第14章 全等三角形 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（人教版·新教材）

第十四章 全等三角形 知识梳理导图 边边边(SSS) 能够完全重合的两个图形9 全等形 边角边（SAS) 般三角形 注意：SSA,AAA 判 角边角（ASA) 不能证明两个 能够完全重合的两个三角形 关 全等三角形 定 角角边（AAS) 三角形全等 表示符号“≌” 念 法 SSS,SAS,ASA,AAS 对应边相等 直角三角形 性 对应角相等 全等 HL(只适用于直角三角形) 质 三角形 已知三边，作一个三角形 角的平分线上的点 性质到角两边的距离相等 作一个角等于已知角 尺规 角的平 角的内部到角两边距离 作已知角的平分线 作图 分线 判定相等的点在角的平分线上 重难疑点解法 上分点利用全等三角形证明线段相等 妙归纳总结 三角形全等的判定方法：已知一边一角，可找 例①(2025·西安西咸新区一模)如图，在△ABC 角的另一条邻边，也可以找另一组对应角；已知两 中，点D在边AB上，EF分别交BC,AC于点G,O, 角，则再找一组对应边；已知两边，可找第三条边， DFBC,AC=DF,∠C=∠OGC,∠B=∠E,求证： 也可找这两边的夹角 BC=EF. 分上分点2利用全等三角形证明角相等 例2如图，CA=CD,∠1=∠2，BC=EC,求 证：∠A=∠D. 名师启发由题目中的两角及一边相等的条 件联想到AAS或ASA,据此判定即可. B 名师启发由角的和差求出∠ACB=∠DCE,由 边角边证明△ABC≌△DEC,由其性质得∠A=∠D. 7 实验班提优训练数学八年级上MJY 妙归纳总结 上分点4利用全等三角形判断线段关系 解答本题需要掌握角的和差、全等三角形的判 例4(2026·黑龙江大兴安岭期末)如图，在△ABC 定与性质等相关知识，解题关键是掌握全等三角形 的判定与性质。 中，点D在直线AB上，点F在BC的延长线上， ∠ABE=∠CBD,AE=CD,∠EAB+∠DCF=180°. 上分点3利用全等三角形解决实际问题 (1)如图(1)，求证：BE=AD+BC. 例3如图，小北在公园玩双层型滑梯，每层楼 (2)图(2)和图(3)中线段AD,BC,BE之间有怎 梯的高度相同(BD=DE),都为2米，他想知道左右 样的数量关系？请直接写出，不需证明， 两个滑梯AE和GH的长度是否相等，于是制定了如 下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为5米的卷尺 (1 ①测量出线段AB的长度； 测量步骤 ②测量出线段IH的长度 测量数据 IH=4米，AB=2米 (1)根据小明的测量方案，判断两个滑梯AE和 GH的长度是否相等，并说明理由； (2)猜想左右两个滑 (3) 梯AE和GH所在直线 名师启发(1)先证∠EAB=∠BCD,再证明 的位置关系，并加以 △EAB≌△DCB,即可得出结论； 证明. 4 B (2)先证∠EAB=∠BCD,再证明△EAB≌ 名师启发(I)由已知条件得出AB=DB= △DCB,即可得出结论 DE=GI,HI=BE,从而得证△ABE≌△GIH,根据 全等三角形的对应边相等得证； (2)由△ABE≌△GIH,根据全等三角形的对应 角相等得∠AEB=∠GHI,延长HG交AE于点C, 再根据直角三角形两锐角互余，从而得证. ☆方法技巧 型归纳总结 本题考查了全等三角形的判定与性质的应用， 本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌 把实际问题转化为数学问题是解题的关键， 握以上知识点是解题的关键， 8 第十四章 分上分点5角平分线 妙归纳总烤 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两 例5(2025·福建厦门期末)如图，在△ABC中， 边的距离相等， AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB于点E,点F在 注意：①这里的距离是指，点到角两边的垂线段的 AC上，BD=DF. 长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依 (1)求证：CF=EB; 据，不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图 (2)若AB=12,AF=8,求CF 中有角平分线： 的长 名师启发(1)根据角平分线 2上分点6尺规作图 的性质可得DE=CD,再根据HL证明Rt△CDF 例6如图，已知△ABC,利用尺规作∠ACB的 ≌Rt△EDB,从而得出CF=EB; 平分线CD,过点A作AECD (2)设CF=BE=x,则AC=8+x,AE=12 A x,再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED,进而可得 出结论 名师启发根据角平分线的作法以及作一个 角等于已知角的方法作图即可. 妙归纳总线 本题考查尺规作图，关键是掌握角平分线和角 的作法，是中考常考题型。 易错易混辨析 )易错点1考虑问题不全面导致漏解或错解 解答如图， 例①(2026·黑龙江牡丹江期中改编)如图，在正方 形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC是网 格中的三角形，且三个顶点都在格点上.若以点A, C,P为顶点的三角形与△ABC全等（点P与，点B不 431012345x 重合)，请在图中标出点P所有可能的位置并写出它 们的坐标. 4 点P1(-3,4),P2(-3,-2),P3(-1,-2)即 为所求。 辨析归纳 545 012345 这种网格或平面直角坐标系内的全等三角形 的个数的确定，需要我们从多角度来考虑问题， 仰固特 1.在△ABC中，已知AB=BC≠AC,作与△ABC只 9 实验班提优训练数学八年级上MJY 有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的 C.BE=CF D.AC//DF 三角形一共能作出(). 解析A.添加∠A=∠D可用ASA判定两个 A.4个B.5个C.6个D.7个 三角形全等； 2.下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应 B.已知两边和一边的对角对应相等，不能判定 相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边： 两个三角形全等； 上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条 C.添加BE=CF,则BC=EF,根据SAS即可 边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全 判定两个三角形全等； 等.其中正确的是(). D.添加AC∥DF可证∠ACB=∠F,由两角及 A.①② B.②③ 一角的对边对应相等，即AAS,可以判定两个三角形 C.①③ D.①②③ 全等 3.(2025·河北石家庄四十一中月考)如图，方格中 答案B △ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格，点） 辨析归纳 上，这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与 全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS, △ABC全等的格点三角形（不含△ABC) SSS,判定两直角三角形全等的方法还有HL,但我 共(). 们不能用AAA以及SSA来判定两个三角形全等， 见固特训 4.下列条件中，不能确定△ABC的形状和大小的 是(). (第3题) A.AB=5,BC=6,AC=7 A.28个B.29个C.30个D.31个 B.AB=5,BC=6,∠B=45 )易错点2 错用两边及一对角对应相等证明 C.AB=5,AC=4,∠B=45 三角形全等 D.AB=5,AC=4,∠C=90 例2(2026·河北邯郸第十一中学期中)如图，在 5.(2026·湖南株洲醴陵期末)如图，已知AB=AD,要 △ABC和△DEF中，已知AB=DE,∠B=∠DEF, 使△ABC≌△ADC,不能添加的条件是(). 添加下列条件，不能判定△ABC≌△DEF的 是() (第5题) A.CA平分∠DCBB.AC平分∠DAB A.∠A=∠D B.AC=DF C.∠B=∠D=90°D.BC=CD 素养考向提分 新情境 地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处 例①(2026·广西软州浦北期末)小丽与爸妈在公 接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分 园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处， 别为1.4m和1.9m,∠BOC=90°，爸爸在C处接住 OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距 小丽时，小丽距离地面的高度是(). 10 第十四章 A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边分别相 等的两个三角形全等 77777777777 777777777777 2.(2026·青海果洛州甘德期中)如图，小刚在河边的点 A.1m B.1.5m A处，在河对面（小刚的正北方向）的B处有一电 C.1.6m D.1.9m 线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西 解析，∠BOC=90°， 方向走了40米到达一棵树C处，接着再向前走了 ∴.∠BOD+∠COE=90° 40米到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到 ,BD⊥OA,∴.∠BOD+∠OBD=90°， 电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上时， ∴.∠OBD=∠COE 他一共走了140米.估计小刚在点A处时，他与电 又∠ODB=∠CEO=90°，OB=OC, 线塔的距离为 ∴.△OBD≌△COE(AAS), ∴.OE=BD,OD=CE :妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别 为1.4m和1.9m, ∴.OE=1.4m,OD=1.9m, (第2题) ∴.DE=0D-OE=1.9-1.4=0.5(m). 新考法 ,点B到地面的距离为1m,∴.FD=1m, ∴.FE=FD+DE=1+0.5=1.5(m), 例2(2026·四川德阳旌阳区期末)如图，在四边 即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度 形ABCD中，AB=14厘米，BC=16厘米，CD= 是1.5m. 18厘米，∠B=∠C,E为线段AB的中点.如果点P 答案B 在线段BC上以2厘米/秒的速度由点B向点C运 动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动.当 ©点拨 本题属于中考常考的一线三垂直模型，熟 点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使 记同角的余角相等是解题的关键， △BPE与以C,P,Q三点构成的三角形全等？ 举反目 1.(2026·河南师大附中期中)如图(1)是某博物馆中的 铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图(2)所示， 为了测量其底部内径CD,考古学家将两根细木条 解析 ,E为线段AB的中点， 的中点固定在一起，量出A,B两点之间的距离， 即可得到CD的长度，其依据是( :BE-2AB-2×14=7(厘米). 当BP=CP,BE=CQ时， △BPE≌△CPQ(SAS), BP-2BC=2×16-8(厘米). 点P,Q运动的时间是8：2=4（秒）， (1) (2 ∴.点Q运动的速度是7÷4=1.75（厘米/秒）； (第1题) 当BP=CQ,BE=CP时， 11 实验班提优训练数学八年级上MJY △BPE≌△CQP(SAS). 4.(2025·吉林四平铁东区期末)如图所示，在长方形 ,点P,Q运动的路程和时间相同， ABCD中，AB=4cm,AD=8cm.点P从点A出 点Q和点P的运动速度相同，是2厘米/秒 发，沿边AD由A→D→A做往返运动，每秒移动 综上，当点Q的运动速度为2厘米/秒或1.75厘 2cm,动直线a与边CD重合，交AD于点M,交 米/秒时，能够使△BPE与以C,P,Q三点构成的三 BC于点N.直线a与点P同时出发，沿DA方向 角形全等. 移动，每秒移动1cm,移动t秒(t>0),当直线 答案2或1.75 a与边AB重合时，移动全部停止. (1)用含t的代数式表示AP的长度； 63点拨 解决动点中的全等问题，需要从运动的角 (2)当t为何值时，点P在直线a上； 度来考虑问题，在动中求静，在静中来解决问题 (3)连接PB,PN,直接写出当t为何值时， 同时注意考虑，点运动的位置，由于它运动的时间不 △PAB与△PMN全等. 同，构造的全等三角形的对应关系也不相同， 0 A(P) D(M) 样反9 3.(2026·福建龙岩连城期中)如图(1)，在长方形ABCD C(N) 中，AB=CD=6cm,BC=l0cm,点P从点B出 发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P 的运动时间为ts. (1)PC= cm.(用含t的代数式表示) (2)如图(2)，当点P从点B开始运动，同时，点Q 从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运 动，是否存在实数v,使得△ABP与△PQC全等？ 若存在，请求出？的值；若不存在，请说明理由 (1) (2) (第3题) 12第十四章全等三角形 例D.DFBC,∴.∠F=∠OGC. 又∠C=∠OGC,∴.∠F=∠C. ∠B=∠E, 在△ABC与△DEF中，∠C=∠F, AC-DF, .△ABC≌△DEF(AAS), ∴.BC=EF. 例2'∠1=∠2， ∴.∠1+∠ECA=∠2+∠ECA, 即∠ACB=∠DCE. 在△ABC和△DEC中， (BC=EC, ∠ACB=∠DCE, CA=CD, .△ABC≌△DEC(SAS), ∠A=∠D 例3(1)AE=GH.理由如下： 由题意可知，∠ABE=∠GIH=90°，AB=GI DB=2米，BE=2X2=4(米)=IH. (AB=GI, 在△ABE和△GIH中，∠ABE=∠GIH, BE=IH, ∴.△ABE≌△GIH(SAS), ∴.AE=GH,即AE和GH的长度相等. (2)AE⊥GH.理由如下： 如图，延长HG交AE于点C. B ,△ABE≌△GIH,∴.∠AEB=∠GHI. 由题意，得∠ABE=90°，∴.∠AEB十∠A=90°， ∴.∠GHI+∠A=90°， ∴.∠ACH=90°，.AE⊥GH 例4(1)：∠EAB+∠DCF=180°，∠BCD ∠DCF=180°， .∠EAB=∠BCD 在△EAB和△DCB中， ∠EAB=∠DCB, ∠ABE=∠CBD, AE=CD, '.△EAB≌△DCB(AAS), ∴.BE=BD,AB=BC .'BD-AD+AB, ∴.BE=AD+BC. (2)图(2)：BE=BC-AD.理由如下： ∠EAB+∠DCF=180°，∠BCD+∠DCF=180°， .∠EAB=∠BCD: 在△EAB和△DCB中， ∠EAB=∠DCB, ∠ABE=∠CBD, AE=CD, '.△EAB≌△DCB(AAS), ∴.BE=BD,AB=BC. .BD=AB-AD, ∴.BE=BC-AD; 图(3)：BE=AD一BC.理由如下： :∠EAB+∠DCF=180°，∠BCD+∠DCF=180°， ∴.∠EAB=∠BCD 在△EAB和△DCB中， I∠EAB=∠DCB, ∠ABE=∠CBD, AE=CD, .△EAB≌△DCB(AAS), ∴.BE=BD,AB=BC. .'BD=AD-AB, ..BE=AD-BC. 例5(1)：AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB 于点E,∴.DE=DC (DF=DB, 在Rt△CDF与Rt△EDB中， DC=DE, '.Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),∴.CF=EB. (2)设CF=BE=x,则AC=8十x,AE=12-x. 在R△ACD与R△AED中，CD=ED, (AD=AD, .Rt△ACD≌Rt△AED(HL), ∴.AC=AE,即8+x=12-x, 解得x=2,即CF=2. 454 例6如图，CD,AE即为所求， E 巩固特训 1.D 2.A[解析]①正确， A 可以用“AAS”和 “ASA”定理判定两 B B D 个三角形全等；②正 确，可以用“倍长中 线法”，用“SAS”定 E E (第2题) 理判定两个三角形 全等，如图，分别延长AD,A'D'到点E,E,使得 AD=DE,A'D'=D'E',连接BE,B'E. .AD=A'D',∴AE=A'E 易证△ADC≌△EDB, .BE=AC,∠E=∠DAC. 同理可得B'E'=AC',∠E'=∠D'A'C', 又AC=A'C',.BE=B'E' 又AB=A'B',∴.△ABE≌△A'B'E'(SSS), ∠BAE=∠B'A'E',∠E=∠E', ∴∠CAD=∠C'A'D', ∴.∠BAC=∠B'A'C', ∴.△BAC≌△B'A'C'(SAS). ③不正确，因为这个高可能在三角形的内部，也可 能在三角形的外部.故选A. 易错警示本题中第②个命题需要等倍延长中线 才能正确作出判断，第③个命题如果只考虑到三 角形的高在三角形的内部，也容易判断错误 3.D[解析]当点B在下面2条线上时，根据平移、对称 可得，与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC, B (1) (2) (第3题) ，46 当点B在上面2条线上或在左侧2条线上或右侧 2条线上时，分别有8个三角形与△ABC全等， .一共有8+8×3-1=31（个）三角形与△ABC 全等.故选D 4.C[解析]当AB=5,BC=6,AC=7时，根据 “SSS”可以得到△ABC是确定的，故选项A不符 合题意；当AB=5,BC=6,∠B=45°时，根据 “SAS”可以得到△ABC是确定的，故选项B不符 合题意；当AB=5,AC=4,∠B=45°时，无法确定 △ABC,故选项C符合题意；当AB=5,AC=4, ∠C=90°时，根据“HL”可以得到△ABC是确定 的，故选项D不符合题意.故选C 旧纳总结已知三角形的三个元素，如果能用全 等三角形的判定定理来进行判断，则这个三角形 就能确定。 5.A[解析].AB=AD,AC=AC, A,添加CA平分∠DCB,即∠DCA=∠BCA,但 根据SSA不能判定△ABC≌△ADC,故符合 题意； B.添加AC平分∠DAB,即∠DAC=∠BAC,则 根据SAS能判定△ABC≌△ADC,故不符合 题意； C.添加∠B=∠D=90°，则根据HL能判定 △ABC≌△ADC,故不符合题意； D.添加BC=DC,则根据SSS能判定△ABC ≌△ADC,故不符合题意. 故选A. 举反目 1.B[解析]连接AB, 在△AOB和△DOC中， (OA-OD, ∠AOB=∠DOC, OB=OC, .△AOB≌△DOC(SAS), ∴.AB=CD, ∴此方案依据的数学定理是全等三角形的判定定 理：边角边， 故选B. 2.60[解析]由题意，画图如图所示， (第2题) 由题意，得∠D=∠A=90°，∠ACB=∠DCE, AC=CD=40米，AD+DE=140米， ∴.△CAB≌△CDE(ASA),DE=60米， ∴.AB=DE=60米. 故小刚在点A处时，他与电线塔的距离为60米. 3.(1)(10一2t)[解析]点P从点B出发，以2cm/s的 速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为 ts时，BP=2tcm,则PC=(10-2t)cm. (2)存在.理由如下： ①如图(1)，当△ABP≌△QCP时，BA=CQ, PB=PC, D(O P (1) .PB=PC, BP-PC-BC-5 cm,5, 解得t=2.5. .'BA=CQ=6 cm, ∴.2.5v=6,解得v=2.4; ②如图(2)，当△ABP≌△PCQ时，BP=CQ, AB=PC. D (2) (第3题) .'AB=6 cm, ∴.PC=6cm, ∴.BP=10-6=4(cm), 即2t=4,解得t=2. .'CQ=BP=4 cm, .20=4, 解得v=2. 综上所述，当v=2.4或2时，△ABP与△PQC全 等 4.(1)当直线a运动到AB时，t=8÷1=8(秒)，.当 t=8时，移动全部停止， .当0<t≤4时，AP=2tcm; 当4<t≤8时，AP=(16-2t)cm. 综上，AP=2tcm(0<t≤4)或AP=(16-2t)cm (4<t≤8). (2)直线a与AB的距离为(8-t)cm, 当点P在直线a上时，8-t=2t或8-t=16-2t, 解得1一或8 故当：为或8时，点P在直线a上 (3)①当Rt△PAB≌Rt△PMN时，如图，PA= PM,AB-MN. M D (第4题) .'PA=2t cm,DM=t cm,.'.PM=(8-3t)cm, 2=8-3弘，解得4- ②当Rt△PAB≌Rt△NMP时，PA=MN,且AB= PM,即2t=4,且4=8一3t(需要同时满足)， 解得1=2且1=专，这种情况不成立 综上，当t= 时，△PAB与△PMN全等 第十五章轴对称 例1c 例2C[解析]，P与P1关于OA对称， ∴.OA为线段PP1的垂直平分线， ∴.MP=MP1, 同理，P与P2关于OB对称， .OB为线段PP2的垂直平分线， ..NP=NP2, 47