第二单元 《分数乘法》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年六年级数学上册(人教版·新教材)

该小学数学《分数乘法》典例易错讲义以“意义-计算-应用”为逻辑主线构建知识体系，通过知识框架图系统呈现分数乘整数、一个数乘分数等五大知识点，清晰标注约分技巧、单位“1”确定等重难点，揭示积与因数关系、运算定律推广等内在联系。 讲义亮点在于“典例精讲+易错提醒”的练习设计，如“求比一个数多几分之几的数”（典例12月饼制作问题），结合画线段图分析培养模型意识，通过先约分再计算等技巧提升运算能力。专项精练分层设置，基础题巩固方法，拓展题发展创新思维，助力教师实施精准教学，学生自主复习时能明确易错点。

第二单元 《分数乘法》 典例易错讲义 知识点 1：分数乘整数 1. 乘法意义 分数乘整数的意义与整数乘法完全一致，包含两层含义： 求几个相同分数相加的和的简便运算 求一个分数的几倍是多少 示例：，既表示 3 个相加的和，也表示的 3 倍是多少 2. 计算法则 用分数的分子与整数相乘的积作新分子，分母保持不变。 公式：（） 示例： 3. 约分技巧 能约分的先约分再计算：整数与分母约去最大公因数，约分后再乘分子，结果必为最简分数 示例： 注意：只能整数和分母约分，不能整数和分子约分 4. 带分数乘整数 先把带分数化成假分数，再按照分数乘整数的规则计算，禁止直接用整数部分单独相乘。 示例： 5. 易错提醒 约分不彻底，结果未化成最简分数 混淆约分对象，错误地用整数和分子约分 带分数未化成假分数，直接用整数部分参与计算 知识点 2：一个数乘分数 1. 乘法意义 表示求一个数的几分之几是多少，是整数乘法 “求几倍” 概念的延伸，也是分数乘法的核心意义。 示例： 表示 12 的是多少； 表示的是多少 2. 分数乘分数 （1）计算法则 分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 公式：（均不为 0） （2）算理理解 借助长方形面积模型推导：将长方形先平均分成份取份，再将这份平均分成份取份，相当于把整体平均分成份，取其中份。 （3）简便计算 先交叉约分再相乘：将一个分数的分子与另一个分数的分母约去最大公因数，约分后再计算，结果一定是最简分数。 示例： 注意：禁止分子与分子约分、分母与分母约分 3. 分数乘小数 共有三种计算方法，根据数据特点灵活选择： 小数化分数：将小数转化为分数，按分数乘分数计算，通用性最强 分数化小数：将分数转化为小数，按小数乘法计算，仅适用于分数能化成有限小数的情况 直接约分法：小数与分母有公因数时，先约分再计算，最简便 示例：，2.4 与 6 先约分得 0.4，再计算 4. 带分数乘分数 先把带分数化成假分数，再按照分数乘分数的规则计算。 5. 易错提醒 交叉约分找错对应数，导致计算错误 分数化小数时除不尽，未及时切换方法 带分数乘法漏化假分数，直接拆分整数和分数部分分别相乘 知识点 3：积与因数的大小关系 前提：两个因数均不为 0 一个数乘大于 1的数，积大于原数 示例： 一个数乘等于 1的数，积等于原数 示例： 一个数乘小于 1的数，积小于原数 示例： 拓展规律 一个数（0 除外）乘真分数，积小于它本身；乘假分数，积大于或等于它本身；乘带分数，积大于它本身。 若几个不为 0 的数与不同分数相乘的积相等，与大分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数反而大。 知识点 4：分数混合运算与运算定律 1. 运算顺序 与整数混合运算顺序完全一致： 同级运算（只有乘除法）：从左到右依次计算；连乘可整体约分后一次性算出结果 两级运算（有乘除、有加减）：先算乘除，后算加减 有括号的运算：先算小括号内，再算中括号内，最后算括号外 2. 运算定律推广 整数乘法的交换律、结合律、分配律对分数乘法完全适用，是简便计算的核心依据。 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 分配律逆用： 3. 常见简便计算题型 连乘凑整：用交换律、结合律将能约分的数优先结合 分配律正用：括号外的数分别乘括号内的两个数，再相加减 分配律逆用：提取公共因数，剩余部分合并计算 拆分法：将接近整数的数拆成 “整数 ± 分数” 的形式，再用分配律 示例： 4. 易错提醒 两级运算顺序混淆，先算加减后算乘除 乘法分配律漏乘其中一项，如错算成 逆用分配律时遗漏公共因数，或剩余部分加减符号出错 知识点 5：分数乘法实际应用 本单元应用题核心前提：单位 “1” 的量已知，解题核心公式： 1. 基础题型：求一个数的几分之几是多少 解题步骤 找单位 “1”：分率前面的量是单位 “1”；“是、占、比、相当于” 后面的量是单位 “1” 确认单位 “1” 已知 列式计算：单位 “1” 的量 × 问题对应的分率 2. 进阶题型：连续求一个数的几分之几是多少 题型特点：包含多个单位 “1”，每一步的参照量不同 解题方法：可分步计算，先求中间量再求最终量；也可列连乘综合算式 关键：理清每一步对应的单位 “1” 分别是谁 示例：果园有苹果树 120 棵，梨树棵数是苹果树的，桃树棵数是梨树的，求桃树棵数。 列式：（棵） 3. 复杂题型：求比一个数多（或少）几分之几的数是多少 核心数量关系 比单位 “1” 多几分之几： 比单位 “1” 少几分之几： 解题步骤 找准单位 “1” 求出比较量对应的分率（1± 几分之几） 用单位 “1” 的量乘对应分率 辅助方法：画线段图分析，先画单位 “1” 的线段，再根据分率画出比较量 4. 易错提醒 找错单位 “1”，导致分率与对应量不匹配 “多几分之几” 和 “少几分之几” 混淆，加减符号用反 连续求分率时，未切换单位 “1”，全程用同一个量计算 常考易错 题型1：分数乘整数 【典例精讲1】春节快到了，妈妈准备编团锦结和吉祥结装饰客厅。每个团锦结用米红绳，每个吉祥结用米红绳。两种中国结各编25个，一共需要多少米红绳？ 【答案】米 【分析】两种中国结的编制数量相同，可先用加法算出个团锦结和个吉祥结的红绳长度和，再乘数量得到总长度，计算更简便。 【详解】 （米） 答：一共需要米红绳。 常考易错 题型2：整数乘分数 【典例精讲2】当壁虎遭遇危险的时候，往往会自断尾巴，乘机逃生。一只壁虎尾巴长3厘米，遇到危险后断尾，此时这只壁虎的尾巴比原来短了多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】求尾巴比原来短的长度，就是求3厘米的是多少，用乘法计算。 【详解】（厘米） 答：此时这只壁虎的尾巴比原来短了厘米。 常考易错 题型3：分数乘分数 【典例精讲3】一个燃油锅炉平均每小时产生吨蒸汽，小时产生多少吨蒸汽？小时产生多少吨蒸汽？ 【答案】吨；吨 【分析】已知每小时产汽量，求对应时间的产汽量，用每小时产汽量乘时间计算。 【详解】（吨） （吨） 答：小时产生吨；小时产生吨。 常考易错 题型4：因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲4】已知是三个不为0的自然数，且，这三个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 b c 【分析】两个数相乘（0除外），在积不变的情况下，一个乘数越大，另一个乘数就越小；反之，一个乘数越小，另一个乘数就越大，据此解答。 【详解】因为，，，，， 所以。 积相同，因数越大，对应的字母越小， 所以。 常考易错 题型5：求一个数的几分之几的问题 【典例精讲5】手工课上，王老师把80张彩纸分给两个小组。第一小组分到的彩纸里，有是红纸，其余的是蓝纸；第二小组分到的彩纸里，有是红纸，其余的是蓝纸。两个小组共分到多少张蓝纸？ 【答案】45张 【分析】根据题意，第一小组分到的纸的张数是7的倍数，80以内7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77。第二小组分到的纸的张数是9的倍数。80以内9的倍数有9、18、27、36、45、54、63、72。这里面只有35＋45＝80，所以，第一小组分到35张彩纸，第二小组分到45张彩纸。把每个小组分到的纸的张数看作单位“1”，再根据红纸占的分率，用1减去红纸占的分率，就是蓝纸占的分率。再根据求一个数的几分之几用乘法。用各自张数乘各自蓝纸占的分率，算出张数，再相加。 【详解】第一小组分到35张彩纸，第二小组分到45张彩纸。 35×（1－） ＝35× ＝20（张） 45×（1－） ＝45× ＝25（张） 20＋25＝45（张） 答：两个小组共分到45张蓝纸。 常考易错 题型6：已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例精讲6】啦啦操小组原来有 360 名学生，其中女生占，后来又转来几名女生，这时女生占总人数的。后来又转来了多少名女生？ 【答案】15名 【分析】男生人数没变，将原来总人数看作单位“1”，男生人数占原来总人数的（1－），原来总人数×男生对应分率＝男生人数；再将现在总人数看作单位“1”，男生人数占现在总人数的（1－），男生人数÷对应分率＝现在总人数，现在总人数－原来总人数＝转来的女生人数。 【详解】360×（1－） ＝360× ＝150（名） 150÷（1－）－360 ＝150÷－360 ＝150×－360 ＝375－360 ＝15（名） 答：后来又转来了15名女生。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数乘除法的意义。 常考易错 题型7：分数乘小数 【典例精讲7】一块平行四边形的菜地，底边长8.4米，高是底的。这块菜地的面积是多少平方米？ 【答案】58.8平方米 【分析】已知平行四边形菜地的底边长8.4米，高是底的，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出高是8.4×＝7米；然后根据“平行四边形面积＝底×高”即可求出这块菜地的面积。 【详解】8.4×＝7（米） 8.4×7＝58.8（平方米） 答：这块菜地的面积是58.8平方米。 常考易错 题型8：分数的连乘运算 【典例精讲8】在侯马市中小学生田径运动会4000米越野赛跑项目里，当小明跑到终点时，小亮跑的路程是小明的，小强跑的路程又是小亮的，这时小强距离终点还有多少米？ 【答案】400米 【分析】小明到达终点时跑了4000米，先把小明跑的路程看作单位“1”，再把小亮跑的路程看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，依次算出小亮、小强跑的路程，再用总路程减去小强跑的路程得到剩余距离。 【详解】4000×＝3600（米） 4000－3600＝400（米） 答：这时小强距离终点还有400米。 常考易错 题型9： 整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲9】实验小学举办“畅想2035”作品展，共120幅获奖作品，其中表现新农村变化的作品占全部获奖作品的，表现学校生活的作品占全部获奖作品的。表现新农村变化的作品数比表现学校生活的多多少幅？ 【答案】70幅 【分析】根据题意可知，表现新农村变化的作品比表现学校生活多的作品数占全部获奖的（－），根据分数乘法的意义，用120×（－）即可求出表现新农村变化的作品比表现学校生活多的作品数。 【详解】120×（－） ＝120×－120× ＝90－20 ＝70（幅） 答：表现新农村变化的作品数比表现学校生活的多70幅。 常考易错 题型10： 算式的规律（分数） 【典例精讲10】先阅读理解，再解决问题。 在分数四则运算中，有一些奇妙的规律，掌握这些规律，能让我们灵活解决一些实际问题。比如： ，而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… (1)根据发现的规律，写出一道这样的等式。 －＝× (2)请你利用这一规律，计算下面算式。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察题目中给出的例子，发现规律：对于连续正整数n和n＋1，＝×，据此写出类似的等式。 （2）利用发现的规律，将每个乘法转化为差的形式，然后通过加减抵消简化计算。 【详解】（1），而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… 所以＝×，取n＝5，则： ＝，即（答案不唯一） （2） ＝ ＝ ＝ ＝ 常考易错 题型11：  连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲11】《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一根一尺长的木棍，第一天截取它长度的一半，以后每天都截取前一天剩下长度的一半，这样永远也截取不完。照这样计算，前五天一共截取了这根木棍的几分之几？ 【答案】 【分析】把这根木棍的全长看作单位“1”，第一天截取了它的一半，还剩下全长的；第二天截取了剩下长度的一半，那么第二天剩下的占第一天剩下的，根据分数乘法的意义，即第二天剩下全长的；第三天截取了剩下长度的一半，那么第三天剩下的占第二天剩下的，根据分数乘法的意义，即第三天剩下全长的……，由此可知，第五天剩下的占全长的。 【详解】1－ ＝1－ ＝1－ ＝1－ ＝1－ ＝ 答：前五天一共截取了这根木棍的。 常考易错 题型12：  求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典例精讲12】中秋节这天人们吃月饼以示“团圆”。笑笑妈妈在中秋节来临之际为儿童福利院做一些月饼，其中五仁馅月饼有15个，豆沙馅月饼是五仁馅月饼的，蛋黄馅月饼比豆沙馅月饼多，笑笑妈妈一共做了多少个月饼？ 【答案】43个 【分析】先把五仁月饼的数量看作单位“1”，豆沙月饼是五仁月饼的，用五仁月饼数量×，求出豆沙月饼数量。再把豆沙月饼的数量看作单位“1”，蛋黄月饼比豆沙月饼多，蛋黄月饼对应的分率就是（1＋），用豆沙月饼数量×（1＋），求出蛋黄月饼数量。最后把三种月饼数量相加，求出月饼总个数。 【详解】豆沙月饼：15×＝12（个） 蛋黄月饼：12×（1＋） ＝12× ＝16（个） 月饼总数：15＋12＋16＝43（个） 答：笑笑妈妈一共做了43个月饼。 专项精练 1．一件衣服降价后，又提价，这件衣服现在的价格和原来的价格相比，（    ）。 A．现在贵 B．现在便宜 C．不变 D．无法进行比较 【答案】B 【分析】将衣服原价看作单位“1”，先计算出降价再提价后的现价，再与原价比较大小即可得出结论。 【详解】设衣服原价为1：降价后的价格 提价后的现价 所以现价比原价便宜。 2．把一根彩带的平均分成3段，每段占这根彩带的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目要求计算每段占整根彩带的占比，整根彩带为单位“1”，需计算将平均分成3份后，每份就是这的，要求对应全长的分率，用乘法计算的是多少即可。 【详解】 因此每段占这根彩带的。 3．非遗馆为英歌舞表演筹备道具，准备了一根6m长的彩绸用于制作舞带。第一次用去它的第二次用去它的，两次共用去（    ）米。 A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】第一次和第二次用去的都是这根彩绸的一部分，先把与相加，求两次一共用去全长的几分之几；再用彩绸总长6m乘这个分率，求实际用去的长度。 【详解】（＋）×6 ＝（＋）×6 ＝×6 ＝（米） 所以两次共用去米。 4．云安区都杨镇湾边村渔获节上，渔民把捕获的西江鱼按大小分类。大鱼每千克售价36元，小鱼每千克售价是大鱼的，小鱼每千克售价（    ）元。 A．12 B．18 C．24 D．54 【答案】C 【分析】解题关键是找准单位“1”，已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少，用乘法计算。本题中将大鱼每千克售价看作单位“1”，已知大鱼每千克售价元，小鱼每千克售价是大鱼的，直接用大鱼售价乘即可求出小鱼售价。 【详解】（元） 所以小鱼每千克售价元。 5．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自《庄子・天下篇》，意思是一尺长的木棍每天截取剩下部分的一半，永远也截取不完。按此方法，截取4天后，剩余木棍的长度是原来的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把木棍的原长看作单位“1”。根据题意“日取其半”，可知每天剩下的长度是前一天剩下长度的。要求截取4天后剩余的长度是原来的几分之几，即求4个连续相乘的结果。 【详解】第一天截取后，剩余长度为：； 第二天截取后，剩余长度为：； 第三天截取后，剩余长度为：； 第四天截取后，剩余长度为：。 所以，剩余木棍的长度是原来的。 6．豹纹守宫（一种宠物壁虎）的体长在18cm到25cm之间，它的尾巴长度约占体长的。这种豹纹守宫的尾巴最长约有（    ）厘米。 A．10 B． C．45 D． 【答案】A 【分析】将最长体长看作单位“1”，最长体长×尾巴对应分率＝尾巴最长厘米数。 【详解】（cm） 这种豹纹守宫的尾巴最长约有cm。 7．中秋节张叔叔打算用木条制作一个棱长为m的正方体灯笼框架，制作这个框架需要木条（    ）m。（不考虑损耗） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方体有 12 条棱，且所有棱的长度相等。求制作框架需要木条的长度，就是求正方体的棱长总和。根据正方体的棱长总和＝棱长×12，列式计算即可。 【详解】 （m） 答：制作这个框架需要木条 m。 8．在进行球类比赛时，对球的弹性都是有明确规定的。例如，比赛用的篮球，从一定高度自由下落时，第一次反弹的高度应在下落高度的至之间。下列数据分别是4个篮球从1.8米高处自由下落时第一次反弹的高度，你觉得应选用反弹高度是（    ）米的篮球进行比赛。 A．1.55 B．1.35 C．1.05 D．0.85 【答案】B 【分析】根据题目给出的合格反弹高度范围（下落高度的至之间），代入下落高度1.8米，分别求出合格反弹高度的最小值和最大值，得到合格区间；再将每个选项的反弹高度与这个区间进行对比，筛选出在区间内的数值，最终确定符合要求的篮球反弹高度。 【详解】最低反弹高度：1.8×＝1.2（米） 最高反弹高度：1.8×＝1.4（米） 所以合格的反弹高度范围是1.2米和1.4米之间。 A．1.55米：超过1.4米，不合格； B．1.35米：在1.2米和1.4米之间，合格； C．1.05米：低于1.2米，不合格； D．0.85米：低于1.2米，不合格。 所以应选用反弹高度是1.35米的篮球进行比赛。 故答案为：B 9．一本故事书的价格是18元，一本科普书的价格比一本故事书贵，一本科普书( )元。 【答案】24 【分析】把故事书的价格看作单位“1”，科普书的价格比故事书贵，那么科普书价格就是故事书的（1＋）。用故事书的价钱18元乘（1＋），即可求出一本科普书的价格。 【详解】18×（1＋） ＝18× ＝24（元） 10．莲都区某学校操场要进行扩建，扩建后的面积要增加。已知原来学校操场的面积是8000平方米。扩建后该校操场的面积是( )平方米。 【答案】12000 【分析】把原来操场面积看作单位 “1”，扩建后面积增加，扩建后对应的分率是；用原来面积乘扩建后的分率，求出扩建后的面积。 【详解】 （平方米） 扩建后该校操场的面积是12000平方米。 11．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( )    0.24( ) 【答案】 ＞ ＝ ＜ ＜ 【分析】（1）一个数（0除外）乘一个大于1的数，积大于原数。 （2）根据乘法交换律可知，交换两个因数的位置积不变。 （3）一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于原数。 （4）先计算出乘法算式的结果，再将其和小数统一形式后比较大小。 【详解】（1）4＞1，所以＞ （2）交换位置积不变，所以 ＝； （3）＜1，所以 ＜； （4），0.24＜2.5，所以。 12．一套“学习强国”专项答题测试中共有54道题，王老师答了一部分题后，还剩，王老师已答了( )道题。 【答案】 30 【分析】把这套题的总道数看作单位“1”，已知还剩，则已答的占总道数的。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，用总道数乘已答的分率即可求出已答的道数。 【详解】 （道） 13．智能客服响应迅速，大大缩短了解决用户问题的时间。某公司由于客服人数较少，满意度只有分，后引进智能客服单独服务，满意度是原来的，现在的满意度是( )分。 【答案】 【分析】根据题意，把原来的满意度看作单位“1”，现在的满意度是原来的。已知单位“1”的量是分，求现在的满意度，就是求的是多少，用乘法计算。 【详解】 （分） 14．土星是太阳系八大行星之一，它的赤道周长约是38万千米。天王星的赤道周长约是土星的，地球的赤道周长约是天王星的，地球的赤道周长约是( )万千米。 【答案】4 【分析】先把土星的赤道周长看作单位“1”，用土星的赤道周长乘，求出天王星的赤道周长；再把天王星的赤道周长看作单位“1”，用天王星的赤道周长乘，求出地球的赤道周长。 【详解】38×× ＝16× ＝4（万千米） 15．淘气去年身高135cm，今年比去年长高了，淘气今年身高( )cm。 【答案】139.5 【分析】把去年的身高看作单位“1”。今年的身高是去年的（1＋），求今年的身高，用乘法计算。 【详解】135×（1＋） ＝135× ＝139.5（cm） 16．一杯纯牛奶，小明喝了杯后。觉得有些凉，就兑了热水（兑满），他又喝了半杯就出门了。小明一共喝了( )杯纯牛奶。 【答案】/0.6 【分析】把1杯纯牛奶看作单位“1”，第一次喝了杯纯牛奶，剩下杯纯牛奶；加满水后喝半杯，这半杯里含有的纯牛奶是剩下的，也就是杯，两次相加即可解答。 【详解】 （杯） 17．花生中脂肪质量约占，蛋白质质量约占，糖质量约占。若有花生2.5千克，其中蛋白质质量约为( )千克。 【答案】 0.875 【分析】2.5千克花生为单位“1”，求蛋白质的质量就是求单位“1”的是多少，用乘法计算。 【详解】（千克） 18．李老师要将一个3.5GB的文件下载到自己的电脑上。她查了一下自己电脑D盘和E盘的属性信息（如图）。李老师将这个文件存在( )盘比较合适。 D盘：总容量为130GB，还有未用。 E盘：总容量为70GB，还有未用。 【答案】E 【分析】分别计算两个盘的剩余可用空间，再和文件大小比较。 【详解】130×＝2.6（GB） 70×＝8.75（GB） 8.75＞3.5＞2.6 李老师将这个文件存在E盘比较合适。 19．直接写出得数。                                               【答案】2；0.4；； 1.8；3.5；0.1 【解析】略 20．计算下面各题。                                                                                        【答案】 ；；； ；； 【分析】按照从左到右的顺序计算，先算同分母分数减法，结果约分后再算加法；分数连乘，整数与分母能约分的先约分，再计算；运用乘法交换律，交换后两个乘数的位置，互为倒数的两个分数乘积为 1。运用加法交换律和结合律，将同分母分数结合在一起，注意减法的性质；分数连乘，分子与分母交叉约分后再计算；运用减法的性质去括号，括号前是减号，去掉括号后括号内的加号变减号，再交换减数位置简便计算。 【详解】 21．人的心脏跳动的次数随着年龄而变化。婴儿每分心跳约120次，青少年每分心跳的次数比婴儿少。青少年每分心跳的次数比婴儿少多少次？ 【答案】45次 【详解】题目所求为青少年每分心跳比婴儿少的次数，明确单位“1”是婴儿每分心跳的次数，因为已知单位“1”的具体数值，以及少的次数对应的分率是，所以用单位“1”的量乘对应分率即可得到所求量。 【解答】（次） 答：青少年每分心跳的次数比婴儿少45次。 22．据科学资料显示，儿童负重最好不要超过体重的，如果长期背负过重物体，将不利于儿童身体发育。淘气的体重是40千克，书包重5千克。请你算一算，淘气的书包超重了吗？ 【答案】 没有超重 【分析】把淘气的体重看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，先用乘法求出体重的（即最大负重），再与书包实际重量比较，判断是否超重。 【详解】（千克） 答：淘气的书包没有超重。 23．牛肉中含有丰富的营养成分，其中蛋白质的含量约占牛肉总质量的，脂肪的含量约占牛肉总质量的。妈妈买来千克牛肉，这两种营养成分各约是多少千克？ 【答案】蛋白质：千克 脂肪：千克 【分析】已知牛肉总质量和两种营养成分占总质量的分率，求各营养成分的质量，就是求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】蛋白质：（千克） 脂肪：（千克） 答：蛋白质约是千克，脂肪约是千克。 24．A、B两辆汽车都以每时40千米的速度从两地出发相向而行，A汽车行驶了时，B汽车所行驶的时间是A汽车的，此时两辆车刚好行驶了全程的一半，求两地之间的距离。 【答案】208千米 【分析】先根据B汽车行驶的时间是A汽车的，用A汽车行驶的时间乘求出B车的行驶时间，再计算两汽车的行驶路程的和，最后乘2可得到两地之间的距离。 【详解】（时） ＝（64＋40）×2 ＝104×2 ＝208（千米） 答：两地之间的距离是208千米。 25．实验小学的同学到豪城基地参加研学活动，六年级去了165人，五年级去的人数是六年级的，四年级去的人数是五年级的。四年级去了多少人？ 【答案】120人 【分析】已知五年级去的人数是六年级的，六年级去了165人，把六年级人数看作单位“1”，用六年级人数乘即可求出五年级去了多少人；又知四年级去的人数是五年级的，把五年级人数看作单位“1”，用五年级人数乘即可求出四年级去了多少人。 【详解】165×＝150（人） 150×＝120（人） 答：四年级去了120人。 26．欢欢、乐乐和笑笑3人一起玩“数学华容道”中的同一关。欢欢的通关用时是24秒，乐乐的通关用时是欢欢的，笑笑的通关用时比乐乐少，笑笑的通关用时是多少秒？ 【答案】秒 【分析】把欢欢的通关用时看作单位“1”，已知欢欢用时24秒，乐乐用时是欢欢的，属于求一个数的几分之几是多少，用乘法计算：欢欢用时乐乐用时。此时把乐乐的通关用时看作新的单位“1”，笑笑用时比乐乐少，说明笑笑用时相当于乐乐的，依旧是求一个数的几分之几是多少，用乘法计算：乐乐用时笑笑用时，代入数据计算即可。 【详解】 （秒） 答：笑笑的通关用时是秒。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 《分数乘法》 典例易错讲义 知识点 1：分数乘整数 1. 乘法意义 分数乘整数的意义与整数乘法完全一致，包含两层含义： 求几个相同分数相加的和的简便运算 求一个分数的几倍是多少 示例：，既表示 3 个相加的和，也表示的 3 倍是多少 2. 计算法则 用分数的分子与整数相乘的积作新分子，分母保持不变。 公式：（） 示例： 3. 约分技巧 能约分的先约分再计算：整数与分母约去最大公因数，约分后再乘分子，结果必为最简分数 示例： 注意：只能整数和分母约分，不能整数和分子约分 4. 带分数乘整数 先把带分数化成假分数，再按照分数乘整数的规则计算，禁止直接用整数部分单独相乘。 示例： 5. 易错提醒 约分不彻底，结果未化成最简分数 混淆约分对象，错误地用整数和分子约分 带分数未化成假分数，直接用整数部分参与计算 知识点 2：一个数乘分数 1. 乘法意义 表示求一个数的几分之几是多少，是整数乘法 “求几倍” 概念的延伸，也是分数乘法的核心意义。 示例： 表示 12 的是多少； 表示的是多少 2. 分数乘分数 （1）计算法则 分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 公式：（均不为 0） （2）算理理解 借助长方形面积模型推导：将长方形先平均分成份取份，再将这份平均分成份取份，相当于把整体平均分成份，取其中份。 （3）简便计算 先交叉约分再相乘：将一个分数的分子与另一个分数的分母约去最大公因数，约分后再计算，结果一定是最简分数。 示例： 注意：禁止分子与分子约分、分母与分母约分 3. 分数乘小数 共有三种计算方法，根据数据特点灵活选择： 小数化分数：将小数转化为分数，按分数乘分数计算，通用性最强 分数化小数：将分数转化为小数，按小数乘法计算，仅适用于分数能化成有限小数的情况 直接约分法：小数与分母有公因数时，先约分再计算，最简便 示例：，2.4 与 6 先约分得 0.4，再计算 4. 带分数乘分数 先把带分数化成假分数，再按照分数乘分数的规则计算。 5. 易错提醒 交叉约分找错对应数，导致计算错误 分数化小数时除不尽，未及时切换方法 带分数乘法漏化假分数，直接拆分整数和分数部分分别相乘 知识点 3：积与因数的大小关系 前提：两个因数均不为 0 一个数乘大于 1的数，积大于原数 示例： 一个数乘等于 1的数，积等于原数 示例： 一个数乘小于 1的数，积小于原数 示例： 拓展规律 一个数（0 除外）乘真分数，积小于它本身；乘假分数，积大于或等于它本身；乘带分数，积大于它本身。 若几个不为 0 的数与不同分数相乘的积相等，与大分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数反而大。 知识点 4：分数混合运算与运算定律 1. 运算顺序 与整数混合运算顺序完全一致： 同级运算（只有乘除法）：从左到右依次计算；连乘可整体约分后一次性算出结果 两级运算（有乘除、有加减）：先算乘除，后算加减 有括号的运算：先算小括号内，再算中括号内，最后算括号外 2. 运算定律推广 整数乘法的交换律、结合律、分配律对分数乘法完全适用，是简便计算的核心依据。 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 分配律逆用： 3. 常见简便计算题型 连乘凑整：用交换律、结合律将能约分的数优先结合 分配律正用：括号外的数分别乘括号内的两个数，再相加减 分配律逆用：提取公共因数，剩余部分合并计算 拆分法：将接近整数的数拆成 “整数 ± 分数” 的形式，再用分配律 示例： 4. 易错提醒 两级运算顺序混淆，先算加减后算乘除 乘法分配律漏乘其中一项，如错算成 逆用分配律时遗漏公共因数，或剩余部分加减符号出错 知识点 5：分数乘法实际应用 本单元应用题核心前提：单位 “1” 的量已知，解题核心公式： 1. 基础题型：求一个数的几分之几是多少 解题步骤 找单位 “1”：分率前面的量是单位 “1”；“是、占、比、相当于” 后面的量是单位 “1” 确认单位 “1” 已知 列式计算：单位 “1” 的量 × 问题对应的分率 2. 进阶题型：连续求一个数的几分之几是多少 题型特点：包含多个单位 “1”，每一步的参照量不同 解题方法：可分步计算，先求中间量再求最终量；也可列连乘综合算式 关键：理清每一步对应的单位 “1” 分别是谁 示例：果园有苹果树 120 棵，梨树棵数是苹果树的，桃树棵数是梨树的，求桃树棵数。 列式：（棵） 3. 复杂题型：求比一个数多（或少）几分之几的数是多少 核心数量关系 比单位 “1” 多几分之几： 比单位 “1” 少几分之几： 解题步骤 找准单位 “1” 求出比较量对应的分率（1± 几分之几） 用单位 “1” 的量乘对应分率 辅助方法：画线段图分析，先画单位 “1” 的线段，再根据分率画出比较量 4. 易错提醒 找错单位 “1”，导致分率与对应量不匹配 “多几分之几” 和 “少几分之几” 混淆，加减符号用反 连续求分率时，未切换单位 “1”，全程用同一个量计算 常考易错 题型1：分数乘整数 【典例精讲1】春节快到了，妈妈准备编团锦结和吉祥结装饰客厅。每个团锦结用米红绳，每个吉祥结用米红绳。两种中国结各编25个，一共需要多少米红绳？ 常考易错 题型2：整数乘分数 【典例精讲2】当壁虎遭遇危险的时候，往往会自断尾巴，乘机逃生。一只壁虎尾巴长3厘米，遇到危险后断尾，此时这只壁虎的尾巴比原来短了多少厘米？ 常考易错 题型3：分数乘分数 【典例精讲3】一个燃油锅炉平均每小时产生吨蒸汽，小时产生多少吨蒸汽？小时产生多少吨蒸汽？ 常考易错 题型4：因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲4】已知是三个不为0的自然数，且，这三个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 常考易错 题型5：求一个数的几分之几的问题 【典例精讲5】手工课上，王老师把80张彩纸分给两个小组。第一小组分到的彩纸里，有是红纸，其余的是蓝纸；第二小组分到的彩纸里，有是红纸，其余的是蓝纸。两个小组共分到多少张蓝纸？ 常考易错 题型6：已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例精讲6】啦啦操小组原来有 360 名学生，其中女生占，后来又转来几名女生，这时女生占总人数的。后来又转来了多少名女生？ 常考易错 题型7：分数乘小数 【典例精讲7】一块平行四边形的菜地，底边长8.4米，高是底的。这块菜地的面积是多少平方米？ 常考易错 题型8：分数的连乘运算 【典例精讲8】在侯马市中小学生田径运动会4000米越野赛跑项目里，当小明跑到终点时，小亮跑的路程是小明的，小强跑的路程又是小亮的，这时小强距离终点还有多少米？ 常考易错 题型9： 整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲9】实验小学举办“畅想2035”作品展，共120幅获奖作品，其中表现新农村变化的作品占全部获奖作品的，表现学校生活的作品占全部获奖作品的。表现新农村变化的作品数比表现学校生活的多多少幅？ 常考易错 题型10： 算式的规律（分数） 【典例精讲10】先阅读理解，再解决问题。 在分数四则运算中，有一些奇妙的规律，掌握这些规律，能让我们灵活解决一些实际问题。比如： ，而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… (1)根据发现的规律，写出一道这样的等式。 －＝× (2)请你利用这一规律，计算下面算式。 常考易错 题型11：  连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲11】《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一根一尺长的木棍，第一天截取它长度的一半，以后每天都截取前一天剩下长度的一半，这样永远也截取不完。照这样计算，前五天一共截取了这根木棍的几分之几？ 常考易错 题型12：  求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典例精讲12】中秋节这天人们吃月饼以示“团圆”。笑笑妈妈在中秋节来临之际为儿童福利院做一些月饼，其中五仁馅月饼有15个，豆沙馅月饼是五仁馅月饼的，蛋黄馅月饼比豆沙馅月饼多，笑笑妈妈一共做了多少个月饼？ 专项精练 1．一件衣服降价后，又提价，这件衣服现在的价格和原来的价格相比，（    ）。 A．现在贵 B．现在便宜 C．不变 D．无法进行比较 2．把一根彩带的平均分成3段，每段占这根彩带的（    ）。 A． B． C． D． 3．非遗馆为英歌舞表演筹备道具，准备了一根6m长的彩绸用于制作舞带。第一次用去它的第二次用去它的，两次共用去（    ）米。 A． B．2 C． D．3 4．云安区都杨镇湾边村渔获节上，渔民把捕获的西江鱼按大小分类。大鱼每千克售价36元，小鱼每千克售价是大鱼的，小鱼每千克售价（    ）元。 A．12 B．18 C．24 D．54 5．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自《庄子・天下篇》，意思是一尺长的木棍每天截取剩下部分的一半，永远也截取不完。按此方法，截取4天后，剩余木棍的长度是原来的（    ）。 A． B． C． D． 6．豹纹守宫（一种宠物壁虎）的体长在18cm到25cm之间，它的尾巴长度约占体长的。这种豹纹守宫的尾巴最长约有（    ）厘米。 A．10 B． C．45 D． 7．中秋节张叔叔打算用木条制作一个棱长为m的正方体灯笼框架，制作这个框架需要木条（    ）m。（不考虑损耗） A． B． C． D． 8．在进行球类比赛时，对球的弹性都是有明确规定的。例如，比赛用的篮球，从一定高度自由下落时，第一次反弹的高度应在下落高度的至之间。下列数据分别是4个篮球从1.8米高处自由下落时第一次反弹的高度，你觉得应选用反弹高度是（    ）米的篮球进行比赛。 A．1.55 B．1.35 C．1.05 D．0.85 9．一本故事书的价格是18元，一本科普书的价格比一本故事书贵，一本科普书( )元。 10．莲都区某学校操场要进行扩建，扩建后的面积要增加。已知原来学校操场的面积是8000平方米。扩建后该校操场的面积是( )平方米。 11．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( )    0.24( ) 12．一套“学习强国”专项答题测试中共有54道题，王老师答了一部分题后，还剩，王老师已答了( )道题。 13．智能客服响应迅速，大大缩短了解决用户问题的时间。某公司由于客服人数较少，满意度只有分，后引进智能客服单独服务，满意度是原来的，现在的满意度是( )分。 14．土星是太阳系八大行星之一，它的赤道周长约是38万千米。天王星的赤道周长约是土星的，地球的赤道周长约是天王星的，地球的赤道周长约是( )万千米。 15．淘气去年身高135cm，今年比去年长高了，淘气今年身高( )cm。 16．一杯纯牛奶，小明喝了杯后。觉得有些凉，就兑了热水（兑满），他又喝了半杯就出门了。小明一共喝了( )杯纯牛奶。 17．花生中脂肪质量约占，蛋白质质量约占，糖质量约占。若有花生2.5千克，其中蛋白质质量约为( )千克。 18．李老师要将一个3.5GB的文件下载到自己的电脑上。她查了一下自己电脑D盘和E盘的属性信息（如图）。李老师将这个文件存在( )盘比较合适。 D盘：总容量为130GB，还有未用。 E盘：总容量为70GB，还有未用。 19．直接写出得数。                                               20．计算下面各题。                                                                                        21．人的心脏跳动的次数随着年龄而变化。婴儿每分心跳约120次，青少年每分心跳的次数比婴儿少。青少年每分心跳的次数比婴儿少多少次？ 22．据科学资料显示，儿童负重最好不要超过体重的，如果长期背负过重物体，将不利于儿童身体发育。淘气的体重是40千克，书包重5千克。请你算一算，淘气的书包超重了吗？ 23．牛肉中含有丰富的营养成分，其中蛋白质的含量约占牛肉总质量的，脂肪的含量约占牛肉总质量的。妈妈买来千克牛肉，这两种营养成分各约是多少千克？ 24．A、B两辆汽车都以每时40千米的速度从两地出发相向而行，A汽车行驶了时，B汽车所行驶的时间是A汽车的，此时两辆车刚好行驶了全程的一半，求两地之间的距离。 25．实验小学的同学到豪城基地参加研学活动，六年级去了165人，五年级去的人数是六年级的，四年级去的人数是五年级的。四年级去了多少人？ 26．欢欢、乐乐和笑笑3人一起玩“数学华容道”中的同一关。欢欢的通关用时是24秒，乐乐的通关用时是欢欢的，笑笑的通关用时比乐乐少，笑笑的通关用时是多少秒？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $