第2章 实数的初步认识 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（苏科版·新教材）

第2章 实数的初步认识 知识梳理导图 整数、 正有理数 互逆减 加 算术平方根：非负 有限小数 0 有理数 运算 的平方根 或循环小数 负有理数 一个正数有两个 互逆 平方根 无限不 正无理数 无理数 按定义分 数 乘除 平方根 0的平方根是0 循环小数 负无理数 运算 运 负数没有平方根 正有理数 互逆 被开方数为非负数 正无理数 正实数 实数的 乘方 开方 运算 正数的立方根 0 性 初步认识 负有理数 是正数 负无理数 负实数 分 0的立方根是0 立方根 近似值与准确值：准确值是精确 负数的立方根 的数据，近似值是不精确的数据 是负数 ①用四舍五入法取一个数的近 近 被开方数是任意实数 似值时，四舍五入到哪一位，这 个近似值就精确到哪一位 值 每一个实数都可以用数轴上的一个点来 ②用四舍五入法按精确度的需 取 要取近似值时，一般只考虑精 近 数 表示；反过来，数轴上的每一个点都表示 轴 一个实数，实数与数轴上的点一一对应 确到的那一位后面的紧跟的一 僵 位是舍还是入 重难疑点解法 份上分点个平方根、立方根的概念与性质 x,y的值，再求出代数式y一2x的值. 个关键提醒 例①已知一个正数的两个平方根分别是x和 熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的 x一8，则这个正数等于 关键 名师启发根据一个正数有两个平方根且它们 互为相反数直接计算求出x的值，然后根据平方根的 例3已知2a-1的平方根是士3,2a-b的立 定义求出这个数 个关键提醒 方根是2，则a+2b的平方根为 熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键 名师启发根据已知，得出2a一1=9,2a-b= 注意一个正数的平方根有两个且互为相反数 8,求出a=5,b=2,再求出a+2b的值，最后求出a+ 2b的平方根即可. 例2若3.x十1的平方根为士2,4y-1的立方 个关键提醒 根为3，则y一2x的值为 本题考查了平方根、立方根的应用，掌握平方 名师启发先依据平方根和立方根的定义求得 根与立方根的定义是解题的关键. 10 第2章 分上分点2算术平方根的非负性 型归纳总结 本题考查相反数、倒数、立方根、无理数的估算， 例4(2026·徐州期末)已知2a-1的平方根 掌握相反数、倒数、立方根的意义，以及无理数的整 是士3，b+2的立方根是2，则b一a的算术平方根 数部分的表示方法是解决问题的关键， 是 名师启发根据2a-1的平方根是士3，b十2的立 例7(2025·福州高新实验中学模拟)已知2a一7 方根是2，得出2a一1=9，b十2=8，求出a=5,b=6,求 和a十4是某正数m的两个平方根，b一12的立方根 出b-a的值，从而得出b-a的算术平方根， 为一2，c是v√/15的整数部分. 个关键提醒 本题考查平方根、立方根与算术平方根.熟练掌 (1)求m的值： 握平方根、立方根、算术平方根的定义是解题的 (2)求a十3b十c的平方根. 名师启发(1)根据正数的两个平方根互为相反 关键. 数，得出2a一7+a+4=0,求出a=1,再求出m的值 例5 (2025·南京外国语学校期中)阅读材料：由 即可； (2)利用立方根的意义、无理数的估算方法，求出 6+2w5=5+1+2W5=(W5)2+2XW5X1+12=(W5+ b,c的值，将a,b,c的值代入代数式求出值后，进 1)2可知，6+2√5的算术平方根是5+1，类似地，7 步求得平方根即可. 4√3的算术平方根是 名师启发将7一4√3化为(2一√3)2即可. 关建提醒 本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义， 将7一43化为(2一√3)2是正确解答的关键 分上分点3实数 例6已知实数a,b互为倒数，c,d互为相反数， 一27+x=0,y是√15的整数部分，则求(ab十c十 d)x+√c+d-yz的值， 名师启发根据互为相反数、互为倒数、立方根的 意义以及无理数的估算方法求解即可， 归纳总结 本题考查了立方根的意义、无理数的估算方 法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题 意，掌握解答顺序，正确计算即可. 易错易混辨析 )易错点]审题不清致错 解析 因为一27=一3，所以一3的立方根 例127的立方根是 : 为一3. 11 实验班提优训练数学八年级上JSKJ 答案-3 是无理数；形如分数的戴不一定是有理数，如，它是 辨析归纳 一个无理数，不是分数，也不是有理数 本题考查立方根的意义和计算方法，理解立方 答案2 根的意义是解决问题的前提，注意看清题千中要求 辨析伯纳 的是一27（即一3）的立方根 本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是 掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②无 巩固特训 限不循环小数；③含有π的数 1.(一8)2的立方根是 2.(2026·南京鼓楼区期末)一8= 巩固特训 √(-3)= 22 )易错点2无理数概念不清 82035.扬州商年有中)在2，号，--27,3.14， 3.868668666…(相邻两个8之间6的个数逐次加 例2(2025·镇江外国语学校月考)下列各数中： 1)中，无理数的个数是(). 12,2号，5--1,0.101001001…（每两个1之间 A.2 B.3 C.4 D.5 1 的0的个数依次加1)，其中，无理数有 个 4以下各数：8,03-22，-1.2.其中是无理 解析无限不循环的数一定是无理数，如题中 数的有 个 0.1010010001(每两个1之间的0的个数依次加1) 素养考向提分 新情境 个探究：把两个面积为1dm2的小正方形拼成一 个面积为2dm的大正方形，所得到的面积为 例)(2025·珠海模拟)座钟的摆针摆动一个来 2dm的大正方形的边就是原先面积为1dm的 回所需的时间T(单位：s)称为一个周期，其计算公式 小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角 为T=2x√品.1表示摆长（单位：m.者-台座钟的 线的长为√2dm. 摆长为0.1m,当π取3时，该摆针摆动的周期 为(). 2A-10(0)1B2 A.0.05s B.0.06s (1) (2) C.0.5s D.0.6s 2 解析 根据题意可知，T=2π√10 =2×3× -6xW0 /1 W10 =0.6 答案D (3) 型归纳总结 (第1题) 本题考查了求一个数的算术平方根，正确的计 (1)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出 算是解题的关键， 无理数所对应的点，则图(2)中A,B两点表示的 数为 样反白 (2)某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁 1.(2025·无锡锡山区期中)如图(1)，某教材有这样一 剪，拼成如图(3)所示的一个正方形.请同学们仿 12 第2章 照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长3.赵老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的 度，并说明理由； 算术平方根为2m一6，它的平方根为士(m一2)， (3)若3是4a+5的一个平方根，3a+b-9的立方 求这个数. 根是2，c为图(3)中小正方形的边长x的整数部 小亮的解法如下： 分，请计算4a十b一c的平方根. 依题意可知，2m一6是m一2或者是一(m一2)两数 中的一个.① 当2m-6=m-2,解得m=4.② 所以这个数为2m一6=2×4一6=2.③ 、当2m-6=-(m-2)时，解得m=38④】 所以这个数为2m-6=2×-6=-号回 综上可得，这个数为2或子回 小亮的解法是否正确？如果不正确.你知道小亮 错在哪吗？为什么？并写出正确的答案。 2.甲、乙、丙三人组成学习小组在数学练习课上互相 讨论.甲写了一个数9，乙写了一个数16，他们要 求丙再写一个数，使这三个数中的一个数是另外 两个数乘积的平方根，那么，丙能写出符合条件的 数吗？若能写出，能写几个？若不能写出，请说明 理由 新考法 例2(2025·平凉一模)用“￥”表示一种新运算： 对于任意正实数a,b,都有a￥b=√b十a,例如4 16=√/16+4=8，那么5米64的值为(). A.√5+8 B.11 C.13 D.9 解析原式=√64+5=8+5=13. 答案C 归纳总结 本题考查实数的运算，结合已知条件列得正确 的算式是解题的关键 13 实验班提优训练数学八年级上JSKJ 举反白 解析 133 根据题意，得V7=√+1≈4十2X48 4.(2025·陕西西安期中)我们知道，负数没有算术平方 答案 33 根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的 8 算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合 数”.例如：-9，一4，一1这三个数√(-9)×(-4)= 本题考查了对无理数的估算，熟练掌握近 6W√(-9)×(-1)=3，√(-4)×(-1=2，其结果 6,3,2都是整数，所以一1，一4，一9这三个数称为 似公式√a十7≈a十是解题的关能， “完美组合数”. 举反€ (1)一18，一8，一2这三个数是“完美组合数”吗？ 5.我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率 请说明理由. 的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该 (2)若三个数一3，m,一12是“完美组合数”，其中 成果领先世界一千多年.以下对于圆周率的四个 有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值， 表述：①圆周率是一个无理数；②圆周率是一个有 理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它 等于该圆的面积与半径平方的比；④圆周率是 一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长 与直径的比.其中表述正确的序号是 6.直田七亩半，忘了长和短.记得立契时，长阔争一 半.今问俊明公，此法如何算.意思是有一块面积 为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少.只记 得在立契约的时候说过，宽是长的一半.现在请你 帮他算出它的长是 步.（一亩=240平 方步) 7.《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量 子计算机“祖冲之”号的相关研究成果.祖冲之是 我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆 周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的 两个分数形式：号（约车）和（窖）.同时期数 学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分 数来表示数值的算法，其理论依据是设实数x的不 传统文化 足近似值和过剩近似值分别为2和（即有白<工 b 例3公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利 用近似公式V@十r≈a十云得到无理数的近似值， ,无中a6d为玉参数)，则牛是x的更 其中r取正整数，且a取尽可能大的正整数.例如：把 为精确的近似值：例如：已知贸<<号，则利用一 22 √1I化成√32+2，再根据近似公式得出√Π≈3十 次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数 3X2一3，当利用此公式计算V7的近似值时，则 210 为+罗 a104长，2<<号，可以 √/17≈ 再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分 14 第2章 数…，现已知弓<2<弓，求使用两次“调日法”得 点拨 本题考查平方根、立方根，掌握平方根、立 到的√2的近似分数.（注w2=1.4142135…) 方根的定义是正确计算的前提，掌握正方体、圆 柱体积的计算方法是正确解答本题的关键. 反白 宇宙飞船离开轨道正常运行时，它的速度要大于 第一宇宙速度v1(单位：m/s)且小于第二宇宙速 度v2(单位：m/s),其中v1的大小满足v1=gR, 其中g是物理中的一个常数（重力加速度），g≈ 10m/s2,R是地球半径，R≈6400000m,则o1的 近似值为 9.某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t(h)可 以U用公式3-√念来估计，其中dm是雷雨 区域的直径. (1)如果某场雷雨区域的直径是10km,那么这场 雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了20min,那么这场雷雨区 域的直径大约是多少？（结果精确到0.1km.参考 数据：100≈4.64) 跨学科 例4在做物理实验时，小明用一根细线将一个 正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中， 并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64cm3,小明 又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了 16。 9元cm,请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是 多少？ 解析根据正方体、圆柱体积的计算方法进行计 算即可 答案根据题意可知，正方体的体积为64cm3,因 此铁块的棱长为64=4(cm) 设烧杯内部的底面半径为rcm, 由体积计算公式得×日4。 解得r=6或r=-6(舍去). 故烧杯内部的底面半径为6cm,铁块的棱长为 4 cm. 15∴∠ADB=∠CBD,∴.AD∥BC. (2)设运动时间为t,点G的运动速度为v. ①当0≤专时， (DE=BF, 若△DEG≌△BFG,则 DG=BG, 2=4-3, 、t=1, ∴.0=3； 6-BG=BG,BG=3, (DE=BG, 若△DEG≌△BGF,则 DG=BF, /=BG, /-1, (舍去) 6-BG=4-3t,BG=-1; ②当背<<时， DE=BF, 若△DEG≌△BFG,则{ DG=BG, =2, 62 3 =29 (DE=BG, 若△DEG≌△BGF,则 DG=BF, t=BG, ∴.v=1. 6-BG=3t-4, BG= 5 综上所述，当点G的速度为每秒3个单位或每秒 1.5个单位或每秒1个单位时，会出现△DEG与 △BFG全等的情况. 素养考向本题需根据全等条件建立关于时间七 和速度V的方程，通过代数运算求解速度的可能 值.全面考查学生的几何直观、逻辑推理、代数建 模及分类讨论能力，属于中考常见的“几何与运动 综合题”， 第2章实数的初步认识 例116[解析]由题可知，x十x一8=0，解得x= 4,则这个正数是42=16. 例25[解析].3x+1的平方根为士2,4y-1的 立方根为3，.3x+1=4,4y一1=27，解得x=1,y= 7,.y-2x=7-2=5. 例3士3[解析].2a-1的平方根是士3,2a-b 的立方根是2，∴.2a-1=9,2a-b=8, ，40 ,∴.a=5,b=2,..a+2b=5十4=9， ..a十2b的平方根是士3. 例41[解析]：2a-1的平方根是±3，b+2的 立方根是2， ∴.2a-1=9,b+2=8, .a=5,b=6, ∴.b-a=6-5=1, .b-a的算术平方根是1. 例52-√3[解析].7-43=4-2×2×√3+ 3=22-2X2X√5+(W3)2=(2-√3)2， .7一4W3的算术平方根为2一√3. 例6，实数a,b互为倒数，.ab=1. .c,d互为相反数，∴.c十d=0. -27+x=0,x=3.3<√15<4， √15的整数部分为3，即y=3, .(ab+c+d)x+√c+d-yx=3+0-33 180 =3-27-27 例7(1)，某正数m的两个不同的平方根是2a一 7和a+4,.2a-7+a+4=0, ∴.a=1,.2a-7=-5, ∴.m=(-5)2=25. (2).b一12的立方根为一2， .b-12=(-2)3=-8,.b=4. .'c是√/15的整数部分，且3<√15<4， ∴.c=3,.a+3b+c=1+12+3=16. .16的平方根为士4， .a+3b+c的平方根是士4. 巩固特训 1.4[解析].（一8）2=64,64的立方根是4， .(一8)2的立方根是4. 知识拓展本题主要考查了立方根的概念.如果 一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x 就叫作a的立方根，也叫作三次方根，读作“三次 根号a”.其中，a叫作被开方数，3叫作根指数. 2.-23[解析]一8=-2，W√(-3)2=√32=3. 3.B[解析号是分数，属于有理数：9-27=-3， 是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理 数；所以无理数有2π，一√⑧，3.868668666…（相邻 两个8之间6的个数逐次加1)共3个.故选B. 4.2 举反三 1.(1)一√2√2[解析]由题意，得小正方形的面积 为1，∴.小正方形的对角线为√2， ∴.OA=OB=√2， ∴点A表示的数为一√2，点B表示的数为√2 (2)由题意，得大正方形的面积为(1+2)2=9，两 个小长方形的面积为2×1×2=4， ∴.小正方形的面积为9一4=5. 由算术平方根，可得小长方形对角线的长度为5。 (3)由题意，得 14a+5=32, a=1, 解得 3a+b-9=23, b=14. 由(2)，得题图(3)中小正方形的边长为√5. .2<5<3, .x的整数部分为2，即c=2, .∴.4a+b-c=4×1+14-2=4+14-2=16. ∴.±√4a+b-c=±4， ∴.4a十b-c的平方根是士4. 2.设丙写出的符合条件的数为x. ①x2=9X16,.x=±12； ②16x=92,x=16 81 ③9.x=162,x= 256 91 综上所述，丙能写出的符合条件的数有4个，分别 为士1,020 3.不正确.小亮错在把“某个数的算术平方根”当成 “这个数本身” .2m一6是某数的算术平方根， .∴.2m-6≥0，解得m≥3， m-号不符合题意，合去 综上所述，这个数为22=4. 4.(1)一18，一8，一2这三个数是“完美组合数”.理由 如下： ,√/(-18)×(-8)=12，√(-18)×(-2)=6， √(-8)×(-2)=4， .一18，一8，一2这三个数是“完美组合数” (2).√(-3)×(-12)=6， .分两种情况讨论： ①当√-3m=12时，-3m=144, .m=-48; ②当w√-12m=12时，-12m=144, ..m=一12（不合题意，舍去）. 综上所述，m的值是-48. 5.①③[解析]因为圆周率是一个无理数，是一个 与圆的大小无关的常数，它等于该圆的面积与半 径平方的比，所以表述正确的序号是①③ 6.60[解析]设此长方形田的宽为x步， 依据题意，可列方程为x·2x=240×7.5,解得 x=30(负值舍去).故长为60步 ?.第一次使用“调日法”得到的近似分数为十。门 99…<2<9 第二次使用调日法得到的近似分数为中9吕 7 :使用两次“调日法”得到的2的近似分数是12 8.8000m/s[解析].'v=gR,g≈10m/s2,R≈ 6400000m, ∴.v1≈√10X6400000=8000(m/s). 故v1的近似值为8000m/s. 9.①3=√8-，=h. 103 3 故这场雷雨大约能持续 (2):20min=3h,√100=1. ∴.d=9100≈4.64≈4.6(km). 故这场雷雨区域的直径大约是4.6km. 第3章勾股定理 例1)由勾股定理，得AB2=AC2+BC2, 即52=AC2+32,∴.AC=4cm(负值已舍去). 由Sx=号AC,BC=2AB·CD, 41