第1章 有理数 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年七年级上册数学提优训练（人教版·新教材）

答亲6D详解 第一章有理数 .一10<一5<-3<1，.哈尔滨市的气温最低 例1D[解析]20℃一2℃=18℃，20℃+2℃= 故选C. 22℃，所以该药品在18℃~22℃范围内保存才合 巩固特训 适.故选D. 1.B[解析①0既不是正数也不是负数，原说法正确； 例2(1)表示2的点与表示一2的点重合， ②整数包括正整数、负整数和0，原说法错误； .折痕在数轴上的点为表示0的点， ③正有理数、0和负有理数统称有理数，原说法 .表示一3的点与表示3的点重合. 错误； (2).表示一4的点与表示2的点重合， ④整数中有负整数小于0，原说法错误； ∴.折痕在数轴上的点为表示一1的点 ⑤负分数是有理数，原说法正确。 →折痕在裁轴上的点到重合的两 故选B. 点的距离相等 2.B[解析]A.整数分为正整数，0，负整数，没有最 ①，折痕在数轴上的点为表示一1的点， 小的整数，A错误；B.若两个数之和是0，则这两个 ∴.表示1的点与表示一3的点重合 数互为相反数，B正确；C.两个数的绝对值相等， ②，A,B两点之间的距离为5，且A,B两点经折叠 这两个数不一定相等，C错误；D.如果这个数小于 O,那么距离原点越远，这个数越小，D错误.故选B. 后重合， 3.33 A,B两点到表示-1的点距离相等，都为2： .5 举反9 ,点A在点B的左侧， 1.(1)141 5 7 点A表示的数为-1一2=一2， (2)①5 ②-9+18-11+5-9+14+2-18+8=0（米）， 点B表示的数为-1计号-号 ,10名运动员的里程波动值的和是0， 放A,B两点表示的数分别是一子，》 ∴第7棒里程波动值是0， 即第7棒运动员的实际里程为150米， 3C[解析]A号和-2不互为相反数，故该选 素养考向本题以接力赛为背景，考查正数和负 数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得 项错误； 正确的算式是解题的关键。 B.+(-3)=-3,-(+3)=-3,+(-3)和-(+3) 2.（1)2十+1.5=3.5(kg)<4kg,.经分析，六班收 不互为相反数，故该选项错误； 集的废纸最多，超出标准质量4-1.5=2.5(kg), C.一(-7)=7，-|-71=-7，-(-7)和-|-71互 ∴.六班收集废纸的质量为5+2.5=7.5(kg). 为相反数，故该选项正确； 故七年级六班收集废纸的质量为7.5kg: D.一（一2)=2，一（一2）和2不互为相反数，故该选项 (2)他们达到预期目标了.理由如下： 错误 1+2-1.5+0-1+2.5+5×6=33(kg)>30kg, 故选C. 故他们达到预期目标了. 例4A[解析]如果|a|=一a,那么a为负数或0， (3)30×2+(33-30)×2.5=67.5(元). 所以①错误；如果a2=b2,那么a=b或a=一b,所以② 故废纸卖出的总钱数为67.5元. 错误；如果a=|b|,那么a=±b,所以③正确；如果 3.(1)这些队的得分按高分到低分排序依次为150分， a是负数，当a=-2时，a+1=-2+1=-1<0,为 100分，0分，-50分，-300分. 负数，所以④错误.故选A (2)根据数在数轴上的表示方法，将-300，一50， 例5C[解析].1-10>1-5>-31， 0,100,150表示在数轴上，如图所示. 38 A D E B (a是正有理数)， -300 -500100150 (第3题) 如果5a=2025,即a=405,那么这5个正有理数 (3)从数轴上看，A队与B队的距离是200，A队 组成的“好数组”为405,810,1215,1620,2025； 与C队的距离是250，C队与D队的距离是300. 如果4a=2025,即a=506.25,那么这5个正有理 4.(1)8 数组成的“好数组”为506.25,1012.5,1518.75， (2)因为x和2关于3的“美好关联数”为4， 2025,2531.25; 所以|x-3+2-3|=4,所以x-3|=3, 如果3a=2025,即a=675,那么这5个正有理数 所以x=6或x=0. 组成的“好数组”为675,1350,2025,2700,3375； (3)①1[解析]因为x。和x1关于1的“美好关 如果2a=2025,即a=1012.5,那么这5个正有理 数组成的“好数组”为1012.5,2025,3037.5， 联数”为1，所以|xo-1十x1一1=1， 4050,5062.5; 所以在数轴上可以看作数xo到1的距离与数x1 如果a=2025,那么这5个正有理数组成的“好数 到1的距离和为1， 组”为2025,4050,6075,8100,10125. 所以x。十x1的最小值为1. ②820[解析]根据题意， 第二章有理数的运算 得|x1-2|+x2-2=1, 例D原式=(-9)+号+（好）+(5) 所以x1十x2的最小值为1十2=3； |x3-4|+1x4-4=1, [(-)+(-)+(←-7)]+号 所以x3+x4的最小值为3十4=7； lx5-6+lx6-6=1, =-8+(+号-翠 所以x5+x6的最小值为5+6=11； 例2小李的解法不正确，同级运算的运算顺序出 |x7-8|+|x8-8|=1, 错.正确解答如下： 所以x7十x8的最小值为7十8=15；…； 原式-8×(-)×(-3)-36， |x39-401+|x40-401=1, 所以x39十x40的最小值为39十40=79， 例3原式=(-3+4十8)2=92=81. 所以x十x2十x十：十x0的最小值为3+7十 例4B 11+15+…+79=820. 例5(1)二102[解析]1+5|=5,1+2|=2， →可再列一个x40十x9十十x1的式子，两式 |-31=3,1+101=10,-71=7,|+15|=15,1-81 相加再除以2，就可以得到原式子的值 =8. 5.(1)是不是 .2<3<5<7<8<10<15, (2).2,4,8,x是“好数组”， ∴实际最接近原计划一天的销量的是星期二，这天的 .2+8或2一8，即10或6至少一个在这组数 销量为100+2=102(kg) 中，∴.x=10或x=6. (2)由表格可知：销量最多的一天是星期六，销量最少 当x=10时，对于4,10,4+10或|4-10均不在 的一天是星期日， 这组数中，与已知矛盾； 15-(-8)=15+8=23(kg), 当x=6时，|2-41，|2-6|，|2-8|，|4-81,14 ∴.销量最多的一天比销量最少的一天多销售23kg 6,8一6均在这组数中，符合“好数组”定义， (3)这一周苹果的实际销量为5+2一3+10一7+15 ∴x的值为6. 8+100×7=714(kg), (3)根据(2)可得一组数从小到大排列，相邻两数 销售苹果的纯利润为8一5.5一0.5=2（元/kg), 之差的绝对值与第1个数相等时这几个数能组成 2×714=1428(元). “好数组”，设这5个数分别为a,2a,3a,4a,5a故电商这一周一共赚了1428元. 39第一章 有理数 知识梳理导图 只有符号不同的两个数， 可以写成分数形式的数定义 相反数 互为相反数，0的相反数是0 正整数 数轴上表示数a的点与原点的 0 整数 距离叫作数a的绝对值，记作al 负整数 如果a>0,那么|a=a 分类 绝对值 有理数 如果a=0,那么a=0 正分数 负分数分数 如果a<0,那么|a=一a 正数大于0,0大于负数 原点、正方向、单位长度。三要素 正数大于负数 大小 利用数轴比较有理数的大小 比较 两个负数，绝对值大的反而小 重难疑点解法 分上分点1正数和负数 ①1表示的点与哪个数表示的点重合？ 例1(2025·沈阳浑南区模拟)某种药品的说明书 ②若数轴上A,B两点之间的距离为5（点A在 点B的左侧)，且A,B两点经折叠后重合，求A,B 上标明保存温度是(20±2)℃，则该药品在( )范 两点表示的数是多少？ 围内保存才合适， 名师启发(1)先根据折叠结合数轴判断出折点 A18℃~20℃ B.20℃22℃ 在数轴上的位置，然后解答即可； C.18℃~21℃ D.18℃~22℃ (2)先根据数轴判断出折点在数轴上的位置， 名师启发首先要理解保存温度是(20士 ①根据折叠列式求解即可；②求出A,B两点到折点 2)℃：十表示比标准温度20℃高，一表示比标准温度 在数轴上的位置的距离相等，再分别列式计算即可· 20℃低，据此即可求得温度的范围. 实方法技巧 本题考查了正负数的实际应用，解答的关键是理 解保存温度中(20士2)℃的实际含义. 2上分点2数轴 例2(2025·秦皇岛一模)已知在纸面上有一数轴 (如图)，折叠纸面. -5-4-3-2-101234方+ (1)若表示2的点与表示一2的点重合，则表示 -3的点与表示哪个数的点重合？ (2)若表示一4的点与表示2的点重合，回答以下 问题： 1 实验班提优训练数学七年级上MJY 妙归纳总结 名师启发利用绝对值的性质：互为相反数的两 本题考查了数轴，读懂题目信息，分别求出折 个数的绝对值相等，任何有理数的绝对值都是非负 点在数轴上的位置是解题的关键 数，对①③进行判断；根据相反数的平方相等可对② 上分点3相反数、绝对值的概念 进行判断；利用特殊值对④进行判断， 例3(2026·江苏苏州高新区期末)下列各对数中， 归纳总跨 本题考查了绝对值：若a>0,则|a=a;若 互为相反数的是(). a=0,则a=0;若a<0,则lal=-a. A名和-2 B.+(一3)和一(+3) )上分点4有理数的大小比较 C.-(-7)和--7 D.-(-2)和2 例5(2026·广东汕头潮南区期末)大寒是二十四 名师启发根据相反数的定义：只有符号不同的 节气中的最后一个节气，也是一年中最冷的时期.下 两个数，互为相反数，逐项判断即可. 表显示了同一天我国四个城市的最低气温数据.其中 妙知近拓表 气温最低的城市是( 判断两个非零数是否互为相反数的步骤： 观察 符号 数字 北京市上海市 哈尔滨 西安市 两个非 符号 相反 相同 互为相 -5℃ 1℃ -10℃ -3℃ 零数 反数 把两个非 A.北京 B.上海 零数相加 和为零 C.哈尔滨 D.西安 名师启发 通过比较四个城市的最低气温数值， 例4(2025·江苏盐城期末)下列说法： 数值最小的城市气温最低。 ①如果a|=一a,那么a为负数； 妙归纳总线 ②如果a2=b2,那么a=b; 比较有理数大小的常用方法有： ③如果|a|=|bl,那么a=±b: ①数轴法：数轴上右边的数总比左边的大； ④如果a是负数，那么a+1是正数. ②法则比较法：根据有理数的符号和绝对值关系 其中正确的个数是( ) 判断； A.1 B.2 ③作差法：计算两数差值的符号判断大小 C.3 D.4 易错易混辨析 易错点1理解概念“主观臆断” 导致出错 漏，即在同一种分类标准下，任意一个数属于且只 例1下列说法正确的是( 能属于其中的一类.但在不同的分类标准下，同 A.一个有理数不是正数就是负数 个数，有可能同时属于几类 B. 有理数可以分成整数、分数、正有理数、零、负 有理数这五类 巩固特训 C.一个整数不是正整数就是负整数 1.(2026·江苏南京建邺区期末)下列说法： D,以上三种说法都不正确 ①0既不是正数也不是负数； 解析根据有理数的分类进行解答即可. ②整数包括正整数和负整数； 答案D ③正数和负数统称有理数； 辨析归纳 ④0是最小的整数； 有理数分类的两，点注意：(1)分类必须有标准， ⑤负分数是有理数 分类标准不同，分类结果就不同；(2)分类应不重不 其中正确的有(). A.1个B.2个C.3个D.5个 第一章 易错点2对有理数的有关概念理解不清 辨析纳 G例2在 本题考查了有理数的概念及其分类，掌握有理 ,-(-1),3.14,-8-21,-3,-32, 数、自然数、分数、负数的概念是解题的关键.根据 -（)°，0中，有理数有m个，自然数有n个，分数 绝对值的性质、有理数的乘方法则进行计算，按照 分类求出m,n,k,t的值，计算即可. 有k个，负数有t个，则m一n一k十t= 解析在2，-(-1D,314,-8-21,-3,-3, 巩固特 2.下列说法正确的是( ) (号)'，0中，有理数有8个，则m=8-(-1),0 A.0是最小的整数 B.互为相反数的两数之和为零 是自然数，则n=2,号3.14，-(-) 是分数，则 C.若|a=|bl,则a=b D.数轴上两个有理数，较大的数离原点较远 k=3;-|8-22|,一3，-32是负数，则t=3,则m π25 3. n一k+t=8-2-3+3=6. 60,-元-2 3中， 答案6 正有理数有 个，负有理数有 个 素养考向提分 新情境 答案(1)18提示：由表可知，体重最重的是 例)(2026·广西河池宜州区期末)[问题背景]党 4号同学：超出标准体重9.3千克，最轻的是6号同 学：少于标准体重8.7千克，9.3+8.7=18（千克） 和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增 (2)超出标准体重的有3人，编号为1,2,4的 强青少年体质.有数据显示，近几年，青少年的身体健 三位同学，分别超出标准体重2.6千克，3.8千克， 康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视 9.3千克； [数据收集与整理]下表是七年级某小组6位同 少于标准体重的有3人，编号为3,5,6的三位同 学的体重情况，其中超出标准体重（单位：千克）的千 学，分别少于标准体重6.3千克，4.6千克，8.7千克. 克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数. (3)健康建议： 编号 2 4 5 6 ①超出标准体重的同学：增加有氧运动（如跑 体重情况 +2.6+3.8-6.3+9.3 -4.6-8.7 步)，减少高热量食物摄入； ②少于标准体重的同学：均衡饮食（如增加蛋白 [数据分析任务] 质等)，适当进行力量训练.（答案不唯一，合理即可） (1)体重最重的同学比体重最轻的同学重 千克； o⊙点拨 题主要考查了正负数的实际应用，解题 (2)分析该小组6位同学的体重超出或少于标准 的关键是掌握正负数的实际意义， 体重的情况： [健康建议] 举反目 (3)根据数据分析结果，请提出2条合理的体重 1. 某校为纪念一二·九运动，组织全校学生在学校 管理建议. 操场进行10×150米接力赛，该校操场一圈是 解析(1)根据正负数的实际意义列式计算即可； 300米.比赛分年级进行，以班级为单位，每个班级 (2)根据正负数的实际意义进行分析即可； 选出男女各5名学生参加比赛，平均每人持棒跑 (3)根据数据提出合理的建议即可. 150米. 3 实验班提优训练数学七年级上MJY 首先，我们需要了解一下交接棒的规则.如图，在 预期目标了吗？请说明理由. 《田径规则》中规定，接力比赛中，交接棒必须在 (3)若七年级6个班将本次活动收集的废纸集中 20米的接力区内完成.在这个区域内完成交接棒， 卖出，30kg(包括30kg)以内的部分2元/kg,超出 可以确保交接棒的双方都有足够的时间和空间来准 30kg的部分2.5元/kg,求废纸卖出的总钱数. 备和完成交接 因为该校操场一圈是300米，每人平均跑150米， 故安排两个接力区，第一棒运动员从起点到第一 接力区中心线的里程是150米.第一接力区与第 二接力区中心线间里程也是150米.以150米为 基准，其中实际持棒里程超过基准的米数记为正 数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值.下 表记录了七年级1班10名运动员中部分人的里 程波动值， 棒次 1 2 3 里程波动值 -9 18 棒次 6 9 10 里程波动值14 2 188 (1)第1棒运动员的实际里程为 米； (2)若第4棒运动员的实际里程为155米. 3.在一次游戏结束时，5个队的得分如下（答对得正 ①第4棒运动员的里程波动值为 分，答错得负分)：A队：一50分；B队：150分； ②第7棒运动员的实际里程为 C队：-300分；D队：0分；E队：100分. 失败 成功 (1)把这些队的得分按高分到低分排序. 中心线 (2)画一条数轴，将每个队的得分标在数轴上，同 时将代表该队的字母也标上。 预跑区 接力区 (3)从数轴上看，A队与B队的距离是多少？A队与 (10米)（20米) C队的距离是多少？C队与D队的距离是多少？ (第1题) 2.(2026·河南平顶山期末)某校举办了“废纸回收，变 废为宝”活动，各班收集的废纸均以5kg为标准， 超过的记为“+”，不足的记为“一”，七年级6个班 的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将 一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸 最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为 4 kg. 班级 二 三 四 五 六 超过（不足） +1 +2-1.50 /kg (1)请你计算七年级六班同学收集废纸的质量. (2)若七年级计划总共收集废纸30kg,他们达到 第一章 新考法 ①xo十x1的最小值为 例2若在正方形的四个顶点处依次标上“振” ②x1十x2十x3十…十x40的最小值为 “兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其 中“中”“华”对应的数分别为一2和一1，如图，现将正 方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地 翻滚.例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连 续翻滚后数轴上数2026对应的字是( ) A振 B.兴 C.中 D.华 解析根据规律可知，数轴上的数字与字的对应 关系，“中”字对应的数字是除以4余2的，“华”字对 应的数字是除以4余3的，“振”字对应的数字是能被 4整除的，“兴”字对应的数字是除以4余1的，由此可 得连续翻滚后数轴上数2026对应的字. 因为2026÷4=506…2， 5.(2025·北京海淀区期末)对于一组互不相等的正有理 所以数字2026对应的字是“中”. 数，若对于其中任意两个数a,b,a十b与引a一b两 答案C 数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是 “好数组” 6点拔】 本题考查了有理数的应用、旋转的性质、图 (1)2,3,5 “好数组”，1,2,3,5 形变化的规律型问题，根据翻转的变化规律确定 “好数组”；（填“是”或“不是”） 出每4次翻转为一个循环组，依次循环是解题的 (2)若2,4,8，x是“好数组”，求出x的所有可能值； 关键， (3)若含2025的5个正有理数是“好数组”，直接 写出所有符合条件的“好数组”. 样反美 4.(2026·浙江湖州吴兴区期中)对于 x,y,a,t,-a+ly-al=t x和y关于a的“美好关联数” 如，2-1+|3一1|=3，则2和3关于1的“美好 关联数”为3. (1)一3和5关于2的“美好关联数”为 (2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x 的值； (3)若x。和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和 x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的 “美好关联数”为1，…，x0和x41关于41的“美好 关联数”为1，… 5