2.3 一元二次方程根与系数的关系 备课包 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

3　一元二次方程的根与系数的关系 【课堂导入】 【情景导入】 十一黄金周刚刚过去，相信同学们一定去过许多美丽、难忘的旅游景点．下面，老师带着大家到法国观光旅游好不好？(出示多媒体)让学生在聆听理查德·克莱德曼的《致爱丽丝》中欣赏：法国文化——埃菲尔铁塔，时装秀，红酒文化，巴黎圣母院．文化是相通的，科学更是这样．在16世纪的法国，诞生了一位伟大的数学家，让我们一起走进历史，了解伟人——代数学之父韦达． 【教学目标】 课题 3　一元二次方程的根与系数的关系 授课人 素养目标 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题． 3．提高综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力． 4．会用发现、完成归纳验证以及演绎证明等数学思维探索一元二次方程的根与系数的关系. 教学重点 一元二次方程的根与系数的关系及其推导过程. 教学难点 一元二次方程的根与系数的关系的推导过程及其应用. 授课类型 新授课 课时 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2．一元二次方程有实数根的条件是什么？ 3．当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？ 4．一元二次方程的求根公式是什么？ 互动探究：教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点. 通过对一元二次方程一般形式、根的判别式、求根公式等旧知的复习，帮助学生巩固已有知识， 　活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题：解下表中的方程，并完成填空： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 x2－2x－3＝0 3 －1 2 －3 x2－3x＋2＝0 1 2 3 2 x2＋5x＋6＝0 －2 －3 －5 6 问题：观察、思考一元二次方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？ 让学生通过具体方程的计算、观察与分析，初步发现二次项系数为1的一元二次方程两根之和、两根之积与系数的关系， 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．填写上表后思考： ①一元二次方程的两根之和与两根之积与系数有何关系？ ②运用所发现的规律，你能解答下列问题吗？ 已知方程2x2－3x－2＝0的两根分别是x1和x2，则x1＋x2＝，x1x2＝－1． ③如何证明以上发现的规律呢？ 教师引导学生进行推导． 2．推导过程： 教师与学生共同完成推导过程： 如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，那么就有ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)． 所以ax2＋bx＋c＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2. 所以于是 归纳并板书： 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝. 1.引导学生利用求根公式对根与系数的关系进行验证，在具体计算与推理中确认规律的普遍性，体会由特殊到一般的认知过程，理解韦达定理成立的依据，培养严谨的推理意识。2.引导学生归纳整理根与系数的关系，培养归纳概括能力，加深对定理本质的理解。 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2－6x－15＝0. (2)3x2＋7x－9＝0. (3)5x－1＝4x2. 解：(1)因为a＝1，b＝－6，c＝－15， 所以x1＋x2＝－＝－＝6， x1＋x2＝＝＝－15. (2)因为a＝3，b＝7，c＝－9， 所以x1＋x2＝－＝－， x1x2＝＝＝－3. (3)方程化为4x2－5x＋1＝0， 此时a＝4，b＝－5，c＝1. 所以x1＋x2＝－＝－＝， x1x2＝＝. 【变式训练】 1．下列方程的两个实数根的和为的是（　C　） A． B． C． D． 2．已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　C） A．6 B． C． D．8 3．设α，β是一元二次方程x2＋x－201＝0的两个实数根，则α2＋2α＋β＝200. 通过典型例题的教学，学生在前面活动中积累的经验可以帮助其较顺利地分析此问题，遇有疑难可通过合作交流解决 活动4：随堂检测 【随堂检测】 1.若方程x2－kx－3＝0的一个根是3，则方程的另一个根是(A) A．－1 B．1 C．2 D．－2 2．已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（　A　） A． B． C． D． 3．设x1，x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围． (2)＋＝k－2，求k的值． 解：(1)根据题意，得Δ＝(－2)2－4(k＋2)＞0， 解得k＜－1. (2)根据题意，得x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2. ∵＋＝k－2， ∴＝k－2，即＝k－2. 整理，得k2＝6，解得k1＝，k2＝－. 经检验，k1＝，k2＝－都为原方程的解． 又∵k＜－1， ∴k的值为－. 互动探究：学生独立完成，教师巡视课堂并作指导. 通过课堂检测及时巩固根与系数的关系这一新知，当堂了解学生的学习效果， 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？说一说． 教师总结： (1)一元二次方程的根与系数的关系：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1＋x2＝－，x1x2＝. (2)易错提醒：一元二次方程的根与系数的关系使用前提是方程必须化为一般形式，且判别式Δ≥0. 2．布置作业： 教材第49页随堂练习第1～3题，第50页习题2.3第1～3题. 1.指导学生系统整理根与系数关系相关知识，构建知识体系，养成归纳总结的好习惯；教师结合课堂反馈加强教学反思，优化教学策略。2.关注学生个体差异， 教学反思 本节课讲授一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。教学中我引导学生通过具体方程的计算，经历“计算—观察—猜想—验证—归纳”的完整过程，让学生自主发现两根之和与两根之积同系数之间的关系，充分体会从特殊到一般的数学思想，理解定理的来龙去脉，而非机械记忆结论。课堂练习表明，学生基本掌握了根与系数的关系公式，能够直接利用公式求两根之和与两根之积，知识形成过程掌握得较为扎实。 但在实际应用中学生仍存在不少问题：一是部分学生拿到方程后，不先判断其是否已经化为一般形式，便直接套用公式，导致符号错误；二是解题时忽视判别式b2－4ac≥0这一前提，在方程无实数根的情况下仍生搬硬套韦达定理；三是代数式变形能力薄弱，如求两根平方和、两根差等综合表达式时，不能灵活运用“和”“积”进行整体代换。 针对这些情况，后续教学将强化公式推导过程的理解，通过变式训练帮助学生厘清符号对应关系，养成“先化一般式、再验判别式、后套公式”的规范步骤；同时增加代数式变形的专项练习，如利用根与系数的关系求对称式、构造新方程等，培养学生严谨的思维习惯和灵活运用定理的综合能力． 引导学生结合本节课的学习过程进行教学反思，回顾知识掌握与方法运用情况，总结经验与不足，以便教师在后续教学中优化教学设计、改进教学方法，进一步提升课堂教学效果。 韦达定理 韦达定理是指一元n次方程中根和系数之间的关系，中学课本里一般特指一元二次方程的根与系数的关系．法国数学家韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的这种关系，因此人们把这个关系称为韦达定理． 早在公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解简单的一元二次方程了，古埃及的纸草文书中也有所提及．公元前480年，中国数学家使用配方法求得了二次方程的正根，还在方程的研究中应用了内插法，可惜的是，并没有提出通用的求解方法． 公元628年，印度数学家婆罗摩笈多出版了《婆罗摩修正体系》，给出了一元二次方程 x2＋px＋q＝0的一个求根公式．公元820年，阿拉伯数学家花拉子米出版了《代数学》．书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法．他把方程的未知数叫作“根”，承认方程有两个根，并有无理根存在．同样可惜，他未认识到虚根这个概念． 16世纪，意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根．与此同时，法国数学家韦达在研究二次方程时注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，那么这两个数就是这个方程的根．虽然，由于时代的局限性，韦达当时没能从理论上证明，但他的数学思想和数学著作都大大充实了数学宝库． 历史是有趣的，虽然韦达在16世纪就得出了这个定理，但是要证明这个定理却需要依靠代数基本定理，而代数基本定理却在1799年才被高斯第一次实质性地论证.1615年，韦达发表了关于方程论的著作《论方程的整数与修正》，书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系． 韦达，1540年生于法国普瓦图，在欧洲被尊称为“现代数学之父”．他致力于数学研究，第一次有意识地、系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂．除推出一元方程在复数范围内恒有解外，他还给出了根与系数的关系．他最早系统地引入了代数符号，推动了方程论的发展．他用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，给出了三次方程不可约情形的三角解法． 其实，韦达从事数学研究只是出于爱好，然而这个爱好却助他取得了代数和三角学方面的巨大成就．韦达定理在建立方程、研究方程根的性质、解方程组，以及几何中涉及两个量的和与积的问题等领域都被广泛应用． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 —— 夯实基础 —— 1．若关于的一元二次方程有两个实数根，，则　　 A．6 B．3 C． D． 2．（2025•湖北）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（　　） A．3 B． C．5 D． 4．设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（　　） A．2 B． C． D． 5．一元二次方程：与的所有实数根的和为　　 ． 6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为　　 ． 7．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为、．则点在平面直角坐标系中位于第　　 象限． 8．已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． —— 能力提升 —— 9．若实数，满足，，且，则的值为（　　） A． B． C． D．2 10．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 11.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方 程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则 原来的方程是（　　） A． B． C． D． 12.若一元二次方程的两个实数根分别是、，则一次函数的图象一定 不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．已知，是方程的两个实数根，则的值是 　　 ． 14．已知一元二次方程的两根分别为、． （1）值为　　 ； （2）写出一个以、为根的一元二次方程：　　 ． 15．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 16.已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个实数根； （2）当△的斜边，且两直角边和恰好是该方程的两个根，求的值． —— 思维拓展 —— 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方 程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是　　 ；（填写序号） ①；②． （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值； （3）已知△是直角三角形，斜边的长为，若△的两边、的长是一个二次项 系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 答案详解 1．解：根据根与系数的关系得． 故选：． 2．解：根据一元二次方程根与系数的关系，， ，，， ，， 故选：． 3．解：设另一根为， ， 解得：， 方程的另一个根为3． 故选：． 4．解：根据根与系数关系得，， 所以． 故选：． 5．解：因为方程化为一般形式为， 因为此方程△， 所以有两个不相等的实数根，两根之和为， 方程化为一般形式为， 因为此方程△， 所以无实数根． 所以与的所有实数根的和为2． 故答案为：2． 6．解：由条件可知，， 即， 则 ． 故答案为：6． 7．解：方程可化为， 设方程的两根分别为，， 可得，， 所以点即点，位于第三象限， 故答案为：三． 8．解：（1）由条件可知： △，解得． 即实数的取值范围为． （2）由条件可知，， 又， ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 9．解：实数，满足，，且， 可以把，看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ， 原式． 故选：． 10．解：由题知， 因为关于的一元二次方程两根为，， 所以． 又因为， 所以， 解得， 则， 解得． 故选：． 11．解：是方程的实数根， ， 即， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故答案为：2027． 11.解：设原来的方程为， 由题知， ，， 所以，， 所以原来的方程为， 则． 故选：． 12.解：方程的两个实数根分别是、， 、， 则一次函数的解析式为， 该一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：． 13．解：（1）、是方程的两根， ，， ． 故答案为：8； （2）由（1）可知，，， 设符合条件的方程为， ，， ，， 符合条件的方程可以为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（1）证明：方程中，，，， △． 无论取何值，， △， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：关于的一元二次方程， ，， ， ， ，即，解得． 15.（1）证明：△ ， 方程总有两个实数根； （2）解：两直角边和恰好是该方程的两个根， ，， △的斜边， ， ， ， 解得或． ，， ， ， ． 16．解：（1）解方程①得， ，． 因为， 所以方程①符合题意； 解方程②得， ，． 因为， 所以方程②不符合题意， 故答案为：①； （2）由得， ，． 因为此方程为“差根方程”， 所以， 解得； （3）令，， 则． 又因为， 则， 所以， 则． 因为， 所以（舍负）， 所以这个“差根方程”为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $