第02讲 3.1.2 函数的表示法【精讲精练】-2026-2027学年高一上学期数学同步学与练（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦高中数学“函数的表示法”核心知识点，系统梳理解析法、列表法、图象法三种表示形式及其联系，整合求解析式的待定系数法等四种方法，构建分段函数及图象变换的学习支架，为函数性质学习奠定基础。 资料通过对比三种表示法优缺点培养数学眼光，以“龟兔赛跑”等实例训练数学思维，结合即学即练与分层精练提升数学语言表达，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识。

第02讲 3.1.2函数的表示法 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：函数的表示法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点02：求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【即学即练1】（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 知识点03：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 【即学即练2】（2026高三·全国·专题练习）图中的图像所表示的函数的解析式________．    知识点04：函数的图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【即学即练3】（25-26高三·全国·一轮复习）作出函数y=|x2-4x-5|的图象． 第三部分 题型精讲 题型01函数的三种表示法的应用 【典例1】（2025高二下·湖南·学业考试）一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）所给4个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．④①② 【变式2】（25-26高一上·河北邯郸·期中）根据表中数据，可得（    ） 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）根据列表中的数据选择合适的模型，则函数______． 题型02待定系数法求函数的解析式 【典例1】（多选）（25-26高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·湖南·期中）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【变式1】已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【变式2】（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 题型03换元法求函数的解析式 【典例1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若函数，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型04配凑法求函数的解析式 【典例1】（25-26高一上·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 【变式3】已知，求的解析式． 题型05方程组（消去）法求函数的解析式 【典例1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【变式1】（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【变式2】已知，求的解析式． 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式. 题型06求分段函数的值 【典例1】（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·四川凉山·期末）设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【变式1】（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 【变式3】（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知，则（   ） A． B． C．1 D．10 题型07根据分段函数的值求参数 【典例1】（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 【典例2】（25-26高二下·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 【变式1】（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【变式2】（2026·河北唐山·一模）已知，若，则______. 【变式3】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，若，则实数的值为__________. 题型08分段函数的值域或最值问题 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【典例2】（24-25高一下·重庆·阶段检测）函数，则函数的值域为__________. 【变式1】已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 【变式2】函数的值域为_________ 【变式3】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 题型09解分段不等式 【典例1】（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数．则不等式的解集为__________． 【变式2】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）设函数则不等式的解集是___________ 【变式3】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数，则的解集为______． 题型10函数图象识别 【典例1】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·云南昭通·期中）定义运算，则函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高二上·贵州·学业考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的图象如图，则的图象是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（25-26高二上·江苏常州·期中）直线（为实数）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型11画出具体函数图象 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【典例2】（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数．    (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)结合图象写出它的单调递增区间和值域． 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出函数y=|x2-4x-5|的图象． 【变式2】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 题型12根据实际问题做出函数图象 【典例1】1．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）如图，在直角梯形OABC中，已知，且，梯形被直线截得位于直线l左方图形的面积为S．    (1)求函数的解析式； (2)画出函数的图象． 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）某同学居住地距离学校1km，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐店买早餐耽搁1分钟后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23高一下·浙江杭州·期末）杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   题型13根据图象选择解析式 【典例1】（24-25高一上·江西抚州·阶段检测）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·山东聊城·期中）函数的部分图像如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．4 C．6 D．8 5．（25-26高一上·贵州安顺·期末）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   6．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 二、多选题 8．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题 9．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 10．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为__________． B能力提升 1．（2026高三·全国·专题练习）设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A．B． C． D． 2．定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数满足：，对任意非零实数，都有成立，且，则_____. 4．（24-25高一上·四川宜宾·期中）蜀南竹海位于宜宾市长宁县，是一个以竹景为主的风景名胜区，也是融自然景观和文物古迹为一体的避暑地.区内500多座峰峦竹林密布，碧浪连天.蜀南竹海内有竹海博物馆､花溪十三桥､海中海等自然景观和古刹等人文景观.某开发商计划2024年在蜀南竹海景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2024年有万名游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为100元. (1)求2024年该项目的利润（万元）关于游客数量（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ C综合素养 1．（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意实数x，y满足，且，若对所有，恒有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·山西忻州·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，若在上恒成立，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·河南·期中）用表示不小于的最小整数，例如，，．已知，，则下列正确的有（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．函数的值域为 4．（25-26高一下·湖南长沙·期末），用表示、中的最小者，记为，，则当_________时，取到最大值． 5．（25-26高一上·上海·期中）已知函数在区间D上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数T，存在，使得，且，则称函数在区间D上具有性质． (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求正整数m的最小值； (3)若函数在区间上具有性质，求T的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 3.1.2函数的表示法 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：函数的表示法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点02：求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【即学即练1】（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 知识点03：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 【即学即练2】（2026高三·全国·专题练习）图中的图像所表示的函数的解析式________．    【答案】 【详解】当时，， 当时，设，把，分别代入可得， 解得，故 即函数的解析式 知识点04：函数的图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【即学即练3】（25-26高三·全国·一轮复习）作出函数y=|x2-4x-5|的图象． 【答案】 【分析】先画出，再将轴下方的部分翻折到轴上方即可得到函数的图象. 【详解】的图象可由函数的图象保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分翻折到轴上方得到，如图所示. 第三部分 题型精讲 题型01函数的三种表示法的应用 【典例1】（2025高二下·湖南·学业考试）一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长可列出之间的关系式，求出x的范围，即得答案. 【详解】由题意可得，则， 其中，则，则， 故矩形的长关于宽的函数解析式为. 故选：A 【典例2】（25-26高一下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【答案】④ 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）所给4个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．④①② 【答案】D 【分析】先逐一分析各事件对应的距离和时间的关系，找出与之相对应的图象，再根据事件的顺序对相应的图象进行排序，从而判断选项． 【详解】事件(1)：离开家返回家找作业本上学，距离变化为“上升下降为0保持为0上升”，对应图象为④； 事件(2)：匀速行驶堵车继续匀速行驶，距离变化为“匀速上升水平不变匀速上升”，对应图象为①； 事件(3)：缓缓加速，速度逐渐增大，距离关于时间的曲线斜率（速度）递增，对应图象为②； 综上，与所给3件事吻合最好的顺序为④①②，故D正确． 故选：D． 【变式2】（25-26高一上·河北邯郸·期中）根据表中数据，可得（    ） 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用表格计算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）根据列表中的数据选择合适的模型，则函数______． 【答案】 【分析】根据定义域和值域直接构造函数即可. 【详解】的定义域包含数集，值域包含数集， 对于每一组数据，都有， 可令，代入均满足题意． 故答案为：. 题型02待定系数法求函数的解析式 【典例1】（多选）（25-26高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由函数的类型设，结合已知列方程求参数值，即可得解析式. 【详解】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或. 故选：AC 【典例2】（25-26高一上·湖南·期中）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）利用待定系数法，即可求得答案． 【详解】（1）设，则， ，解得，或， 或． （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以． 【变式1】已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 【变式2】（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可. 【详解】由题意可设，所以， 解之得，即. 故答案为：. 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 【答案】或 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案. 【详解】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. 题型03换元法求函数的解析式 【典例1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 【典例2】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求解函数解析式即可. 【详解】令，可得，由题意得，则， 因为，所以， 则，故D正确. 故选：D 【变式1】若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，， . . 【变式2】（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 【变式3】（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制. 【详解】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 题型04配凑法求函数的解析式 【典例1】（25-26高一上·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数的解析式. 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 【典例2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，由求解. 【详解】因为，且， 所以． 故选：B 【变式1】（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法求函数解析式． 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 【变式2】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【分析】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围. 【详解】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 【变式3】已知，求的解析式． 【答案】 【分析】由配凑法求解出的解析式. 【详解】因为， 所以． 题型05方程组（消去）法求函数的解析式 【典例1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 【答案】 【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 【变式1】（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 【变式2】已知，求的解析式． 【答案】， 【分析】构造关于与的方程组，通过解方程组，求得的解析式． 【详解】由已知①，， 则②， 所以①②，得，， 所以，. 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式. 【答案】 【分析】将已知式子中的换成，利用方程组法即可求得答案. 【详解】将已知式子中的换成得， 所以，消去得， 所以的解析式为. 题型06求分段函数的值 【典例1】（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 【典例2】（25-26高一上·四川凉山·期末）设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】分、、三种情况解方程即可. 【详解】当时，由，解得（舍去）， 当时，由，可得，解得（舍去）或， 当时，由，可得（舍去）， 综上所述，. 故选：A. 【变式1】（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 【变式2】（24-25高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【详解】， ． 【变式3】（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知，则（   ） A． B． C．1 D．10 【答案】A 【分析】先求，再代入求出即可. 【详解】由题意可得，，则. 故选：A 题型07根据分段函数的值求参数 【典例1】（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 【答案】D 【分析】令，可得或，结合的取值范围分析求解. 【详解】令，则，若，则，解得， 若，则，解得， 故或， 当时，，与或矛盾， 故，所以， 所以或，解得或. 故选：D. 【典例2】（25-26高二下·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 【答案】或2 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 【变式1】（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 【变式2】（2026·河北唐山·一模）已知，若，则______. 【答案】3 【分析】由题意可得：，分和两种情况讨论，去绝对值解方程即可. 【详解】由题意可得：， 当时，可得，即，解得或（舍去）； 当时，可得，即，方程无解； 综上所述：. 【变式3】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 题型08分段函数的值域或最值问题 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 【典例2】（24-25高一下·重庆·阶段检测）函数，则函数的值域为__________. 【答案】 【分析】分段求解，结合二次函数的性质求出取值的范围即可. 【详解】当时，，图象对称轴为， 当时，取最小值0，当时，取最大值1， 所以；当或时，， 综上，，则函数的值域为. 故答案为：. 【变式1】已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 【答案】 【详解】作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 作出图象如图所示． 利用数形结合易知的定义域为，值域为． 【变式2】函数的值域为_________ 【答案】 【分析】分别求出函数在各段上的函数值的范围，再求并集可得. 【详解】因为函数， 当时，，所以函数的值域为； 当时，，由基本不等式, 即，所以，因此， 当且仅当时等号成立，所以函数的值域为. 因此，函数的值域为. 【变式3】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案. 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 题型09解分段不等式 【典例1】（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 【典例2】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先以分段点 划分 的讨论区间，再在每个区间代入对应函数表达式化简不等式，求解后取交集得到各区间有效解，最后合并所有解即可得到 的取值范围. 【详解】当 即 时， ，函数表达式为 ， 则， 所以， 所以，即， 所以 . 当 即 时，，， 所以，， 即，解得 或 ， 结合 ，得 . 当 时，，函数表达式为 ，该函数单调递减， 所以，即， 所以，因为，所以此式恒成立，故 满足条件. 综上所述：或或，即或. 所以 的取值范围是 . 故选：B. 【变式1】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数．则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】根据函数解析式得函数大致图象，由图象可确定单调性从而解不等式得解集. 【详解】根据函数解析式可得函数大致图象如下： 由图可知函数在上单调递减， 则不等式的解集满足，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）设函数则不等式的解集是___________ 【答案】 【分析】根据分段函数的结构，分段求解不等式再求并集即得. 【详解】由可得， 当时，由可得，解得，则得； 当时，由可得，解得，则得. 故原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数，则的解集为______． 【答案】 【分析】根据分段函数，分，，分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式． 【详解】因为， 当时，，则由得，解得，又，所以； 当时，，， 不等式可得， 化简得，解得或，又，所以； 当时，，， 所以不等式等价于，即，无解. 综上可得，即的解集为. 故答案为： 题型10函数图象识别 【典例1】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数性质，结合二次函数图象特征判断即可. 【详解】当时，，其图象是抛物线在轴及右侧部分，排除BC； 当时，，则恒成立，其图象在轴下方，排除D，选项A符合题意. 故选：A 【典例2】（25-26高一上·云南昭通·期中）定义运算，则函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知定义，写出的分段函数形式，再画出其大致图象，即可得. 【详解】当，则， 当，则或， 由题设，其大致图象如下， 故选：B 【变式1】（2025高二上·贵州·学业考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出分段函数形式，结合单调性作出判断. 【详解】， 当时，单调递增，当时，单调递减， 故A选项满足要求，其他选项均不合要求. 故选：A 【变式2】（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的图象如图，则的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象的平移与翻折得解. 【详解】的图象可以由向右平移2个单位，再把轴下方的图象翻折到轴上方即可，所以C选项正确. 故选：C 【变式3】（多选）（25-26高二上·江苏常州·期中）直线（为实数）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据直线的图象特征，根据的不同取值，判断选项. 【详解】直线（为实数）过点，故排除D， 当时，为A选项的图象，当时，为B选项的图象，当为C选项的图象. 故选：ABC 题型11画出具体函数图象 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【答案】 【分析】先求出函数的定义域为，再由于原函数解析式可化为，故函数图象可以由通过平移而得到. 【详解】函数的定义域为，由于原函数解析式可化为，故函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，如图所示. 【典例2】（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数．    (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)结合图象写出它的单调递增区间和值域． 【答案】(1)，   (2)增区间为，值域为. 【分析】（1）分类讨论去绝对值符号求解析式，再利用二次函数的性质作出图象； （2）根据图象确定增区间和值域. 【详解】（1）由题知，当时，，当时，， 所以，即，其图象如图，    （2）由（1）图象可知，的单调递增区间为，值域为. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出函数y=|x2-4x-5|的图象． 【答案】 【分析】先画出，再将轴下方的部分翻折到轴上方即可得到函数的图象. 【详解】的图象可由函数的图象保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分翻折到轴上方得到，如图所示. 【变式2】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【分析】（1）函数，再作出图象即可得. （2）结合函数图象可得增区间. 【详解】（1）函数， 则函数的图象如图实线部分所示： （2）由（1）知，观察函数的图象，得的增区间为、． 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【答案】 【分析】利用描点法作出函数图象. 【详解】的定义域为， 列表如下： 作出图象如图： 题型12根据实际问题做出函数图象 【典例1】1．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，，求出解析式，然后可知图象. 【详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）如图，在直角梯形OABC中，已知，且，梯形被直线截得位于直线l左方图形的面积为S．    (1)求函数的解析式； (2)画出函数的图象． 【答案】(1)； (2)    【分析】（1）对分情况讨论，即可求解面积， （2）由分段函数的解析式，结合基本函数的图形性质，即可画出图象. 【详解】（1）由题意可知：线段的方程为， 当时，直线与梯形没有围成面积，此时 当时，此时直线与线段相截，所以, 当时，此时直线与线段相截,所以， 当时，, 综上： （2）由可得：    【变式1】（23-24高一上·北京·期中）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据开始时即时价格与平均价格的关系以及买卖过程中即时价格与平均价格的变化情况进行分析. 【详解】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C； 买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B； 买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D； 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）某同学居住地距离学校1km，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐店买早餐耽搁1分钟后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意分析即可求解. 【详解】该同学从居住地出发，一开始距离学校距离为1km，排除C、D， 先跑步3分钟，再买早餐耽搁1分钟，最后步行，速度比跑步要慢一些，所以相对而言，A选项更合适. 故选：A. 【变式3】（22-23高一下·浙江杭州·期末）杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据火炬的形状：中间细、上下粗来分析剩余燃料的高度随时间变化的下降速度. 【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗， 燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快， 燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢， 结合所得的函数图象，A选项较为合适. 故选：A. 题型13根据图象选择解析式 【典例1】（24-25高一上·江西抚州·阶段检测）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与的定义域均为， 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的两条渐近线结合为正可得正确的选项. 【详解】对于，故其图象的渐近线为，， 而，结合图象可得，故A不符合； 对于，故其图象的渐近线为，， 而，结合图象可知D符合； 对于，因为，故其图象的渐近线为，， 结合图象可知B不符合； 对于，因为，故其图象的渐近线为，， 结合图象可知C不符合； 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法． 【详解】解：由已知函数图象易得：点、在函数图象上 将点代入，，可排除B、C 将代入，可排除D， 故选：A． 【变式2】（24-25高一上·山东聊城·期中）函数的部分图像如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察函数的图像，即可得到其定义域为，从而排除ACD，即可得到结果. 【详解】由图可知，函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，不符合题意，故A错误； 对于B，函数的定义域为，且， 故B正确； 对于C，函数的定义域为，不符合题意，故C错误； 对于D，函数的定义域为，不符合题意，故D错误； 故选：B 【变式3】（23-24高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意取特值点分析判断. 【详解】由题意可知：，排除CD；，排除B. 故选：A. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析各个阶段的路程与时间之间的关系可排除其它选项． 【详解】由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小， 速度由小变大时，路程随时间变化的曲线上升得越来越快，曲线显得越来越陡峭； 匀速行驶时，路程随时间变化的曲线上升速度不变； 速度由大变小时，路程随时间变化的曲线上升得越来越慢，曲线显得越来越平缓， 故排除选项B、C、D． 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求解函数的解析式逐一判断即可. 【详解】令，则， 由，得. 所以. 3．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】易知； 所以，可得. 5．（25-26高一上·贵州安顺·期末）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性排除AB选项，利用赋值法可排除D，进而可得结论. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 所以函数的图象关于轴对称，故排除AB选项； 又，故排除D选项. 所以函数的大致图象是C. 故选：C. 6．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，得到，满足条件； 当时，，得到或，因为，所以； 综上所述，或. 故选：C. 7．（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值. 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 二、多选题 8．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABD 【分析】代入，求的值，即可求解不等式. 【详解】由表可得，，，， 所以，的值可以是1，2或4. 故选：ABD 三、填空题 9．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 10．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为__________． 【答案】或 【分析】分类讨论代入求值即可. 【详解】若，则，得或； 若，则，得（舍）， 故实数a的值为或. 故答案为：或 B能力提升 1．（2026高三·全国·专题练习）设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故，故， 而，故，故， 而即为或，故或， 故不等式的解集为. 2．定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出，即可求出，再令求出，最后根据计算可得. 【详解】，，令，得， 又，，， 再令，，， . 故选：B 3．已知函数满足：，对任意非零实数，都有成立，且，则_____. 【答案】 【分析】根据主条件，利用赋值法求解. 【详解】令，得， 由，得， 于是， ， ， 故答案为： 4．（24-25高一上·四川宜宾·期中）蜀南竹海位于宜宾市长宁县，是一个以竹景为主的风景名胜区，也是融自然景观和文物古迹为一体的避暑地.区内500多座峰峦竹林密布，碧浪连天.蜀南竹海内有竹海博物馆､花溪十三桥､海中海等自然景观和古刹等人文景观.某开发商计划2024年在蜀南竹海景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2024年有万名游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为100元. (1)求2024年该项目的利润（万元）关于游客数量（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)游客为40万人时利润最大，最大利润为370万元 【详解】（1）由题意可得， 即. （2）当时，， 则； 当时，， 因，当且仅当，即时取等， 此时，. 综上，游客为40万人时利润最大，最大利润为370万元. C综合素养 1．（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意实数x，y满足，且，若对所有，恒有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数方程推导的解析式，再结合时恒成立的约束，分情况求解参数的取值范围. 【详解】令，代入，得，故. 构造函数，则，故可设，其中. 因此，. 当时，，对任意，恒成立，符合要求； 当时，为开口向上的二次函数，零点为，，要使时恒成立，需零点，解得. 当时，为开口向下的二次函数，当时，不满足恒非负要求，舍去. 综上，的取值范围是. 2．（多选）（25-26高一上·山西忻州·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，若在上恒成立，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】已知递推关系，分区间推导函数表达式，再通过解方程找到的对应点，最后结合图象确定的取值范围即可得解. 【详解】根据已知条件，，， 当时，有， 当时，有. 令，解得或， 结合图象，的最大值为. 故选：ABC.    3．（多选）（25-26高一上·河南·期中）用表示不小于的最小整数，例如，，．已知，，则下列正确的有（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．函数的值域为 【答案】BCD 【分析】根据给定的定义计算判断AB；利用给定定义，结合一元二次不等式求解判断C；确定范围，再分段求解判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，得， 解得，则，因此该不等式的解集为，C正确； 对于D，，当时，， 当时，；当时，，所以函数的值域为，D正确. 故选：BCD 4．（25-26高一下·湖南长沙·期末），用表示、中的最小者，记为，，则当_________时，取到最大值． 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得结果. 【详解】令，， 由得，整理可得，解得或， 作出函数、图象如下， 由图象可得， 作出函数的图象如下图所示： 由图象可知，当时，函数的最大值. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海·期中）已知函数在区间D上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数T，存在，使得，且，则称函数在区间D上具有性质． (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求正整数m的最小值； (3)若函数在区间上具有性质，求T的最大值． 【答案】(1)具有，理由如下： 假设函数在区间上是具有性质， 则存在，使得，且， 解得：，满足，使得， 故函数在区间上是具有性质； (2)； (3). 【分析】（1）利用解方程去判断是否存在，即可说明理由； （2）利用方程解的存在性，再去讨论区间的端点范围即可； （3）利用分类讨论去排除的可能性，从而去讨论时方程解的存在性,即可作出判断. 【详解】（1）具有性质，理由略； （2）因为函数在区间上具有性质， 所以存在，使得，且 ， 解得，因为，所以， 又因为，所以， 所以正整数m的最小值为； （3）作出函数图象： 当时，， 当时，存在，使得， 则必有，此时，而此时，必有， 则不可能成立，所以， 当时，假设存在，使得， 此时由可得：，解得， 此时存在，使得成立，故的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $