专题01 空间向量及其运算与基本定理 讲义-2026-2027学年上学期高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的概念、运算及基本定理核心知识点，系统梳理从空间向量的定义、特殊向量分类，到加减、数乘运算规律，再到共线共面充要条件、数量积运算，最终到空间向量基本定理的完整脉络，搭建递进式学习支架。 资料通过表格清晰呈现概念与运算律，“注意”“技巧”模块强化理解，结合正方体、平行六面体等几何体例题，培养抽象能力、几何直观与推理意识。课中辅助教师分考点授课，课后助力学生通过典型例题回顾知识，查漏补缺。

专题01 空间向量及其运算与基本定理高频考点精讲 知识点1：空间向量的有关概念及其简单应用 1．空间向量的概念与表示 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 【注意】(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，不是没有方向． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．但起点和终点未必相同． (3)空间向量不能比较大小． 知识点2：空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形 叙述 运算 律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【注意】若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则＝或＋…＋＝0． 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 知识点3：空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (2)向量λa与向量a一定是共线向量． 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 知识点4：空间向量共线的充要条件 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 【注意】(1)0与空间任意向量a都是共线向量，这一性质使共线向量不具有传递性． (2)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． 证明空间三点共线的方法 对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线： (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 知识点5：空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α． 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 【注意】向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 知识点6：空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 【注意】两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． 2．空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任意向量的数量积为0． (2)空间向量的数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R． ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (3)空间两向量的数量积的性质 向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 3．向量的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a向直线l投影如图2． (3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量． 【注意】(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab． (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π． 知识点7：空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【注意】(1)基底中不能有零向量． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 用基底表示向量时应注意的两点 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求． 考点一　空间向量的有关概念 考点二　空间向量的线性运算 考点三　空间向量共线的判定及其应用 考点四　空间向量共面的判定及其应用 考点五　求空间向量的数量积 考点六　空间向量数量积的应用 考点七　空间向量基底概念及辨析 考点八　用空间基底表示向量 考点九　空间向量基本定理及其应用 考点一　空间向量的有关概念 1．（25-26高二上·全国·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D. 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 2．（25-26高二上·新疆·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D. 【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 3．（25-26高二上·山东日照·阶段检测）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 4．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可； （2）根据相等向量的定义写出即可； （3）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 考点二　空间向量的线性运算 5．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图所示的几何体是一个平行六面体，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形法则直接求解向量的线性运算即可. 【详解】由题知，. 故选：C 6．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 7．（25-26高二上·浙江台州·期中）空间四边形中，，，，点在上，且为中点，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算法则和运算律进行计算即可. 【详解】根据题意画出如图所示的空间四边形    由图可知 故选：B. 8．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得. 【详解】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C 考点三　空间向量共线的判定及其应用 9．（25-26高二·全国·随堂练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【答案】. 【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答. 【详解】因为，，则有， 又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线， 因此，解得， 所以实数k的值是. 10．（25-26高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 【答案】 【分析】先求出向量，再根据，，三点共线得出与的关系，从而求出的值. 【详解】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 11．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 12．（25-26高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 考点四　空间向量共面的判定及其应用 13．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）下列命题为真命题的是（    ）． A．空间内三点确定一个平面 B．垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C．若向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】利用平面确定定理可判断A；根据线面垂直性质可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D. 【详解】A选项，不在同一条直线上的三点确定一个平面，若三点共线，则可确定无数个平面，故A错误； B选项，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故B正确； C选项，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量， 与向量是不共面的向量矛盾，所以，，是不共面的向量，故C正确； D选项，因，则由空间向量共面的推论可知，四点共面， 故D正确. 故选：BCD. 14．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 15．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 16．（25-26高二上·四川达州·期中）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助平面向量线性运算及空间中四点共面性质可得，再利用基本不等式“1”的活用计算即可得解. 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当“”即“”时取“”， 故的最小值为 故选：B 17．（25-26高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 18．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）给出下列命题： ①若A，B，C，D是空间任意四点，则有； ②是，共线的充要条件； ③若，则，共线； ④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若且（其中x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中不正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接利用向量共线的条件，空间向量的加法，空间向量共面定理对各个选项逐一验证即可． 【详解】根据空间向量的加法法则，显然①正确； 若，共线，则或，故②错误； 若直线与平行，则，共线，故③正确； 当时，， ，即， ，即 若，则，则，即点三点共线，则四点共面， 若，，则四点共面， 综上，当时，P，A，B，C四点才共面，故④错误． 故选：B． 考点五　求空间向量的数量积 19．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可. 【详解】对A，若，则，不能得出，故A错误； 对B，，当与存在零向量时，与共线成立； 当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确； 对C，若，则，不能得出，故C错误； 对D，，，故不成立，故D错误； 故选：B 20．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解. 【详解】因为分别是的中点，所以， 所以 . 故选：C 21．（25-26高二上·广东清远·期中）（多选）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用空间向量数量积的定义分别求解即可. 【详解】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 22．（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形，，则___________． 【答案】2 【分析】利用空间向量的基底运算，即可求解. 【详解】设． ， ， . 故答案为： 考点六　空间向量数量积的应用 23．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 24．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 25．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 26．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 27．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 【答案】 【分析】利用向量模长计算公式可得答案. 【详解】由于两两夹角均为 60°，且模长均为 2，有： ， ， ， ， 因此：. 故答案为： 28．（25-26高二上·广东广州·期中）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则的模长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法将转化为与已知向量相关的形式，再根据向量的模长公式进行计算. 【详解】在平行六面体中，. 因为以顶点为端点的三条棱的长度都为，则. 又因为两两夹角为，根据向量点积公式（这里），可得： ； ； . 将上述值代入的表达式中： . 因为，根据向量的模长公式，所以. 故选：C. 考点七　空间向量基底概念及辨析 29．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 30．（25-26高二上·山西·阶段检测）（多选）若是空间的一个基底，则下列各组向量可以构成空间的基底的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面判定定理逐项判断即可. 【详解】因为是空间的一个基底，所以不共面． 对于A，因为向量分别与向量共线，所以不共面，故A正确； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于，假设共面，则存在唯一的实数对， 使得， 则该方程组无解，故与假设矛盾， 所以不共面，故C正确； 对于D，假设共面，则存在唯一的实数对， 使得， 则解得， 所以共面，故D错误． 故选：AC 31．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用向量共面的判定定理逐项判定即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面. 选项A：若共面，则，即，又不共面，所以（矛盾），故不共面.A符合. 选项B：若共面，则，即，又不共面，所以，解得，故共面.B不符合. 选项C：若共面，则，即，又不共面，所以，解得，故共面.C不符合. 选项D：若共面，则，即，又不共面，所以（矛盾），故不共面. D符合. 故选：AD. 32．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【详解】选项A，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以为共面向量， 所以不能作为基底，故A错误； 选项B，若共面， 则存在实数使得， 因为不共面，所以，解得， 所以存在实数使得， 即共面，所以不能作为基底，故B错误； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以共面， 所以不能作为基底，故C错误； 选项D，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，方程组无解，所以不为共面向量， 所以能作为基底，故D正确. 故选：D. 考点八　用空间基底表示向量 33．（25-26高二下·河北保定·开学考试）在正方体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，是的中点，是靠近的三等分点，如图： 34．（2026高三上·江苏无锡·专题练习）如图，在三棱柱中，已知M，N分别是上的点，且，设.若，，则的长为____． 【答案】/ 【分析】根据图形利用向量的加减数乘运算可将用表示，利用向量数量积的运算律，计算即得. 【详解】由已知条件可得 又因，， 所以可得，， 所以. 35．（25-26高二下·河南濮阳·开学考试）如图，在三棱锥中，，M，N分别为BC，AD的中点，则__________． 【答案】1 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算即可得. 【详解】由题意得，，，，， 则，，， 因为， 所以. 36．（2026高一下·江苏镇江·专题练习）如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算法则，即可得答案. 【详解】延长AM，交BC于点D，因为M为的重心，所以D为BC的中点，且， 则 . 37．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知四棱柱中，四边形为平行四边形，点是线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出几何图形，再利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】四棱柱中，四边形为平行四边形，则， 由点是线段的中点， 则 ，则， 所以. 故选：B 38．（25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱，，交于点，，，若，以为空间的一个基底，则__________.    【答案】 【分析】设，由空间向量的线性运算得出，，结合空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出答案. 【详解】设，则． 因为A，E，F，G四点共面，且不共线， 所以. 由，解得，所以. 故答案为： 考点九　空间向量基本定理及其应用 39．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】用表示求出即可得解. 【详解】由题意知， 因为，所以，则. 故选：B 40．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，分别是，，的中点，点在上，且，用，，表示下列向量： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据空间向量的线性运算直接得出. 【详解】（1）由，的中点， 则 ； （2）， ； （3）； （4） . 41．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2) ， 所以． 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2）略 42．（25-26高二上·河南·阶段检测）三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________． 【答案】/1.5 【分析】先利用重心和中点的性质，把用表示出来，再结合已知条件得出的关联，最后利用基本不等式求解． 【详解】   点为的重心， ， 为的中点， ， ，，， ， 四点共面， ， ， ，当且仅当时取等号． 故答案为：． 43．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量基本定理用表示出，求得后可得结论． 【详解】由题意， 又， 所以，只有D正确， 故选：D． 44．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知是平行六面体，、分别为棱和的中点． (1)化简，并在图中标出化简结果 (2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的值． 【答案】(1) . (2) 【分析】（1）由空间向量的运算，代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，，且，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 取的中点，则 . （2）因为是底面的中心，则， 因为是侧面对角线上靠近的四等分点， 所以， 则， 又，则， 所以. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算与基本定理高频考点精讲 知识点1：空间向量的有关概念及其简单应用 1．空间向量的概念与表示 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 【注意】(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，不是没有方向． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．但起点和终点未必相同． (3)空间向量不能比较大小． 知识点2：空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形 叙述 运算 律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【注意】若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则＝或＋…＋＝0． 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 知识点3：空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (2)向量λa与向量a一定是共线向量． 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 知识点4：空间向量共线的充要条件 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 【注意】(1)0与空间任意向量a都是共线向量，这一性质使共线向量不具有传递性． (2)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． 证明空间三点共线的方法 对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线： (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 知识点5：空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α． 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 【注意】向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 知识点6：空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 【注意】两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． 2．空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任意向量的数量积为0． (2)空间向量的数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R． ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (3)空间两向量的数量积的性质 向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 3．向量的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a向直线l投影如图2． (3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量． 【注意】(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab． (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π． 知识点7：空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【注意】(1)基底中不能有零向量． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 用基底表示向量时应注意的两点 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求． 考点一　空间向量的有关概念 考点二　空间向量的线性运算 考点三　空间向量共线的判定及其应用 考点四　空间向量共面的判定及其应用 考点五　求空间向量的数量积 考点六　空间向量数量积的应用 考点七　空间向量基底概念及辨析 考点八　用空间基底表示向量 考点九　空间向量基本定理及其应用 考点一　空间向量的有关概念 1．（25-26高二上·全国·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 2．（25-26高二上·新疆·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 3．（25-26高二上·山东日照·阶段检测）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 4．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 考点二　空间向量的线性运算 5．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图所示的几何体是一个平行六面体，则（    ）      A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·浙江台州·期中）空间四边形中，，，，点在上，且为中点，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 考点三　空间向量共线的判定及其应用 9．（25-26高二·全国·随堂练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 10．（25-26高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 11．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 12．（25-26高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点四　空间向量共面的判定及其应用 13．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）下列命题为真命题的是（    ）． A．空间内三点确定一个平面 B．垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C．若向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 14．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 15．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·四川达州·期中）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 18．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）给出下列命题： ①若A，B，C，D是空间任意四点，则有； ②是，共线的充要条件； ③若，则，共线； ④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若且（其中x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中不正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点五　求空间向量的数量积 19．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 20．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 21．（25-26高二上·广东清远·期中）（多选）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形，，则___________． 考点六　空间向量数量积的应用 23．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 25．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 27．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 28．（25-26高二上·广东广州·期中）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则的模长为（    ） A． B． C． D． 考点七　空间向量基底概念及辨析 29．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·山西·阶段检测）（多选）若是空间的一个基底，则下列各组向量可以构成空间的基底的有（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 考点八　用空间基底表示向量 33．（25-26高二下·河北保定·开学考试）在正方体中，，则（    ） A． B． C． D． 34．（2026高三上·江苏无锡·专题练习）如图，在三棱柱中，已知M，N分别是上的点，且，设.若，，则的长为____． 35．（25-26高二下·河南濮阳·开学考试）如图，在三棱锥中，，M，N分别为BC，AD的中点，则__________． 36．（2026高一下·江苏镇江·专题练习）如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 37．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知四棱柱中，四边形为平行四边形，点是线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱，，交于点，，，若，以为空间的一个基底，则__________.    考点九　空间向量基本定理及其应用 39．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 40．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，分别是，，的中点，点在上，且，用，，表示下列向量： (1)； (2)； (3)； (4). 41．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 42．（25-26高二上·河南·阶段检测）三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________． 43．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知是平行六面体，、分别为棱和的中点． (1)化简，并在图中标出化简结果 (2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $