2.5 可化为一元一次方程的分式方程 第2课时 教案 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该教案聚焦列分式方程解决实际问题，通过复习解分式方程的思路与步骤，搭建前后知识联系，为新知应用筑牢基础，形成学习支架。 以机器人搬运、研学行程等实例引导学生用数学眼光抽象等量关系，用数学思维推理列方程并验证结果，结合思维导图梳理流程。涵盖行程、工程等问题类型，培养模型意识与应用能力，为教师提供清晰教学路径，助力学生提升解决实际问题的能力。

第二章分式 2.5可化为一元一次方程的分式方程 第2课时 一、教学目标 1.会列分式方程解决实际问题； 2.能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实际意义验证结果是否合理； 3.通过分式方程的应用学习，培养学生的数学应用意识，提高分析问题解决问题的能力； 4.通过解决实际问题，使学生感受到数学知识能够解决生活中的问题，提升学生对数学的热爱. 二、教学重难点 重点：会列分式方程解决实际问题. 难点：能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实际意义验证结果是否合理. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等． 四、教学过程设计 【复习回顾】 教师活动：教师提出问题，学生思考后回答. 1.解分式方程的基本思路是什么？ 预设：通过去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程. 2.解可化为一元一次方程的分式方程的步骤是怎样的？ 预设：第一步，求出最简公分母，将方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为一元一次方程； 第二步，解所得到的一元一次方程； 第三步，检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解. 设计意图：通过复习回顾，巩固解分式方程的思路与步骤，为后续知识应用、解题操作筑牢基础，强化知识记忆. 【探究新知】 【思考】 用A，B两种型号的机器人搬运原料.已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运200kg，且A型机器人搬运10000kg所用时间与B型机器人搬运8000kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 等量关系： A型机器人搬运10000kg所用时间=B型机器人搬运8000kg所用时间 (1) A型机器人每小时搬运量=B型机器人每小时搬运量+200 kg (2) 解：设B型机器人每小时搬运xkg，则由等量关系(2)可得，A型机器人每小时搬运(x+ 200)kg.再根据等量关系(1)，可列出如下方程： 将方程两边同乘最简公分母x(x+200)，得 10000x=8000(x+200)， 解得 x=800. 经检验，x=800是原分式方程的解，且符合题意. 答：B型机器人每小时搬运原料800kg，A型机器人每小时搬运原料1000 kg. 【思考】 列分式方程解实际问题的一般步骤是什么？ 预设：审：审清题意，找出题中的相等关系，分清已知量、未知量； 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 解：解所列分式方程； 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求； 答：写出答案. 设计意图：通过机器人搬运原料的实际问题，引导学生用分式方程求解，再总结列分式方程解实际问题的步骤，让学生掌握建模与解题流程，提升运用数学知识解决实际问题的能力. 【应用新知】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 教材例题 例1 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动.现有两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全程30km.若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min，则走线路一的平均车速为多少? 分析：本题涉及的等量关系是： 走线路一的时间-走线路二的时间=. 设走线路一的平均车速为xkm/h，则可得下表： 行程问题：路程=速度×时间. 解：设线路一的平均车速为，则走线路二的平均车速为 根据等量关系，可列出如下方程： 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意. 答：走线路一日平均车速为 【做一做】 用流程图表示利用可化为一元一次方程的分式方程解决有关实际问题的步骤，并与同学比较你的结果. 预设：用可化为一元一次方程的分式方程解决有关实际问题的流程如下： 典型例题 例2 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？ 分析：明确等量关系1：甲队单独完成时间=乙队单独完成时间+3 设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x+3)小时， 等量关系2：甲工作效率×2+乙工作效率×原定时间(甲队单独完成需要时间)＝1． 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间. 解: 设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x+3)小时． 由题意得 . 解得 x＝6. 经检验x＝6是方程的解，且符合题意．所以x+3＝9. 答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时． 注意：解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系. 设计意图：通过例1、例2呈现分式方程解实际问题的应用，“做一做”梳理流程，让学生掌握建模解题步骤，提升用数学知识解决实际问题的能力，强化知识应用与迁移. 【课堂练习】 教材习题 1.某单位欲盖一栋楼房，如果由建筑一队施工，那么180天就可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的，现若由建筑二队单独施工，则需要多少天才能盖成? 解：设由建筑二队单独施工，需要x天才能盖成. 根据题意，得 解得 x=225. 经检验：x=225是原分式方程的解，且符合题意. 答：由建筑二队单独施工，需要225天才能盖成. 2.某特殊教育学校收到某校八年级学生捐助的新年礼物共65件，计划每班分得数量相同的若干件，结果还差3件，改为每班少分1件，结果剩余14件，这所学校有多少个教学班? 解：设这所学校有x个教学班. 根据题意，得 解得 x=17. 经检验：x=17是原分式方程的解. 答：这所学校有17个教学班. 自选练习 3.朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200km时，发现小轿车车只行驶了180km，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h，请问面包车，小轿车的速度分别为多少？ 解：设小轿车的速度为xkm/h，则面包车速度为(x+10)km/h， 依题意，得 解得 x=90. 经检验：x=90是原分式方程的解，且符合题意.x+10=100(km/h). 答：小轿车的速度为90km/h，则面包车速度为100km/h. 4.农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度. 解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时， 依题意得： 解得 x=15. 经检验，x=15是原分式方程的解，且符合题意. 由x＝15得3x=45. 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时. 5.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题： 同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 销售问题：总价=单价×数量 解：设排球的单价为元，则篮球的单价为元 根据题意，列方程得 解得 经检验，是原分式方程的解 当时， 答：排球的单价为100元，则篮球的单价为160元. 6.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，记总工程量为1， 根据工程的实际进度，得 解得 x=1. 经检验，x＝1是原分式方程的解， 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 方法总结：解决常见分式方程的方法: ①行程问题：路程=速度×时间，根据题意明确速度/时间之间的等量关系，借助关系式构建分式方程，有时可设路程为单位“1”； ②销售问题：总价=单价×数量，根据题意明确单价/数量之间的等量关系，借助关系式构建分式方程； ③工程问题：工作总量=工作效率×工作时间，用分式表达工作效率/工作时间，往往设工作量为单位“1”，结合工作量总和为1/工作时间之间的等量关系列方式方程. 环节五 总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $