专题01 有理数混合运算的10类热门计算问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以10类有理数运算问题为核心，通过通法归纳-题型精讲-压轴挑战三阶体系，系统构建从单一运算到混合运算的解题方法，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1个核心解法|运算顺序（先乘方再乘除后加减）|从基础概念到运算规则，构建计算框架| |题型精讲（10类）|每类1典例+3-5变式|转化思想（减变加、除变乘）、运算律（交换律/结合律/分配律）|从单一运算（加减乘除）到混合运算（含括号/乘方），层层递进| |压轴挑战|10道综合题|新定义转化、复杂运算简化|整合前9类方法，提升综合应用与创新意识|

专题01 有理数混合运算的10类热门计算问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、有理数的加法运算 1 类型二、有理数的减法运算 2 类型三、有理数的加减运算 3 类型四、有理数的乘法运算 4 类型五、有理数的除法运算 5 类型六、有理数的乘除运算 5 类型七、有理数的加减乘除混合运算 6 类型八、含乘方的有理数的混合运算 7 类型九、利用运算律简便运算 9 类型十、新定义运算问题 10 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 有理数运算是初中数学计算板块的入门基石，是期中期末必考内容。命题由单一运算逐步过渡到混合运算，常结合乘方、运算律、新定义进行考查。解题要牢记运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内； 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、有理数的加法运算 典例精讲1（26-27七年级·全国·暑假作业）将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：题目仅含加法运算，涉及正数、负数、零的相加，常以两个或多个有理数连加形式出现 2.方法：①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值；③互为相反数的两数相加得 0；④一个数同 0 相加仍得这个数 3.易错提醒：异号相加时符号判断错误（应取绝对值较大数的符号）；多个负数连加时漏算负号 变式训练1（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知，，且，则________． 变式训练2（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）若，则的值为_______． 变式训练3（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 变式训练4（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 类型二、有理数的减法运算 典例精讲2（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：题目含减法运算，形式为一个有理数减去另一个有理数，可能涉及负数作被减数或减数 2.方法：减去一个数等于加上这个数的相反数，将减法统一转化为加法后按加法法则计算 3.易错提醒：减负数时符号处理错误，如 3 减负 5 容易误算为 3 减 5；转化后忘记改变减数的符号 变式训练1（21-22七年级上·河南郑州·期末）已知有理数，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 变式训练3（21-22七年级上·江苏扬州·期末）在数轴上的点表示的数是，则与点相距5个单位长度的点表示的数是_______． 变式训练4（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 变式训练5（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 类型三、有理数的加减运算 典例精讲3（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：题目同时含有加法和减法运算，常以多个数的加减混合形式出现，可能含有括号 2.方法：先将所有减法统一转化为加法，写成省略加号的和的形式；再运用加法交换律、结合律，将同号数、互为相反数、同分母数分别结合，简化计算 3.易错提醒：省略加号时符号处理混乱；运用交换律移动数时，没有连同前面的符号一起移动 变式训练1（25-26七年级上·全国·期中）小明在做课外习题时遇到如下所示一道题：计算： ，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（  ） A．10 B． C． D．10或 变式训练2（25-26七年级上·湖南娄底·期末）_____. 变式训练3（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： 变式训练4（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1) (2) (3) (4) 类型四、有理数的乘法运算 典例精讲4（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：题目只含乘法运算，涉及正数、负数相乘，可能为两个或多个因数连乘 2.方法：两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0；多个非零因数相乘，积的符号由负因数个数决定，奇数个负因数结果为负，偶数个负因数结果为正，再把绝对值相乘 3.易错提醒：多个负数连乘时符号判断错误；忽略因数中有 0，导致结果算错 变式训练1（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 变式训练2（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）已知，，且，则_______． 变式训练3（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型五、有理数的除法运算 典例精讲5（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知，，那么（     ） A．4 B．6 C．18 题型归纳 1.特征：题目含除法运算，形式为一个有理数除以另一个非零有理数，除数可能为分数或小数 2.方法：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，将除法转化为乘法后按乘法法则计算 3.易错提醒：除负数时符号出错；除以分数时只取倒数没变号；忽略除数不能为 0 变式训练1（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 变式训练2（25-26七年级·全国·暑假作业）已知，，，则的值等于____________． 变式训练3（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型六、有理数的乘除运算 典例精讲6（26-27七年级·全国·小升初衔接）（     ） A．2 B． C．1 D．4 题型归纳 1.特征：题目同时含有乘法和除法运算，常以连乘连除形式出现，可能含分数、小数 2.方法：先将所有除法统一转化为乘法，即乘倒数；再确定积的符号，负因数个数为奇数结果为负，偶数结果为正；将小数化分数、带分数化假分数，约分后再相乘 3.易错提醒：乘除同级运算没有按从左到右顺序计算，如 8 除以 2 乘 4 容易误算为 8 除以 8；除法转乘法时倒数求错 变式训练1（25-26七年级上·重庆·阶段检测）某同学做了以下4道计算题：①；②；③；④，请你帮他检查一下，他一共做对了（    ） A．1题 B．2题 C．3题 D．4题 变式训练2（20-21七年级上·山东聊城·期中）下列等式成立的是（         ） A． B． C． D． 变式训练3（2023八年级上·广东肇庆·竞赛）规定一种运算!：，则______． 变式训练4（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 变式训练5（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 类型七、有理数的加减乘除混合运算 典例精讲7（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：题目同时含有加、减、乘、除两种及以上运算，没有乘方，可能含括号，是期中高频计算题 2.方法：严格遵循运算顺序：有括号先算括号内，按小括号、中括号、大括号的顺序；先算乘除，后算加减；同级运算从左到右；能运用运算律简便计算的优先简算 3.易错提醒：运算顺序混乱，先加减后乘除；括号前是负号时去括号没有变号；分配律使用时漏乘某项 变式训练1（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）根据规律，“？”处应填___________． 变式训练2（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 变式训练3（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）计算： 变式训练4（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 类型八、含乘方的有理数的混合运算 典例精讲8（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型归纳 1.特征：题目在加减乘除基础上新增乘方运算，常含负数乘方、分数乘方，是期中计算压轴基础题 2.方法：运算顺序升级为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。注意区分负号在括号内和括号外的乘方，括号内底数包含负号，括号外底数不含负号 3.易错提醒：负数的偶次幂符号判断错误；分数乘方时分子分母没有同时乘方 变式训练1（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 变式训练2（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 变式训练3（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … (1)请仔细观察，写出第6个等式； (2)请你找规律，写出第n个等式； (3)计算：． 类型九、利用运算律简便运算 典例精讲9（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）计算，能简算的要简算 (1) (2) (3) (4) 题型归纳 1.特征：题目数字有特殊结构，如互为相反数、同分母、凑整、含公因数，直接按顺序计算较繁琐，是中档解答常考题型 2.方法：加法交换律、结合律用于凑整、同号结合、相反数结合；乘法交换律、结合律用于凑整约分；乘法分配律可正向展开，也可逆向提取公因数；拆项法将接近整数的数拆成整数与分数的和或差 3.易错提醒：分配律漏乘括号内某一项；提取公因数时系数符号出错；拆项后符号处理不当 变式训练1（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 变式训练2（26-27七年级·全国·小升初衔接）怎样算简便就怎样算．（在第4小题括号里填上合适的数，使计算可以简便，并计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 变式训练3（24-25七年级上·河北保定·开学考试）能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 变式训练4（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算 例1： 例2： (1)； (2)． 类型十、新定义运算问题 典例精讲10（24-25七年级上·福建漳州·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他在课外阅读中看到了一些定义符号的运算，例如：对于数，定义．小奇突发面想，也尝试定义一新运算符号“”，规则如下：，试运用此规则完成下列运算． (1)； (2)． 题型归纳 1.特征：题目定义一种教材中未出现的新运算符号，如加号加圈、乘号加圈、星号等，并给出运算规则，要求按规则计算，属于拓展创新题型 2.方法：仔细阅读题目，准确理解新运算的定义规则；将新运算符号按规则转化为常规的加减乘除乘方运算；代入对应数值，按有理数混合运算顺序计算 3.易错提醒：没有读懂运算规则就盲目计算；新运算不一定满足交换律和结合律，不能随意套用；代入数值时对应位置出错 变式训练1（23-24七年级上·山西大同·阶段检测）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 变式训练2（25-26七年级上·全国·课后作业）定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值． (2)请你定义一种新运算“”，使其中含有乘法运算，且． 变式训练3（25-26七年级上·贵州遵义·期末）定义一种新运算“f”：表示在运算作用下的结果．若表示在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下，，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1（山东省烟台蓬莱市（五四制）2020-2021学年六年级上学期期中考试数学试题）计算 (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 4．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 5．（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 6．（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 7．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）规定一种新运算“”，即，例如，根据规定完成下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 8．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：． 9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 10．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）a、b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”： 定义；例如：． 请根据“⊕”的定义计算： (1)； (2)． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数混合运算的10类热门计算问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、有理数的加法运算 2 类型二、有理数的减法运算 2 类型三、有理数的加减运算 7 类型四、有理数的乘法运算 10 类型五、有理数的除法运算 13 类型六、有理数的乘除运算 15 类型七、有理数的加减乘除混合运算 18 类型八、含乘方的有理数的混合运算 21 类型九、利用运算律简便运算 26 类型十、新定义运算问题 33 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 有理数运算是初中数学计算板块的入门基石，是期中期末必考内容。命题由单一运算逐步过渡到混合运算，常结合乘方、运算律、新定义进行考查。解题要牢记运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内； 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、有理数的加法运算 典例精讲1（26-27七年级·全国·暑假作业）将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 题型归纳 1.特征：题目仅含加法运算，涉及正数、负数、零的相加，常以两个或多个有理数连加形式出现 2.方法：①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值；③互为相反数的两数相加得 0；④一个数同 0 相加仍得这个数 3.易错提醒：异号相加时符号判断错误（应取绝对值较大数的符号）；多个负数连加时漏算负号 变式训练1（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知，，且，则________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义得到，的所有可能取值，结合的条件筛选出符合要求的取值，再计算． 【详解】解：∵ ， ∴ 或 ， ∵ ， ∴ 或 ， ∵ ，当时，，，不满足条件，舍去； 当时，，，两种情况都满足条件， 当，时，， 当，时，， 因此的值为或． 变式训练2（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， 所以，． 故答案为：． 变式训练3（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 变式训练4（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 类型二、有理数的减法运算 典例精讲2（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 题型归纳 1.特征：题目含减法运算，形式为一个有理数减去另一个有理数，可能涉及负数作被减数或减数 2.方法：减去一个数等于加上这个数的相反数，将减法统一转化为加法后按加法法则计算 3.易错提醒：减负数时符号处理错误，如 3 减负 5 容易误算为 3 减 5；转化后忘记改变减数的符号 变式训练1（21-22七年级上·河南郑州·期末）已知有理数，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需先根据a、b的符号判断各表达式的正负与a、b的大小关系，再通过作差比较四个数的大小． 【详解】解：∵有理数，， ∴， 作差比较可得：，故； ，故； ，故， 是最大的数． 变式训练2（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 变式训练3（21-22七年级上·江苏扬州·期末）在数轴上的点表示的数是，则与点相距5个单位长度的点表示的数是_______． 【答案】或3 【详解】解：（1）当所求点在点A的左侧时，可得所求点表示的数为； （2）当所求点在点A的右侧时，可得所求点表示的数为， 故与点相距5个单位长度的点表示的数是或3． 变式训练4（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 【答案】 【分析】根据有理数的减法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 变式训练5（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 【答案】(1)开始出错的步骤是②，原习题正确过程见解析，结果为 (2)+ 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． 【详解】（1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； ； （2）解：， 故方框内应填上“+”． 类型三、有理数的加减运算 典例精讲3（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：； ， ， ； ． 题型归纳 1.特征：题目同时含有加法和减法运算，常以多个数的加减混合形式出现，可能含有括号 2.方法：先将所有减法统一转化为加法，写成省略加号的和的形式；再运用加法交换律、结合律，将同号数、互为相反数、同分母数分别结合，简化计算 3.易错提醒：省略加号时符号处理混乱；运用交换律移动数时，没有连同前面的符号一起移动 变式训练1（25-26七年级上·全国·期中）小明在做课外习题时遇到如下所示一道题：计算： ，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（  ） A．10 B． C． D．10或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 用结果减去加数，加上减数即可． 【详解】解：∵计算结果为15， ∴ ，即， ∴． 故选：A． 变式训练2（25-26七年级上·湖南娄底·期末）_____. 【答案】 【分析】本题考查了裂项法进行有理数加减运算，关键是裂项相消法求和；观察原式，每一项为两个连续整数倒数的差的绝对值，利用绝对值的性质去掉绝对值符号，发现裂项相消，即中间项相互抵消，只剩首尾部分项化简即可． 【详解】解：原式， ， 故答案为： ． 变式训练3（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： 【答案】（或） 【分析】先把原式所有带分数拆分为整数部分与分数部分分别计算，先算出整数部分，再对分数部分进行化简，拆成两个分数相加的形式，去括号后正负分数相互抵消，最后和整数部分合并即可得到解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 变式训练4（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 类型四、有理数的乘法运算 典例精讲4（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 题型归纳 1.特征：题目只含乘法运算，涉及正数、负数相乘，可能为两个或多个因数连乘 2.方法：两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0；多个非零因数相乘，积的符号由负因数个数决定，奇数个负因数结果为负，偶数个负因数结果为正，再把绝对值相乘 3.易错提醒：多个负数连乘时符号判断错误；忽略因数中有 0，导致结果算错 变式训练1（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 【答案】A 【分析】先对81分解因数，根据四个互不相等整数的乘积为正，确定四个整数的取值，再计算和即可． 【详解】解：∵，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 变式训练2（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）已知，，且，则_______． 【答案】 【分析】先由绝对值的性质求出、的可能值，再通过加法运算判断哪些组合满足和为正的条件，最后计算符合条件的、的乘积． 【详解】解：∵，， ∴或，或． ①当，时，，满足条件，此时； ②当，时，，满足条件，此时； ③当，时，，不满足的条件，舍去； ④当，时，，不满足的条件，舍去． 综上，的值为． 变式训练3（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 类型五、有理数的除法运算 典例精讲5（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知，，那么（     ） A．4 B．6 C．18 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：题目含除法运算，形式为一个有理数除以另一个非零有理数，除数可能为分数或小数 2.方法：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，将除法转化为乘法后按乘法法则计算 3.易错提醒：除负数时符号出错；除以分数时只取倒数没变号；忽略除数不能为 0 变式训练1（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据数轴上有理数的位置，，计算判断即可． 【详解】解：根据图示，可得， ∴；，， 故，， 由是一个负数，根据两个负数比较，绝对值大的反而小， 得； 变式训练2（25-26七年级·全国·暑假作业）已知，，，则的值等于____________． 【答案】8或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当时，，，两种情况均不符合条件，舍去， ∴， ①当，时，满足， ； ②当，时，满足， ； 综上所述，的值为或． 变式训练3（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 类型六、有理数的乘除运算 典例精讲6（26-27七年级·全国·小升初衔接）（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：． 题型归纳 1.特征：题目同时含有乘法和除法运算，常以连乘连除形式出现，可能含分数、小数 2.方法：先将所有除法统一转化为乘法，即乘倒数；再确定积的符号，负因数个数为奇数结果为负，偶数结果为正；将小数化分数、带分数化假分数，约分后再相乘 3.易错提醒：乘除同级运算没有按从左到右顺序计算，如 8 除以 2 乘 4 容易误算为 8 除以 8；除法转乘法时倒数求错 变式训练1（25-26七年级上·重庆·阶段检测）某同学做了以下4道计算题：①；②；③；④，请你帮他检查一下，他一共做对了（    ） A．1题 B．2题 C．3题 D．4题 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． 直接根据有理数的运算进行计算即可． 【详解】解：①，故错误； ②，故正确； ③，故错误； ④，故错误；所以正确的个数有1个． 故选：A． 变式训练2（20-21七年级上·山东聊城·期中）下列等式成立的是（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是掌握乘除混合运算法则及除法法则． 利用乘除混合运算法则及除法法则逐项进行判断即可． 【详解】解：，故A选项成立，B、D选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； 故选：A． 变式训练3（2023八年级上·广东肇庆·竞赛）规定一种运算!：，则______． 【答案】9900 【分析】本题考查新运算的计算，解题的关键是根据题意得到新运算的规律． 根据新运算直接代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 变式训练4（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先算乘法，除以转化为乘4，算出结果； （2）式子含乘数0，任何数乘0都得0，结果直接为0； （3）除法转乘法，提取公因数，括号内化简后相乘； （4）带分数化为假分数，约分后相乘得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式训练5（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 类型七、有理数的加减乘除混合运算 典例精讲7（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐个进行计算，即可解答． 【详解】解：A、，故A计算正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C计算正确，不符合题意； D、，故D计算错误，符合题意； 故选：D． 题型归纳 1.特征：题目同时含有加、减、乘、除两种及以上运算，没有乘方，可能含括号，是期中高频计算题 2.方法：严格遵循运算顺序：有括号先算括号内，按小括号、中括号、大括号的顺序；先算乘除，后算加减；同级运算从左到右；能运用运算律简便计算的优先简算 3.易错提醒：运算顺序混乱，先加减后乘除；括号前是负号时去括号没有变号；分配律使用时漏乘某项 变式训练1（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）根据规律，“？”处应填___________． 【答案】 【分析】观察前三个方框里的四个数字，发现第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数，据此解答． 【详解】解：方框1： 方框2： 方框3： 规律：第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数． “？”处应填． 变式训练2（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】1103 【分析】观察原式中各数字的关系，对各项变形后，利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】解： ． 变式训练3（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）计算： 【答案】 【详解】 变式训练4（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)10 (2) (3)8 (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 类型八、含乘方的有理数的混合运算 典例精讲8（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 题型归纳 1.特征：题目在加减乘除基础上新增乘方运算，常含负数乘方、分数乘方，是期中计算压轴基础题 2.方法：运算顺序升级为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。注意区分负号在括号内和括号外的乘方，括号内底数包含负号，括号外底数不含负号 3.易错提醒：负数的偶次幂符号判断错误；分数乘方时分子分母没有同时乘方 变式训练1（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)15 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 变式训练2（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （4）先计算乘方，再利用乘法结合律计算即可； （5）先计算乘方并把除法变为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： =． （4）解： =． （5）解： ． 变式训练3（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … (1)请仔细观察，写出第6个等式； (2)请你找规律，写出第n个等式； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律写出第6个等式； （2）根据规律写出第n个等式； （3）将每个幂的形式写成等式的左边部分，整理后即可求解． 【详解】（1）解：第6个等式为 （2）解：第n个等式为 （3）解： 类型九、利用运算律简便运算 典例精讲9（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）计算，能简算的要简算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加法结合律进行简便计算； （2）利用乘法分配律进行简便计算； （3）利用乘法分配律进行简便计算； （4）计算时按照先算乘方，再算乘除运算，最后计算加减运算；有括号先算括号内的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型归纳 1.特征：题目数字有特殊结构，如互为相反数、同分母、凑整、含公因数，直接按顺序计算较繁琐，是中档解答常考题型 2.方法：加法交换律、结合律用于凑整、同号结合、相反数结合；乘法交换律、结合律用于凑整约分；乘法分配律可正向展开，也可逆向提取公因数；拆项法将接近整数的数拆成整数与分数的和或差 3.易错提醒：分配律漏乘括号内某一项；提取公因数时系数符号出错；拆项后符号处理不当 变式训练1（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 变式训练2（26-27七年级·全国·小升初衔接）怎样算简便就怎样算．（在第4小题括号里填上合适的数，使计算可以简便，并计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4)，3 (5)1 (6) (7)1 (8)2 【分析】本题考查的是简便运算，按照分配律，结合律，交换律的规则以及运算顺序和规则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：      ； （4）解：      ； （5）解： ； （6）解：      ； （7）解：      ； （8）解： ． 变式训练3（24-25七年级上·河北保定·开学考试）能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)100 (4) 【分析】本题考查了简便计算，解题的关键是掌握相关运算律． （1）把2024写成，然后根据乘法的分配律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可； （3）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可； （4）根据加法的交换律和结合律，并逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解∶ ． 变式训练4（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算 例1： 例2： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，能够熟练运用乘法分配律是解题的关键． （1）把写成，利用乘法分配律进行计算； （2）逆用乘法分配律，提取，进行简便计算即可． 【详解】（1） （2） ． 类型十、新定义运算问题 典例精讲10（24-25七年级上·福建漳州·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他在课外阅读中看到了一些定义符号的运算，例如：对于数，定义．小奇突发面想，也尝试定义一新运算符号“”，规则如下：，试运用此规则完成下列运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的四则混合运算； （1）根据新定义运算可得，再计算即可； （2）根据新定义运算先计算可得，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； 题型归纳 1.特征：题目定义一种教材中未出现的新运算符号，如加号加圈、乘号加圈、星号等，并给出运算规则，要求按规则计算，属于拓展创新题型 2.方法：仔细阅读题目，准确理解新运算的定义规则；将新运算符号按规则转化为常规的加减乘除乘方运算；代入对应数值，按有理数混合运算顺序计算 3.易错提醒：没有读懂运算规则就盲目计算；新运算不一定满足交换律和结合律，不能随意套用；代入数值时对应位置出错 变式训练1（23-24七年级上·山西大同·阶段检测）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 变式训练2（25-26七年级上·全国·课后作业）定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值． (2)请你定义一种新运算“”，使其中含有乘法运算，且． 【答案】(1) (2) 示例：定义新运算， 则． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解新运算，熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据新定义运算进而代入求出即可． （2）根据题意确定出所求新运算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ． （2）略 变式训练3（25-26七年级上·贵州遵义·期末）定义一种新运算“f”：表示在运算作用下的结果．若表示在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下，，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】本题考查了数字规律类探索及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． （1）根据新运算，令即可求得的值； （2）利用新运算可分别求得的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1（山东省烟台蓬莱市（五四制）2020-2021学年六年级上学期期中考试数学试题）计算 (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)． 【答案】(1)13 (2) (3)6 (4) (5) 【分析】（1）先化减为加，然后运用有理数加法运算律进行简便运算即可； （2）先把带分数化成假分数，然后再化除为乘，最后运用有理数乘法法则计算即可； （3）先算乘方，再按照有理数的混合运算法则计算即可； （4）先算乘方，再去绝对值，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （5）直接运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)4.5 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加减混合运算计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算计算即可； （4）根据有理数的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)8 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律求解即可； （2）先把减法统一成加法，再按加法法则计算； （3）利用加法交换律和结合律求解即可； （4）先把减法统一成加法，再利用加法交换律和结合律求解即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 4．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 5．（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （4）先将除法化为乘法，并将带分数化为假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 6．（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先去绝对值，再运用加法交换律和结合律计算即可； （3）运用加法结合律将原式变形后计算即可； （4）先去括号，再运用加法结合律计算即可； （5）将小数统一化成分数，再从左到右进行计算即可； （6）先化简，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （7）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （8）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 7．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）规定一种新运算“”，即，例如，根据规定完成下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)0 【分析】（1）根据计算即可，相当于； （2）先计算为，再计算即可； 本题考查了有理数的加减法，解题的关键是找准a，b对应的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 8．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：． 【答案】1 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．将分数变为小数后，利用加法交换律和结合律简化运算求解即可． 【详解】解： ． 9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)22 (2) (3)9 (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 10．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）a、b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”： 定义；例如：． 请根据“⊕”的定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题目中定义运算法则代入求解即可． （1）根据新定义的代入计算即可； （2）据新定义的代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $