第3章 位置与坐标 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（北师大版·新教材）

旧纳总结本题考查的是二次根式的计算，熟练利 用二次根式的性质，找到数的规律是解题的关键. ®，第一次使用“调日法”得到的近似分数为十 992写<顶<9 第二次使用“调日法”得到的近似分数为5十7 7+10 2一使用两次“调日法”得到的2的近似分数 1 是品 4.此人能逃离危险.理由如下： 1 当h=490时，490=2×9.8t, 解得t=10(负值舍去)， 此时人跑的路程为6×10=60(m)>50m, 路程=速度×时间 所以此人能逃离危险。 a+2≥0，. 5.(1)由题意，得 .-2≤a<3. 3-a>0, 2由题意，得位-20a=2, 2-a≥0， ∴.b=√/2-2+√2-2+1=0+0+1=1， ∴.a+b=2+1=3. 3)原式=(1+})+(1+号-号)+…十 （1+225-22s)-1×2a5+1 1 1 2026 202583 6.(1).36<37</49, ∴.设√37=6+k(0<k<1), ∴.（√37）2=(6十)2， ∴.37=36+12k+k2, 1 37≈36十12k,解得k≈12： :V37≈6+2≈6+0.08=6.08 (2)a+2a [解析].设√m=a十k(0<k<1), ∴.m=a2+2ak十k2≈a2+2ak. ，46 .m=a2+b, .a2+2ak=a2+b, 解得6=会， m≈a十2 第三章 位置与坐标 例1③ 例2B[解析]，'-2<0，a2+1>0, 点P所在的象限是第二象限.故选B. 例3(1).点P(a-2,2a+8)在x轴上， ∴.2a十8=0，解得a=-4, ∴.a-2=-4-2=-6, 则点P的坐标为（一6,0）. (2).点Q的坐标为(1,5)，直线PQ∥y轴， ∴.a-2=1,解得a=3, ∴.2a+8=14, 则点P的坐标为(1,14) (3),点P到x轴、y轴的距离相等， ∴.a-2=2a+8或a-2+2a+8=0, 解得a=-10或a=-2. 当a=-10时，a-2=-12,2a十8=-12， 则点P的坐标为(-12，一12)； 当a=-2时，a-2=-4,2a十8=4， 则点P的坐标为（一4,4）. 综上所述，P(-12,-12)或(-4,4). 例4(1)：a,b满足√a-4+lb-61=0, .a-4=0,b-6=0, 解得a=4,b=6,∴.点B的坐标是(4,6). (2),点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度 沿着OA→B→C→O的路线移动， ∴.点P移动4秒时，行走的路程为2×4=8. .OA=4,OC=6,∴.当点P移动4秒时，在线段AB 上，AP=8一4=4，即当点P移动4秒时，点P的坐 标是(4,4). (3)由题意，可知在移动过程中，当点P到x轴的距 离为5个单位长度时，存在两种情况： 条件中仅指明与x轴的距离，< 未指明在娜条线段上，需分类讨论 ①当点P在OC上时，点P移动的时间是[2×(4+ 6)-5]÷2=7.5(秒)； ②当点P在AB上时，点P移动的时间是(5+4)÷ 2=4.5(秒). 综上，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒. 例5(1).A(6,0),B(0,8), .OA=6,OB=8, ∴.AB=√OB2+OA2=√/82+6=10， .AB′=AB=10, ..OB'=10-6=4, ∴.点B的坐标为（一4,0） (2)设OM=m,则B'M=BM=8-m. 在Rt△OMB'中，m2+42=(8-m)2, 解得m=3, ∴.OM=3,BM=OB-OM=5, S=号BM·A0=号X5X6=15. 巩固特训 1.D[解析]由题意，得m-1=0,n十2=0， ∴.m=1,n=-2, .点P(m,n)的坐标为P(1,一2)， 点P在第四象限 故选D. 关键提醒本题考查了点的坐标，熟练掌握平面 直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的 关键， 2.A[解析]，点A(n一1，m+3)到x轴的距离 为2，到y轴的距离为4， ∴.n-1=4,lm+3=2. 点A在第一象限内， ∴.n-1=4,m十3=2， .n=5,m=-1. 故选A. 关键提醒本题考查了点的坐标，掌握各象限内 点的坐标的符号以及，点到坐标轴的距离是解题的 关键. 3.(1)因为点P到x轴的距离为8， →即点P纵坐标的绝对值为8 所以2a+6|=8,解得a=1或-7. 又点P在第一象限，所以a=1. (2)因为点P到两坐标轴的距离相等， >即点P横、纵坐标的绝对值相等 所以|a+1|=|2a+6l. 当a+1=2a+6时，解得a=-5; 当a+1=-(2a十6)时，解得a=一？ 3 故a的值为-5或一寻 素养考向本题考查了坐标与图形性质，熟知到 坐标轴距离相等的点的坐标特征是解题的关键。 同时考查了学生的运算能力和推理能力， 4.B[解析]如图，，点A与点C关于直线y=2对 称，点A的坐标是(5,5)，∴.点C的横坐标为5，纵 坐标为2×2-5=一1， ∴.点C的坐标为(5，-1).故选B. 41 =2 1 -10 123456元 -1 (第4题) 旧纳总结本题考查了坐标与图形变化—对称， 主要利用了轴对称的性质，作出图形更形象直观 5.(5,-1)(2,0)(-1,-3)[解析]已知先 以x轴为对称轴，再以y轴为对称轴（或反之，结 果一致)，对各点坐标进行变换： 点A(一5,1)，先关于x轴对称得（一5，一1），再关 于y轴对称得D(5,-1); 点B(-2,0),关于x轴对称得(-2,0)，再关于 y轴对称得E(2,0)； 点C(1,3),先关于x轴对称得(1，一3)，再关于 y轴对称得F(-1,一3). 综上所述，D(5,-1),E(2,0),F(一1，-3). 举反9 1.(1)如图，△ABC,△DEF即为所求. 474 (2)AD=√42+42=4V2】 2 5-4-3-2-1 123458 24 k-5 (第1题) 2.(1)3[解析]，点A(-1,0),B(1,3), ∴x1-x2=|-1-1=2,|y1-y2=|0-3|=3, ∴.|x1-x2<ly1-y2, 根据“识别距离”的定义，可知点A与点B的“识 别距离”为3. (2)①.B为y轴上的动点， .可设点B的坐标为(0，b). .点A(2,0)与点B的“识别距离”为4，|2-0=2， .10-b|=4,∴.b=士4， ∴.点B的坐标为(0,4)或(0，一4). ②2[解析]，|2一0|=2，根据“识别距离”的定 义可知， 当|0一b|>2时，点A与点B的“识别距离”大 于2， 当|0一b|≤2时，点A与点B的“识别距离”等 于2， ∴点A与点B的“识别距离”的最小值为2. (3)点C与D的“识别距离”的最小值为3，相应 的点C的坐标为（兮，一）理由如下： 由“识别距离”的定义可知，点C与点D“识别距 离”最小，则|x1一x2=y1一y2 .C(m,2m-1),D(0,0), ∴.m|=|2m-1, 1 解得m=1或m=3, 当m=1时，“识别距离”为|1一0=1， 当m=专时，“识别距离”为行一0-言 ，48 ∴点C与点D的识别距离”的最小值为了， 相应的点C的坐标为（兮，）】 关健提醒本题考查了坐标与图形性质，正确理 解新定义“识别距离”是解题的关键。 第四章一次函数 例1D例2C 例3B[解析]A.由直线y=bx可知b<0,由直 线y=kx十b可知b>0,矛盾，不合题意； B.由直线y=bx可知b<0,由直线y=kx十b可知 b<0,一致，符合题意； C.由直线y=bx可知b>0,由直线y=kx十b可知 b<0,矛盾，不合题意； D.两条直线中没有y=bx的图象，不合题意. 故选B. 例4(1)3[解析]当x=-1时，y=|x-2=3, ∴.m=3. (2)画出该函数图象的另一部分如图. 4-3-2-10 2 (3)(2,0)增大[解析]观察函数图象发现，该函 数图象的最低点坐标是(2,0)，当x<2时，y随x的 增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而增大. (4)k<一1或k≥1[解析]观察图象， 若关于x的方程|x一2|=kx(k≠0)只有一个解，则 k的取值范围是<一1或≥1. 例5(1)：点B在x轴上，OB=4, .B(4,0). 设直线AB的函数表达式为y=kx十b, 把C(0,3)代入，得b=3. 把B(4,0)代入y=kx+3, 3 得4h十3=0，解得=- 4第三章 位置与坐标 知识梳理导图 在平面内，两条互相垂直且有公共概 行列定位法 原点的数轴组成平面直角坐标系。 确定 方位角和距离定位法 对于平面内任意一点P,过点P分别向 位置 经纬定位法 x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对 平 的方 法 区域定位法 应的数a,b分别叫作点P的横坐标、纵 坐 面 坐标，有序实数对(@，b)叫作点P的坐标。标 直 方格定位法 位置与 在平面直角坐标系中，两条坐标轴将 角 坐 坐标 坐标平面分成了四部分；坐标轴上的 关于x轴对称的 横坐标相同 点不在任何一个象限内 限 标 两个点的坐标。纵坐标互为相反数 轴对 第一象限：（十，十） 各象限内 称与 关于V轴对称的横坐标互为相反数， 点的坐标 第二象限：（一，十） 的符号 坐标 两个点的坐标。纵坐标相同 第三象限：（一，一） 变化 关于原点对称的横坐标互为相反数， 两个点的坐标纵坐标互为相反数 第四象限：（十，一） 重难疑点解法 上分点1位置的确定 名师启发根据各象限内点的坐标特征判断 例有人在市中心打听某中学的位置，问了三 即可. 个关键提醒 个人，得到三种不同的回答： 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记 ①在市中心的西北方向；②距市中心1km;③在 住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象 市中心的西北方向，距市中心1km处. 限的符号特点分别是：第一象限（十，十）；第二象 在上述回答中，能确定这所中学位置的是 限（一，十）；第三象限（一，一）；第四象限（十，一） (填序号). 名师启发明确平面内，确定位置需要两个条 )上分点2利用平面直角坐标系解决问题 件，即方向和距离即可 矿方法技巧 例3(2026·陕西师大陆港初级中学月考)已知点 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个 P(a一2,2a十8)，分别根据下列条件求出点P的 数据，通常有以下五种方法：行列定位法、区域定位 坐标 法、方格定位法、方位角和距离定位法、经纬度定 (1)点P在x轴上； 位法 (2)点Q的坐标为(1,5)，直线PQ∥y轴； (3)点P到x轴、y轴的距离相等. 例2(2025·成都中考)在平面直角坐标系 名师启发(1)利用x轴上点的坐标性质：纵 xOy中，点P(-2,a2+1)所在的象限是( 坐标为0，求出a的值，即可得出答案； A.第一象限 B.第二象限 (2)利用平行于y轴的直线的性质：横坐标相等， C.第三象限 D.第四象限 求出a的值，进而得出答案； 12 第三章 (3)利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵 (3)由题意，可以得到符合要求的有两种情况，分 坐标相等或互为相反数进而得出答案. 别求出两种情况下点P移动的时间即可. 关键提醒 本题考查了长方形的性质、坐标与图形的性 质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的 条件，利用数形结合的思想解答问题 上分点3轴对称与坐标变化 例5如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于 点A(6,0),B(0,8),M是 OB上一点，若将△ABM沿 AM折叠，则点B恰好落在 x轴上的点B'处.求： 型归纳龙结 (1)点B的坐标： 本题主要考查了点的坐标性质，用到的知识，点 (2)△ABM的面积， 为：，点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标 名师启发(1)求出OA,OB的长，利用勾股 相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质. 定理求出AB的长即可得解； (2)设OM=m,则B'M=BM=8-m,利用勾股 例4如图，在长方形OABC中，O为平面直角 定理构建方程求解即可. 坐标系的原点，点A的坐标为(a,0),点C的坐标 为(0，b),且a,b满足v√a-4+|b-6|=0,点B在第 一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的 速度沿着O→A→B→C→O的路线移动， (1)求点B的坐标； (2)当点P移动4秒时， 请求出点P的坐标； 个关键提醒 (3)当点P移动到距离 本题考查了坐标与图形变化—轴对称、三角 x轴5个单位长度时，求点P 形的面积等知识.在确定，点的坐标时要充分利用图 移动的时间， 形的变换方式，找到AB与AB'的数量关系是关 名师启发(1)利用非负数的性质求得a,b的 键；求出BM的长即可求出△ABM的面积，利用 值即可； 勾股定理构建方程求解BM的长，此题属于中考 (2)由题意，可以得到当点P移动4秒时，点P 常考题型 的位置和点P的坐标； 13 实验班提优训练数学八年级上BSD 易错易混辨析 )易错点1 错误理解点的坐标与点到坐标 (I)若点P在第一象限，且点P到x轴的距离 轴的距离关系 为8，求a的值； 例1已知点A(1+2a,4a-5),且点A到两坐 (2)若点P到两坐标轴的距离相等，求a的值. 标轴的距离相等，求点A的坐标. 解析由点A到两坐标轴的距离相等，可知点 A的横、纵坐标的绝对值相等，即点A的横、纵坐标 相等或互为相反数， 答案.点A(1十2a,4a一5)到两坐标轴的距 离相等，∴.|1+2a=|4a-5l, )易错点2 混淆关于坐标轴对称的点的坐 ∴.1+2a=4a-5或1+2a=-(4a-5), 标特征 解得a=3或a= 2 例2已知点P1(a-1,5)和点P2(2,b-1)关 于x轴对称，则一(a十b)226的值为 当a=3时，点A的坐标为(7,7)， 解析点P1(a-1,5)和点P2(2,b-1)关于 当a=号时，点A的坐标为（行，-）， x轴对称，.a-1=2,b-1=一5， ∴.a=3,b=-4,.-(a十b)226=-(3 点A的坐标为，7)或（得，-）： 4)2026=-(-1)2026=-1. 辨析归纳 答案 -1 点到x轴的距离是指该点纵坐标的绝对值， 辨析归纳---- 点到y轴的距离是指该点横坐标的绝对值.此题易 关于x轴对称的，点的坐标特征：横坐标相同， 出现的错误有两处：(1)混淆横、纵坐标与，点到坐标 纵坐标互为相反数；关于y轴对称的，点的坐标特 轴的距离；(2)考虑问题不全面，易漏掉某种或几种 征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，口诀为“横轴 情况. 横不变，纵轴纵不变” 饥固特训 机固特抑 1.(2025·山东德州期末)在平面直角坐标系中，点 4.在平面直角坐标系中，点A与点C关于直线y= M(m+1,m-1)在x轴上，点N(n+2,n-2)在 2对称，已知点A的坐标是(5,5)，则点C的坐标 y轴上，则点P(m,n)位于(). 是(). A.第一象限 B.第二象限 A.(5,-5) B.(5,-1) C.第三象限 D.第四象限 C.(-2,5) D.(-5,1) 2.(2025·四川眉山东坡区期中)在平面直角坐标系中， 5.(2025·兰州十一中月考)如图，△ABC经过两次轴对 有一点A(n一1，m十3)在第一象限，且点A到 称(x轴和y轴为对称轴)变化后，得到△DEF,如 x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则n,m的值 果A,B,C各点的坐 分别为( 标分别为A(-5,1), A.5,-1 B.3,1 B(-2,0),C(1,3),那 C.2,4 D.4,2 么D,E,F各点的坐 3.在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标为 标分别为D (第5题) (a十1,2a+6),解答以下问题： E ,F 14 第三章 素养考向提分 新情境 点 本题主要考查了由坐标确定位置，解决此 例①为更好地开展古树名木的系统保护工作， 类题的关键是由A,B的坐标确定平面直角坐 某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位 标系的原，点位置及两坐标轴的方向，进而确定 置，并且定期巡视。 其他，点的坐标；读懂题目信息，理解题目中所要 (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐 表达的实际含义，根据所给路径准确行走 标系xOy,使得古树A,B的位置分别表示为A(1, 2),B(0,-1); 样反日 (2)在(1)建立的平面直角坐标系xOy中， 1. (2025·宁夏固原弘文中学期中)如图(1)，是一个10× ①表示古树C的位置的坐标为 10的正方形网格电子屏示意图，其中每个小正方 ②标出另外三棵古树D(-1,-2),E(1,0), 形的边长均为1，位于平面直角坐标系中的光点 F(1,1)的位置； A,B,C按图(2)所示的程序移动. ③如果“(-2，-2)→(-2，-1)→(-2,0)→ (1)请在图(1)中画出△ABC及经过变换后的 (-2,1)→(-2,2)→(-1,2)→(0,2)→(1,2)→(1， △DEF; 1)→(1,0)→(1，-1)→(0，-1)→(0，-2)→(-1， (2)求AD之间的距离， 一2)”表示园林工人巡视古树的一种路线，请你用这 种形式画出园林工人从原点O出发巡视6棵古树的 路线（画出一条即可）. 43-2-10 (1) 输入点A22) 输入点B(0.3) 输入C(1.5) 解答(1)建立平面直角坐标系如图所示， 自动生成 将点4，B,的横、 纵坐标都×(-1) 自动生成 △L北F并渝品 得到，点DE,F △ABC (2) (第1题) (2)①(-1,2) ②标出D(一1，一2)，E(1,0),F(1,1)的位置 如图所示. ③园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线： (0,0)→(1,0)→(1,1)→(1,2)-→(-1,2)→(-1，-2) →(0，一1).（答案不唯一) 15 实验班提优训练数学八年级上BSD 新考法 与P2(x2,y2)的“识别距离”，给出如下定义： 例2如图，在平面直角坐标系中，函数y= 若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P(x1,y1)与 点P2(x2,y2)的“识别距离”为|x1一x2: x的图象l是第一、三象限的角平分线， 若|x1一x2<|y1一y2,则点P(x1,y1)与点 (1)实验与探究： P2(x2,y2)的“识别距离”为|y1一y2. 由图观察易知A(0,2)关于直线1的对称点A'的 例如：对于点P1(2,一1)与点P2(4,3),因为|2 坐标为(2,0)，请在图中分别标明B(5,3),C(一2,5) 4|<|一1-3|，所以点P1与点P 关于直线1的对称点B',C的位置，并写出它们的坐 为4. 标：B ,C" [初步理解] (2)归纳与发现： (1)已知点A(一1,0)，B(1,3),则 结合图形观察以上三组点的坐标，请你写出坐标 与点B的“识别距离”为 平面内任意一点P(m,n)关于第一、三象限的角平分 [深入应用] 线1的对称点P的坐标. (2)已知A(2,0),B为y轴上的一个动点， Γ6 ①若点A与点B的“识别距离”为4，求出满足条 件的点B的坐标； 4 13A ②点A与点B的“识别距离”的最小值为 [知识迁移] -6-543210123.456￥ (3)已知点C(m,2m一1)，D(0,0),直接写出点C 与点D“识别距离”的最小值及对应的点C的 2 坐标 6 解答(1)点B',C'的位置如图所示. (3,5) (5,-2) 6 3 -6-5-4-3-2-0123456 -2 3) -6 (2)结合图形观察以上三组点的坐标可知坐标平 面内任意一点P(m,n)关于第一、三象限的角平分线 l的对称点P'的坐标为(n,m), 桦反9 2.(2026·广东深圳南山期中)[自主学习] 在平面直角坐标系中，对于任意两点P1(x1,y1) 16