第3章 代数式 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年七年级上册数学提优训练（苏科版·新教材）

第3章 代数式 知识梳理导图 同类项 所含字母相同，并且相 字母表示数 同字母的指数也相同 由数与字母的积组成的 合并同类项 同类项的系数相加，所得的结果 代数式（单独的一个数 Q为系数，字母和字母的指数不变 定义 或字母也是单项式) 括号前面是“十”号，把括号和它前面的 系数 单 单项式的数字因数 代数式 “十”号去掉，括号里各项的符号都不改变 次数 去括号括号前面是“一”号，把括号和它前面的 单项式中所有字母的指数和？ “一”号去掉，括号里各项的符号都要改变 定义 几个单项式的和9 所添括号前面是“”号，括到 项 式 括号里的各项不改变符号 组成这个多项式的每个单项式 多 项 添括号所添括号前面是“一”号，括到 常数项 括号里的各项都改变符号 不含字母的项9 式 次数 多项式中，次数最高的项的次数 整式的加减 重难疑点解法 上分点个列代数式 输出结果是454.若输出结果是526，那么满足条件的 例①用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接 正整数x的值有( 围成一个正方形，要将它按如图所示的方式向外等距扩 输入x 计算3x+1 222 的值 输出 1cm得到新的正方形，则这根铁丝需增加(). 否 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 名师启发根据运算程序进行计算即可， 关键提醒 A.4 cm B.8cm 本题考查代数式求值、有理数的混合运算，掌 C.(a+4)cm D.(a+8)cm 握有理数混合运算的方法是正确解答的关键， 名师启发分别用含a的代数式表示现、原正方 形的周长，再计算增加量. 分上分点3去括号、合并同类项 关键提醒 例3 (2026·镇江句容期中)无论x,y取什么 本题主要考查列代数式，解题的关键是根据题 值，多项式(nx2+2y+7)-(3x2+2y一1)的值都等 意表示出现、原正方形的边长并计算」 于定值8，则n的值为(). 分上分点2代数式的值 A.-3B.3 C.-6D.6 例2(2026·泰州期末)按下面的程序计算：当 名师启发将原式去括号、合并同类项后得(n一 输人x=100时，输出结果是301；当输入x=50时， 3)x2十8，再由其都等于定值8，可求出n的值. 10 第3章 型归纳总结 △△ △△△ 本题考查合并同类项和代数式求值，掌握合并 (1) (2) 同类项法则，求出n的值是正确解答的关键. A△△ △会会△ △AAA△ △△△ 分上分点4探索规律 (3) (4) 例4(2025·绥化中考)观察如图，图(1)有2个 名师启发观察图形，找到图形的变化规律，利 三角形，记作a1=2;图(2)有3个三角形，记作a2= 用规律求解即可. 3;图(3)有6个三角形，记作a3=6;图(4)有11个三 ☆方法技巧 角形，记作a4=11;…,按此方法继续下去，则am= 能根据所给图形发现三角形个数变化的规律， (结果用含n的代数式表示). 即可求解。 易错易混辨析 确定单项式的次数和系数时出现 A.2个B.3个 C.4个D.5个 )易错点1 错误 2.(2026·河北衡水故城期末)下列各式中，次数为3的 例1 对于单项式 10xy,下列说法正确的 单项式是(). 7 A.3ab B.ab C.a3+63 D.5a2b 是( A.它是六次单项式 3. (2026·扬州江都区月考)单项式-2a 7的次数是 B.它的系藏是司 不能正确理解同类项的意义，导 C.它是三次单项式 )易错点2 致出现错误 D.它的系数是9 例2 若单项式5a6与-62a”是同类 解析根据单项式的系数、次数的定义进行 项，则m十n的值是 判断. 解析根据同类项的定义先求出m,n的值，再 答亲C 代入求值： 辨析伯纳-- 答案8 本题考查了单项式，单项式是数与字母的乘 辨析归纳---- 积，单项式的次数是所有字母的指数和，单项式的 本题考查同类项的定义，熟练掌握同类项这 系数是常数，注意π是常数不是字母 概念是解题的关键， 巩固特知 机固特 1.下列说法正确的有(). ①6x2-3x-2的项是6x2,3x,2; 4(2026·给州有中)若单项式m+12与7mn水是同 类项，则a一b的值是(). @号学为多项式： A.-1B.1 C.-2D.2 ③多项式一2x+4xy的次数是2； 5.已知一x3y2与3y2x”是同类项，则n的值 ④一个多项式的次数是3，则这个多项式中只有一 为(). 项的次数是3； A.2 B.3C.5 D.2或3 ⑤单项式一3πx2的系数是一3； 6.(2026·盐城射阳期中)如果单项式一x”y3与 ⑥0不是整式. 4x2y”+4是同类项，那么nm= 11 实验班提优训练数学七年级上JSKJ )易错点3 错用乘法分配律及去括号法则， 巩固特划 导致出现错误 7.(2026·扬州江都区期中)化简：5(3x2y一xy2) 例3 化简：3a2-2[2a2-(2ab-a2)+4ab]. 解答原式=3a2-2(2a2-2ab十a2十4ab) 6(-xy2+4r小 =3a2-4a2+4ab-2a2-8ab =-3a2-4ab. 辨析归纳- 本题主要考查了整式的加减，关键是注意去括 号时符号的变化. 素养考向提分 新情境 点拨 例1 小桂和小依玩猜数游戏，他们的对话如 本题考查了列代数式，根据规则得出方程， 图所示，请按照他们的对话内容解决下列问题： 再由未知数的取值范围判断出它们的取值是解 题的关键， 我出生的月份数乘2 加10，再把和乘5，加 上我家的人口数（小 举反白 于10)，如果我把这 个结果告诉你，你能 1.(2026·无锡江阴期中)观察下列表格中两个多项式 我能猜出你出生的月 猜出我出生的月份和 份和你家人口数哦. 我家人口数吗？ 及其相应的值，回答问题： -2 0 -2x+4 8 6 遇小依 小挂 3.x-5 11 -8 5 (1)设小桂出生的月份数为x,人口数为y,用含 [初步感知] x,y的代数式表示小桂所说的结果； (1)根据表中信息可知：a= (2)若小桂所说的结果为123，求小桂出生的月份 b= 和他家的人口数. [归纳规律] 解析(1)由游戏规则，可列出代数式5(2x十 (2)表中一2x+4的值的变化规律：x的值每增加 10)+y; 1,一2x+4的值就减少2.类似地，3x一5的值的 变化规律： (2)根据(1)的结果，整理得10x十y=73,根据x [问题解决] 和y的取值范围可判断出它们的取值. (3)请直接写出一个含x的多项式，要求x的值每 答案(1)依题意，得5(2x十10)+y. 增加1，多项式的值就减小5，且当x=0时，多项 (2)依题意，得5(2x+10)+y=123, 式的值为6. 整理，得10x十y=73. 因为x的取值为1到12的整数，y的取值为1 到9的整数，所以x=7,y=3, 故小桂是7月份出生的，他家的人口数为3. 12 第3章 2.(2025·苏州相城区期末)“囧”是网络流行语，像一个 人脸郁闷的神情，如图所示.一张边长为10的正 本题考查数字的变化规律，观察所给的杨 方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一 辉三角，通过计算探索出每行所有数的和的一 个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）.设剪 般规律是解题的关键， 去的小长方形长和宽分别为x,y,剪去的两个小 举反三 直角三角形的两直角边长也分别为x,y. 3.如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表，记它 (1)用含有x,y的代数式表示图中阴影部分“囧” 的外圆周长为a,中间方孔周长为b. 的面积S; (1)用含a,b的代数式表示阴影部分的面积.（结 (2)若代数式2S- (25-60xy)的值与y无 果保留π) 关，求此时b的值. (2)当a=4π，b=4时，阴影部分的面积为多少？ 10 (第2题) (第3题) 新考法 例3 [教材回顾]老课本中有这样一段文字： 传统文化 人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的 例2(2025·浙江中考改编)[文化欣赏]我国南 高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮 宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》， 云，午后雷雨临”的谚语.在数学的学习过程中，我们 书中记载的二项和的乘方(a+b)”展开式的系数规 经常用这样的方法探究规律. 律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： [数学问题]三角形有3个顶点，如果在它的内部 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 再画n个点，并以这(n十3)个点为顶点画三角形，那 [应用体验]已知(x+2)=x十mx3十24x2十32x十 么最多可以剪得多少个这样的三角形？ 16,则m的值为 [问题探究]为了解决这个问题，我们可以从n= 左 1,2,3等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪 隅 得的三角形个数的变化规律. 积 商 三角形内点 最多剪出的小 除 图形 的个数 三角形个数 万 乘 解析根据题干中所得系数规律得到关于m的 方程 因为(x+2)4=x4+mx3+24x2+32x十16， 3 ④图 所以mx3=4x3X2,所以m=8. 4 a 答案8 134 实验班提优训练数学七年级上JSKJ [问题解决] 形个数为m=m十2×0；当m边形内有2个点时，最 (1)表格中的a= 多剪出的小三角形个数为m+2=m+2×1;当m边 (2)你发现的变化规律是三角形内的点每增加 形内有3个点时，最多剪出的小三角形个数为m十4 1个，最多剪得的三角形增加 个 =m十2X2;…;当m边形内有n个点时，最多剪出的 (3)猜想：当三角形内点的个数为n时，最多可以 小三角形个数为m十2(n-1)=n十2n-2. 剪得 个三角形； 答案[问题解决](1)9(2)2(3)(2n十1) 像这样通过对简单情形的观察、分析，从特殊到 [类比应用](1)4(2)2(3)(2n+2) 一般地探索这类现象的规律，提出猜想的思想方法称 (4)(m+2n-2) 为归纳. 点拨 [类比应用] 本题考查了图形的变化规律，此类问题可 (1)四边形有4个顶点，在它的内部画1个点，把 以从数字找规律，也可以从图形找规律，然后进 四边形剪成若干个小三角形，最多可以剪得 行计算即可. 个小三角形； 举反目 (2)四边形内部每增加1个点，最多剪得的三角 4.(2026·湖南娄底冷水江期末)如果一个四位自然数 形增加 个； abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满 (3)当四边形内点的个数为n时，最多可以剪得 足ab+cd=bc,那么称这个四位数为“快乐数”.例 个三角形； 如：四位数1428，因为14十28=42，所以1428是 (4)m边形内有n个点时，最多可以剪得 “快乐数”；又如：四位数2534，因为25+34=59≠ 个三角形 53,所以2534不是“快乐数”.若一个“快乐数”为 解析[问题解决] 15m8,则m的值为 (1)当三角形内有1个点时，最多剪出的小三角 5.(2025·宁夏中考)定义：若一个三位数的十位数字减 形的个数为3=1十2×1；当三角形内有2个点时，最多 去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位 剪出的小三角形的个数为5=1+2×2；当三角形内有3 数叫作“极差数”.例如三位数231，因为3一1=2， 个点时，最多剪出的小三角形的个数为7=1十2×3； 所以它是“极差数” 当三角形内有4个点时，最多剪出的小三角形的个数 [理解定义] 为1+2×4=9. 三位数265是否为“极差数”？ (2)三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角 [建模推理] 形增加2个. (1)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别 (3)当三角形内有n个点时，最多剪出的小三角 为a,b,c,则a与b,c的关系式为 形个数为1十2n. (2)任意一个“极差数”都能被 [类比应用] 什么？ (1)当四边形内有1个点时，最多剪出的小三角形 个数为4=2十2×1；当四边形内有2个点时，最多剪出 的小三角形个数为6=2十2X2;当四边形内有3个点 时，最多剪出的小三角形个数为8=2十2×3. (2)四边形内部每增加1个点，最多剪得的三角 形增加2个. (3)当四边形内有n个点时，最多剪出的小三角 形个数为2n十2. (4)当m边形内有1个点时，最多剪出的小三角 14所以a+2=0,b-1=0: >两个非负数的和为0时，这两个数都为0 所以a=-2,b=1,所以a十b=-2+1=-1. (2)12[解析]因为|1一a≥0， 所以|1一a十2的最小值为2. 所以当1一a=0,即a=1时，|1-a|+2取得最小 值2. (3)因为2x-3|≥0， 要使5-|2x一3有最大值，即|2x一3要取最小值， 所以12x-31-0,即当2x-3=0,即x-时，5- 12x-3取得最大值5. 例47×105例5A D因为-3方 2,-3+ 7 .5 2 2-3X (号)=2-3÷(-2)=6 所以-<-<6,-3-3+2-3X (2)<-3÷(2): 巩固特训 1.A2.0,2 3.15[解析]根据题意知，现在车上剩余人数为18 +5-8+4-2+2-4=(18+5+4+2)-(8+2+ 4)=29-14=15(人). 4.(1)因为8-9+4+7-2-10+18-3+7+5= +25(千米)， 所以收工时在A地的东边25千米处 (2)因为|+8|+1-9+1+4|+|+71+|-2|+ 1-10+|+18+|-3|+1+7|+|+51=73(千 米)，73×0.3=21.9（升）， 所以从A地出发到收工时，共耗油21.9升. 5.原式=6÷(-8)×(-3)+(-1) --1= 释反白 1.(1)因为-2+(-17)+22+(-8)+3=-2， ，34 所以夏师傅走完第5次里程后，他在M地的北面， 离M地有2千米。 (2)不可以，理由如下： 行驶的总路程为|-2+一17|+|+221+|一81+ |+3=52(千米)， 耗油量为0.1×52=5.2（升）. 因为10-5.2=4.8<5， 所以需要加油 (3)第2次收费：10+(17-3)×2.4=43.6（元）， 第3次收费：10+(22-3)×2.4=55.6（元）， 第5次收费：10元， 共收入43.6+55.6+10=109.2（元）， 所以夏师傅这天上午走完5次里程后的营业额为 109.2元. 2.一1[解析]根据题意，设右下角的数字为x, a+5+x=4十b十x,所以a-b=-1. 3.(1)小军的解法较好 (2)49×(-5)=(60-)×(-5)=50X(-5) 六×(-)=-250+日=-249号 (3)98×(-3)=(10-6)×(-3)=10×(-3) 名×(-3)=-30+2-292 第3章代数式 例①B[解析]因为原正方形的周长为acm, 所以原正方形的边长为冬cm 因为将它按如题图的方式向外等距扩1cm, 所以新正方形的边长为（冬+2）cm,则新正方形的周 长为4（经+2）=(a+8)cm.因此需要增加的长度为 a十8-a=8(cm).故选B. 例2D[解析]输入后，经历1次计算就输出结 果，则输入的数为(526-1)÷3=175 输入后，经历2次计算就输出结果，则输入的数为 (175-1)÷3=58, 输入后，经历3次计算就输出结果，则输入的数为 (58-1)÷3=19, 输入后，经历4次计算就输出结果，则输入的数为 (19-1)÷3=6, 所以输出结果是526，那么满足条件的正整数x的值 可以为175,58,19,6，共4个.故选D. 易错警示准确求出满足条件的输入值有多少，一定要 注意不要遗漏。 例3B 例4(n一1)2+2[解析]题图(1)有2个三角形， 记作a1=02十2=2； 题图(2)有3个三角形，记作a2=12+2=3; 题图(3)有6个三角形，记作a3=22+2=6; 题图(4)有11个三角形，记作a4=32+2=11; …,按此方法继续下去，则am=(n一1)2十2. 巩固特训 1.A2.D3.2 4.A[解析]由同类项的定义可知，a十1=2，b=2, 解得a=1,b=2,所以a-b=1-2=-1.故选A. 5.B6.1 7.原式=15.x2y-5.xy2+9xy2-24x2y =15x2y-24x2y+9xy2-5.xy2 =-9x2y+4xy2. 样反自 1.(1)01[解析]把x=2代入一2x十4，得a= -2×2+4=0;把x=2代人3x-5,得b=2×3 5=1. (2)x的值每增加1,3x一5的值增加3. (3)因为x的值每增加1，多项式的值就减小5， 所以x的系数为一5，设这个多项式为一5.x+m. 因为当x=0时，多项式的值为6，所以6=m, 所以这个多项式为一5x十6. 2.(1)阴影部分的面积S=10×10-xy一2×2xy= 100-2xy. (2)25-2（2s-60xw =2S-S+3bxy=S+3bxy =100-2xy+3bxy=100+(3b-2)xy. 因为代数式2S-号(2S-6ay)的值与x,y无 关，所以36-2=0，解得63、 思路得(1)由题意直接利用正方形面积减去 两个三角形面积，以及一个小长方形面积即可得 到图中“囧”的面积；(2)先化简代数式再代入“囧” 的面积，根据值与x,y无关，即可求得b的值， 云(1)由题可知，外圆半径为会，中间方孔边长为兰， 所以图中阴影部分的面积为 会)-- 2)当Q=4红，6=4时，图中阴影部分的面积为 62(4π)242 16-4π16 =4π-1. 4.3[解析]因为15m8为“快乐数”， 所以15+10m+8=50+m,解得m=3. 5.[理解定义]不是[解析]6-5=1,1≠2，所以这 个三位数不是“极差数” [建模推理](1)b-c=a (2)设一个“极差数”为abc(a,b,c为正整数)， 所以b-c=a,b=a十c,所以abc=100a+10b十c =100a+10(a+c)+c=100a+10a+10c+c =110a+11c=11(10a+c). 因为a,b,c为正整数. 所以10a十c为正整数， 所以11(10a十c)能被11整除， 即任意一个“极差数”都能被11整除. 第4章一元一次方程 例Ic 例2(1)去括号，得2x十15-3.x=5, 移项，得2x-3x=5-15, 合并同类项，得-x=一10， 解得x=10. (2)去分母，得4x-1=12-2(3x-1), 354