第2章 有理数的运算 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年七年级上册数学提优训练（浙教版·新教材）

第2章 em+1=0 有理数的运算 知识梳理导图 同号两数相加，取与加数相 两数相除，同号得正，异号得 同的符号，并把绝对值相加 负，并把绝对值相除 异号两数相加，取绝对值较大 0除以任何一个不等于0 的加数的符号，并用较大的绝 除法法则的数都得0 对值减去较小的绝对值 加法法则 乘除 除以一个数（不等于0），等 互为相反数的两个数相加得0； 除法 混合 于乘以这个数的倒数 一个数同0相加，仍得这个数 运算 加法 求几个相同因数的积的运算叫 加法交换律：a十b=b十a 作乘方，乘方的结果叫作幂 加法结合律： 加法运算律 乘方 在an中，a叫作底数， (a+b)+c=a+(b+c) 运算 n叫作指数 减去一个数，等于加上 正数的任何次幂都是正数； 这个数的相反数 减法法则 负数的奇数次幂是负数， 有理数 乘方 负数的偶数次幂是正数； 加减混合运算 减法 的运算 科学 0的正整数次幂还是0 两数相乘，同号得正，异号 记数法把一个数表示成a(1≤a<10) 得负，并把绝对值相乘 与10的幂相乘的积的形式，叫 任何数与0相乘，积为0 ,乘法法则 作科学记数法 若两个有理数的乘积为1，就称 倒数 先算乘方，再算乘除，最后算加 这两个有理数互为倒数 有理数的减，如有括号，就先进行括号里 的运算 交换律：aXb=bXa 乘法 乘法 混合运算， 乘法结合律：axbXc=aX(bXc) 运算律 准确数与实际完全符合的数称为准确数 分配律：aX(b+c)=aXb十aXc 近似数 近似数与实际接近的数称为近似数 重难疑点解法 分上分点个有理数的运算 关键提醒 本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握 例①(2026·广东广州增城区期中)小博在做课外 运算法则是解题的关键 习题时遇到如图所示的一道题，其中○是被污损而 看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果 例2(2026·山东济南市中区期末)计算： 为15，则○表示的数是( (1)(-3)+(+13)+(-5)-(-5); 计算： -3+10 (2)-125+(-3)÷2-1-2 A.10 B.-4 名师启发(1)加减混合运算先统一成加法，再 C.8 D.-8 改写成省略加号的和的形式，然后计算； 名师启发 由题意列出算式，计算即可得到结果 (2)有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最 6 第2章 后算加减。 分上分点4科学记数法 例5(2025·杭州西湖区期末)2023年，在成功举办 亚运会之年，杭州经济总量完成从“1万亿”到“2万亿”的 大跨越，实现生产总值20059亿元，比上年增长5.6%. 其中，数据“20059亿”用科学记数法表示为(). 女方法技巧 A.2.0059×104B.20059×10 乘除混合运算时，除以一个数，等于乘以这个 C.2.0059×1012 D.200.59×101o 数的倒数，将除法运算转化为乘法运算，再计算. 名师启发先将20059亿改写成原数，再用科学 分上分点2利用有理数的运算律简化运算 记数法表示，从而可得出结论. 例B(206·吉米长春南关区期末)计算：（日 竹方法技巧 本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示 形式：aX10"(1≤a<10)是关键， 名师启发利用分配律简化运算 分上分点5近似数 例6(2026·福建泉州期中)用四舍五入法把 3.8045精确到百分位，所得到的近似数为(). A.3.81 B.3.7 C.3.8 D.3.80 名师启发根据四舍五入精确到百分位， 归纳总跨 3.8045中小数点右边第二个数所在位置是百分位， 如果能用分配律简化运算，就应该使用分配律 所以把千分位上的数字4进行四舍五入即可. 运算.运用分配律简化运算时注意符号变化， ☆扩方法技巧 分上分点3逆用分配律 本题考查了近似数，与实际接近的数称为近似 数，注意精确度的要求。 例4计算：()×()-2×(1)+ 上分点6有理数的实际应用 x(-) 例7一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的 名师启发直接计算比较麻烦，逆用分配律，可 以简化运算。 ,第二次剪去剩下铜丝的子，如此剪下去，第2026次 剪完后剩下铜丝的长度是( A()m () B m ()m c. D.(m 名师启发根据有理数的乘方运算法则即可作答 学归纳总线 妙归纳总结 化繁为简是数学常用的思想方法，当按常规方 本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确找 法计算比较繁琐时，可以逆向考虑 出题中的规律 7 实验班提优训练数学七年级上Z小小Y 易错易混辨析 )易错点1异号两数相加，混淆法则 (2)(2026·上海松江区期末)0.5十(-2.75)- 例①(2026·天津河东区期末)计算4+(-7)的 (52)+ 结果是( A.3 B.11 C.-11 D.-3 解析4十(-7)=-(7-4)=-3. 答案D 辨析伯纳一--一- )易错点3利用分配律时漏乘或弄错符号 进行有理数的运算时，异号两数相加，取绝对 值较大的符号，符号确定后，添上括号，括号内是减 例3 计第（合十号》x(-12. 法，较大的绝对值减较小的绝对值 解答 (←+号-2)×(-12)=- × 巩固特训 (-12)+ 3×(-12)-×(-12)=6+(-40+3= 1.(2025·天津中考改编)计算3十（一2）的结果等于 (). 2+3=5. A.-5 B.1 C.-1 D.5 辨析伯纳 )易错点2去括号时弄错符号 运用分配律计算时，一定要将括号外的数乘遍 括号内的所有数.乘法分配律可以用字母表示为 例2计算：(-17)+(+3)-(-2)-(+8). a(m十n)=am十an,利用分配律能够改变运算顺 解答(-17)+(+3)-(-2)-(+8) 序，从而达到简化运算过程的目的. =(-17)+(+3)+(+2)+(-8) =-17+3+2-8=-20. 仰固特训 辨析归纳 加减混合运算，要先统一成加法，再省略括号 4计算：(-是+日)×(-36)等于( 和加号，然后计算. A.-22 B.22 C.-33D.33 巩固特却 5.计算：(-号+号)×28= 2.(2026·西藏昌都期末)把-10-（十30）一(-5)+(+50) 6.计算： 写成省略加号和括号的形式，正确的是( D-1-(层)x1-121, A.-10-30-5+50 B.-10-30+5-50 C.-10-30+5+50 D.-10+30+5+50 3.计算： (1)(2026·吉林长春南关区期末)一30+11一（一10）； （2)226·广东中山-中中（-2）×(-60 8 第2章 )易错点4乘除混合运算时顺序出错 @24× -2412×号 例9计算：(-16)÷(-4)× 适合运用分配律来简化计算的算式有( A.①②③ B.②③④ 解答(-16)÷(-40×4=(-16)×(-4)× C.①②④ D.①③④ 1 8.计算： =1. 辨析纳 a2÷(》×, 乘除混合运算要按从左到右依次运算，或者乘 除统一为乘法，再做运算。 巩固特 7.(2025·绍兴越城区期末)分配律用式子可表达为a× (b+c)=aXb十aXc.下列四个计算： (26÷(-2)x(-3）+(-1)2, ①-12×1-日)： @15x3-32×3+14×(-号)： ③18×(-8）-18×3+18×0.125； 素养考向提分 新情境 少元？ 解析(1)将销售量最多的一天与销售量最少的 例1科技改变生活，当前网络销售日益盛行， 一天相减计算即可； 许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致 (2)根据第一周实际销售柚子的数量相加计算即可； 富.小宁把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销 (3)将总数量乘以价格差解答即可. 售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比 答案(1)13-（一7）=13+7=20（千克） 有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负.下表 故小宁第一周销售柚子最多的一天比最少的一 是小宁第一周柚子的销售情况： 天多销售20千克. 星期 二 三 四 五 六 (2)3-5-2+11-7+13+5+100×7=18+ 柚子销售 700=718(千克). 超过或不 故小宁第一周实际销售柚子的总量是718千克， +3 -5-2+11-7+13+5 足计划量 (3)718×(8-3)=718×5=3590(元) 情况/千克 故小宁第一周销售柚子一共收入3590元. (1)小宁第一周销售柚子最多的一天比最少的一 6点拔 本题考查正数和负数以及有理数的混合 天多销售多少千克？ 运算，解答本题的关键是读懂题意，列式计算 (2)小宁第一周实际销售柚子的总量是多少 千克？ 举反自 (3)若小宁按8元/千克进行柚子销售，平均运费 1.(2026·舟山期末)2025亚洲通用航空展于11月27日 为3元/千克，则小宁第一周销售柚子一共收入多 在珠海举行，飞行表演队在航展上表演特技飞行， 9 实验班提优训练数学七年级上Z小Y 表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数， 下降的高度记作负数，前五次特技飞行高度记录如 所以-5+3=x+号 下：+2.5，-1.2，+1.2，-1.5，十0.8.（单位： 所以x=一 5 千米) (2)设①格子里的数为y. (1)求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？ 1 高了或低了多少千米？ 由题意，得3+⑤--5+③+日， (2)若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均 5 下降1千米需消耗4升燃油，则飞机在这五次特技 所以y一2=一5十2， 飞行中，一共消耗多少升燃油？ 解得y=-2, 所以①格子里的数为一2.（答案不唯一） 6⊙点拨】 本题考查了有理数的加法，理解题意准确 得出等式是解决问题的关键。 2.2026年是农历午马年，杭州西湖景区推出的“宋韵 马年花灯”，单盏花灯的制作成本约8500元.将 8500用科学记数法表示为 3.中国结是一种古老的吉祥艺术，具有悠久的历史. 传统文化 春节快到了，小梅的妈妈计划制作30个中国结装 饰房间. 例2“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个 神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史 (1)制作每个中国结需用丝带号m,制作30个中国 上经常研究这一神话.数学上的“九宫图”所体现的是 结共需用丝带多少？ 一个3×3表格，每行的三个数、每列的三个数、斜对 (2)妈妈单独做要10天完成，小梅单独做要15天 角的三个数之和都相等，如图所示. 完成两人合作，多少天可以完成？ -5 ① ② 3 ③ ④ ⑤ 2 (1)求x的值； (2)在剩下的5个格子里，请你再求出一个格子 里的数.（指出某号格子，直接写出对应的数即可） 解析(0由氮意，得-5十3十回=®+x十分： 跨学科 解方程即可求出x的值； 例3当前计算机常用的数据形式是二进制，二 (2)设①格子里的数为y.由题意，得y+③一 进制数与十进制数之间的转化问题，二进制数的计算 =一5十③+号，解方程即可求出y的值 5 2 问题十分常见.为了区分二进制与十进制的数，我们 一般在二进制数的右下角标注2，例如101102. 答案(1)由题意，得-5十3+⑤=⑤十x+2, (1)类比十进制的计数原理：12035=1×104+ 10 第2章 2×103+0×102+3×101+5,把一个二进制数转化 3÷2=1…1, 为十进制数的方法为101102=1×24+0×23+1× 1÷2=0…1, 22+1×2+0=22.请你将二进制数100112转化为十 所以101=11001012： 进制数，则100112= (3)①101102+11012=1000112 (2)把一个十进制数转化为二进制数，一般按照 ②1101012-111102=101112. “除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就 ③11012×1012+101012×1112=10000012+ 是结果.例如将十进制数302转化为二进制数： 100100112=110101002. 302÷2=151…0, 答案(1)19 151÷2=75…1, (2)1100101 (3)①100011 ②10111 ③11010100 75÷2=37…1, 37÷2=18…1, ©点拨 本题是材料阅读题，考查了有理数的运算， 18÷2=9…0, 读懂材料中两种进制互化的例子及二进制的四 9÷2=4…1, 则运算法则是关键 4÷2=2…0, 2÷2=1…0, 举反9 1÷2=0…1, 4.(2026·湖北恩施期中)综合与实践 所以302=1001011102. [背景引入]国际数学教育大会标识（图(1）)中蕴含 请你将十进制数101转化为二进制数，则101= 着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与 2 “河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融 (3)二进制的四则运算与十进制的四则运算原理 合，体现了我国传统文化的博大精深其中八卦符 相同，不同的是十进制的数位有十个数码0,1,2,3,4， 号可以用于记数： 一称为阳爻，对应数字1； 5,6,7,8,9,满十进一，而二进制的数位有两个数码0 口一称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数 和1，满二进一 法.每卦均由三个阳爻或阴爻组成，图(2)中二进制 二进制的四则运算口决如下： 数①表示的是(011)2 加法：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=102 减法：0-0=0,1-0=1,1-1=0,102-1=1（同 数位不够减时，向高一位借1当2). (1) 乘法：0×0=0,1×0=0,0×1=0,1×1=1. 除法：0÷1=0,1÷1=1. 请根据以上信息和所学的计算相关知识，填空： 3 (2) ①101102+11012= 2; (第4题) ②1101012-111102= 29 [观察发现](1)图(2)中二进制数②表示的是 ③11012×1012+101012×1112= 解析(1)100112=1×24+0×23+0×22+1× [拓展延伸]二进制数转换成十进制数的方法是：将 2+1=16+0+0+2+1=19. 二进制数的每一位数乘2的相应次方（从右往左依 (2)101÷2=50…1, 次为2°，2,2,23，以此类推，且2°=1)，然后相加 50÷2=25…0, 例如，(011)2=0×22+1×2+1×2°=3， 25÷2=12…1, (1101)2=1×23+1×22+0×2+1×2°=13. 12÷2=6…0, (2)请分别将图(2)中的二进制数③④转换为十进 6÷2=3…0, 制数； 11 实验班提优训练数学七年级上Z小小Y [类比探究](3)将八进制数(2025)3转换成十进 (2)算 算：(})9÷2+(-8》×29. 制数 解析[初步探究] (1)分别按公式进行计算即可； (2)根据定义依次判断即可. 深入思考] (1)把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数 开始依次变为倒数，由此分别得出结果，注意最后一 个式子，结果中第一个数不变，为a,第二个数及后面 的数变为后则为( 新考法 (2)将第一问的规律代入计算，注意运算顺序】 答案[初步探究] 例4[概念学习] 1号 -8(2)①②④ 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除 法运算叫作除方，如2÷2÷2等.类比有理数的乘方， [深入思考] 我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”.一般 )》2(日) 地，把a÷a÷a÷…÷a(a≠0)记作a0,读作“a的圈 n个a n次方”. 2)(-})°÷2+(-8)×29=16÷8+ [初步探究] (-8)× 2=2-4=-2. (1)直接写出计算结果： 2③= () %点 本题是有理数的混合运算，也是一个新定义 (2)关于除方，下列说法正确的有 (填 的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及 序号) 乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能 ①任何非零有理数的圈2次方都等于1； 力；对于新定义，其实就是多个数的除法运算，要 ②对于任何正整数n,1=1; 注意运算顺序 ③30=4③； 举反白 ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数 5.一只电子跳蚤从数轴上原点处出发，第一次向左跳 次方结果是正数. 动1个单位长度，第二次向右跳动2个单位长度， [深入思考] 第三次向左跳动3个单位长度，第四次向右跳动 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运 4个单位长度，第五次向左跳动5个单位长度，第六 算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运 次向右跳动6个单位长度，如此往返， 算如何转化为乘方运算呢？ (1)第1次跳动的落点位置对应的有理数是 例如：2@=2÷2÷2÷2=2X 2) 第2次跳动的落点位置对应的有理数是 (幂的形式). 第2025次跳动的落点位置对应的有理数是 (1)试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式. (2)若该跳蚤从一8处出发，第1次跳动的落点位置 对应的有理数是 ,第2025次跳动的落点位 50= 置对应的有理数是 ,第 次跳动的 qO- (a≠0. 落点位置是原点. 12b=-(70-69.3)=-0.7,c=70-70=0. (3)超出部分有0.3十0.8十0.8=1.9（克），不足部 分有1-0.8|+1-0.71+1-0.4|+1-0.71= 2.6(克)，2.6-1.9=0.7（克）.因为-5<-0.7<5， 所以这盒月饼总质量是合格的. 3.C[解析]各数的绝对值分别为3.2,2.1,0.5， 0.9. 因为0.5<0.9<2.1<3.2， 所以标有一0.5g的篮球最接近标准重量.故选C. 4.A[解析]因为一个乒乓球的质量高于标准质量 0.03g记作十0.03g, 所以一0.02g表示乒乓球的质量低于标准质量 0.02g.故选A 5.D 6.(1)8 (2)因为x和2关于3的“美好关联数”为4， 所以|x-3+2-3|=4,所以|x-3=3, 所以x=6或x=0. (3)①1[解析]因为x。和x1关于1的“美好关联 数”为1，所以x0一1+|x1一1=1， 所以在数轴上可以看作数x。到1的距离与数x1 到1的距离和为1， 所以xo十x1的最小值为1. ②820[解析]根据题意， 得x1-2|+|x2-2=1, 所以x1十x2的最小值为1十2=3； |x3-4|+|x4-4=1, 所以x3十x4的最小值为3+4=7； |x5-6|+1x6-6|=1, 所以x5+x6的最小值为5+6=11； |x7-8|+1x8-8|=1, 所以x7十xg的最小值为7十8=15；…； |x39-40|+|x40-40|=1, 所以x39+x40的最小值为39十40=79， 所以x十x2十x3十十x0的最小值为3+7十 11+15+:+79=820. →可再列一个x0十x3阳十…十x1的式子，两式 相加再除以2，就可以得到原式子的值 第2章有理数的运算 例1D[解析]因为计算结果为15，所以一表示 的数为|-3+10|-15=171-15=-8. 故选D. 例2(1)(-3)+(+13)+(-5)-(-5)=(-3)+ 13+(-5)+5=10. (2)-1w+(-3)2÷号-1-21=-1+9×2- 2=-1+18-2=15. G3(号+2)×36-×36-8×36+2× 36=28-30+27=25. G0(-)×()-是×(-)+是× ()=()×(品+)=()× (-)=1. 例5C[解析]20059亿=2005900000000= 2.0059×1012.故选C. 例6D[解析]3.8045≈3.80（精确到百分位）.故 选D. 例7C[解析]第一次剪去铜丝的，剩下的长度 是m;第二次剪去剩下铜丝的子，利下的长度是 子寻×子（保）}°m:第三次剪去利下铜丝的子，剥 下的长度是()-()×寻-()'m…,所以第 025 2026次剪完后利下铜丝的长度是（任）m故选C 巩固特训 1.B[解析]3十(-2)=3-2=1. 故选B. 39 2.C[解析]-10-(+30)-(-5)+(+50)= -10-30+5+50. 故选C 3.(1)原式=-30+11+10=-9. (2)原式=0.5+5.5-2.75+0.75=6-2=4. 4.D5.-9 6.-1-(管号)×1-12 =-1-(后)×2 =-1-(5×12-号×12) =-1-(10-8)=-3. (2)(号-立)×(-60)=号×(-0)+ (2)×(-60)+(-)×(-60) =-40+5+4=-31. 7.D[解析]①原式-1×(-12)-号×(-12) }×(一12，它可以利用分配律，符合题意， ②无法利用分配律，不符合题意； ③原式-18×（日3+0125），它可以利用分 配律，符合题意； ④原式=24×（俘-1+号），它可以利用分配律，符 合题意、 综上所述，适合运用分配律来简化计算的算式有① ③④.故选D. 8.(1)原式=-8× 81 (2)原式=6×(-2)×(3)+1=2 旧纳总结本题考查了有理数的混合运算.有理 数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算 加减，如有括号，先进行括号里的运算。 40 举反白 1.(1)+2.5-1.2+1.2-1.5+0.8=+1.8(千米). 故飞机最后所在的位置比开始位置高，高了1.8千米. (2)(2.5+1.2+0.8)×6+(1.2+1.5)×4 =4.5×6+2.7×4=27+10.8=37.8(升). 故飞机在这五次特技飞行中，一共消耗37.8升燃油. 解后反思本题考查了正负数的应用，有理数混 合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的 关键 2.8.5×103 3(①)依题意，得号×30-51(m>. 故制作30个中国结共需用丝带54m. (2)依题意，得1÷（品+） =6(天). 故两人合作，6天可以完成。 归纳总结本题考查了有理数的混合运算的应 用，理解题意正确列式是解题的关键。 4.(1)(111)2 (2)题图(2)中的二进制数③④分别为(100)2， (101)2, (100)2=1×22+0X2+0×2°=4+0+0=4， (101)2=1×22+0×2+1×2°=4+0+1=5. (3)(2025)g=2×83+0×82+2×81+5×8°= 1024+0+16+5=1045. 5.(1)-11-1013 (2)-9-102116 第3章实 数 例1C[解析√16=4,4的平方根是士2.故选C. 例2√7 [解析]根据题意可知，√2x一6十 √W2+y=0, 所以2x-6=0,2+y=0, 解得x=3,y=-2, 所以x2+y=32+(-2)=9-2=7, 所以x2+y的算术平方根是7.