精品解析：陕西白河县卡子初级中学2025-2026学年度第一学期九年级数学综合素养作业（一）

2025－2026学年度第一学期综合素养作业（一） 九年级数学 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、该方程是二元二次方程，不符合题意； B、该方程是一元二次方程，符合题意； C、该方程是二元二次方程，不符合题意； D、该方程是分式方程，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0，这是做题容易忽视的条件． 2. 已知是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 3. 方程的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定二次项系数与一次项系数及常数项,然后再求积即可. 【详解】方程3x²- 的二次项系数是3,一次项系数是 ,常数项是 ,  3××(-)=-9,  故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a≠0),其中a叫做二次项的系数；b叫做一次项的系数；c叫做常数项. 4. 若关于x的方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则此方程的根的情况是（ ） A. 无法确定 B. 无实根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先根据根的判别式求出的值，再判断即可． 【详解】， 由数轴可知， ∴， ∴， 即方程有两个不相等的实数根， 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式，求出是解题的关键． 5. 已知多项式，（为任意实数），试比较多项式与的大小．（ ） A. 无法确定 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的差，再利用完全平方公式以及偶次方的性质即可求出与的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了配方法方的运用，利用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式和偶次方的非负性的性质是解决本题的关键． 6. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程．可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故选：B． 7. 在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛，主办方共投入使用个球场，每天每个球场共安排场比赛，若连续天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队有（ ） A. 15支 B. 16支 C. 17支 D. 18支 【答案】B 【解析】 【分析】每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有个足球队，比赛场次共有场，再根据共有场比赛活动来列出方程，从而求解． 【详解】解：设有x个足球队参加，依题意， ， 整理，得， ， 解得：，舍去； 即：共有个足球队参加比赛． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 8. 若a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，且a2＋b2＝12，则k的值是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，求出≥0，由一元二次方程根与系数关系得到a＋b＝2k，ab＝4k，利用a2＋b2＝12，求出k的值，再代入验证即可． 【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根， ∴ a＋b＝2k，ab＝4k ∴＝12 解得， 当时， ∴符合题意， 当时， ∴不符合题意，应舍去， 综上，k的值是﹣1． 故选：A 【点睛】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝． 二、填空题（每小题4分，共24分） 9. 方程的根是______________． 【答案】， 【解析】 【分析】先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：， ， ， ，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 10. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 11. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 12. 某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，连续两次降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为_____． 【答案】20% 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为200（1-x）元，第二次降价后的售价为200（1-x）（1-x）元，根据第二降价后的售价为128元建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，由题意，得 ， 解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查的知识点是列一元二次方程解降低率的问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解题关键是根据降低率的数量关系建立方程． 13. 已知关于的方程（为常数，）的解是，那么方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得到关于的一元一次方程是解题的关键．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 方程的解是， 或， 解得：，， 故答案为：，． 14. 对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 三、解答题（共44分） 15. 用合适的方法解方程： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴． 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴． 【小问3详解】 解：， ∵， ∴． ∴． ∴． 16. 已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分析两根之和的整数性，然后验证的可能值即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为，即. 设关于的一元二次方程的实数根分别为， 则． 方程的两根之和为整数， 整数． 当时，方程为，判别式，无实数根，故舍去； 当时，方程为，判别式，有实数根． ． 17. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每台电暖器应降价15元或20元 （2）不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【小问1详解】 解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． 【小问2详解】 略 18. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 【答案】 （1）证明：∵关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0，△＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2 ∵（m﹣1）2≥0 ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）m＝1，菱形的边长为； （3）平行四边形ABCD的周长为5． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案； （2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案； （3）将AB＝2代入方程解得m＝，进而得出x的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC即（m﹣1）2＝0， ∴m＝1代入方程得： ∴ ∴x1＝x2＝， 即菱形的边长为； （3）解：将AB＝2代入方程x2﹣mx+﹣＝0， 解得：m＝， 将代入方程，x2﹣mx+﹣＝0， 解得：x1＝2，x2＝， 即BC＝， 所以平行四边形ABCD的周长为2+2+＝5． 【点睛】考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期综合素养作业（一） 九年级数学 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 3. 方程的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则此方程的根的情况是（ ） A. 无法确定 B. 无实根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 5. 已知多项式，（为任意实数），试比较多项式与的大小．（ ） A. 无法确定 B. C. D. 6. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛，主办方共投入使用个球场，每天每个球场共安排场比赛，若连续天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队有（ ） A. 15支 B. 16支 C. 17支 D. 18支 8. 若a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，且a2＋b2＝12，则k的值是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 二、填空题（每小题4分，共24分） 9. 方程的根是______________． 10. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 11. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 12. 某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，连续两次降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为_____． 13. 已知关于的方程（为常数，）的解是，那么方程的解是______． 14. 对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 三、解答题（共44分） 15. 用合适的方法解方程： （1）． （2）． （3）． 16. 已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 17. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 18. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $