专题03 空间向量的应用 讲义-2026-2027学年上学期高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量应用核心知识点，从空间中点和直线的向量表示切入，构建平面法向量的确定方法，进而系统梳理线线、线面、面面平行与垂直的判定逻辑，延伸至距离（点到直线、点到平面等）和角度（异面直线夹角、线面角等）的向量计算，形成递进式学习支架。 该资料亮点在于知识点与易错点提示结合，12个考点覆盖选择、填空、解答题，通过向量模型解决空间问题，培养数学思维的推理与运算能力，课中辅助教师高效讲解高频考点，课后助力学生针对性练习，查漏补缺。

专题03 空间向量的应用高频考点精讲 知识点1：空间中点和直线的向量表示 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间直线的向量表示式 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t． (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t． (3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 【注意】(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 知识点2：空间中平面的向量表示 1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb． 2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 【注意】(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行． 确定平面的法向量 按如下步骤求平面的法向量： (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量． (3)列方程组：由列出方程组，并求解． (4)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (5)得结论：得到平面的一个法向量． 知识点3：两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 【注意】利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 知识点5：直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． 【注意】(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直． (2)特别强调直线在平面外． 知识点6：平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 【注意】证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 知识点7：两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 【注意】(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证两直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0． 知识点8：直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 【注意】证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可． 知识点9：平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 【注意】利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 知识点10：点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝． 【注意】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． 知识点11：点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． 【注意】(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 知识点12：利用向量方法求两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝． 【注意】两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 知识点13：利用向量方法求直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝． 【注意】(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决． (2)线面角的范围为． (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 知识点14：利用向量方法求两个平面的夹角 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝． 【注意】(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 考点一　直线的方向向量的问题 考点二　平面的法向量的问题 考点三　空间中直线、平面的平行 考点四　空间中直线、平面的垂直 考点五　异面直线夹角的问题 考点六　线面角的问题 考点七　面面角的问题 考点八　点到平面距离的问题 考点九　线面、面面距离的问题 考点十　点到直线距离的问题 考点十一　异面直线距离的问题 考点十二　空间中的存在性问题 考点一　直线的方向向量的问题 1．（25-26高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）（多选）在空间中，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若是空间向量的一组基底，则可以构成空间向量的另一组基底 C．“向量，，共面”是“直线，，共面”的充要条件 D．，分别是直线，的方向向量，“与不平行”是“与异面”的必要条件 3．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知，若直线的一个方向向量为，则______. 4．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 考点二　平面的法向量的问题 5．（25-26高二下·安徽宿州·期中）已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）（多选）已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 8．（2026·江西新余·模拟预测）在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 考点三　空间中直线、平面的平行 9．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（  ） A． B． C．2 D． 10．（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·天津·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于_________. 12．（25-26高二上·河南南阳·期末）若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（   ） A． B． C． D．8 考点四　空间中直线、平面的垂直 13．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 14．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 15．（25-26高一下·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 16．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 考点五　异面直线夹角的问题 17．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 18．（2026·北京丰台·模拟预测）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 19．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在直三棱柱中，点分别为棱的中点. (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 20．（2026·江苏扬州·模拟预测）在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 21．（2026·重庆·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为． (1)证明：点为棱的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 22．（25-26高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱锥中，，，，，点 在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若底面 ，直线与直线所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 考点六　线面角的问题 23．（26-27高三上·湖南·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，点为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 24．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 25．（25-26高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 26．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 27．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，在梯形中，，， 的中点且，的内角的对边分别为，且满足，点为边上一点，当面积最大时，将沿翻折得到四棱锥（如图2），点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)若四棱锥的体积等于2，是否存在点N使得MN与平面PBC所成角的余弦值为，若存在，求出点N位置，若不存在，请说明理由． 28．（25-26高二下·陕西安康·期中）如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且． (1)求三棱台的体积； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长． 考点七　面面角的问题 29．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． (1)证明：直线平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 30．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 31．（25-26高二下·福建福州·期末）已知正方体中，若为棱上的动点． (1)求证：； (2)若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积； (3)为棱的中点时，求平面和平面所成角的大小． 32．（25-26高一下·吉林延边·期末）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，． (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，若平面平面；求平面与平面的夹角余弦值． 33．（2026高三·全国·专题练习）如图，直四棱柱中，侧棱，底面是菱形，，，P为侧棱上的动点． (1)求证：； (2)当二面角的大小为时，求的长； (3)在（2）的条件下，求三棱锥的体积． 34．（2026·湖南·模拟预测）如图，在三棱锥中，． (1)证明：； (2)若和所在平面垂直，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 35．（25-26高三下·河南·开学考试）如图，在中，，，为线段上一点，，，过点作，交于点，将沿翻折至的位置，使得． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 36．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙. (1)求证：平面平面； (2)若点是线段上的动点，且满足. ①若求平面与平面夹角的余弦值； ②若平面与平面的夹角为求λ的值. 考点八　点到平面距离的问题 37．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 39．（2026高二·全国·专题练习）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求； 40．（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 考点九　线面、面面距离的问题 41．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    42．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 43．（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 44．（2026高二·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 考点十　点到直线距离的问题 45．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 46．（25-26高二下·浙江·开学考试）如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，，E，F分别是棱，的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求直线EF与平面所成角的正弦值． 47．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 考点十一　异面直线距离的问题 49．（2026高二·全国·专题训练赛）正四面体的棱长为的中点为，求与间的距离． 50．（2026高二·全国·竞赛）如图，在底面边长为2，侧棱长为6的正三棱柱中，一细绳自点绕正三棱柱的侧面一周后到达点，绳子拉紧后与侧棱分别交于点，此时绳子最短． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与间的距离． 51．（25-26高二上·广东茂名·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）（多选）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 53．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为_________. 54．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 考点十二　空间中的存在性问题 55．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若，，则在线段上（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请指出点位置；若不存在，请说明理由． 56．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）如图1，正三角形的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角，如图2． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 57．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 58．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）如图，在正方体中，棱长为，为对角线上的动点，、分别为、的中点，解答下列问题： (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的最大正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量的应用高频考点精讲 知识点1：空间中点和直线的向量表示 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间直线的向量表示式 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t． (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t． (3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 【注意】(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 知识点2：空间中平面的向量表示 1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb． 2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 【注意】(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行． 确定平面的法向量 按如下步骤求平面的法向量： (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量． (3)列方程组：由列出方程组，并求解． (4)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (5)得结论：得到平面的一个法向量． 知识点3：两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 【注意】利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 知识点5：直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． 【注意】(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直． (2)特别强调直线在平面外． 知识点6：平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 【注意】证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 知识点7：两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 【注意】(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证两直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0． 知识点8：直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 【注意】证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可． 知识点9：平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 【注意】利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 知识点10：点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝． 【注意】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． 知识点11：点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． 【注意】(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 知识点12：利用向量方法求两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝． 【注意】两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 知识点13：利用向量方法求直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝． 【注意】(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决． (2)线面角的范围为． (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 知识点14：利用向量方法求两个平面的夹角 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝． 【注意】(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 考点一　直线的方向向量的问题 考点二　平面的法向量的问题 考点三　空间中直线、平面的平行 考点四　空间中直线、平面的垂直 考点五　异面直线夹角的问题 考点六　线面角的问题 考点七　面面角的问题 考点八　点到平面距离的问题 考点九　线面、面面距离的问题 考点十　点到直线距离的问题 考点十一　异面直线距离的问题 考点十二　空间中的存在性问题 考点一　直线的方向向量的问题 1．（25-26高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）（多选）在空间中，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若是空间向量的一组基底，则可以构成空间向量的另一组基底 C．“向量，，共面”是“直线，，共面”的充要条件 D．，分别是直线，的方向向量，“与不平行”是“与异面”的必要条件 【答案】ABD 【分析】由平面向量的数量积计算求解即可判断选项A；空间向量的基底不共面即可判断选项B；由向量共面与直线共面的关系即可判断选项C；由直线异面与直线的方向向量的关系即可判断选项D. 【详解】对于A，因为，所以， ，所以，故A正确； 对于B，若是空间向量的一组基底，则线性无关，故也线性无关，故可以构成空间向量的另一组基底，故B正确； 对于C，向量共面是指向量所在的直线可以平行于同一个平面，而直线共面是指直线都在同一平面上，则前者无法推出后者，故C错误； 对于D，直线异面意味着方向向量不平行，但方向向量不平行不一定意味着直线异面，它们可能相交，故D正确； 故选：ABD. 3．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知，若直线的一个方向向量为，则______. 【答案】 【分析】根据题意，由直线方向向量的定义，设,2,，即,,,2,,,，由此分析可得答案． 【详解】根据题意，,,，若直线的一个方向向量为,2,， 则设,2,，即,,,2,,,， 则，解得. 故答案为：． 4．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 【答案】ABC 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据中点坐标公式即可判断B；根据空间点到坐标轴距离公式即可判断C，根据向量共线的坐标表示即可判断D。 【详解】对A，由题意得，则，故A正确； 对B，线段的中点坐标为，即，故B正确； 对C，点B到x轴的距离为，故C正确； 对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误. 故选：ABC. 考点二　平面的法向量的问题 5．（25-26高二下·安徽宿州·期中）已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量的概念进行验证即可. 【详解】因为为平面的法向量，所以且. 因为：； ； . 所以ACD都不是. 因为，，所以B正确. 故选：B 6．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 7．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）（多选）已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的线性运算、模、数量积的坐标表示求解判断ABC；根据法向量的求法求解判断D. 【详解】对于A，，，则， 所以，故A正确； 对于B，由于， 则与平行的单位向量是，故B正确； 对于C，因为， 所以， 则与不垂直，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量是， 则，得， 令，得平面的一个法向量是，故D正确. 故选：ABD 8．（2026·江西新余·模拟预测）在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，为平面的法向量，由面面垂直的性质定理得，列式求出得解. 【详解】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 考点三　空间中直线、平面的平行 9．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用空间向量几何意义列方程，解之即可求得的值. 【详解】由直线平面，可得，则 则，解得 故选：D. 10．（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量定义，把转化为，可得的值. 【详解】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得. 故选：B 11．（25-26高二上·天津·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于_________. 【答案】 【分析】利用空间向量法判断直线与平面垂直的条件，可得，从而利用空间向量共线的坐标运算，即可求得，则问题即可求解. 【详解】由可得，， 所以可得，即， 故答案为：. 12．（25-26高二上·河南南阳·期末）若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】由题意，利用空间向量共线的坐标表示求参数值. 【详解】由题意知，即，解得． 故选：C 考点四　空间中直线、平面的垂直 13．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 14．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 【答案】D 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 15．（25-26高一下·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】A：连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确； B：连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确； C：以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故本选项不正确； D：因为，， 所以，所以直线与平面内的直线不垂直， 所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确. 16．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 考点五　异面直线夹角的问题 17．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 18．（2026·北京丰台·模拟预测）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 【答案】 【分析】建系并标出点坐标，设，，利用空间向量的坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 19．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在直三棱柱中，点分别为棱的中点. (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(1) 因为是的中点，是的中点. 所以是的中位线. 故，又平面，平面 所以平面. (2) 【分析】（1）由中位线得，再由线面平行判定证得平面. （2）以为原点建系，用向量法求异面直线所成角：先写出各点坐标，求出向量与，再用公式计算余弦值. 【详解】（1）略 （2）因为在直三棱柱中，平面，平面， 所以两两垂直. 如图以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，，，为中点， 所以，，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，， 则. 所以异面直线与所成角得余弦值为 20．（2026·江苏扬州·模拟预测）在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取底面的中心，连接，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角. 【详解】取底面的中心，连接，则平面，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，由正四面体的边长为2，则底面的外接圆半径，则由题易得高，故， ，由、分别为、的中点，所以， 同理得，故， 所以由向量夹角公式可知. 21．（2026·重庆·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为． (1)证明：点为棱的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系． 不妨设，则． 设，则， 可得， 由题意可得， 整理可得，解得， 所以点为棱的中点． (2) 【分析】（1）建系标点，设，根据直线与的交点求得，即可得结果； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得． 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 22．（25-26高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱锥中，，，，，点 在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若底面 ，直线与直线所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：在线段上取一点 ，使得，连接、，如下图所示： 在中， 、 分别为线段、上的点，且， 所以，且， 又因为，则，即且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面. (2) 【分析】（1）在线段上取一点 ，使得，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点 为坐标原点， 、 、所在直线分别为、 、轴建空间直角坐标系，利用空间向量法求出的长，再利用空间向量法额可求得平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）略 （2）因为平面 ，， 以点 为坐标原点， 、 、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点， ，， 由题意可得，解得， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 易知平面的一个法向量为，所以，， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 考点六　线面角的问题 23．（26-27高三上·湖南·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，点为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明：因为平面平面，交线为，平面且， 所以平面．又平面，所以. 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 因为，且，平面，，， 所以平面 (2) 【分析】（1）先由面面垂直可得平面，进而可得，再由等边三角形的性质得，再由线面垂直的判定定理可得； （2）根据条件建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值，再由同角三角函数关系式可得线面角的正切值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，，由等边三角形性质知， 因为平面平面，由面面垂直性质可得平面． 因为且， 所以四边形为平行四边形，得，即．     以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则各点坐标为：，，，，．     因为为的中点，所以，，，． 设平面的法向量为， 由，得，，取，则. 所以平面的法向量. 设直线与平面所成角为，且， 则， 即，且，由同角三角函数关系式得. 因此直线与平面所成角的正切值为． 24．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：连接交于点，连接； 因为为平行四边形，故为的中点； 又因为为中点，故， 因为平面，平面， 故平面； (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，找平面内一条直线与已知直线平行，根据题干所给中点以及平行四边形的性质利用中位线证明平行，即可证明线面平行； （2）利用空间向量求出平面的法向量和直线的方向向量，根据线面夹角的正弦值等于直线的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值的绝对值进行计算． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，因为平面，故平面； 又因为底面为平行四边形，且，故底面为菱形， 则； 则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，可知，，则为等边三角形； 故，；； 故，，，，， 则，，； 设为平面的法向量， ，则，令，则； 设为直线与平面所成角， 则； 故直线与平面所成角的正弦值为． 25．（25-26高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【答案】(1) (2)1． 【分析】（1）利用面面垂直条件建立空间直角坐标系，借助向量夹角公式，求出异面直线所成角余弦值； （2）参数设点 F，求出平面 的法向量，利用线面角公式解参数，最后算出 DF 长度. 【详解】（1）取BC中点，连接OA、OD，又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 为BC中点，，      如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线AC与BD所成的角为， 则，       所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. （2）设， 由（1）知，， 则，得，故． 设平面的法向量， 则， 令，得，即，      由直线AD与平面所成角大小为， 得．            ， 所以线段DF的长度为1． 26．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. (2)存在，1 【分析】（1）由三角形中位线性质得，结合圆的直径特征构造矩形，以此确定两平面的交线；利用直径所对圆周角为直角得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理，证明平面. （2）建立空间直角坐标系，设出直线上点的坐标，求出平面的法向量；根据线面角的向量计算公式列方程，解出参数后得到的长度，验证点是否存在. 【详解】（1）略 （2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 27．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，在梯形中，，， 的中点且，的内角的对边分别为，且满足，点为边上一点，当面积最大时，将沿翻折得到四棱锥（如图2），点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)若四棱锥的体积等于2，是否存在点N使得MN与平面PBC所成角的余弦值为，若存在，求出点N位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1). (2)存在，，. 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式可得面积最大时为等边三角形、四边形为菱形，结合空间平行关系的转化可求的长. （2） 翻折后面积最大时对应平面平面，结合几何关系或空间向量法求解线面平行、线面角问题. 【详解】（1）∵ 在中，由射影定理得， 又，故，∵ ，∴ ， 由余弦定理可得，故， 当且仅当时等号成立， 故， 此时为等边三角形，且，. ∵ 为中点，故，故， 故四边形为菱形，取中点，连接、， ∵ 为中点，为中点，∴ ， ∵ 四边形为平行四边形，故，∴ ， ∵ 平面，平面，∴ 平面， ∵ 平面，，平面， ∴ 平面平面，∵ 平面平面， 平面平面，∴ ， ∵ 为中点，∴ 为中点，故. （2）由（1）可知为边长为的等边三角形，四边形为边长为的菱形 故边上的高为，翻折后四棱锥体积为2， ∵ 底面平行四边形的面积， 设四棱锥高为，∴ 由体积公式，代入得，解得， ∴ 翻折后平面平面，取中点为原点，则， 而平面平面，平面，故平面， 故建立如图所示的空间直角坐标系： 各点坐标为，，，，， ∵ 为中点，∴ ， 设（），则的坐标为， ∴ ， 设平面的法向量为，，， ∵ ，，∴ ，取， 设与平面所成角为，则且，∴ ， 故， 整理得，解得， ∵ 不符合取值范围，舍去，∴ ，即存在点，. 28．（25-26高二下·陕西安康·期中）如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且． (1)求三棱台的体积； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用台体的体积公式可求得该三棱台的体积； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值； （3）设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可得出的值，即可得出线段的长. 【详解】（1）由题意可知，，， 因为侧棱底面，且， 故 . （2）因为底面，且为等边三角形， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）易知点、、、、， 设，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， ， 由题意可得， 整理可得，解得，符合题意， 此时. 考点七　面面角的问题 29．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． (1)证明：直线平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接、、， 则，且，即， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则，， 又平面，平面，所以直线平面. (2) 【分析】取的中点，连接、、，通过证明四边形为平行四边形得到，最后证得直线平面； （2）分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）在直四棱柱中，底面，且， 如图，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设是平面一个法向量，则，， ，取得为平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，， 取得为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，那么， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 30．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为底面是正方形，所以. 因为，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. (2) 【分析】（1）由题意有，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，构建合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由题意，正方形的边长为，则， 在中，，， 因为，所以. 在中，设为与的交点，则， 所以，故是等边三角形，， 由（1）知平面平面，且交线为，过作于， 而平面，则平面 ， 在中，，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立如图空间直角坐标系， 所以，，，，， 因为在上，且，所以， 因为底面且，可得， 平面的法向量，，， 所以，取，则， 平面的法向量，，， 所以，取，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 31．（25-26高二下·福建福州·期末）已知正方体中，若为棱上的动点． (1)求证：； (2)若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积； (3)为棱的中点时，求平面和平面所成角的大小． 【答案】(1)解法一：连接，设，如图所示： 因为底面，且底面，所以， 又因为底面为正方形，所以，且 所以平面， 因为平面，所以． 解法二：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则， 设， 则， 因为，所以，即. (2) (3) 【分析】（1）方法一：利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）利用锥体体积公式和等体积法求解； （3）方法一：利用二面角的定义求解；方法二：利用向量法求二面角即可. 【详解】（1）略 （2）因为底面，所以， 无论在棱上的任何位置，可得， 所以． （3）解法一：连接，如图所示： 当是棱的中点时，， 又因为是的中点，所以，， 所以为平面和平面所成角（或其补角）． 在正方体中，设棱长为， 因为是棱的中点，由平面几何知识，得， 所以，即， 所以平面和平面所成角的大小为． 解法二：由（1）方法二以及为棱上的中点得： ，， 设平面的法向量为：， 由，令，解得：，所以， 设平面的法向量为：， 由，令，解得：，所以， 由，可得，即， 所以平面平面 所以平面和平面所成角的大小为． 32．（25-26高一下·吉林延边·期末）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，． (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，若平面平面；求平面与平面的夹角余弦值． 【答案】(1)在中，因为，， 所以，， 所以，则，即， 又，，， 所以，所以， ，，面， 所以面， 又面，所以面面． (2) 【分析】（1）根据多面体的几何性质，利用余弦定理和勾股定理得出线线垂直关系，进而证明线面垂直，再利用面面垂直判定定理推出结论； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，进而求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1）略 （2）以为原点，分别以，为，轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为， 则，，，，， ，，， 设是平面的法向量， 则，取， 设，其中． 则， 连接，因平面，平面，平面平面， 故， 取与同向的单位向量， 设是平面的法向量， 则，取， 由平面平面，知，有，解得． 此时， 又平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 综上所述平面与平面的夹角余弦值为． 33．（2026高三·全国·专题练习）如图，直四棱柱中，侧棱，底面是菱形，，，P为侧棱上的动点． (1)求证：； (2)当二面角的大小为时，求的长； (3)在（2）的条件下，求三棱锥的体积． 【答案】(1) 在直四棱柱中，连结交于点O， 由底面是菱形，得，由底面， 平面，得，而平面， 因此平面，又平面，所以． (2) (3) 【详解】（1）略 （2）解法一（几何法）连结、， ，，同理， 是二面角的平面角， ． 设， ，，则， ，． 在中，． 在中，由余弦定理得，即． 整理得，解得或（舍）． ． 解法二（向量法）： 设上、下底面菱形对角线交点分别为、O，则，平面． 如图，以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ，，，， ，，就是二面角的平面角， ．解得或（舍），． （3），， ． 平面， ． 34．（2026·湖南·模拟预测）如图，在三棱锥中，． (1)证明：； (2)若和所在平面垂直，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 【答案】(1) 取中点，连接． 因为，所以． 又由题，可得≌，则， 故． 因为平面，所以平面， 又平面，所以. (2)或． 【分析】（1）取中点，求证，，再结合线面垂直的判定定理和定义求证； （2）法一：以点为坐标原点建系，设，分别计算两个平面的法向量，利用向量求出面面角即可得出；法二：过点作于点，过点作于点，证明为平面与平面所成的角，再在、中利用三角函数值建立关系即可求出. 【详解】（1）略 （2）法一：设， 由平面平面且平面平面，由面面垂直的性质定理可知， 可以点为坐标原点，过点垂直于平面的直线为轴，直线为轴， 过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则有， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，故可取， 易知平面的一个法向量为， 则，解得， 所以或， 法二：如图，过点作于点，过点作于点，连接． 因为平面平面且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 又，平面， 所以平面，即为平面与平面所成的角， 由题，可知． 设，则， 所以在中，，所以， 在中，， 所以，即， 所以或． 35．（25-26高三下·河南·开学考试）如图，在中，，，为线段上一点，，，过点作，交于点，将沿翻折至的位置，使得． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：因为，所以，， 因为，且平面，所以平面． 又平面，所以. 由题意易知，又，， 所以，则． 又，且平面， 所以平面． (2)在线段上存在点使得平面和平面的夹角的余弦值为，且此时 【分析】（1）由线面垂直得到，由勾股定理逆定理得到，由线面垂直的判定定理判断即可. （2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出平面和平面的法向量，结合向量法求面面角列方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，，则，， 由（1）易证平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以，故两两垂直． 以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，，． 设平面的一个法向量， 则，即，令，则，，所以． 易知，所以，又，，， 所以． 设，. 设平面的一个法向量， 则，即，令，得，，所以． 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或（舍去），此时， 所以在线段上存在点使得平面和平面的夹角的余弦值为，且此时． 36．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙. (1)求证：平面平面； (2)若点是线段上的动点，且满足. ①若求平面与平面夹角的余弦值； ②若平面与平面的夹角为求λ的值. 【答案】(1) 在矩形中，由，且为的中点，得， 则，，即，而， 且平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. (2)①；② 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面； （2）①以为原点建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量，再利用面面角的向量法求解；②由求得出，进而求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法列出求解. 【详解】（1）略 （2）①由（1）知，过点作直线平面，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量，设平面与平面所成夹角为， 则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为. ②由，得，， 则，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量，平面与平面的夹角， 则，解得， 所以. 考点八　点到平面距离的问题 37．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 38．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 39．（2026高二·全国·专题练习）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求； 【答案】(1)过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，平面， 平面平面，平面平面，所以平面， 又因为平面，所以，因为四边形是矩形，所以， 所以，因为，， ，平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量方法，根据点到面的距离公式，求出. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，， 则，，且由得. 设平面的法向量为，而, 则有即有， 令，则，，所以，又， 所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此. 40．（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 【答案】(1)证明：因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以， 因为平面，所以直线平面． (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，即可证明； （2）利用点到面的距离向量求法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 又因为，所以直线到平面的距离为． 考点九　线面、面面距离的问题 41．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【详解】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 42．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 43．（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 【答案】(1)证明：，分别是，的中点， 平面，平面，平面 且，四边形是平行四边形，． 平面，平面，平面． 又，平面，平面， 平面平面． (2) 【分析】（1）直接根据面面平行的判定定理可得； （2）直接用向量方法计算面面间的距离可得. 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，所以. 又因为底面是正方形，所以. 故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量是， 则，， 取，得，，则． 所以点到平面的距离为. 故平面与平面之间的距离为． 44．（2026高二·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量公式求解即可； （2）求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可； （3）利用直线到平面距离的向量公式求解即可； （4）求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，    则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 考点十　点到直线距离的问题 45．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 46．（25-26高二下·浙江·开学考试）如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，，E，F分别是棱，的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求直线EF与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量法来求点到线的距离即可； （2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）取BC中点O，由，结合菱形，可知，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面ABC， 由于底面是等边三角形，所以， 则建立如图空间直角坐标系， 根据已知条件可知：，，             所以，， 所以点到直线EF的距离为． （2）根据已知条件可知： 则， 设是平面的法向量， 则， 令，可得，      设直线与平面所成角为， 则， 故直线EF与平面所成角的正弦值为． 47．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求点到直线的距离计算即可. 【详解】以为原点，以，，过点且平行于的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 因为，分别是棱，的中点，所以，. 因为点是线段的中点，所以. 所以，， 所以点到直线的距离为 . 故选：D. 48．（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，根据正三棱锥的性质得到平面、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交AB于点，交BC于点，连接BD. 因为三棱锥是正三棱锥， 所以平面，又为等边三角形，所以，所以， 则HB，HF，HP两两垂直， 故以为坐标原点，HB，HF，HP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，． 因为，所以， 所以，，，，所以， 所以，， 则，， ， 所以点到直线BC的距离． 故选：D    考点十一　异面直线距离的问题 49．（2026高二·全国·专题训练赛）正四面体的棱长为的中点为，求与间的距离． 【答案】 【分析】在正四面体中建立空间直角坐标系，由向量法求出与间的距离. 【详解】如图，作平面于点，连交于，在正四面体中， 则，又，则， ， 如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是与的公垂线的方向向量，则， 即，令，则， 则， 设与间的距离为d，则， 所以与间的距离为.    50．（2026高二·全国·竞赛）如图，在底面边长为2，侧棱长为6的正三棱柱中，一细绳自点绕正三棱柱的侧面一周后到达点，绳子拉紧后与侧棱分别交于点，此时绳子最短． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用绳长最短分别求得的坐标，再由空间向量即可求出异面直线与所成角的余弦值； （2）利用空间向量求出与都垂直的一个向量，即可求得异面直线与间的距离. 【详解】（1）如图，以点为原点，为轴的正方向，为轴的正方向，建立直角坐标系． 由于绳子的长度最短，所以侧面展开图中3条折线段必须共线，此时的竖坐标将三棱柱的高三等分； 易得各点的坐标为， 向量， 设直线与所成的角为， 则， 故与所成角的余弦值为． （2）要求异面直线与间的距离，只需求出与都垂直的一个向量， 向量在上的正射影长即为异面直线与间的距离． 由于，所以, 令，解得，因此可得， 向量在上的正射影为． 即异面直线与间的距离为. 51．（25-26高二上·广东茂名·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为，设，，根据垂直关系可得，根据题意结合数量积运算求解；解法2：建系，利用坐标法结合向量投影运算求解. 【详解】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为， 设，， 则 ， ， 由题意可知：， 因为，则， 可得，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与之间距离是； 解法2：以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设，且，，则， 取，则，，可得， 则在上的投影就是两异面直线间的距离. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解法2解决的关键是将两异面直线间的距离转化为在上的投影，从而得解. 52．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）（多选）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，，，，，，， ，. 对于A，，，， ，，即，， 所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确； 对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为， 又，所以异面直线与的距离为.故B错误； 对于C，，， 所以在方向的投影向量的模为， 所以点到直线的距离为.故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，， ，又， 所以点到平面的距离为.故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题考查空间中的距离问题.解题思路是建立空间直角坐标系，求出点坐标，根据点到直线距离公式，异面直线距离公式，点到面的距离公式，利用向量的坐标运算求解. 53．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为_________. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，, 则， 设， 故， 由于直线，为异面直线，要使的最小，则是，的公垂线， 故解得， 所以 故， 故答案为：    54．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 考点十二　空间中的存在性问题 55．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若，，则在线段上（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请指出点位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明： 由题意可知，，，所以，，， 又因为，为线段的中点，所以， 所以四边形为正方形，由翻折可知，，， 又因为，， 所以面，因为面，所以， 因为四边形为正方形，所以，所以， 因为，为线段的中点，所以，又因为，所以平面. (2)存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点. 【分析】（1）通过线面垂直可证面，再由线面垂直的性质定理可得再通过线面垂直的判定定理证明即可. （2）由条件可得，为等边三角形，再由第一问的结论可建立空间直角坐标系，利用空间向量表示线面角的正弦值，解方程求出的比值即可求解. 【详解】（1）略； （2）因为，，所以为等边三角形，又因为，所以，， 如图，取中点，连接，    又因为为等边三角形，所以，过点作， 由（1）可得， 面，又因为面，所以， 所以，，， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，所以， 所以，，，，，设，因为，，三点共线， 所以，所以，所以，即， 所以，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以， 令，所以，，则，记直线与平面所成角为， 则， 即，解得，所以， 所以存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点. 56．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）如图1，正三角形的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角，如图2． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)平面，理由如下： 在中，∵分别是中点， ∴．又平面， 平面， ∴平面． (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，即可求解； （3）设，根据，求出点的坐标，即可得. 【详解】（1）平面，理由略； （2）因为二面角为直二面角，即平面平面, 且，平面平面，平面， 所以平面. 如图，以点为坐标原点，以直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 易知平面的法向量． 设平面的法向量， 则即, 取，得， 则， 所以 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）存在．设，有，则， ∴ 又，，， ∴， ∴． 把代入上式得， ∴，在线段上存在点，使，此时，． 57．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 为的中点， 侧面底面. 侧面底面平面， 平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）已知侧面底面，应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）建立空间向量求出平面PAD的法向量和平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解； （3）设点，再应用点到平面距离公式计算求参即可. 【详解】（1）略 （2）∵底面为直角梯形， 其中， ，又平面， ∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面PAD的法向量. 设平面的法向量， 则，取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设线段上存在， 使得它到平面的距离为， 到平面的距离， 解得或（舍去）， 则，则 58．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）如图，在正方体中，棱长为，为对角线上的动点，、分别为、的中点，解答下列问题： (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的最大正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）分析可知点到平面的距离等于，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的最大正弦值； （3）求出平面、的一个法向量的坐标，可得出这两个法向量平行，可得出关于的等式，解出的值，结合可得出结论. 【详解】（1）因为平面平面，所以点到平面的距离等于， 所以， 所以. （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设，其中， ， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 当且仅当时，直线与平面所成角的正弦值最大，且其最大值为. （3）由（2）知、、、、， 设平面的法向量为，，， 由，令，则， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 若平面平面，则，即，解得， 因此不存在这样的点使得平面平面. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $