内蒙古鄂尔多斯市第一中学东胜校区（东联现代高级中学）2026-2027学年高二上学期期初考试数学试题

**基本信息** 市一中东胜校区高二数学收心启航考试，覆盖复数、向量、立体几何等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查抽象能力、空间观念与推理能力，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数条件判断、向量共线、立体几何位置关系|基础概念辨析，如第1题复数纯虚数条件考查抽象能力| |多选题|3/18|概率事件关系、三角函数图像性质|选项分层，如第9题互斥与独立事件辨析培养推理意识| |填空题|3/15|向量投影、三角形面积与钝角|简洁计算，第12题单位向量投影考查数学语言表达| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、统计与概率、立体几何|综合应用，如19题正方体证明与空间角计算发展空间观念，18题统计题结合频率分布直方图培养数据意识|

市一中东胜校区2026一2027学年第一学期收心启航考试 高二数学试卷答 单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D c A C C D 二 多选题 9 10 11 AD ABD ABD 三.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12.-b13.60°.14.>4 三.解答题（共5小题，共77分） 15(1)120° (2)(4,3),(-4,-3) 16.已知f6x)=sin(2.x+5】 6 (1)求最小正周期： (2)若x∈ 6'12 求f(x)的最大值和最小值： (3)若∈(0， √ sin c= ,求f(a). 3 【答类】国2最大值为9.数小值为26 2 6 【详解】(1)T=2江-2 Γo2 =兀： 2》若，则2x+ ππ 66'3 自正弦函数性质可知，当2x名名即名时，国数有最小值，即 6 所以函数()的最大值为，最小值为： (3)若ae0, 2 ，所以cosa-M-ma-6 3 则sin2a=2 sin a cos.= 2W2 1 cos 2a=1-2sin2a= 3 3 则f(a)=sim2a+ 6 sim 2acos+cos2asin126+1 6 632326 【答案】(1) 1 17:(2)2. 【详解】试题分析：(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=π-B,再利用诱导公式化 简(1+C),利用降幂公式化简8nm号，结合sim2B+coSB=1,求出cosB,(2)由 (1)可知血5号，利用三角形面积公式求出心，再利用余弦定理即可求出b。 试题解析：(1)sin(4+C)=8in2B，siB=41-c0sB),sin2B+cos2B=1, 2 16(1-coB+cos2B=1,÷17c0sB-150cosB-1）=0,cosB= 17: (2)由(1)可知sinB= 17 eesinB=2. 1 2 6=d2+c2-2 ccos=d+c2-2×7×5=d+c2-15=(a+c}-2a-15=36-17-15=4 217 ∴b=2. 17.【答案】(1) 1 17:(2)2. 【详解】试题分析：(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=π-B,再利用诱导公式化 商(4+C),利用降幂公式化简8m号，结合sim'B+cosB=1,求出cosB:(2)由 (1)可知smB=7,利用三角形面积公式求出ac,再利用余弦定理即可求出b. 8 试影解折：（1m(1+C=n号，B=40-c0oB).mB+cosB=1, 16(1-c0sBy+cos2B=1,17c0sB-15)(c0sB-1)=0,c0sB= 1>: (2)由(1)可知simB=8 179 1 17 aece sinB =2, 2 6=d+c2-2 cosB=a+c2-2x17x15-d+ec2-15=(a+c}-2ac-15=36-17-15=4 2171 b=2. 18.【详解】(1)由频率分布直方图可得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,解 得a=0.03, (2)由频率分布直方图知， 成绩在[50,60)的学生人数为100×10×0.01=10， 成绩在60,70)的学生人数为100×10×0.02=20， 所以这两组学生成绩的平均数为2=10x54,4+20x6.4=624, 10+20 所以这两组学生成绩的总方差为 2= 10 10+20 [52+(64-24j门o”92+64-624]-390 15 19.1.(1)证明：由正方体的性质可知AC/1AC, 因为ACC平面ACD,AC4平面ACD, 所以ACI1平面ACD. 6 3 3,43 3 【详解】(1)略 (2)设AC,BD交于点O,连接D,O,由正方形的性质可知DO⊥AC,且DO=V2: 因为正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，所以DA=D,C=AC=2W2, 所以D014C,且D0=5×2N2=6, 所以∠D,OD为平面ABCD与平面ACD所成角的平面角， 因为DD⊥底面ABCD,所以DD,⊥DB, 所以sin∠D,OD= DD6 DO=3,即平面ABCD与平面1CD,所成角的正弦值为V6 3 D A D C A. (3)以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),B(2,2,2), AC=（-2,2,0),AD=（-2,0,2),DB=(2,2,0), i.AC=-2x+2y=0 设平面ACD的一个法向量为i=(x,y,z),则 n·AD=-2x+2z=0 令x=1可得n=(1,1,1), 设B,到平面ACD的距离为d, 则d= nDB43 3 即点B到平面ACD的距离为4V3 ZA D A B D C B 市一中东胜校区2026—2027学年第一学期收心启航考试 高二数学试卷 一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．“或”是“复数为纯虚数”的（） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 2．已知向量，不共线，且则实数（） A． B．1 C． D．2 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．在同一坐标系中，函数与的图像可能是（） A． B． C． D． 5.已知 ，，，则 的大小关系是（） A. B. C. D. 6.在 中，若 ，且 的面积 ，则 （ ） A. B. C. D. 7．偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，且f（2）＝﹣1，则满足f（2x﹣4）＞﹣1的实数x的取值范围是（ ） A．（1，2） B．（﹣∞，3） C．（1，3） D．（﹣1，3） 8．若函数f（x）＝，在满足对任意实数x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围为（） A．（0，2] B．[1，2） C．（1，2） D．[1，2] 2、 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ） A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件 C. D. 甲和丁为独立事件 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A．的最小正周期为 B．的图像可由的图象向左平移个单位得到C．的对称轴为 D．在区间上的最大值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 在上单调递增 C. 值域为 D. 恰有两个零点 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 己知均为单位向量．若=1，则在上的投影向量为_________ 13.若的面积为,且为钝角，则_________ 14．若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 四．解答题（共5小题，共77分） 15．已知向量，． (1)若，且，求向量与向量的夹角； (2)若，且，求向量的坐标． 16．已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 17．的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 18．为了了解某校高二年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值；并求出考核成绩的中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求落在的学生的成绩的平均数和方差.（结果精确到0.1） (3)用分层抽样的方法在考核成绩在内的抽出7人，再从这7人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率. 19．如图，正方体的棱长为2. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $