精品解析：2026年湖南省长沙市中考数学试题

2026年长沙市初中学业水平考试数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. “说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 3. 长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片．省市两级共设亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题A选项考查二次根式的加减运算；B选项考查幂的乘法法则：；C选项考查乘法分配律：；D选项考查完全平方公式：． 【详解】解：，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项错误． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元一次不等式求出解集，根据“小于向左，大于向右，无等号画空心，有等号画实心”的原则判断数轴表示． 【详解】解： 移项，得， 合并同类项，得， 在数轴上表示： ． 6. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 了解全国初中生的课外阅读情况，选择全面调查 B. 了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查 C. 检测鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，选择全面调查 D. 检测湘江某段水域的水质情况，选择抽样调查 【答案】D 【解析】 【分析】依据调查的范围、是否具有破坏性及结果精度要求，判断调查方式的合理性． 【详解】解：A. 全国初中生调查范围广，全面调查工作量大，应选择抽样调查，故不合理； B. 神舟飞船设备零件质量要求极高，需全面调查，选择抽样调查不合理； C. 检测鞋底弯折次数具有破坏性，应选择抽样调查，选择全面调查不合理； D. 湘江某段水域水量大，无法全面检测水质，选择抽样调查合理． 7. 冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先明确题目中的数量关系，已知每串冰糖葫芦需要5个山楂，要求n串的总山楂数，确定这是乘法应用问题．因为总个数等于单串所需个数乘以串数，所以可根据这个数量关系列出对应的代数式．结合代数式的书写规范，得到对应表达式后匹配选项即可． 【详解】解：∵每串冰糖葫芦穿5个山楂，共串， ∴需要山楂的个数为． 8. 如图，直线，垂足为，点在直线上，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直定义求出与直线的夹角，再利用平行线性质求解即可． 【详解】解：， 直线与直线的夹角为．  ， 与直线的夹角为． ， 等于与直线的夹角， ． 9. 如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 10. “赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，通过证明四边形为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形的边长为，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：设 的短直角边，长直角边， 中间最小正方形的面积为 ， ，即， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为矩形， ，， ∵“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， 正方形的面积． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 某学校组织学生去劳动实践基地摘草莓，并称重、装盒，一盒草莓的标准质量为，如果比标准质量多记作，那么比标准质量少记作__________． 【答案】 【解析】 【分析】正负数用于表示相反意义的量，已知比标准质量多记为正，可直接推出比标准质量少的记法． 【详解】解：∵比标准质量多记作， ∴比标准质量少应记作． 12. 若关于的方程的解是，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】方程的解满足方程，将代入原方程即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 整理得， 解得． 13. 年月日是全球的第七个“国际数学日”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校开展了“玩转魔方”、“我爱数独”、“速算点”、“趣拼七巧板”、“巧解鲁班锁”、“走出华容道”六个数学活动，现从中随机抽取一个数学活动进行展示，则抽中“玩转魔方”进行展示的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】总共有6种等可能的抽取结果，抽中“玩转魔方”只有1种符合条件的结果，直接用概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有6个不同的数学活动，每个活动被抽取的可能性相等，抽中“玩转魔方”的结果只有种， ∴抽中“玩转魔方”的概率为． 14. 在中，点，分别是边，的中点，连接，若，则的长为____________． 【答案】12 【解析】 【分析】点D，E分别是，的中点，可判定是的中位线，利用三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 15. 在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】 （任意大于的常数都正确） 【解析】 【分析】反比例函数的图象位于第一、第三象限时，满足条件，只需写出一个符合要求的正数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ∴， 因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． 16. 龙舟竞渡，粽叶飘香，又是一年端午时．为了营造节日氛围，某大型食品超市举办了“粽情粽义杯”包粽子大赛．小刘与小胡两人报名参加了包粽子大赛，小刘包的粽子放在某四个篮子里，小胡包的粽子放在另外两个篮子里，小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的倍．后来由于工作人员的疏忽，把两人装粽子的篮子混在一起，分不清哪四篮是小刘的，哪两篮是小胡的．已知六个篮子里的粽子数量分别为，，，，，，则小胡的两个篮子里的粽子数量分别是____________，____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先计算六个篮子的总粽子数，根据小刘总数是小胡的2倍，得到总数量是小胡的3倍，求出小胡两个篮子的粽子总数，再找出和为该数的两个数即可． 【详解】解：六个篮子的粽子总数量， ∵ 小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的倍， ∴ 小胡包的粽子总数为 ， 六个数中两个数的和为只有和，因此小胡的两个篮子里的粽子数量分别是和． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式法则化简整式，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线交于点，连接． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据作图可知为的中垂线，则，又已知，所以，则在中利用三角形内角和公式即可求解； （2）因为，，则，即，可知，则题目可求． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 根据作图可知为的中垂线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 20. 2026年5月24日23时08分，搭载神舟二十三号载人飞船的长征二号F遥二十三运载火箭点火发射．这是中国载人航天第40次发射任务、长征火箭的第644次飞行、神舟飞船的第23次飞行．某学校为调查同学们对航天知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取40名学生进行航天知识测试，用表示测试成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分），将成绩分为四个等级（：；：；：；：）并对成绩进行整理、描述和分析，绘制出如下有待完善的统计图表： 七、八年级成绩统计表 年级 平均数 方差 七年级 84.38 134.48 八年级 86.40 114.54 根据以上信息，解答下列问题： （1）请将七年级成绩条形统计图补充完整； （2）八年级成绩扇形统计图中，等级对应圆心角的度数为____________； （3）若该校七年级的800名学生都参加测试，估计成绩为等级的有____________人； （4）请你从平均数和方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生对航天知识的了解情况． 【答案】（1） （2） （3）320 （4）从平均数看，八年级平均成绩为86.40分，高于七年级的84.38分，说明八年级学生航天知识测试的整体水平更高； 从方差看，八年级方差为114.54，小于七年级的134.48，说明八年级学生航天知识测试的成绩更稳定． 【解析】 【分析】（1）先求出C等级学生人数，然后补全统计图即可； （2）先求出B等级学生占比，然后用乘以这个比值即可； （3）用总人数乘以成绩样本中成绩为等级人数的占比即可； （4）根据平均数和方差的意义解答，合理即可． 【小问1详解】 解：C等级学生人数：（人）， 补全条形统计图略； 【小问2详解】 解：B等级学生占比：， 等级对应圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计成绩为等级的有320人； 【小问4详解】 略． 21. 如图，点，，，在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明：， ． 在和中， ， ． （2）的面积是5 【解析】 【分析】（1）利用平行条件可得出一组对应角相等，然后利用判定三角形全等； （2）由（1）可得，过点向作高线，由于，利用勾股定理可求出高线的长度，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点向对边作垂线，垂足为， 则， 由（1）可得， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得：， ， ． 22. 某校书法兴趣小组计划到文具店一次性购买A，B两种型号的毛笔．请你根据下面表格中提供的信息，解答相关问题． 信息1 文具店的销售方式： ①一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过的部分每支的价格比零售价低0.5元； ②一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过的部分每支的价格比零售价低1元． 信息2 B型毛笔的零售价比A型毛笔的零售价每支高1元，购买2支A型毛笔和3支B型毛笔共需花费28元． 信息3 这个书法兴趣小组共有30名同学，每人需要买1支A型毛笔和2支B型毛笔． （1）求这家文具店A，B型毛笔的零售价每支分别是多少元？ （2）该书法兴趣小组本次购买A，B两种型号的毛笔共需花费多少元？ 【答案】（1）A型毛笔零售价每支5元，B型毛笔零售价每支6元 （2）共需花费460元 【解析】 【分析】（1）根据A、B型毛笔零售价的数量关系和购买指定数量的总费用，列一元一次方程求解； （2）先计算需购买的A、B型毛笔总数量，再结合分段优惠规则分别计算费用，求和得到总花费． 【小问1详解】 解：设A型毛笔的零售价为每支元，则B型毛笔的零售价为每支元， 由题意得， 解得， ， 答：A型毛笔零售价每支5元，B型毛笔零售价每支6元； 【小问2详解】 解：需购买A型毛笔数量：（支），需购买B型毛笔数量：（支）， ， 购买A型毛笔的费用为（元）； ， 购买B型毛笔的费用为（元） ； 总费用：（元） ． 答：本次购买两种型号的毛笔共需花费460元． 23. 如图，是半圆的直径，是半圆上任意一点（不与点，重合），和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． （1）求证：平分； （2）已知直径，设，，求关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） 【答案】（1）证明：如图，连接， 是半圆的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的定义得到，进而得到，根据平行线的性质得到，再利用等腰三角形的性质求出，从而得到结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，再结合（1）中结论证明，根据相似三角形的对应边成比例列等式，整理后得到y关于x的函数解析式． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是半圆的直径， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 即， ， 关于的函数解析式为． 24. 边长为的菱形中，记（），该菱形的周长为，面积为． （1）判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①与成正比例关系；（ ） ②当时，；（ ） ③若该菱形的两条对角线的长满足，则．（ ） （2）当时，解答下列问题： ①如图1，点在边上运动（不与点，重合），连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点．请问的大小是否发生变化？如果不变，请求出的度数；如果变化，请说明理由； ②如图2，点在边的延长线上运动，连接交边于点，连接并延长交于点．设，当时，求的值． 【答案】（1）①√；②√；③√； （2）①不变，；② 【解析】 【分析】（1）可画图，根据菱形的性质，结合锐角三角函数和成正比例关系的定义求解①②③即可； （2）①连接，先根据菱形的性质得到，，，可证明为等边三角形得到，，设，则，分别证明和，得到，然后利用三角形的外角性质求解即可； ②连接，先证明得到，，再分别证明和，得到，进而解关于k的一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，菱形中，对角线、相交于O，于E，， 则，，，，， ①周长，与成正比例关系，正确； ②当时，， ∴， ∴，正确； ③∵，即， ∴， ∴，则， ∴，正确； 【小问2详解】 解：①如图1，连接， 在菱形中，，，， ∴为等边三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②如图2，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 整理得， 解得． 25. 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； （2）当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【答案】（1）点是“靓点”，证明如下： ∵点为“靓点”， ∴， ∵，， ∴将代入上式，得， ∴， ∴点是“靓点”； （2）证明：∵点为“靓点”， ∴， 当时代入上式，可得，方程无解， ∴满足“靓点”的点，横坐标不能为1， 将代入，得，整理得， ∵， ∴判别式 ， ∵，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， ∴方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又∵，两个不同的对应两个不同的， ∴函数的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）的值为 【解析】 【分析】（1）由“靓点”的定义可得，再表示出点的横、纵坐标之和与横、纵坐标之积，由此即可证明； （2）将代入得到，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得证； （3）将代入得，结合题意，令，则方程有两个不相等的实数根，，利用一元二次方程根的判别式求出或，求出，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，表示出，，从而可得，整理得，求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：将代入得， 整理得， ∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， ∴令，则方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴或， 将代入，得， ∵， ∴， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴（不符合题意，舍去）或， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年长沙市初中学业水平考试数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. “说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片．省市两级共设亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 了解全国初中生的课外阅读情况，选择全面调查 B. 了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查 C. 检测鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，选择全面调查 D. 检测湘江某段水域的水质情况，选择抽样调查 7. 冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，垂足为，点在直线上，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. “赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 某学校组织学生去劳动实践基地摘草莓，并称重、装盒，一盒草莓的标准质量为，如果比标准质量多记作，那么比标准质量少记作__________． 12. 若关于的方程的解是，则的值为__________． 13. 年月日是全球的第七个“国际数学日”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校开展了“玩转魔方”、“我爱数独”、“速算点”、“趣拼七巧板”、“巧解鲁班锁”、“走出华容道”六个数学活动，现从中随机抽取一个数学活动进行展示，则抽中“玩转魔方”进行展示的概率是____________． 14. 在中，点，分别是边，的中点，连接，若，则的长为____________． 15. 在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 16. 龙舟竞渡，粽叶飘香，又是一年端午时．为了营造节日氛围，某大型食品超市举办了“粽情粽义杯”包粽子大赛．小刘与小胡两人报名参加了包粽子大赛，小刘包的粽子放在某四个篮子里，小胡包的粽子放在另外两个篮子里，小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的倍．后来由于工作人员的疏忽，把两人装粽子的篮子混在一起，分不清哪四篮是小刘的，哪两篮是小胡的．已知六个篮子里的粽子数量分别为，，，，，，则小胡的两个篮子里的粽子数量分别是____________，____________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线交于点，连接． （1）求的度数； （2）求的长． 20. 2026年5月24日23时08分，搭载神舟二十三号载人飞船的长征二号F遥二十三运载火箭点火发射．这是中国载人航天第40次发射任务、长征火箭的第644次飞行、神舟飞船的第23次飞行．某学校为调查同学们对航天知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取40名学生进行航天知识测试，用表示测试成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分），将成绩分为四个等级（：；：；：；：）并对成绩进行整理、描述和分析，绘制出如下有待完善的统计图表： 七、八年级成绩统计表 年级 平均数 方差 七年级 84.38 134.48 八年级 86.40 114.54 根据以上信息，解答下列问题： （1）请将七年级成绩条形统计图补充完整； （2）八年级成绩扇形统计图中，等级对应圆心角的度数为____________； （3）若该校七年级的800名学生都参加测试，估计成绩为等级的有____________人； （4）请你从平均数和方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生对航天知识的了解情况． 21. 如图，点，，，在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 22. 某校书法兴趣小组计划到文具店一次性购买A，B两种型号的毛笔．请你根据下面表格中提供的信息，解答相关问题． 信息1 文具店的销售方式： ①一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过的部分每支的价格比零售价低0.5元； ②一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过的部分每支的价格比零售价低1元． 信息2 B型毛笔的零售价比A型毛笔的零售价每支高1元，购买2支A型毛笔和3支B型毛笔共需花费28元． 信息3 这个书法兴趣小组共有30名同学，每人需要买1支A型毛笔和2支B型毛笔． （1）求这家文具店A，B型毛笔的零售价每支分别是多少元？ （2）该书法兴趣小组本次购买A，B两种型号的毛笔共需花费多少元？ 23. 如图，是半圆的直径，是半圆上任意一点（不与点，重合），和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． （1）求证：平分； （2）已知直径，设，，求关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） 24. 边长为的菱形中，记（），该菱形的周长为，面积为． （1）判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①与成正比例关系；（ ） ②当时，；（ ） ③若该菱形的两条对角线的长满足，则．（ ） （2）当时，解答下列问题： ①如图1，点在边上运动（不与点，重合），连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点．请问的大小是否发生变化？如果不变，请求出的度数；如果变化，请说明理由； ②如图2，点在边的延长线上运动，连接交边于点，连接并延长交于点．设，当时，求的值． 25. 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； （2）当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $