第05讲 3.3幂函数（知识清单+12类热点题型+分层强化训练）【精讲精练】-2026-2027学年高一上学期数学同步学与练（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦幂函数核心知识点，系统梳理概念（定义、特征）、图象与性质（五个幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等），通过题型精讲（判断、求值、解析式等12类题型）构建从基础到综合的学习支架，辅以思维导图整合知识脉络。 该资料以问题驱动设计，“即学即练+典例变式”强化概念应用，培养数学思维（如单调性解不等式训练逻辑推理）。题型精练分A/B/C三层适配不同需求，课中助力教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

第05讲 3.3幂函数 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 【即学即练1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点02：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 3、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 【即学即练2】（25-26高一上·安徽淮北·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01判断函数是否为幂函数 【典例1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高一上·新疆·阶段检测）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 题型02求幂函数的值 【典例1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【典例2】（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·山西忻州·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D．4 【变式2】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 【变式3】（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 题型03求幂函数的解析式 【典例1】已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 【典例2】（24-25高一上·天津和平·期中）若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 【变式1】（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 【变式2】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则的解析式为____________. 【变式3】（24-25高一下·云南楚雄·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则___________. 题型04根据函数是幂函数求参数 【典例1】（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 【典例2】（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【变式1】（25-26高一下·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． 【变式2】（2025高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【变式3】（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 题型05幂函数的定义域 【典例1】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【变式1】幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是___________. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有________个． 题型06求幂函数的值域 【典例1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·广东江门·期中）已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 【变式1】（25-26高一上·浙江·期中）下列四个函数中，值域为的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·辽宁·阶段检测）函数的值域为__________. 【变式3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 题型07幂函数的图象的判断及应用 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）作出幂函数的图象； （2）根据（1）的结论观察图象，解不等式：. 【变式1】（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 题型08幂函数过定点问题 【典例1】（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为_________. 【变式1】（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的图像恒过点________________． 【变式2】（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点___________. 【变式3】（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 题型09幂函数的奇偶性 【典例1】（25-26高一上·安徽淮北·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·山东青岛·期中）若幂函数为奇函数，则实数为___________． 【变式1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（25-26高一上·福建莆田·期中）下列幂函数中为奇函数的有（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2025高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 题型10根据幂函数的单调性求参数 【典例1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（   ） A．1 B．或3 C． D．3 【典例2】（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【变式1】（25-26高二下·河北·期末）已知幂函数在上单调递减，则__________． 【变式2】（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【变式3】（25-26高一上·云南大理·期末）已知幂函数为偶函数，且在上单调递增，则______. 题型11根据幂函数的单调性解不等式 【典例1】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·陕西延安·期中）已知幂函数的图象经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为________． 【变式3】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 题型12根据幂函数的单调性比较大小 【典例1】（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【变式1】（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一·全国·寒假作业）判断大小：__________．（填“＞”或“＜”） 【变式3】（25-26高一上·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·吉林长春·期末）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（     ） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 2．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 5．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 6．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 8．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 三、填空题 10．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． B能力提升 1．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 5．（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. C综合素养 1．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 2．（25-26高一上·黑龙江·期中）已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为___________． 5．（2025高一上·安徽·竞赛）对于函数，，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为． 则称为函数的“优美区间”. (1)判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； (2)若函数存在“优美区间”（m，），求实数a的最小值； (3)若函数（，）存在“优美区间”，当t变化时，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 3.3幂函数 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 【即学即练1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 知识点02：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 3、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 【即学即练2】（25-26高一上·安徽淮北·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，定义域为，不关于原点对称，非奇非偶，故A错误； 对于B，不属于幂函数，故B错误； 对于C，定义域为关于原点对称，，为偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，，为奇函数，故D正确. 第三部分 题型精讲 题型01判断函数是否为幂函数 【典例1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【典例2】（多选）（25-26高一上·新疆·阶段检测）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 【变式1】（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 【变式2】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可判断. 【详解】由幂函数的定义：形如,其中为常数，所以可得是幂函数． 故选：C. 【变式3】下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义判断即可得答案. 【详解】利用幂函数的定义：形如的函数叫做幂函数，故只有为幂函数. 故选：A. 题型02求幂函数的值 【典例1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 【典例2】（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或． 又在上单调递减，所以，所以． 【变式1】（25-26高一上·山西忻州·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和单调性确定参数数值，求得解析式，再求函数值即可； 【详解】因为为幂函数， 则， 解得或， 又因为在上单调递减， 所以，则； 所以， 故， 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 【答案】27 【分析】先根据题意得到，再计算即可. 【详解】由题知：，，所以. . 【变式3】（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 题型03求幂函数的解析式 【典例1】已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 【答案】 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以 ，即，解得 ，即， 则，定义域为 . 故所求幂函数的解析式为：. 【典例2】（24-25高一上·天津和平·期中）若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 【答案】/ 【分析】由是幂函数有，结合基本函数的图象，排除掉与轴有交点时的值，即可求. 【详解】因为是幂函数，则，解得或， 若，则，此时的图象与轴没有交点，故成立； 若，则，此时的图象与轴有交点，故不成立； 综上，，即. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 【答案】 【详解】设， 所以，解得：，故. 【变式2】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则的解析式为____________. 【答案】 【分析】代入点的坐标，求出的值，即可求出函数解析式. 【详解】因为幂函数的图像过点，所以，所以， 则. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·云南楚雄·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则___________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义即可求，再根据的图像关于轴对称即可求解. 【详解】由题意有，即，解得或， 又的图象关于轴对称，所以，即. 故答案为：. 题型04根据函数是幂函数求参数 【典例1】（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先依据幂函数的定义求出的可能取值，再结合函数在上单调递减的性质筛选得到正确结果. 【详解】根据幂函数的定义可得 ，即，解得或， 又在上单调递减，可得，即， 所以. 【典例2】（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 【变式1】（25-26高一下·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． 【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. 【变式2】（2025高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 【变式3】（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【详解】由题意得，，解得，. 题型05幂函数的定义域 【典例1】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 【变式1】幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数有意义可直接得到结果. 【详解】，，即的定义域为. 故选：B. 【变式2】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是___________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出其定义域. 【详解】设，由的图象过点，得，解得， 因此，其定义域为， 所以该幂函数的定义域是. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有________个． 【答案】3 【分析】根据次方根，分数指数幂的意义来求解函数的定义域，利用非负数存在偶次方根，任意的实数存在奇次方根来求解函数的定义域． 【详解】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 题型06求幂函数的值域 【典例1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件分析求出参数，结合题意分析得出函数的解析式，然后利用函数单调性求值域即可. 【详解】对任意的，都有， 所以函数为奇函数， 又，所以， 当时，满足①不满足②， 当时，满足①和②， 当时，不满足①和②， 所以幂函数为， 又函数在区间上是增函数， 故在上单调递增， 所以， 即函数在上的值域为， 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·广东江门·期中）已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由②得函数为奇函数，对m分类讨论判断即可； （2）利用函数单调性求值域. 【详解】（1）对任意的，都有，∴是奇函数. 且，则当时，，满足①不满足②； 当时，，满足①②； 当时，，不满足①②. 故幂函数的解析式为； （2），，故的值域为. 【变式1】（25-26高一上·浙江·期中）下列四个函数中，值域为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据值域的概念，以及基本初等函数性质，逐一求出各函数值域，判断结果即可. 【详解】由可知，对勾函数值域为，所以A错误； 由幂函数性质可知，函数的值域为，所以B错误； 由，函数值域为，所以C错误； 由，即，解得或，此时函数值域为，所以D正确； 故选：D. 【变式2】（23-24高一下·辽宁·阶段检测）函数的值域为__________. 【答案】 【分析】结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为. 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】(1) 选①时，；选②时， (2) 若，的值域为 若，的值域为. 【分析】（1）根据题意，由幂函数的性质列出方程即可求得，从而得到函数的解析式； （2）根据题意，由幂函数的值域即可求得结果. 【详解】（1）∵，其中， 当时，当时，当时，（）， ∵在区间上单调递增，∴，或 选①时，可知函数为偶函数，则的解析式为， 选②时，可知函数为奇函数，则的解析式为. （2）若函数 易知在上单调递减，在上单调递增 当时，，当时，， ∴的值域为. 若，易知在上是增函数 当时，，当时，， ∴的值域为. 题型07幂函数的图象的判断及应用 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 【典例2】（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）作出幂函数的图象； （2）根据（1）的结论观察图象，解不等式：. 【答案】（1）如图：（2）. 【分析】（1）结合幂函数的性质作出函数图象. （2）利用幂函数的图象性质求解不等式. 【详解】（1）幂函数的定义域是R，，函数是偶函数， 其图象关于轴对称，在上单调递增， 函数的图象，如图： （2）由（1）知，不等式， 因此，整理得，解得或， 所以原不等式的解集为. 【变式1】（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 【变式2】（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 【变式3】（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 题型08幂函数过定点问题 【典例1】（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 【典例2】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为_________. 【答案】4 【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 【变式1】（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的图像恒过点________________． 【答案】 【详解】令得，此时，所以的图象恒过. 【变式2】（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点___________. 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 【变式3】（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 题型09幂函数的奇偶性 【典例1】（25-26高一上·安徽淮北·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，定义域为，不关于原点对称，非奇非偶，故A错误； 对于B，不属于幂函数，故B错误； 对于C，定义域为关于原点对称，，为偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，，为奇函数，故D正确. 【典例2】（25-26高一上·山东青岛·期中）若幂函数为奇函数，则实数为___________． 【答案】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，是奇函数，满足题意； 当时，不是奇函数，舍去. 综上可得，. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义可得出关于的等式，求出的值，再结合函数为偶函数检验即可. 【详解】因为函数是幂函数，则，即，解得或， 当时，函数为奇函数，不符合题意， 当时，函数为偶函数，符合题意. 综上所述，. 故选：D. 【变式2】（多选）（25-26高一上·福建莆田·期中）下列幂函数中为奇函数的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先判断定义域是否关于原点对称，再结合奇偶性的定义求解. 【详解】A，定义域为，不关于原点对称，A错误； B，定义域为，定义域关于原点对称， 又，故为奇函数，B正确； C，定义域为，定义域关于原点对称， 又，故为偶函数，C错误； D，定义域为，定义域关于原点对称， 又，故为奇函数，D正确. 故选：BD 【变式3】（2025高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 题型10根据幂函数的单调性求参数 【典例1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（   ） A．1 B．或3 C． D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再代入检验即可. 【详解】由题意知，即，解得或， ∴当时，，则在上单调递增，符合题意； 当时，，则在上单调递减，不符合题意， ． 故选：C 【典例2】（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 【变式1】（25-26高二下·河北·期末）已知幂函数在上单调递减，则__________． 【答案】 【详解】由题意可知， 所以，解得. 所以， 所以. 【变式2】（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【详解】由题意得，，解得，. 【变式3】（25-26高一上·云南大理·期末）已知幂函数为偶函数，且在上单调递增，则______. 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义可得，再由幂函数的性质求解. 【详解】根据幂函数的定义可得，解得或， 且函数在上单调递增，所以，故， 此时函数为为偶函数，符合题意. 故答案为：2 题型11根据幂函数的单调性解不等式 【典例1】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 【典例2】（25-26高一上·陕西延安·期中）已知幂函数的图象经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为； (2). 【分析】（1）根据幂函数所过的点求解析式，进而确定其定义域； （2）由幂函数的定义域和单调性解不等式求参数范围. 【详解】（1）设，则，解得，故，其定义域为； （2）由，则在上单调递增， 所以，即，即， 所以，实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求得，再根据其单调性和奇偶性求解. 【详解】设幂函数， 因为的图象过点， 所以，解得， 所以且在上是增函数，奇函数， 又， 所以， 所以，解得， 故选：B 【变式2】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及奇偶性求得，根据函数的性质解不等式即可． 【详解】因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，是奇函数，符合题意； 当时，是偶函数，不符合题意； 所以，，因为在上单调递增， ，所以，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 【变式3】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由幂函数的单调性和图象的对称性确定指数取值范围即可求解； （2）直接根据函数解析式解不等式即可. 【详解】（1）由题意，幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，故可知其指数为正偶数， 故有，解得或. 若，则，此时为偶函数，符合题意； 若，则，此时为偶函数，符合题意. 综上所述，或，. （2）由，可得，整理得， 解得，即. 题型12根据幂函数的单调性比较大小 【典例1】（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助是增函数，直接得解. 【详解】因为是增函数， 因为，所以， 即. 故选：C 【典例2】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 【详解】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 【变式1】（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 【变式2】（25-26高一·全国·寒假作业）判断大小：__________．（填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判定大小即可. 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故答案为： 【变式3】（25-26高一上·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 【答案】 【分析】根据题意结合幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增，则， 所以. 故答案为：. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·吉林长春·期末）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（     ） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 【答案】D 【分析】先求出的值，再根据幂函数的性质进行判断即可. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得， 所以， 所以函数在和上单调递减，且为奇函数. 2．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 3．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先依据幂函数的定义求出的可能取值，再结合函数在上单调递减的性质筛选得到正确结果. 【详解】根据幂函数的定义可得 ，即，解得或， 又在上单调递减，可得，即， 所以. 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 5．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 6．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或． 又在上单调递减，所以，所以． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 8．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得函数的定义域，再求得为偶函数，且在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，则满足，解得， 即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除BD选项， 又由幂函数的性质，可得在上单调递减， 所以选项A的图象符合题意. 二、多选题 9．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据幂函数定义计算可得或，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 10．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. B能力提升 1．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由幂函数图象所过的点求出幂函数解析式，再由复合函数同增异减的原则可求其单调递增区间． 【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在   或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义和性质列式求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得. 5．（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明如下： 由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）由题意设幂函数为，将代入即可求得幂函数的解析式； （2）设，比较与的大小，结合函数单调性即可证明在上的单调性； （3）由（2）知在上单调递增，可解得在上的值域，设，根据题意有，分析二次函数的单调区间即可求其最小值，即的取值范围. 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）略 （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. C综合素养 1．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义和性质求，结合函数单调性确定解析式，再利用函数单调性、奇偶性得出的符号情况． 【详解】函数是幂函数， ，解得或，或， 对任意的且，满足， 在上单调递增，则， 为上单调递增的奇函数， ， ， ，故，故B正确． 故选：B． 2．（25-26高一上·黑龙江·期中）已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义可得，再根据偶函数的定义可得，所以，，由函数在区间上的单调性列式求解即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或． 当时，为偶函数，符合题意； 当时，为非奇非偶函数，不符合题意， 所以． 若函数在上单调递增， 则，解得 若函数在上单调递减， 则，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：． 3．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 4．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为___________． 【答案】-1 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，根据的值分类讨论即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或, 当时，，此时函数是奇函数，在上单调递减，定义域为，此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，符合题意； 当时，，此时函数是偶函数，在上单调递增，定义域为R，此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故不符合题意； 综上所述，的取值为， 故答案为： 5．（2025高一上·安徽·竞赛）对于函数，，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为． 则称为函数的“优美区间”. (1)判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； (2)若函数存在“优美区间”（m，），求实数a的最小值； (3)若函数（，）存在“优美区间”，当t变化时，求的最大值． 【答案】(1)不是，因为函数在上为减函数，且，， 所以的值域为，所以不是函数的“优美区间”． (2)4 (3) 【分析】（1）根据在区间上单调递减求出的值域，再利用新定义判断即可； （2）函数在（m，）上为增函数，又（m，）为的“优美区间”，则，即是的两个不等的正整数根，结合根与系数的关系即可求解； （3）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解的最大值. 【详解】（1）略 （2）因为在（m，）上为单调增函数，又（m，）为的“优美区间”， 所以，，所以m，n是方程的两个不等正整数根， 即m，n是的两个不等的正整数根， 所以，解得或， 所以a的最小值为4． （3）定义域为，假设或， 在上为增函数，又是函数的“优美区间”，所以，， 所以m，n是方程的两个不等的实数根，即m，n是的两个同号且不等实数根， 所以或，又， 所以， 当时，取得最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $