精品解析：湖北襄阳市第六中学2025-2026学年上学期高二12月月考数学试题

2025-2026学年度上学期高二12月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角； B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线l经过点，，则到的距离为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 设f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B. ＋ C. ＋ D. ＋＋ 7. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论不正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在数列中，下列结论正确的是（ ） A. 若数列的前项和，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，，且，则 10. 已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 11. 如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（ ） A. 若点为线段上的动点，当时， B. 若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为 C. 若点为底面的中心，且，则面积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长度为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，则数列的前项和为________. 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______. 14. 动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，则点的轨迹方程为______，已知，，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的公差为，数列的前项和为． （1）已知，，，求及； （2）已知，，，求； （3）已知，求. 16. 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6， 0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立， （1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率； (2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值. 17. 在数列中，，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，. （1）证明：； （2）若点，，，都在半径为的球的表面上. （i）求； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，. （1）求椭圆的方程； （2）试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称； （3）若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期高二12月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程可以写出渐近线方程和顶点坐标，再用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由双曲线可得渐近线方程为，上顶点坐标为， 所以顶点到渐近线的距离为. 故选：C 2. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 所以， 故选：A 3. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设各个图形的周长依次排成一列构成数列，观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，判断为等比数列，求出其通项，代入即得 【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的， 则从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有， 故数列是首项，公比为的等比数列，则，故. 故选：B. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角； B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线l经过点，，则到的距离为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由，得到是钝角或平角判断；对于B，由与是否共线判断；对于C，易得，从而即为所求；对于D，假设三个向量共面，由是否成立判断. 【详解】对于A，若，则是钝角或平角，故A错误； 对于B，因为直线的方向向量，平面的法向量， 则，故与不共线，即不成立，故B错误； 对于C，因为，，， 则，，， 故到的距离为，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，则， 所以，又是空间的一组基底， 所以，无解，即不共面， 所以也是空间的一组基底，故D正确； 故选：D 5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 6. 设f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B. ＋ C. ＋ D. ＋＋ 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得： 本题选择D选项. 7. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相离，    所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 8. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论不正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A：根据双纽线的定义验证即可；对于B：根据双纽线的定义，使，求解出，再根据两点间距离公式验证即可；对于C：根据椭圆的定义可得及由可得，综合两式可求得，即可判断；对于D：设，利用双纽线的定义及两点间距离公式可得，解得，证明，即可得证. 【详解】对于A：因为，由定义知，故A正确； 对于B：点在上， 则，化简得， 所以，即，，故B错误； 对于C：椭圆的焦点恰好为与， 则，又，所以， 故， 所以，C正确； 对于D：设，则，因为，则， 又，所以，化简得， 解得或（舍去），则， 因为，所以，因此，故，所以，故D正确. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在数列中，下列结论正确的是（ ） A. 若数列的前项和，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用退一相减法求得，可判断A选项，根据数列的周期性可判断B选项，利用累乘法求得通项公式，可判断C选项，利用构造法，结合累加法与等比数列求和公式可得通项，即可判断D选项. 【详解】A选项：由已知，当时，， 当时，， 综上所述，A选项错误； B选项：由已知，则，即， 又，，即， 所以当为奇数时，，当为偶数时，， 综上所述，B选项正确； C选项：由，即，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，所以，C选项正确； D选项：由已知， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，即，，，， 等式左右分别相加可得， 又，则，D选项正确； 故选：BCD. 10. 已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于，根据椭圆性质求得椭圆方程，计算离心率即可；对于，利用以为直径的圆与椭圆的位置关系进行判断；对于，利用点差法求直线的斜率，继而求得方程；对于，根据焦点三角形的性质直接求周长. 【详解】因为椭圆：的焦点分别为，， 可得焦点在轴，且， 即，所以， 则椭圆的方程为， 则其离心率 故错误； 对于,由椭圆方程可知， 以为直径的圆与椭圆有四个交点， 所以椭圆上存在点，使得， 则正确； 对于，设， 因为的中点为， 则， 又在椭圆上， 则， 两式相减可得： 即 所以直线的斜率为， 又直线过点， 则直线为， 即，故错误； 对于直线过点， 则的周长为， 故正确， 故选： 11. 如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（ ） A. 若点为线段上的动点，当时， B. 若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为 C. 若点为底面的中心，且，则面积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，由求出的坐标，然后计算即可得出A选项；设平面的法向量为，根据题意建立方程组求出法向量为的坐标，然后利用向量法求点到面的距离即可得出选项B；对于C，取的中点，连接，结合图形以及已知条件即可分析得出选项C；选项D，根据题意分析，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，结合已知条件分析即可得出结论. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 则， 对于AB选项，由知： ， 则， ，A正确； ，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 故平面的一个法向量为， 又，则点到平面的距离为： ，故B错误； 对于C，取的中点， 连接， 如图所示， 因为正方体的棱长为2， 所以，，， 平面，平面，平面， 所以，， ， 所以，， 所以，， 由可得平面， 所以，所以点的轨迹为线段， 又， 所以面积的最大值: ，故C正确； 对于D，平面，平面， 所以，都是直角三角形. 又， 所以， 因为，所以， 在侧面中以点为坐标原点， 以所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设， 则， 整理得到，圆， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上， 又因为在侧面（含边界）上运动， 所以点的轨迹是圆上的一段劣弧（分别是圆与的交点）， 因为，， 所以， 则点的轨迹长度为，故D正确， 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，则数列的前项和为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式得到，从而得到，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】解：因为， 所以， 令数列的前项和为， 则. 故答案为： 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列性质，可得，然后由等差数列前n项和性质可得 ，据此可得答案. 【详解】由等差数列性质，可得，， 则，，从而. 又，则. 故答案为： 14. 动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，则点的轨迹方程为______，已知，，则的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知可求得点的轨迹方程为，设右焦点为，则的范围，根据椭圆的定义转化为求的最值，结合图象，即可得出答案. 【详解】设，，则，， 由已知可得，，即， 整理可得，. 所以，点的轨迹方程为. 所以，，，所以. 则为椭圆的左焦点，设右焦点为， 根据椭圆的定义有， 所以，， 又，且， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的公差为，数列的前项和为． （1）已知，，，求及； （2）已知，，，求； （3）已知，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （2）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （3）方法一：根据题意得到，结合等差数列通项公式进行计算；方法二：结合题意得到，利用等差数列的性质直接求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以整理得，解得或（负值舍去）， 所以 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，所以 【小问3详解】 方法一：由，即， 所以 方法二：由，得， 所以 16. 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6， 0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立， （1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率； (2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值. 【答案】（1）0.31 （2）3 【解析】 【分析】试题分析：（1）至少3人需使用设备分为恰好有3人使用的设备和4个人使用设备.这两个是事件是互斥事件，首先利用独立事件的概率公式分别求出恰好有3人使用的设备和4个人使用设备的概率，最后相加即可. 利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式计算出同一工作日4人需使用设备的概率.然后结合（1）的结论即可得出结论. 【详解】 试题解析：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2. B表示事件：甲需使用设备. C表示事件：丁需使用设备. D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备. E表示事件：同一工作日4人需使用设备. F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k. （1）D=A1·B·C+A2·B+A2··C P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=. 所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)= P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C) = P(A1P)·P(B)·P(C)+P(A2)·P(B)+P(A2)·p()·p(C)=0.31. (2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1. 又E=B·C·A2,P(E)=P(B·C·A2)= P(B)·P(C)·P(A2)=0.06； 若k=4，则P(F)=0.06<0.1. 所以k的最小值为3. 考点：1.独立事件的概率；2.互斥事件的概率. 17. 在数列中，，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得数列是等差数列，再根据可求出公差，从而可求出数列的通项公式， （2）设数列的前n项和为，则由等差数列的求和公式可求出，由可求得时，，当时，，然后分情况可求出. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴数列是等差数列，设其公差为d． ∵，∴， ∴ 【小问2详解】 设数列的前n项和为，则由（1）可得， 由（1）知，令，得， ∴当时，， 则 ； 当时，，则， ∴ 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，. （1）证明：； （2）若点，，，都在半径为的球的表面上. （i）求； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明平面，进而得到； （2）（i）建立空间直角坐标系，设球心，再结合得到球心坐标，从而求得；（ii）利用面面角的向量求法计算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，，所在直线分别为轴， 过点在平面内作的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，. （i）设球心，， 由，得， 解得，，. 由（1）知平面，所以设， 由，，得，， 解得，，， 则. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，得， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 19. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，. （1）求椭圆的方程； （2）试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称； （3）若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）已知双曲线，结合“姊妹”圆锥曲线的定义，可设出椭圆方程，再根据，即可求出，即可得到椭圆方程； （2）设出椭圆上的两点，以及的中点，利用点差法，结合直线的斜率，可以得到，再结合点在上，可求得，再利用点在椭圆内，即可求得的范围； （3）设出直线以及两点，根据可得，即.点在直线上，可得，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，代入式，可得，表示出，再根据是定值，即可求出对应的. 【小问1详解】 已知双曲线，由“姊妹”圆锥曲线的定义，可设椭圆的方程为， 则，整理得，解得， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆上，两点关于直线对称， 设的中点为，则. 因为点在椭圆上，所以，两式相减得， 又因为，所以即，所以， 又因为点在直线上，所以，即，所以. 因为点在椭圆内部，所以， 得，即. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 存在非零常数，使时，的面积为定值. 设存在这样的常数，使时，为定值. 设直线的方程为，且直线与的交点坐标分别为，， ，，， . 联立，得， 由韦达定理，可得，， ， 即，因此. ∵点到直线的距离为， ， ， . 要使得的面积为定值，只需，得， 即，解得， 此时，即， 故存在非零常数，使得时，的面积为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $