=∠MND=45°， 明理由. ∴.∠EBD=∠MBE+∠ABC=90°. (3)BC=BD+BE提示：.'△ABC和△ADE 是等边三角形， ∴.∠DAE=∠BAC=60°，AB=AC,AD=AE, ∴.∠BAE=∠CAD D (1) (2) 又AB=AC,AE=AD, ∴.△BAE≌△CAD(SAS), ∴BE=CD, .BC=BD十CD=BD+BE, (4)∠EBD=120°.理由如下： D B D (3) (4) 如图(2)，过点M作MG∥AC交BC于点G,则 解析(1)证明△BAE≌△CAD,得到BE=CD; ∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°， (2)过点M作MN∥AC交BC于点N,推出 .△BMG是等边三角形， ∠MNB=∠C=∠ABC=45°，BM=MN,证明△MEB .∴.BM=GM. ≌△MDN,得到∠MBE=∠MND=45°，根据∠EBD= ,∠DME=∠BMG=60°， ∠MBE+∠ABC即可得解； ∴.∠BME=∠GMD B D (3)证明△BAE≌△CAD,得到BE=CD,即可得 又ME=MD,∴.△BME≌ (2) 到BC=BD十BE; △GMD(SAS), (4)过点M作MG∥AC交BC于点G,得到△BMG ∴.∠MBE=∠MGB=60°， 是等边三角形，再证明△BME≌△GMD,得到∠MBE ∴.∠EBD=∠MBE+∠MBG=120°. ∠MGB=60°，根据∠EBD=∠MBE+∠MBG,即可 得解。 点 本题考查了全等三角形的判定和性质、等 答案(I)BE=CD.理由如下： 腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和 ,∠DAE=∠BAC=90°， 性质.本题的综合性较强，解题的关键是添加辅 ∴.∠BAE=∠CAD. 助线，构造手拉手全等模型证明三角形全等， 17 实验班提优训练数学八年级上HSD 举反白 (2)写出线段AP的长（用含t的代数式表示）； 2.(2025·河南洛阳期末)[问题发现]我们知道“线段垂 (3)连结PQ,当线段PQ经过点C时，请直接写出 直平分线上的点到线段两端的距离相等”，那么不 t的值 在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小 如何判断呢？ [自主研究] D (1)如图(1)，直线1是线段AB的垂直平分线， D (第3题) 备用图 点P在直线I的左侧，经测量，PA<PB,请证明这 个结论， [迁移研究] (2)如图(2)，直线1是线段AB的垂直平分线， 点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点D 是直线1上的任意一点，连结AD、BC、CD,试判 断BC和AD+CD之间的大小关系，并说明理由. 4.(2026·上海闵行区期末改编)如图，已知AD∥BC, BC>AD,∠A=90°，E是线段AB的中点，DE平 (1) (2) 分∠ADC, (第2题) (1)求证：CE平分∠BCD; (2)如果AD=1,BC=4,求DC的长； (3)将线段EC沿着经过点E的一条直线翻折，点 C恰好落在射线AD上的点P处，过点P作PQ∥ DE,交边CD于点Q,试猜想线段AD与CQ之间 的数量关系，并进行证明。 D (第4题) 备用图 3.(2025·河南鹅壁期末)如图，AE与BD相交于点C, AC=EC,BC=DC,AB=5cm,点P从点A出 发，在线段AB上沿A→B→A以3cm/s的速度 运动，点Q从点D出发，在线段DE上沿D→E 以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P 回到点A时，P、Q两点同时停止运动.设点P的运 动时间为ts. (1)求证：AB/DE; 18