专题02 一元二次方程的解法（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法、配方法（含求根公式推导）、公式法（含判别式应用）、因式分解法（提取公因式、乘法公式、十字相乘）及解法选择，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过典例与变式分层设计，渗透转化降次思想，配方法推导公式培养推理意识，解法对比提升运算能力，新定义问题发展创新意识。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化知识应用。

专题02 一元二次方程的解法 1.能把二次项系数不为 1 的一元二次方程正确配方，掌握配方的关键步骤。 2.掌握求根公式，理解求根公式的推导过程，能利用判别式判断一元二次方程根的情况，理解判别式为非负数时才有实数根的条件。 3.掌握因式分解法解一元二次方程；因式分解法中，不能随意两边同时除以含有未知数的代数式，避免丢根。 4.通过对比四种解法，学会观察方程结构，选择最优解法，发展运算能力与逻辑推理能力。 5.经历从直接开平方法到配方法推导求根公式的过程，体会转化、降次的核心思想，把一元二次方程转化为一元一次方程求解。在解方程运算过程中，养成认真审题、规范书写、检验结果的良好习惯。 1.一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成，则. 2.一元二次方程的解法：配方法 通过配方把一元二次方程转化为形式求解的方法叫配方法（solving by completing the square）。 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是 （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； （4）化原方程为(x+h）2=k的形式； （5）如果k≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果k＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 3.公式法：用求根公式求出一元二次方程的解的方法叫公式法（solving by formula）． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 4.因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边能够分解为两个一次因式乘积时，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法称为因式分解法（solving by factorization）。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：若能用如下乘法公式将方程化成两个因式乘积等于0的形式，有时可以很好解决。 ①平方差公式：；②完全平方公式：。 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边两数相乘等于二次项；②十字右边两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴， 5.解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 题型01 直接开平方法 【典例】（25-26八年级下·浙江·月考）用直接开平方法解下列方程． (1)；(2)． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）方程 的解是______． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程： (1) (2) 【变式3】（25-26八年级下·吉林四平·期中）求满足条件的x值：（1）；（2） 题型02 配方法 【典例】（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【变式3】 （25-26·江苏初三月考）用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式4】（25-26八年级上·广西贺州·期中）小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥． 小明的解答从第_____步开始出错，请写出正确的解答过程． 题型03 公式法 【典例】（25-26八年级下·浙江·期中）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·期中）解方程： (1)；(2) 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）解方程：(1) (2) 【变式3】（25-26·重庆市·九年级期中）解下列方程： (1) (2) (3) 题型04 因式分解法 【典例】（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）解下列方程： (1) (2) 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）解方程 (1)； (2)． (3) 【变式3】（25-26八年级下·山东东营·月考）解方程 (1) (2) (3) 【变式4】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】(1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程：①；②． 题型05 指定一元二次方程的解法 【典例】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 【变式1】（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）解下列方程： (1)（公式法）；(2)（配方法）(3)（方法不限）． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）解下列一元二次方程 (1)（因式分解法）；(2)（直接开平方法）；(3)（公式法）． 题型06 活用一元二次方程的解法 【典例】（25-26八年级下·山东烟台·期中）用适当的方法解下列方程 (1)；(2)；(3)． 【变式1】（25-26九年级下·山东淄博·月考）选择合适的方法解一元二次方程． (1) (2) 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江绥化·月考）用适当的方法解下列方程： (1)；(2)．(3)；(4)． 【变式3】（25-26八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 题型07 换元法解一元二次方程 【典例】（25-26八年级上·安徽六安·月考）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程：(1)；(2)． 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下：将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【变式2】（25-26八年级下·安徽淮北·月考）阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程：(1)；(2)． 【变式3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：(1)．(2)． 题型08 判别式的运用 【典例】（25-26·上海市九年级期末）下列关于x的方程说法正确的是（       ） A．没有实数根； B．有实数根； C．有两个相等的实数根； D．（其中m是实数）一定有实数根. 【变式2】（2026·河南开封·一模）写出一个使一元二次方程有两个不相等的实数根的的值___________． 【变式2】（25-26·江苏扬州·九年级期末）已知关于的一元二次方程 ． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两根都是整数，求整数的值． 【变式3】（25-26·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值． 【变式4】（25-26·江苏·九年级期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当是等腰三角形时，求的值． 题型09 配方思想的运用（最值、大小比较等） 【典例】（25-26八年级上·湖南湘西·期末）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：(1)填空：多项式的最小值为______； (2)若满足，求的值； (3)已知是任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【变式2】（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)；(2)． 【变式3】（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】(1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】(2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤___； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【变式4】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下：解：． ，，的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；(2)比较代数式与的大小，并说明理由． 题型10 一元二次方程的新定义问题 【典例】（25-26·重庆九年级期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 例如：，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分）．）阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； （2）将配方（至少两种形式）；（3）已知，求的值． 【变式1】（2021·湖北荆州市·中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B． C．且 D． 【变式2】（25-26·河南驻马店·九年级期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： (1)x2-5x+6＝0 (2) 【变式3】（25-26汾阳九年级期末）定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（　　） A．x2﹣16＝0与x2＝25 B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0 C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0 【巩固训练】 1.（2026·安徽铜陵·二模）下列方程中，无实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 3．（2026·安徽芜湖·二模）关于x的一元二次方程，则（   ） A．该方程没有实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程有两个相等的实数根 D．无法判断 4．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海黄浦·二模）解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 7．（25-26八年级下·山东·期中）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 8.（25-26八年级下·浙江杭州·月考）请选用适当的方法解一元二次方程． (1) (2) 9．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 10．（25-26·辽宁朝阳·九年级期末）解下列方程： (1)（配方法） (2)（运用公式法） (3)（分解因式法） 11.（25-26成都 九年级校级月考）已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根． （1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根． 12.（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根； (2)若等腰的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值． 【强化训练】 1．（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．（2026·上海静安·二模）当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26新会区九年级校考期末）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是　 　． 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知，则 _________． 6．（25-26八年级上·安徽六安·月考）综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． (1)基础应用：已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； (2)能力提升：已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程根大1； (3)综合拓展：已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”．(1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 8.（25-26八年级下·山东济南·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，．因为不论取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_____； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 9.（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最值？判断是最大值还是最小值，并求出这个最值． 10.（25-26九年级上·广东汕头·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为，所以， 因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：(1)【理解探究】已知代数式，则的最小值为_____； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展应用】如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程的解法 1.能把二次项系数不为 1 的一元二次方程正确配方，掌握配方的关键步骤。 2.掌握求根公式，理解求根公式的推导过程，能利用判别式判断一元二次方程根的情况，理解判别式为非负数时才有实数根的条件。 3.掌握因式分解法解一元二次方程；因式分解法中，不能随意两边同时除以含有未知数的代数式，避免丢根。 4.通过对比四种解法，学会观察方程结构，选择最优解法，发展运算能力与逻辑推理能力。 5.经历从直接开平方法到配方法推导求根公式的过程，体会转化、降次的核心思想，把一元二次方程转化为一元一次方程求解。在解方程运算过程中，养成认真审题、规范书写、检验结果的良好习惯。 1.一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成，则. 2.一元二次方程的解法：配方法 通过配方把一元二次方程转化为形式求解的方法叫配方法（solving by completing the square）。 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是 （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； （4）化原方程为(x+h）2=k的形式； （5）如果k≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果k＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 3.公式法：用求根公式求出一元二次方程的解的方法叫公式法（solving by formula）． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 4.因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边能够分解为两个一次因式乘积时，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法称为因式分解法（solving by factorization）。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：若能用如下乘法公式将方程化成两个因式乘积等于0的形式，有时可以很好解决。 ①平方差公式：；②完全平方公式：。 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边两数相乘等于二次项；②十字右边两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴， 5.解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 题型01 直接开平方法 【典例】（25-26八年级下·浙江·月考）用直接开平方法解下列方程． (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）方程 的解是______． 【答案】， 【详解】解：；，∴或，解得． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，；(2)，． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴或， ∴，． 【变式3】（25-26八年级下·吉林四平·期中）求满足条件的x值：（1）；（2） 【答案】（1）或（2）， 【详解】解： ， 或， 或． （2） 开方得：或 解得：，． 题型02 配方法 【典例】（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，(2)， (3)，(4)， 【详解】（1）解： ，即， ， 解得，； （2）解： ，即， ， 解得，； （3）解： ， ，， ， 解得，； （4）解： ， ，，， 解得，． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原方程，整理得 ， ∴，∴． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （2）解：， 两边都加上36，得， 即， 开方，得， ∴； （3）解：整理，得， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （4）解：整理，得， 两边都加上4，得， 即，开方，得， ∴． 【变式3】 （25-26·江苏初三月考）用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）原方程无实数根；（3）；（4）；（5）；（6）． 【解析】（1） 配方，得， ． （2） 移项，得． 配方，得． ，原方程无实数根． （3） 移项，得． 配方，得， ． （4） 移项，得．配方，得， ． （5） 原方程化为一般形式为． 移项，得． 配方，得， ． （6）原方程化为一般形式为． 二次项系数化为1得． 配方，得，． 【变式4】（25-26八年级上·广西贺州·期中）小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥． 小明的解答从第_____步开始出错，请写出正确的解答过程． 【答案】⑤；见解析． 【详解】解：小明从第⑤步开始出现了错误；正确的解答过程如下：由， 移项，得：，即：， 配方，得：，即：， 开方，得：， 解得：． 题型03 公式法 【典例】（25-26八年级下·浙江·期中）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，(2)，(3) 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得，，； （2）将方程化为一般形式，得，， ， 代入求根公式，得，，； （3），， 代入求根公式，得：，． 【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·期中）解方程： (1)；(2) 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：（1），，；     ；     ；     ，． （2）， ， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）解方程：(1) (2) 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：，则 解得： （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式3】（25-26·重庆市·九年级期中）解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)x1=，x2=(2)x1=，x2=(3)方程无解 【解析】 (1)解：，2x2+8x-1=0， ∵Δ==72>0， ∴x=， ∴x1=，x2=； (2)解：，3x2-11x+9=0， ∵Δ=>0， ∴x= ∴x1=，x2=； (3)解：，∵Δ=(-6)2-4×1×10＝-4<0，∴方程无解． 题型04 因式分解法 【典例】（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， 或， 解得，． 【变式1】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，因式分解，得， 得或，解得； （2）解：  ，移项，得， 因式分解，得， 即，∴或∴解得． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）解方程 (1)； (2)． (3) 【答案】(1)，(2)， (3)， 【详解】（1）解： ∴或 ∴， （2）解： ， 即，或 ∴，． （3）解：， ， ， ，． 【变式3】（25-26八年级下·山东东营·月考）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：原方程整理得；     ；     或；     ，． （2）解：， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ． 【变式4】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】(1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程：①；②． 【答案】(1)1，4 (2)①，；②， 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ∴，∴原方程的解为，； ②，      ， ∴，∴原方程的解为，． 题型05 指定一元二次方程的解法 【典例】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 【答案】(1)，(2)，(3)， 【详解】（1）解：， ， 移项得，， 提取公因式得，， 或， 解得，，； （2）解：， ∵，，， ∴， ， ，； （3）解：， 等式两边同时除以2得，， 移项得，， ∴配方得，，即， 直接开方得，，，． 【变式1】（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）解下列方程： (1)（公式法）；(2)（配方法）(3)（方法不限）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得； （2）解：， ， 解得； （3）解：， ， ， ， 或， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）解下列一元二次方程 (1)（因式分解法）；(2)（直接开平方法）；(3)（公式法）． 【答案】(1)，；(2)，；(3)，． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ∴，， 解得，； （3）解：， ，，, ， ∴， 解得，． 题型06 活用一元二次方程的解法 【典例】（25-26八年级下·山东烟台·期中）用适当的方法解下列方程 (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，； （2）解：原方程可化为：， ，， 解得：； （3）解：原方程可化为：， 整理得：， ∵， ∴， ∴  ，即：. 【变式1】（25-26九年级下·山东淄博·月考）选择合适的方法解一元二次方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江绥化·月考）用适当的方法解下列方程： (1)；(2)．(3)；(4)． 【答案】(1)，(2)，(3)，(4)， 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ， ，． （3）解：， ， ，． （4）解：， ， ， ， ，． 【变式3】（25-26八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 题型07 换元法解一元二次方程 【典例】（25-26八年级上·安徽六安·月考）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程：(1)；(2)． 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ，解得，， ∵，∴不符合题意，舍去， 当时，，解得，， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程可化为， ，解得，， 当时，，整理得， ∵，∴此方程无实数根； 当时，，整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下：将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【详解】解：设，则原方程可化为：，解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 【变式2】（25-26八年级下·安徽淮北·月考）阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程：(1)；(2)． 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：设，则原方程可化为，解得，． 当时，，解得； 当时，，解得．原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为，解得．             ，即或，解得，． 【变式3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：(1)．(2)． 【答案】(1)，，，(2)，， 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ，或，或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ，， 原方程的解为，，． 题型08 判别式的运用 【典例】（25-26·上海市九年级期末）下列关于x的方程说法正确的是（       ） A．没有实数根； B．有实数根； C．有两个相等的实数根； D．（其中m是实数）一定有实数根. 【答案】D 【详解】解：A、移项得：，，故方程有两个不相等的实数根，说法错误； B、中，，故方程没有实数根，说法错误； C、中，，故方程没有实数根，说法错误； D、中，，故方程有两个不相等的实数根，正确；故选：D． 【变式2】（2026·河南开封·一模）写出一个使一元二次方程有两个不相等的实数根的的值___________． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：∵为一元二次方程，则 由题可知，，∴，则取且即可，∴ 【变式2】（25-26·江苏扬州·九年级期末）已知关于的一元二次方程 ． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两根都是整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）解：根据题意得： ∴无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）解：， ∴，∴， ∵该方程的两根都是整数，且k为整数，∴为整数，∴整数k为±1． 【变式3】（25-26·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）∵，      ∵，       ∴，       ∴此方程一定有两个不相等的实数根； （2），       ∴，∴，，             ∵，       ∴， 【变式4】（25-26·江苏·九年级期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析(2)7 【解析】(1)证明：∵Δ＝(k＋1)2−4(2k−2)＝k2＋2k＋1−8k＋8＝k2−6k＋9＝(k−3)2≥0，∴方程总有两个实数根； (2)解：原方程分解因式得：(x−2)[x−(k−1)]＝0，∴x1＝2，x2＝k−1， 当等腰三角形的腰是2时，2＋2＜6，不合题意， ∴等腰三角形的腰是6，∴k−1＝6，∴k＝7． 题型09 配方思想的运用（最值、大小比较等） 【典例】（25-26八年级上·湖南湘西·期末）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：(1)填空：多项式的最小值为______； (2)若满足，求的值； (3)已知是任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， ，．故答案为：． （2）解：，，， ，，即， 解得：，． （3）解： ， ，，即，则． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【答案】 1 【详解】解：∵，∴时，代数式有最大值，其最大值为． 【变式2】（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)；(2)． 【答案】(1)当时，多项式取得最大值为 (2)当，时，多项式的最小值为 【详解】（1）解： ，∵，∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为； （2）解： ， ∵，，∴，当且仅当且时等号成立， 由可得，，将代入可得， 故当，时，多项式的最小值为． 【变式3】（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】(1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】(2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤___； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【答案】(1)；；；(2)(3) 【详解】（1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是．配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. （2）解：，， ，，，，，∵，∴． （3）解：∵在四边形中，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴四边形面积的最大值为. 【变式4】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下：解：． ，，的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；(2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8(2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8；故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下：，． 题型10 一元二次方程的新定义问题 【典例】（25-26·重庆九年级期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 例如：，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分）．）阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； （2）将配方（至少两种形式）；（3）已知，求的值． 【答案】（1），，；（2），；（3）4 【详解】解：（1）的三种配方分别为： ， ， ； （2）， ； （3）， ，=0， 从而有，，，即，，，． 【变式1】（2021·湖北荆州市·中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，∴．整理得，． ∵方程有两个实数根，∴判别式且．由得，，解得，． ∴k的取值范围是且．故选：C 【变式2】（25-26·河南驻马店·九年级期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： (1)x2-5x+6＝0 (2) 【答案】(1)方程是邻根方程． (2)方程不是邻根方程 【解析】 (1)解： ∴， ∵符合邻根方程的定义 ∴方程是邻根方程． (2)解： ， ∵不符合邻根方程的定义 ∴方程不是邻根方程 【变式3】（25-26汾阳九年级期末）定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（　　） A．x2﹣16＝0与x2＝25 B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0 C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0 【解答】解：A、方程x2﹣16＝0的实数根是±4，x2＝25的实数根是±5， ∵4：（﹣4）＝5：（﹣5），∴一元二次方程x2﹣16＝0与x2＝25为相似方程； B、方程（x﹣6）2＝0的实数根是6，x2+4x+4＝0的实数根是﹣2， ∵6：6＝﹣2：﹣2，∴一元二次方程（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0为相似方程； C、方程x2﹣7x＝0的实数根是0或7，x2+x﹣6＝0的实数根是﹣3或2， ∵0：7≠﹣3：2，∴一元二次方程x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0不是相似方程； D、方程（x+2）（x+8）＝0的实数根是﹣2或﹣8，x2﹣5x+4＝0的实数根是1或4， ∵﹣2：﹣8＝1：4，∴一元二次方程（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0为相似方程；选：C． 【巩固训练】 1.（2026·安徽铜陵·二模）下列方程中，无实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由题意得，∴ 方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； B、由题意得，∴ 方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； C、由题意得，，∴方程无实数根，故此选项符合题意； D、由题意得，∴ 方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； 2.（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【详解】解：∵，∴，解得，． 3．（2026·安徽芜湖·二模）关于x的一元二次方程，则（   ） A．该方程没有实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程有两个相等的实数根 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：∵，∴∴，，， ∴ ∵对任意实数，都有，∴，即，∴该方程有两个不相等的实数根. 4．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，，． 5．（2026·上海黄浦·二模）解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵令，可得将其代入原方程得： 方程两边同乘（）去分母得：，移项整理得：， 因此换元后整理得到的整式方程为． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 【答案】D 【详解】解：方程移项整理，得，则，，． 7．（25-26八年级下·山东·期中）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得； （2）解：原方程化为一般形式，得． 把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得． 8.（25-26八年级下·浙江杭州·月考）请选用适当的方法解一元二次方程． (1) (2) 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解： ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得. 9．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)，(2)，(3)(4) 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： ，， 解得，． （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得． 10．（25-26·辽宁朝阳·九年级期末）解下列方程： (1)（配方法） (2)（运用公式法） (3)（分解因式法） 【答案】(1)或(2)(3)或 【解析】(1) 解： ， ∴， ∴ ∴， (2) 解：∵，，， ∴， ∴， ∴； (3) 解： ∴， ∴， ∴，； 11.（25-26成都 九年级校级月考）已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根． （1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根． 【解答】解：（1）根据题意得4m﹣1≥0，解得m； （2）把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1得（2﹣1）2＝4m﹣1，解得m， ∴方程化为（x﹣1）2＝1，∴x﹣1＝±1，解得x1＝2，x2＝0，∴方程的另一个根为0． 12.（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根； (2)若等腰的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值． 【答案】(1)见解析(2)或4或3 【详解】（1）解：， 该方程总有两个实数根． （2）解：∵，∴， ∴或，解得：，，即，， 第1种情况：当是腰，2是底边时，，，， 的三边长为：、、2，能组成三角形； 第2种情况：当2是腰，是底边时，，，， 的三边长为：2、2、3，能组成三角形； 第3种情况：当、2是腰时，，， 的三边长为：2、2、3，能组成三角形，也满足周长为7； 综上所述：或4或3． 【强化训练】 1．（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， 去括号整理得：，即：， ∵为实数，任意实数的平方非负，可得， ∴，即，∴． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【详解】解：∵与是伙伴方程， ∴可以变形， 即， ∴，，解得，， ∴， ∴代数式能取的最大值是． 3．（2026·上海静安·二模）当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，，0不是正数，故A选项不符合题意； B、当时，，0不是正数，故B选项不符合题意； C、，当时，，故C选项不符合题意； D、，∵，∴，即代数式的值一定为正数，故D选项符合题意． 4.（25-26新会区九年级校考期末）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是　 　． 【解答】解：x≥﹣x，即x≥0时，x＝x2﹣6，x2﹣x﹣6＝0， （x﹣3）（x+2）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2（舍去）； x＜﹣x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣6，x2+x﹣6＝0， （x+3）（x﹣2）＝0，解得x3＝﹣3，x4＝2（舍去）． 故方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是x＝3或﹣3．故答案为：3或﹣3． 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知，则 _________． 【答案】2 【详解】解：设， ∵则，∴， 则或，∴或（舍去）；∴．故答案为：2． 6．（25-26八年级上·安徽六安·月考）综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． (1)基础应用：已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； (2)能力提升：已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程根大1； (3)综合拓展：已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 【答案】(1)(2)(3)3和5 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，则，即， 将代入原方程，得，化简得：； （2）解：设所求方程的根为y，则，即， 将代入原方程，得， 展开化简得：； （3）解：将新方程变形整理：， ，， 对比原方程，可得代换关系：，即， ∵原方程的两根为1和3，∴新方程的两根为，，即所求两根为3和5． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”．(1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)8(2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程是“A方程”， ∴该方程的一个根为，∴，解得：； （2）解：∵关于的一元二次方程是“方程”， ∴把代入，得：∴； ∴， ∵，∴当时，代数式有最小值，最小值为． 8.（25-26八年级下·山东济南·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，．因为不论取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_____； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】(1)；(2)(3)，理由见解析 【详解】（1）解：，故答案为：；； （2）解：， ，，故最小值为； （3）解：，， ， ， ，，． 9.（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最值？判断是最大值还是最小值，并求出这个最值． 【答案】(1)(2)当时，多项式有最小值，最小值为 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，∴，∴当时，多项式有最小值，最小值为． 10.（25-26九年级上·广东汕头·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为，所以， 因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：(1)【理解探究】已知代数式，则的最小值为_____； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展应用】如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？ 【答案】(1)(2)，见解析(3)当时，的面积最大，且最大面积为 【详解】（1）解： 当时，，因此 有最小值，最小值为， ∴ A的最小值为，故答案为：； （2）解：，理由如下：， ， ； （3）解：由题意得：， 当时，的面积最大，且最大面积为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $