2.1.2锐角的余弦 教案 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该教案聚焦锐角余弦定义、互余角正余弦关系、特殊角余弦值及计算器使用等核心知识点，通过回顾锐角正弦定义，以相似三角形为载体探究邻边与斜边比值恒定，搭建新旧知识学习支架。 此资料亮点在于依托相似三角形推导余弦概念发展推理意识，借助图形直观突破对边邻边区分难点培养几何直观，结合计算器实操训练提升应用意识。帮助学生理解三角函数本质，助力教师高效落实教学重点。

湘教新版教学设计 学科 数学 年级 九年级上册 课型 新授课 单元 第二单元 课题 2.1.2锐角的余弦 课时 第二课时 课标要求 通过直角三角形中的边角关系，认识锐角的正弦和余弦，理解锐角三角函数值是由锐角大小决定的，与所在直角三角形的大小无关。能够在直角三角形中准确辨认锐角的对边、邻边和斜边，掌握锐角正弦、余弦的定义，并能利用定义求锐角的正弦值和余弦值。理解互余两角的正弦、余弦关系，会求30°、45°、60°等特殊角的正弦、余弦值，并能借助计算器求一般锐角的正弦值、余弦值或根据正弦值、余弦值求对应锐角。 教材分析 教材首先通过两个具有相同锐角的直角三角形，引导学生观察并证明相应边长比值相等，从而说明在直角三角形中，某一锐角的邻边与斜边的比值只与这个锐角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。基于这一结论，教材给出了锐角余弦。随后，教材进一步利用直角三角形中两个锐角互余的特点，引导学生得到正弦与余弦之间的关系。在此基础上，教材安排了 30°、45°、60°特殊角余弦值的求解，以及含特殊角三角函数值的计算例题，帮助学生形成对正弦、余弦的整体认识。最后，教材介绍利用计算器求一般锐角的正弦值、余弦值，以及由正弦值或余弦值求对应锐角，为后续学习锐角三角函数的应用和解直角三角形奠定基础。 学情 分析 九年级学生已经具备直角三角形基本性质、相似三角形判定与性质、勾股定理以及特殊直角三角形边长关系等知识基础，能够理解直角三角形中边与角之间存在一定联系。同时，学生已经接触过用比值描述图形关系的思想，这为理解锐角正弦、余弦的定义提供了认知基础。 但学生在学习本节内容时仍可能存在以下困难：一是容易混淆“对边、邻边、斜边”的位置关系，特别是在图形方向发生变化时，不能准确判断某一锐角的对边和邻边；二是容易误以为正弦值、余弦值会随着直角三角形大小的变化而变化，难以从本质上理解“只与角的大小有关”；三是在利用互余角关系时，可能只机械记忆公式，而不能联系直角三角形中两个锐角互余的几何事实；四是使用计算器求三角函数值或由三角函数值求角时，对角度制、度分秒输入方式不够熟悉。因此，本节教学应充分利用教材中的探究图和直角三角形示意图，引导学生通过观察、比较、推理和计算，逐步建立正弦、余弦概念，突出“边长比—角的大小—函数值”之间的联系。 核心素养目标 1.知识与技能：掌握锐角正弦、余弦定义、互余转换规律、特殊角三角函数值，能运用计算器完成一般锐角三角函数相关计算。 2.过程与方法：通过直角三角形探究与相似三角形推理归纳三角函数核心性质，发展几何直观与逻辑推理能力。 3.情感态度与价值观：在边角关系探究中体会数学知识的逻辑关联，提升学习三角函数的积极性与自信心。 教学重点 1、理解锐角正弦、余弦的定义，能准确判断锐角的对边、邻边和斜边。 2、掌握在直角三角形中用边长比表示锐角正弦值、余弦值的方法。 3、理解并会运用互余角关系：cos α = sin(90°-α)，sin α = cos(90°-α)。 4、会求特殊角 30°、45°、60°的正弦值和余弦值，并能进行简单计算。 教学难点 1、理解锐角的正弦值、余弦值只与锐角的大小有关，与直角三角形的大小无关。 2、在不同位置、不同形状的直角三角形中，准确区分某一锐角的对边、邻边和斜边。 3、从直角三角形中两个锐角互余的几何关系出发，理解正弦与余弦之间的对应关系，而不是机械记忆公式。 4、正确使用计算器求锐角的正弦值、余弦值，以及根据正弦值或余弦值求对应锐角。 教学 准备 教师准备：多媒体课件、教材中图 2.1-6 和图 2.1-7 的直角三角形示意图、课堂练习题、三角尺或直尺、计算器演示工具。 学生准备：复习直角三角形的边角关系、相似三角形的性质、勾股定理以及 30°、45°、60°特殊直角三角形的边长关系；准备计算器、直尺、练习本等学习用品。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 【导入】 1、出示直角三角形ABC，其中∠C=90°，引导学生回顾直角三角形中的三条边：斜边、∠A的对边、∠A的邻边。 提问：在Rt△ABC中，若研究锐角A，那么哪条边是 ∠A 的对边？哪条边是斜边？ 学生回答：∠A的对边是BC，斜边是AB。 2、结合上一节课内容，继续提问： 在直角三角形中，锐角A的正弦怎样表示？ 引导学生回答：。在图中可表示为：。 3、追问：上一节课我们知道，在一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关。那么，如果把“对边与斜边的比”换成“邻边与斜边的比”，这个比值是否也只与角α的大小有关呢？ 学生快速指认边长，独立思考教师追问 依托旧知正弦知识搭建认知桥梁，自然引出余弦探究方向 二、引新 1、出示教材图 2.1-6： 引导学生读图：△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°。 （2）提问：你能由已知条件得到∠B和∠E的关系吗？ 学生回答：因为∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，所以∠B=90°−α，∠E=90°−α，从而∠B=∠E。 （3）引导学生思考：∠B和∠E的正弦值分别对应哪两条边的比？ 学生根据正弦定义回答：，。 （4）追问：由∠B=∠E，你能得到什么结论？ 学生回答：，因此。 （5）引导学生归纳：在一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关。 学生观察图形独立推导，小组交流后举手汇报边长比值相等结论 借助相似三角形直观素材，自主发现邻边与斜边比值恒定，引出余弦定义课题 三、探究 探究1：建立锐角余弦的定义 （1）出示教材图2.1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A为锐角。指出：AB是斜边，AC是∠A的邻边，BC是∠A的对边。 （2）在前面探究结论的基础上，引出定义：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫作角A的余弦，记作。 （3）板书：。若图中AC=b，AB=c，则。 （4）强调：求时，要先确定研究的是哪个锐角，再找这个锐角的邻边和斜边。 探究2：探究正弦与余弦的互余关系 （1）引导学生观察直角三角形中两个锐角的关系。在Rt△ABC中，若∠A=α，则∠B=90°−α。 （2）提问：表示哪个比值？表示哪个比值？ 学生发现：，。 （3）引导学生归纳：。 （4）同理引导学生得到：。 探究3：求特殊角的余弦值 （1）出示例3：求、、的值。 （2）引导学生利用互余关系求解： 依据： （3）强调：通过这些结果可以看出，特殊角的正弦值和余弦值可以互相转化。 探究4：利用计算器求锐角的正弦值、余弦值 （1）教师说明：对于 30°、45°、60°这些特殊角，我们可以根据特殊直角三角形求出它们的正弦值和余弦值。但对于一般锐角，如 50°、10°36′ 等，它们的正弦值和余弦值通常需要借助计算器求得。 （2）教师演示例题：求 sin50° 的值，精确到 0.0001。 按键顺序：，显示0.766044443，因此。 强调：计算器应处于“度”（DEG）模式。结果按题目要求保留到 0.0001。 （3）教师继续演示：求 cos10°36′ 的值，精确到 0.0001。 方法一（度分秒输入）：，显示0.982935349，因此。 方法二（换算为小数度）：，按，同样得到上述结果。 （4）教师演示已知正弦值反求锐角：已知，求（精确到0.1°）。 按键顺序：，显示21.6416292，因此。 再按，显示，所以精确到1′的结果为。 又如，已知cosα=0.8661，求对应锐角α（精确到 1″）. 按键顺序：，显示29.9914508，再按，显示，因此。 （6）教师归纳计算器使用方法：①求三角函数值：输入或，再输入角度；②由三角函数值求角：输入SHIFT+或SHIFT+，再输入对应数值；③注意：计算器处于“度”模式；④题目要求精确到0.0001时，结果保留四位小数；⑤题目要求精确到1′或1″时，需将小数度换算为度、分、秒。 学生标记图形边长，齐读定义、书写余弦公式，同桌互说邻边斜边区分方法 学生自主对比两条比值，小组归纳互余转换公式并口头复述 学生结合已知特殊角正弦值换算，集体默写三组特殊角三角函数值 学生跟随操作计算器，互相核对数值，记录按键易错要点 具象化图形拆解概念，突破区分对边邻边的教学难点 依托几何图形推导公式，避免机械记忆，理解互余关系本质 实现正余弦知识迁移，快速掌握特殊角全套函数值 实操训练计算器使用，解决工具操作的教学难点 四、变式 例4：计算。 （1）引导学生回顾特殊角的余弦值：，，。 （2）教师板书规范解题过程： （3）强调：表示，不是。 学生独立演算，2 名学生上台板演，其余同桌互评纠错 分层变式训练，夯实特殊角运算，区分平方三角函数书写规范 五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.计算 解：代入特殊角三角函数值： 2.已知在中，，，求的值。 解：方法1（互余公式）： ， 方法2（定义验证）： 的对边为，。 综上： 3.做一做 利用计算器计算： （1）____，____（精确到0.0001）； （2）____，____（精确到0.0001）； （3）若，则锐角____（精确到1°）； （4）若，则锐角____（精确到1″）。 教师巡视，个别指导，提醒学生注意：计算前要确认计算器处于“度”模式；遇到度、分形式的角要正确输入或转化为小数度；由三角函数值反求锐角时要使用SHIFT键。 集体订正，呈现参考结果： （1），； （2），； （3）； （4）。 学生独立完成习题，同桌互查答案，针对计算错误自主订正 当堂分层练习，即时检验正余弦、计算器操作综合运用能力 六、提升 引导学生从知识内容、研究方法和运用过程三个方面进行小结。 提出问题：本节课我们学习了哪些新的知识？ 1.在直角三角形中，怎样表示锐角的正弦和余弦？ 学生回答：，。 2.为什么同一锐角的正弦值、余弦值只与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关？ 学生回答：因为所有含这个锐角的直角三角形都相似，对应边的比值相等。 3.正弦与余弦之间有什么关系？ 学生回答：，。 4.30°、45°、60°这些特殊角的正弦值、余弦值分别是多少？ 学生回答特殊角的三角函数值：，， 5.对于一般锐角，怎样利用计算器求它的正弦值或余弦值？如果已知正弦值或余弦值，又怎样反求对应锐角？ 计算器使用：求值用键；反求用SHIFT+键 学生自主回顾知识点，举手分享学习收获，提出计算器操作疑问 构建完整知识框架，渗透类比探究法，为后续解直角三角形铺垫 板书设计 整体分为三大板块，黑板左侧标题居中，中间核心公式，右侧特殊角表格与计算器要点： 顶部标题：2.1.2 正弦与余弦 左中部：定义板块 标注：先定锐角，区分对边、邻边、斜边；比值仅与角大小有关 中下部：互余核心公式 ， 右侧板块：特殊角三角函数值表格 角度 30° 45° 60° sin 21​ 22​​ 23​​ cos 23​​ 22​​ 21​ 右下角小字备注：计算器操作：求值 sin/cos；反求 SHIFT+sin/cos；切换 DEG 度模式 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 基础达标： 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求sin A和cos A的值。 解答： 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4 斜边： 因为 ∠A 的对边是 BC，邻边是 AC，所以： 答：，。 2.求下列各式的值： （1）； （2）。 解答： （1） （2） 答：（1）；（2）。 3.已知，求的值。 解答：根据互余角关系： 所以： 答：。 能力提升： 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，，求cos B的值。 解答： 因为 ∠C=90°，所以 ∠A+∠B=90°，即 ∠A 与 ∠B 互余。 根据互余角的三角函数关系： 答：。 5.计算：。 解答： 先代入特殊角的三角函数值： 分别计算： 所以原式： 答：。 拓展迁移： 6.利用计算器解决下列问题： （1）已知，求锐角α（精确到0.1°）； （2）已知，求锐角β（精确到1′）； （3）不用计算器，你能判断与的大小关系吗？请说明理由。 解答： （1）已知 ，求锐角 （精确到0.1°） 用计算器求 。 计算可得： 答：。 （2）已知 ，求锐角 （精确到1′） 用计算器求 。 计算可得： 因为 即 ，所以精确到 1′ 为： 答：。 （3）不用计算器，你能判断 与 的大小关系吗？请说明理由。 根据互余角的三角函数关系： 所以： 答： 与 相等。 教学反思 本节课依托相似三角形旧知推导余弦概念，分层探究活动有效突破 “对边邻边区分、函数值只与角相关” 两大难点，借助图形直观、计算器实操降低抽象概念理解难度，变式与当堂练习落实基础计算，但课堂上部分学生仍会混淆图形翻转后的邻边，图形变式训练的课堂容量可适当增加。 课堂小结分层梳理知识、方法、应用，帮助学生建立三角函数知识体系，互余关系的几何推导让学生摆脱死记硬背；不足在于计算器实操指导仅集中演示，个别操作薄弱学生未得到一对一指导，后续可增设小组互助操作环节，同时增加生活化情境题，提升学生三角函数应用意识。 学科网（北京）股份有限公司 $