第3章 实数 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年七年级上册数学提优训练（浙教版·新教材）

第3章 实数 知识梳理导图 如果一个数的平方等于a, 有理数 那么这个数叫作a的平方根 分类 无理数：无限不循环小数叫作无理数 一个正数a的正平方根用“V反”表 实 示，a的负平方根用“a”表示 平方根 实数的大小比较：在数轴上表示的两个实数， 数 右边的数总比左边的数大 零的平方根等于零 负数没有平方根 个数的立方等于a,这个数 就叫作a的立方根，记作a 求一个数的平方根的运算叫作开 开方 立 一个正数有一个正的立方根 平方，开平方是平方运算的逆运算 根 一个负数有一个负的立方根 正数的正平方根 实数 根 零的立方根是零 称为算术平方根 0的算术平方根是0 算术平方根 先算乘方与开方，再算乘除， 实数的 最后算加减若遇到括号，则先 一个数a(a≥0)的算术 运算 进行括号里的运算 平方根记作“√a” 重难疑点解法 分上分点个平方根 7,即可求出x2十y的算术平方根 归纳总写 例1√/16的平方根是( 正数的正的平方根就是它的算术平方根，0的算 A.4 B.±4C.±2D.-2 术平方根是0，负数没有算术平方根 名师启发根据平方根的定义，求数a的平方 根，也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的平 上分点3立方根 方根，由此即可解决问题 例3下列说法正确的是( 归纳总结 27的立方根是土 A 本题考查了平方根的定义.一个正数有两个平 3 方根，它们互为相反数，0的平方根为0，负数没有 B.-125没有立方根 平方根 C.0的立方根是0 D.-82=4 分上分点2算术平方根 名师启发 根据立方根的定义解答即可. 妙归纳总结 例2(2026·上海宝山区期末)如果v√2x-6与 一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个 √2+y互为相反数，那么x2+y的算术平方根是 负的立方根，0的立方根是0. 分上分点4实数的分类 名师启发先根据√2x一6与√2+y互为相反 数，求出x=3,y=-2,进而得到x2十y=32+(-2)= 例4 (2026·上海浦东新区期末)下列数中，13' 4 13 实验班提优训练数学七年级上Z小小Y 3,-0.10101001000,/-16,-V25,无理数 妙归纳总结 实数运算的关键是注意运算顺序：乘方、开方 的个数为( ). 为三级运算，乘、除为二级运算，加、减为一级运算， A.1 B.2 C.3 D.4 如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运 名师启发根据无理数的定义逐个判断即可. 算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运 史归纳总结 算，有括号的先算括号里的运算」 本题考查了实数的分类、有理数和无理数的概 念，解题的关键是掌握无理数与有理数的区别. 上分点7实数的应用 上分点5无理数的估算 例7一个正方体的体积是125cm3,现将它锯 成8块同样大小的正方体小木块 例5(2026·河北张家口桥东区期末)满足一√2< (1)求每个小正方体的棱长. x<√5的整数x有(). (2)现有一张面积为36cm2的长方形木板，已知 A.1个B.2个C.3个D.4个 长方形的长是宽的4倍，若把以上小正方体排放在这 名师启发利用夹逼法估算出√2和√5的大小， 张长方形木板上，且只排放一层，则最多可以放几个 再确定x的大小即可， 小正方体？请说明理由。 归纳总给 名师启发(1)根据“小正方体的棱长等于它的 无理数的估算方法很多，其中适合学了实数这 体积的立方根”求解； 一章的方法通常是：先估算出无理数的范围，再用 (2)根据题意列出方程求出长方形的宽，再求出 夹逼法确定最接近的整数值， 最多可排放的个数 分上分点6实数的混合运算 例6计算0.25+()广+(-1D2@. 名师启发先分别计算算术平方根和乘方，再利 用有理数的加减法则计算即可. 归纳总结 本题考查了实数的运算，解答此题的关键是把 正方体进行分割，可以自己动手试一试。 易错易混辨析 )易错点1混淆平方根与算术平方根 辨析归纳 本题考查了算术平方根的概念，注意区别平方 9 例1 √6的值等于(). 根与算术平方根，如√2表示2的算术平方根，士√2 cn 表示2的平方根。 凡固特训 解析 93 V16=4· 1.(2026·江苏苏州期末)√0.16=(). 答案C A.0.4B.±0.4C.0.04D.±0.04 14 第3章 2.(2026·吉林第二实验高新学校期末)下列说法错误的 解析因为√25=5， 是(). 所以√25的算术平方根是√5. A.一4是16的平方根 答亲√5 B.17是(-17)2的算术平方根 辩析归纳 4的算术平方极是日 C. 求解题目时，不能半途而废，求解结果要完整， D.0.9的算术平方根是0.03 巩固特训 )易错点2对无理数的定义理解不透彻 5.√64的立方根是(). 例2(2025·杭州西湖区期中)下列实数中，属于 A.4 B.±4 C.2 D.8 有理数的是( 6.√9的算术平方根是 A.2π )易错点4没有分类讨论而漏解 22 B. 例4已知3a-4是36的一个平方根，求a的值. C.-√3 解答因为3a一4是36的一个平方根， D.2.101101110…(每相邻的两个0之间依次 所以3a-4=-6或3a-4=6, 10 增加一个1) 解得a= 3 31 解析根据无理数是无限不循环小数，有理数分 辨析归纳 22 为整数和分数，进行判断即可.2π，气，一3， 一个正数有两个平方根，遇到类似题目应该分 情况讨论。 2.101101110…(每相邻的两个0之间依次增加一个 1D中，只有号是有理数。 饥固特如 答亲B 7.(2026·海南东方期末)已知√a- +b-4=0,则 9 辨析归纳 判断一个数是不是无理数，不能只看表面，带 合的平方根是( 有根号的式子并不一定是无理数，要看化简结果， A C± D是 巩固特 8.(2026·金华义乌期中)已知|a|=4,b是9的算术平 3.(2026·上海闵行区期末)在下列各数中，是无理数的 方根，3c-2的立方根是-2. 是(). (1)求a,b,c的值； A.√4 B.6 C. 22 D.2.3 (2)若a>b>c,求5a十b-c的平方根. 7 4.(2026·江苏扬州期未)在下列实数中：222,53， 二27,0,3.1415,3.1010010001…（相邻两个 之间0的个数逐次加1)，无理数的个数是( A.4 B.3 C.2 D.1 )易错点3没有正确理解被开方数而致错 例3√2的算术平方根是 15 实验班提优训练数学七年级上Z小Y 素养考向提分 传统文化 √2的近似分数.（注：W2=1.4142135…) 例公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利 用近似公式√金十T心a十名得到无理数的近似值，其 中r取正整数，且a取尽可能大的正整数.例如：把 √1I化成√3+2，再根据近似公式得出√1I≈3+ 3X2一号，当利用此公式计算7的近似值时，则 210 √/17≈ 解析根据题意，得V7≈4十2X4一8 133 跨学科 3 答亲8 例2天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距 举反白 离S(单位：km)可用公式S2=1.7h来估计，其中h 1.《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述 (单位：m)是眼睛离海平面的高度. (1)如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面 的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高 的高度是1.7m时，能看到多远？ 的工艺水平和独特的工艺门类.现有一张长方形绣 (2)若登上一个观望台，使看到的最远距离是(1) 布，长、宽之比为4：3，绣布面积为588cm3,则绣 中的3倍，已知眼睛到脚底的高度为1.7m,求观望台 布的周长为 离海平面的高度 2.《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量 解答(1)当h=1.7时，S2=1.7X1.7, 子计算机“祖冲之”号的相关研究成果.祖冲之是我 所以S=1.7(负值舍去).故当眼睛离海平面的 国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率 高度是1.7m时，能看到1.7km远. π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分 (2)当S=1.7×3=5.1时，可得5.12=1.7h,解 数形式：号（的幸）和（容率）.同时期数学家何承 得h=15.3,15.3-1.7=13.6(m). 天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示 故观望台离海平面的高度为13.6m. 数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似 本题考查了算术平方根，解题的关键是掌 值和过剩近似值分别为和（即有会<x<, 握算术平方根的定义。 共中a6cd为正装数)，则哈牛是x的更为精确 举反白 的近似值例如：已知<<号，则利用一次“闲 3.(2026·山西晋中介休期中)每年12月2日为全国交通 安全日，近期某班组织交通安全主题班会.同学们 日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为 了解到在处理交通事故时，警察叔叔通常依据经验 1好十号-=8.1404K罗<x<号以再 50+7-57 公式v=16√1.2d来估测车辆行驶的速度，从而判 次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数…， 断是否违章.公式中的o表示车速（单位：km/h),d 现已知子<反<号，求使用两次“润日达“得到的 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m).某路段一 起交通事故的调查中，测得d=40m,若此路段限 16 第3章 速100km/h,请通过计算判断肇事汽车是否超速 轴交于点E,求点E表示的数. (参考数据：W3≈1.7). (1) (2) (第4题) 新考法 例3求一个正数的算术平方根，有些数可以直 接求得，如√4，有些数则不能直接求得，如5，但可以 通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内 在联系，运用规律求得，请同学们观察下表。 5.(2026·江苏扬州期中改编)因为无理数是无限不循环 16 0.16 0.0016 1600 160000 小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出 0.4 0.04 40 400 来.例如√2是无理数，√2的小数部分我们不可能全 (1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请 部写出来，由于1<√2<2，所以w2的整数部分是1， 将规律用文字表达出来) 将2减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因 此2的小数部分可用√2-1表示， (2)运用你发现的规律，探究下列问题： 请解答下列问题： 已知√2.06≈1.435，求下列各数的算术平方根： (1√7的整数部分是 ,小数部分是 ①0.0206；②2060000. (2)若一√7=x十y,其中x是整数，且0<y<1,则 解析(1)从被开方数和算术平方根的小数点的 x= ,y- 移动位数考虑解答； (3)已知2十√6的小数部分为x,5-√6的小数部分 (2)根据(1)中的规律解答即可， 为y,求x十y的值. 答案(1)被开方数的小数点向左或向右移动 2位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位 (2)①√0.0206≈0.1435. ②√/2060000≈1435. ￥反白 4.(2026·宁波鄞州区期中)图(1)是由10个边长均为1 的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB,BC 将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD, (1)在图(1)中，拼成的大正方形ABCD的面积为 ,边AD的长为 (2)现将图(1)水平放置在如图(2)所示的数轴上， 使得大正方形的顶点B与数轴上表示一1的点重 合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数 172.C[解析]-10-(+30)-(-5)+(+50)= -10-30+5+50. 故选C 3.(1)原式=-30+11+10=-9. (2)原式=0.5+5.5-2.75+0.75=6-2=4. 4.D5.-9 6.-1-(管号)×1-12 =-1-(后)×2 =-1-(5×12-号×12) =-1-(10-8)=-3. (2)(号-立)×(-60)=号×(-0)+ (2)×(-60)+(-)×(-60) =-40+5+4=-31. 7.D[解析]①原式-1×(-12)-号×(-12) }×(一12，它可以利用分配律，符合题意， ②无法利用分配律，不符合题意； ③原式-18×（日3+0125），它可以利用分 配律，符合题意； ④原式=24×（俘-1+号），它可以利用分配律，符 合题意、 综上所述，适合运用分配律来简化计算的算式有① ③④.故选D. 8.(1)原式=-8× 81 (2)原式=6×(-2)×(3)+1=2 旧纳总结本题考查了有理数的混合运算.有理 数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算 加减，如有括号，先进行括号里的运算。 40 举反白 1.(1)+2.5-1.2+1.2-1.5+0.8=+1.8(千米). 故飞机最后所在的位置比开始位置高，高了1.8千米. (2)(2.5+1.2+0.8)×6+(1.2+1.5)×4 =4.5×6+2.7×4=27+10.8=37.8(升). 故飞机在这五次特技飞行中，一共消耗37.8升燃油. 解后反思本题考查了正负数的应用，有理数混 合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的 关键 2.8.5×103 3(①)依题意，得号×30-51(m>. 故制作30个中国结共需用丝带54m. (2)依题意，得1÷（品+） =6(天). 故两人合作，6天可以完成。 归纳总结本题考查了有理数的混合运算的应 用，理解题意正确列式是解题的关键。 4.(1)(111)2 (2)题图(2)中的二进制数③④分别为(100)2， (101)2, (100)2=1×22+0X2+0×2°=4+0+0=4， (101)2=1×22+0×2+1×2°=4+0+1=5. (3)(2025)g=2×83+0×82+2×81+5×8°= 1024+0+16+5=1045. 5.(1)-11-1013 (2)-9-102116 第3章实 数 例1C[解析√16=4,4的平方根是士2.故选C. 例2√7 [解析]根据题意可知，√2x一6十 √W2+y=0, 所以2x-6=0,2+y=0, 解得x=3,y=-2, 所以x2+y=32+(-2)=9-2=7, 所以x2+y的算术平方根是7. 例3C 例4B[解析]一√25=一5，是有理数， 无理数有写-16，共2个故选B 例5D[解析]因为-2<-√2<-1,2<5<3， 所以满足一√2<x<√5的整数x是一1,0,1,2，共 4个.故选D. GD原式-+}+1-子 例7(1)因为正方体的体积是125cm3,现将它锯成 8块同样大小的正方体小木块， 3/125_5 所以每个小正方体的棱长为√g=2(cm). (2)最多可以放4个小正方体.理由如下： 设长方形的宽为xcm,则4x2=36, 所以x2=9. 因为x>0,所以x=3,所以4x=12. 因为12÷号-4-483÷号-号-12， 所以最多可放4个正方体， 巩固特训 1.A[解析]√0.16=0.4.故选A 2.D[解析]A.因为16的平方根有4和一4两个，所 以一4是16的一个平方根，故此选项正确； B.因为(-17)2=172,172的算术平方根是17，故 此选项正确； C的算术平方根是g,故此选项正确， D.因为0.032=0.0009，所以0.0009的算术平方 根是0.03，故此选项错误.故选D. 3.B[解析]A√4=2是有理数，故此选项不符合题意； B.6是无理数，故此选项符合题意； C.号是有理数，故此选项不符合题意； 22 D.2.3是有理数，故此选项不符合题意.故选B. 4.B[解析]2,53,3.10101001…（相邻两个1 之间0的个数逐次加1)是无理数，共3个.故选B. 5.C6.3 7.C[解析]由题意，得a-号-0且6-4=0，解得 0 -6=4所以--0 .9 因为（±》-品 所以器的平方根是士子，即号的平方根是±是 故选C. 8.(1)因为|a=4,b是9的算术平方根，3c一2的立 方根是一2，所以a=士4，b=3,3c一2=一8， 解得a=士4，b=3,c=-2. (2)因为a>b>c,a=±4，b=3,c=-2, 所以a=4,b=3,c=-2, 所以5a+b-c=5×4+3-(-2)=25. 因为25的平方根是士5，所以5a+b一c的平方根 是士5. 举反白 1.98cm[解析]设绣布的长为4xcm,宽为3xcm, 根据题意，得4x·3x=588, 即12x2=588,所以x2=49. 因为x>0,所以x=7,所以绣布的长为4x=4×7= 28,宽为3x=3×7=21,周长为2×(28+21)= 98(cm) 2第-次使用调日法“得到的近似分数为牛只 因为92，所以名<2<只 第二次使用“调日法”得到的近似分数为十7 7+10 吕所以使用两次“阔日法”得到的、区的近似分数 岛 3.将d=40代入v=16w√1.2d,得v=16w√1.2×40， 即v=64V3. 414 因为3≈1.7， 所以v=64√3≈108.8(km/h). 因为108.8km/h>100km/h, 所以肇事汽车超速。 4.(1)10√10 (2)因为BC=AD=√10， 所以点E表示的数为一1+√10或一1一√10， 5.(1)2√7-2[解析]因为2<√7<3， 所以w7的整数部分是2，小数部分是√7一2. (2)一33一√7[解析]因为2<√7<3， 所以-3<-√7<-2， 所以一√7的整数部分是一3，小数部分是一√7+3， 所以x=一3，y=3-√7. (3)因为2=√4<√6<√9=3， 所以4<2+√6<5,2<5-√6<3， 所以x=2+√6-4=√6-2，y=5-√6-2=3 √6，所以x+y=√6-2+3-√6=1. 旧纳总结本题考查了估算无理数的大小以及实 数的运算，熟练掌握估算无理数的大小的方法是 解题的关键. 第4章代数式 例1D 例2D[解析]当x-2y=1时，原式=-2x+ 4y+6=-2(x-2y)+6=-2×1+6=4.故选D. 例3D[解析]A.3b与ab不是同类项，不能合并， 故A错误； B.3a2b与2ab2不是同类项，不能合并，故B错误； C.3a2与2a不是同类项，不能合并，故C错误； D.2a3b十ba3=3a3b,故D正确.故选D. 例4(1)因为A=2x2+3xy-5x+1,B=-x2+ xy+2,所以A+2B=(2x2+3xy-5.x+1)+2(-x2+ xy+2)=2x2+3xy-5x+1-2x2+2xy+4= 5xy-5x+5. ，42 (2)因为A十2B的值与x的值无关，且A十2B= >与x的值无关，就令含x项的系数为0 (5y-5)x+5,所以5y-5=0, 解得y=1,则y的值是1. 中高考避势整式的加减法是代数的基础内容，在 中高考中属于必考知识点，但考查形式逐渐从单 一计算向综合应用过渡，这部分在中考中趋向“基 础十应用”，高考中则作为工具渗透于综合题，备 考需注重准确率、规范书写，并通过跨章节训练提 升代数思维， 例5(1)(60x+10000)100x(80x+2000) [解析]由题知， 方案一中的总费用为(60x十10000)元； 方案二中，当购买的门票数x不超过100张时，总费 用为100x元；当购买的门票数x超过100张时，总费 用为100×100+100×80%×(x一100)=(80x+ 2000)元. (2)设乙单位购买了m张，则甲单位购买了(700一 m)张， 当0<m≤100时， 100m+10000+60(700-m)=58000, 解得m=150(舍去)； 当m>100时， 80m+2000+10000+60(700-m)=58000, 解得m=200,则700-m=500. 故甲单位购买了500张，乙单位购买了200张. 小巩固特 b 1. a 1 2.(1)a2+b2(2) 2m-n 3.-1或2[解析]当2a63-是五次项时，1+3- m=5,解得m=一1，所以m+2=1,此时这个多项 式为a十2ab-ab-1,它是五次多项式：