第5章 一元一次方程 单元卷 2026-2027学年青岛版七年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元一次方程单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，通过生活实际（如绿化植树、容器倒水）与文化情境（《算法统宗》古题）考查方程定义、解法及应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、等式性质、解的应用|如第3题考查方程解的代入，第6题以绿化植树为情境| |填空题|6/18|列方程、古题应用、行程问题|如第15题引用《算法统宗》古题，第16题设计相向而行情境| |解答题|8/72|综合应用与规律探究|如22题垃圾盒配套问题，24题“有趣数对”规律探究，培养模型意识与推理能力|

第5章 一元一次方程（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程中是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：A、未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、只含有一个未知数，且未知数的次数为1，是整式方程，是一元一次方程，故该选项符合题意； 2、根据等式的性质进行变形，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【详解】解：A. 若，则或，错误应用等式性质1，不合题意； B. 若，则，正确，符合题意； C. 若，则，未考虑情况，错误应用等式性质2，不合题意； D. 若，则，未考虑情况，错误应用等式性质2，不合题意． 3、 若x＝1是关于x的方程x﹣2m+1＝0的解，则m的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 【答案】C 【详解】解：把x＝1代入x﹣2m+1＝0得：1﹣2m+1＝0， 解得：m＝1， 4、解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】方程两边同时乘以6得：，即 5、如果是关于的方程的解，求的值为（ ） A. 1 B. C. 21 D. 5 【答案】C 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴； 6、我市对城区某主干道进行绿化，计划在此公路的一侧全部栽上“市树”——樟树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设原有树苗x棵，则路的长度为米， 由题意，得， 7、已知代数式比多，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， 8、小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小强将方程抄为，解得， 则将代入错误方程得：， 解得：． 原方程为：， 移项得：， 即， 解得：． 9、如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部是圆柱形的容器，内部底面积分别为、，现将甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲容器中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的高度高了，设甲容器的容积为，则列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：由题意得：， 10、有一些苹果和苹果箱，若每箱装25千克苹果，则剩余40千克苹果；若每箱装30千克苹果，则余下20个苹果箱；设这些苹果箱有个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：根据题意，有 ； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、根据“x的3倍与5的和比x多2”可列出方程_________． 【答案】（或） 【详解】解：由题意列方程式为：． 故答案为：． 12、若，则的值为_____． 【答案】或5 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：或5． 13、若代数式的值比的值多3，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：； 故答案为：. 14、关于的两个方程与的解相同，则的值为______． 【答案】9 【详解】解：解方程得， 即方程的解也是， 代入得：， 解得：， 故答案为：． 15、我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托为5尺，那么索和竿各为几尺？设竿为尺，可列方程为_____． 【答案】 【详解】解：设竿为尺，则索为（x+5）尺， 根据题意得：， 故答案是：． 16、小明和小亮两人骑自行车同时从相距60千米的两地相向而行，小明的速度是12.5千米/小时，小亮的速度是11.5千米/小时，经过______小时两人相距12千米． 【答案】2或3 【详解】解：设经过x小时，甲、乙两人相距12千米．有两种情况： ①两人没有相遇相距12千米，那么两人共同走了 千米，根据题意可以列出方程， ∴ ； ②两人相遇后相距12千米，那么两人共同走了千米，根据题意可以列出方程， ∴． 故答案为：2或3． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 【答案】(1)设这个数为，； (2)设截去的木条每段长为，； (3)设大约周后树苗长高到，． 【详解】（1）解：设这个数为， 根据题意得，； （2）解：设截去的木条每段长为， 根据题意得，； （3）解：设大约周后树苗长高到， 根据题意得，． 18、 解方程（1） （2） 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，； 小问2详解】 解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，． 19、下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是________________________； (2)小明出错的步骤是______，错误的原因是________________________； (3)给出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等 (2)③，等式两边同时除以的x可能为0 (3)见详解 【详解】（1）解：①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． 故答案为：等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等； （2）解：小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； 故答案为：③，等式两边同时除以的x可能为0； （3）解：正确的解题过程为： 解方程：． 解：， ， ， ． ∴． 20、小林在解方程去分母时，方程右边的-3忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】能，，方程正确的解为 【详解】解：由题意得，小林得到的方程为， 代入得，， 解得：， 原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴方程正确的解为． 21、超市位于小明家正西米处，学校位于家的正东方向，一天，小明的妈妈从家去超市购物，同时小明从家去学校上学，妈妈刚到超市门口发现小明的作业本误装在了购物袋里，立即按原路返回并追赶小明，结果二人同时到达学校．已知妈妈每分钟走米，小明每分钟走米．则小明的家距离学校有多远？ 【答案】500米 【详解】解：设小明的家距离学校米， 根据题意可列方程：， 解得． 答：小明的家距离学校有米． 22、七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． （1）七年级一班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】（1）男生28人，女生22人 （2）4名 【小问1详解】 解：设七年级一班有女生人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； 【小问2详解】 解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 23、国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买人的团体票，再买4张学生票 【详解】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得：， 解得， 学生人数为人，成人人数为8人， 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）解：如果买团体票，按人计算，共需费用： 元， ， ∴购团体票更省钱． （3）解：需要分三种情况， ①若成人和学生分开买票，费用：（元）， ②若购买团体票，费用：（元）， ③人全部买团体票，费用：（元）， ∵， 最省的购票方案为：买人的团体票，再买4张学生票． 24、观察下列三个等式：，，，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为，例如数对，，都是“有趣数对”，请回答下列问题： （1）数对是“有趣数对”吗？试说明理由． （2）若是“有趣数对”，求a的值． （3）若是“有趣数对”，求值． 【答案】（1）数对不是“有趣数对”，理由见解析 （2） （3） 【小问1详解】 解：不是，理由如下， ∵，，， ∴数对不是“有趣数对”， 【小问2详解】 解：∵是“有趣数对”， ∴ 解得：； 【小问3详解】 解：∵是“有趣数对” ∴， 即， ∴ —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元一次方程（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程中是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2、根据等式的性质进行变形，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3、 若x＝1是关于x的方程x﹣2m+1＝0的解，则m的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 4、解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 5、如果是关于的方程的解，求的值为（ ） A. 1 B. C. 21 D. 5 6、我市对城区某主干道进行绿化，计划在此公路的一侧全部栽上“市树”——樟树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7、已知代数式比多，则的值为（    ） A. B. C. D. 8、小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 9、如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部是圆柱形的容器，内部底面积分别为、，现将甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲容器中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的高度高了，设甲容器的容积为，则列方程为（ ） A. B. C. D. 10、有一些苹果和苹果箱，若每箱装25千克苹果，则剩余40千克苹果；若每箱装30千克苹果，则余下20个苹果箱；设这些苹果箱有个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、根据“x的3倍与5的和比x多2”可列出方程_________． 12、若，则的值为_____． 13、若代数式的值比的值多3，则的值为__________． 14、关于的两个方程与的解相同，则的值为______． 15、我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托为5尺，那么索和竿各为几尺？设竿为尺，可列方程为_____． 16、小明和小亮两人骑自行车同时从相距60千米的两地相向而行，小明的速度是12.5千米/小时，小亮的速度是11.5千米/小时，经过______小时两人相距12千米． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 18、 解方程（1） （2） 19、下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是________________________； (2)小明出错的步骤是______，错误的原因是________________________； (3)给出正确的解题过程． 20、 小林在解方程去分母时，方程右边的-3忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 21、超市位于小明家正西米处，学校位于家的正东方向，一天，小明的妈妈从家去超市购物，同时小明从家去学校上学，妈妈刚到超市门口发现小明的作业本误装在了购物袋里，立即按原路返回并追赶小明，结果二人同时到达学校．已知妈妈每分钟走米，小明每分钟走米．则小明的家距离学校有多远？ 22、七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． （1）七年级一班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 23、国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 24、观察下列三个等式：，，，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为，例如数对，，都是“有趣数对”，请回答下列问题： （1）数对是“有趣数对”吗？试说明理由． （2）若是“有趣数对”，求a的值． （3）若是“有趣数对”，求值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $