精品解析：湖北省襄阳市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

襄阳一中2024级高二年级上学期10月月考 数学试题（高二年级） 命题人：曾凌云 审题人：陈靖逸 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】直线过点，则直线的斜率为， 设直线倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 4. 已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为符合题意， 所以“”是“∥”的充分不必要条件 故选：B 5. 已知正方体的棱长为4，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等体积思想计算即可. 【详解】在中，， 在中，， 体对角线， 则等腰底边上的高为， 则， 设点到平面的距离为， 因平面，，则， 则，则点到平面的距离等于. 故选：A 6. 若点，点为曲线：上一点，则直线的倾斜角取值范围是（ ） A. B. C. D. 以上三项都不对 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可画出曲线的图象，然后对点在图象上的运动情况分情况讨论，求出相应的的斜率，从而可求得相应的倾斜角范围，即可求解. 【详解】由题意可得对于曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 可画出下图，，，，，， 当点位于点处时，此时，则倾斜角为； 当点在正方形（不包含点）上运动时，此时， 则倾斜角； 当点在上运动时，此时，倾斜角； 综上所述：直线的倾斜角取值范围为，故A、B、C错误，D正确. 故选：D 7. 已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出关于直线的对称点的坐标，线段的长即为所求最小值． 【详解】设关于直线的对称点， 则，解得，即, 设关于直线的对称点， 则，解得，即, 所以，当且仅当共线时取等号． 故选：B． 8. 三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中，的顶点，，则“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】设出点C的坐标，结合欧拉线求出外心坐标，再由重心在欧拉线上及三角形外心的意义列出方程求解，然后利用充分条件、必要条件的意义判断作答. 【详解】若的欧拉线方程为，设点，则的重心为，显然点在直线上，于是得， 直线的斜率为2，线段的中点，则线段的中垂线方程为，即， 由得的外心，即有，因此， 解得或，于是得点C的坐标为或； 当C的坐标为时，的重心为，外心为，因此的欧拉线方程为， 所以“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的必要不充分条件. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是 （ ） A. 若直线l的方向向量为平面α的法向量为 则l∥α B. 对空间任意一点O和不共线三点 A，B，C，若 则P，A，B，C四点共面 C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D. 已知 若与的夹角为钝角，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的有关定义及其结论，可判断BCD项；根据已知得出，即可判断A项. 【详解】对于A：由已知可得，所以或，故A错误； 对于B：因为，所以四点共面，B正确； 对于C：根据空间向量基底的概念，空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，可知C正确； 对于D： 因为，因为与的夹角为钝角，则 ， 所以，当时，，不合题意，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知实数，满足圆的方程，则（ ） A. 圆心为，半径为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D. 【详解】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由，有， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点距离的最大值为，故C正确； 对于D，由得， 所以，， 令，由在上单调递增，所以， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则下列正确的是（ ） A. B. C. 若点是正方体表面上一动点且满足，则点的轨迹长度为 D. 已知平面过点且，若，且，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行得出点到面的距离相等，转换三棱锥的顶点与底面，即可得A； 利用线面平行证明线线平行，即可得B；由于过一点作已知直线的垂线可组成唯一平面，找到该平面，则其与正方体表面的交线，即可求得轨迹长度C；建系求出点P在球上，由于球与平面的公共点组成一个圆，求出球心与平面的距离，即可求出其轨迹长度，即可得D. 【详解】由，平面可得平面， 则点C、点到平面距离相等，所以，故A选项正确； 如图，取中点，连接，则， 由于平面，平面，则，则， 由于与互余，则可得， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以，故B选项正确； 如图取中点F，中点G， 由于平面，平面，则， 由于 与互余，则可得， 又因为，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得， 又因为，则平面， 因为，所以平面， 又因为点是正方体表面上一动点，所以点的轨迹为平面与正方体表面的公共点组成的图形，即，其中可求得，，所以周长为，故C选项错误； 如图建立空间直角坐标系，则， 设，由于， 则，即， 则点P在圆心为，半径的球上， 又因为，则点P轨迹为球与平面的公共点组成的图形，即圆， 由于，可得取为平面的法向量， 由于平面过点， 则点到平面的距离，， 则， 其周长为，故D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线＝与＝的距离是________. 【答案】 【解析】 【分析】 将直线＝化为，再根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】可将直线＝化为， 所以两条平行直线间的距离为. 故答案为：. 【点睛】本题考查平行线间距离公式，属于基础题. 13. 已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】作图，由向量的加法法则表示，平方即可求得. 【详解】过点作轴，点轴，如下图所示： 则，且，，，且 ，所以. 故答案为：. 14. 如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜它通过各扇门的机会相等，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得小鼠逃生路线有六种情况：利用独立事件的概率公式求得每种情况的概率，再利用互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】小鼠逃生路线有以下六种情况： ； . 概率分别为 所以小老鼠逃生概率为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为. （1）求边所在直线的方程； （2）若的中点为，求边的垂直平分线的方程； （3）求的外接圆的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直的斜率关系可求边所在直线的方程； （2）求得的中点坐标与直线的斜率，可求边的垂直平分线的方程； （3）设的外接圆的方程为，代入点的坐标，解方程组可求的外接圆的方程. 【小问1详解】 由，由两点式可得边所在直线的方程为， 即边所在直线的方程； 【小问2详解】 由，可得的中点为， 又，所以边的垂直平分线的斜率为， 所以由点斜式可得边的垂直平分线的方程为，即. 【小问3详解】 设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 16. 为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲、乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下： ①抛一次质地均匀的硬币，若正面朝上，则由甲回答一个问题，若反面朝上，则由乙回答一个问题. ②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分. ③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分. 已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立. （1）求乙同学最终得10分的概率； （2）记为甲同学的最终得分，求的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按乙同学最终得10分的所有可能分类计算再相加即可； （2）甲同学的最终得分的可能结果有得10、15、20分，分别计算概率再相加即可. 【小问1详解】 设乙同学最终得10分为事件， 则可能情况为甲回答两题且错两题，甲、乙各答一题且各对一题，乙回答两题且对一题错一题，则， 即乙同学最终得10分的概率是. 【小问2详解】 设“”为事件， ， ，. 故. 17. 如图，四边形与均为菱形，，，. （1）求证：平面； （2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； （3）设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的几何性质可得出，设，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）连接，推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得与平面所成角正弦值的最大值； （3）设点，根据可得出点的轨迹方程，明确点的轨迹形状，即可得解. 【小问1详解】 因为四边形为菱形，则， 设，连接，则为的中点， 因为，则， 因为，、平面，故平面. 【小问2详解】 连接，因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 因为为的中点，则， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 同理可得， 所以，、、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 因为为上的动点，设，其中， 且，， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则 ， 当时，取最大值，且最大值为， 因此，与平面所成角正弦值的最大值为. 【小问3详解】 因为为的中点，则， 设点，则，， 因为，即，即， 化简可得， 故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分， 即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为. 18. 《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行了一次未成年人保护法知识竞赛.竞赛规则如下：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响.若答对题数合计不小于，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙答对每道题的概率均分别为、. （1）若，，求在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率； （2）若，求该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，将获“优秀小组”的事件分拆成三个互斥事件的和，分别求出各个事件的概率即可计算作答； （2）将获得“优秀小组”的概率表示为的函数，令，利用二次函数的基本性质可求出函数最大值、最小值. 【小问1详解】 记事件“在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组””， 事件“甲答对两题，乙答对一题”，事件“甲答对一题，乙答对两题”， 事件“甲、乙都答对两题”， 因为事件、、彼此互斥， 又，，， 因为， 所以在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率为. 【小问2详解】 由题知甲、乙小组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率为， 则 ， 因为，所以，又，，则即， 而， 令，则， 因为函数在上为减函数， 当时，取最大值为，此时，，或，； 当时，取最小值，此时，. 所以该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最大值为，最小值为. 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，二面角的大小为，，分别为和的中点. （1）求证平面 （2）求与平面所成角正弦值； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，分别交，于，两点，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取的中点，根据平行关系可得，进而可证线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，再求平面的法向量，进而可得线面夹角； （3）设，根据面面夹角可得，设，结合线面平行运算求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，，， 在中，，分别为和中点， 所以且长为的一半， 又因为底面为平行四边形，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，可得， 又面，面，所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，由，则， 分别以，所在直线为轴和轴，以过垂直于底面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以为平面的一个法向量， 又，设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为平面，平面平面，平面， 所以， 设，则， 设平面的一个法向量为，由， 则， 令，则，，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，由（2）可知平面的法向量， 由题意可得， 令，则，得，所以， 当时，（舍去），所以当时，，此时， 设，则， 又因为平面的法向量， 则，解得， 所以存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳一中2024级高二年级上学期10月月考 数学试题（高二年级） 命题人：曾凌云 审题人：陈靖逸 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：和直线：，则“”是“∥”（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正方体的棱长为4，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 6. 若点，点为曲线：上一点，则直线倾斜角取值范围是（ ） A. B. C. D. 以上三项都不对 7. 已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 8. 三角形是生活中随处可见简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中，的顶点，，则“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是 （ ） A. 若直线l的方向向量为平面α的法向量为 则l∥α B. 对空间任意一点O和不共线三点 A，B，C，若 则P，A，B，C四点共面 C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D. 已知 若与的夹角为钝角，则 10. 已知实数，满足圆的方程，则（ ） A. 圆心为，半径为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则下列正确的是（ ） A. B C. 若点是正方体表面上一动点且满足，则点的轨迹长度为 D. 已知平面过点且，若，且，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线＝与＝的距离是________. 13. 已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是______. 14. 如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜它通过各扇门的机会相等，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为. （1）求边所在直线的方程； （2）若的中点为，求边的垂直平分线的方程； （3）求的外接圆的方程. 16. 为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲、乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下： ①抛一次质地均匀的硬币，若正面朝上，则由甲回答一个问题，若反面朝上，则由乙回答一个问题. ②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分. ③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分. 已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立. （1）求乙同学最终得10分的概率； （2）记为甲同学的最终得分，求的概率. 17. 如图，四边形与均为菱形，，，. （1）求证：平面； （2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； （3）设中点为，为四边形内动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 18. 《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行了一次未成年人保护法知识竞赛.竞赛规则如下：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响.若答对题数合计不小于，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙答对每道题的概率均分别为、. （1）若，，求在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率； （2）若，求该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最值. 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，二面角的大小为，，分别为和的中点. （1）求证平面 （2）求与平面所成角的正弦值； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，分别交，于，两点，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $