第五章 5 三元一次方程组-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

三元一次方程组 课前·预习笔记 1.知道三元一次方程（组）及其解的定义， 习目 12.会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会“消元”的思想.重点© 标 3.会列三元一次方程组解决简单的实际问题 第步明确考情 1.考频：5年3考 2.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 、 第二步梳理知识 1.含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程 2.共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组 3.三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解， 4.解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”一一把“三元”化为“二元”，再化为“一元” 第步预习检测 1.若方程组 6x+15y二15的解也是方程3x+=10的解，则k的值是( 3x+5y=6, 预 A.6 B.10 C.9 习 号 任 2设 3 聋，则2+3的值为0 x+y+z 2 A. 7 C.8 9 D. 3.已知 2x+3y=z, 且x+y=3,则z的值为() l3x+4y=2z+6, A.9 B.-3 C.12 D.不确定 知g=6-8且3a+2b-4c=9,则a+b+c的 5 = 5.如果方程组=4， Lax +by=5 的解与方程组-2的解相同，则u+6。 6.若方程组 2x+3y=4, 3x+2y=2m-3 的解满足x+y 5,则m 3x-y+z=4,① 7.解三元一次方程组2x-y-z=12,②若先消去z,组成关于x,y的方程组，则应对方程 x+y+2z=6,③ 组进行的变形是( A.①-②，②+③ B.①×2+③，②×2+③ C.①+②，②×2+③ D.①+③，②+③ 156随堂笔记8年级数学BS上册 课堂·听课笔记 新知解读， 知识点1●>三元一次方程组的有关概念 举一反三》参考答案见答案册P19 1.三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数 都是1，这样的方程叫作三元一次方程 2.三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成 的一组方程，叫作三元一次方程组， 3.三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解， 叫作这个三元一次方程组的解. 例[教材P135例题]解方程组： 1-1小梦在某购物平台上购 买甲、乙、丙三种商品，当购物 r3x+2y+z=39, ① 车内选择3件甲，2件乙，1件 2x+3y+z=34, ② 丙时显示的价格为420元；当 x+2y+3z=26. ③ 购物车内选择2件甲，3件乙，4 【答案】解：由①，得 件丙时显示的价格为580元， z=39-3x-2y. ④ 那么购买甲、乙、丙各两件应该 把④分别代入②③并化简，得 付款() x-y=5, ⑤ A.200元 B.400元 8x+4y=91. ⑥ C.500元 D.600元 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 x=37 4 17 y=4 把-y=代入@，得：-兴 经检验，x=37v-17 4y 号适合原方程组 37 x= 4, 17 所以原方程组的解是{y= 4, 11 2= 4 知识点2>三元一次方程组的解法 举一反三>参考答案见答案册P19 1.解三元一次方程组的思路 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”—把“三元”化 为“二元”，再化为“一元”. 元一次方程组消元二元一次方程组消元仁元一次方程 第五章二元一次方程组 57 2.解三元一次方程组的一般步骤 (1)消元：利用代入消元法或加减消元法，把方程组中一个方程 2-1解三元一次方程组 、,当某个方程中缺少含某未知数的项时，可以先从另外两个 方程中消去所缺少的未知戴 rx+y+z=3,① 与另两个方程分别组成两个方程组，分别消去两个方程组中的 3x+2y+z=10,②如果消掉 同一个未知数，得到一个二元一次方程组 2x-y+z=-1,③ (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值， 未知数云，则应对方程组变形为 (3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个含有 最后一个未知数，且系数比较简单的方程，得到一个一元一次 A.①+③，①×2-② 方程 B.①+③，③×2+② (4)求解：解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值 C.②-①，②-③ (5)写解：将求得的三个未知数的值用“{”联立在一起. D.①-②，①×2-③ x+y=4, 例2已知方程组{y+z=6,则x+y+z的值是( ) z+x=8 2-2若二元一次方程组 A.9 B.8 C.7 D.6 2x+y=3, 的解同时也是方程 rx+y=4,① 3x-y=2 【解析】y+z=6,② ①+②+③，得2x+2y+2z=4+6+8, 2x-my=-1的解，那么m的 z+=8,③ 值为( 解得x+y+名=9. A.-2B.-1C.3D.4 【答案】A 知识点3>用三元一次方程组解决实际问题 举一反三》参考答案见答案册P19 列三元一次方程组解决实际问题的主要步骤为审、找、设、列、 3-1有一个爱心公益活动：一 解、验、答 个人一天中走路步数达到 注意事项：一般来说，有几个未知数，就我几个等量关系，进而 10000及以上可向公益活动捐 列出几个方程构建方程组求解 款，如果步数在10000及以上， 例3实验室需要购买A,B,C三种型号的盒子存放材料，盒子 每步可捐0.0002元.例如，小 容量和单价如下表所示： 明某天的步数为13000，则可 捐2.6元；若一天的步数为 盒子型号 8000,则无捐赠资格.已知甲、 盒子容量/升 n 乙、丙三人某天通过步数共捐 盒子单价/元 6 9 赠了6.4元，且甲的步数<乙 其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4 的步数<丙的步数，则下面说 元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒 法不正确的是() 子都至少买一个 A.甲可能走了10000步 (1)若购买A,B,C三种型号的盒子的个数分别为1,6,2，则购买 B.乙可能走了17000步 总费用为 元； C.丙可能走了20000步 (2)若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买A,B, D.甲、乙、丙三人可能共走了 50000步 C三种型号的盒子的总数为 个 158随堂笔记8年级数学BS上册 【解析】(1)购买总费用为1×5+6×6+2×9=59（元）： (2)设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C 种型号盒子z个，根据题意得2x+3y+4z=28,①当0<x<3时， 5x+6y+9z=58.因为x,y,z都为正整数，所以方程组无解； ②当x≥3时，5x+6y+9z-4=58.因为x,y,z都为正整数，所以 x=4时，y=4,z=2.综上所述，购买A,B,C三种型号的盒子的 个数分别为4,4,2，所以4+4+2=10（个） 【答案】(1)59(2)10 课本练习[教材P136随堂练习] 1.一个三位数，各数位上的数字和是14，个位数字、百位数字的 答案) 和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和 1.275. 大2.求这个三位数 rx=10, 2.解方程组： {y=9, x+y+z=26, z=7. x-y=1, 2x-y+z=18. 课后·提升笔记 题型训练 题型1●>》灵活解三元一次方程组 变式训练》参考答案见答案册P20 rx+2y+z=0, 2x-y+3z=1, 例下列四组数值是方程组2x-y-z=1,的解的是( 1-1解方程组3x+y-7z=2, 3x-y-z=2 5x-y+3z=3, rx=0, rx=0. rx=0, X= 如果要使运算简便，那么消元 A. y=1, B. y=0, C.{y=-1, D. 时最好应() 1z=-2 z=1 z=0 z=3 A先消去xB.先消去y rx+2y+z=0,① C.先消去zD.先消去常数项 【解析】2x-y-z=1,②①+②得3x+y=1,④( ①+③得 13x-y-z=2,③ 4x+y=2,⑤⑤-④得x=1.把x=1代入④，得3+y=1,獬 得y=-2.把x=1,y=-2代入①，得1-4+z=0,解得z=3.所 rx=1, 以原方程组的解为y=-2, z=3. 【答案】D 第五章二元一次方程组 15例 题型2●》确定方程组中字母的值 ,变式训练)>参考答案见答案册P20 例2已知实数x,y,a满足x+3y+a=4,x-y-3a=0.若-1≤ r2m+3n+k=11, 2-1已知方程组 a≤1，t=x+y,那么t的取值范围是 l3m+5n+k=16, 「x+3y+a=4, 将a作为参数解得 则m+2n 【解析】联立方程组 x-y-3a=0, m+n+k 「x=1+2a, '因为-1≤a≤1，x+y=a+2,所以1≤t≤3. ly=1-a. 【答案】1≤t≤3 题型3●》用三元一次方程组解决实际问题 变式训陈》参考答案见答案册P20 例3在春节来临之际，某商城推出A,B,C三种礼盒，如果购买 3-1小明到某服装商场进行社 A礼盒3盒、B礼盒2盒和C礼盒2盒，则需付人民币2200元； 会调查，了解到该商场为了多销 如果购买A礼盒4盒、B礼盒3盒和C礼盒5盒，则需付人民币 售服装，对顾客推荐一种购买方 3150元.李老板预计购买A礼盒5盒、B礼盒4盒和C礼盒8 式：如果购买甲服装3件，乙服 盒送亲戚朋友，则共需付人民币元. 装2件，丙服装1件共需350 【解析】设A礼盒x元/盒，B礼盒y元/盒，C礼盒z元/盒.依题 元；如果购买甲服装1件，乙服 3x+2y+2z=2200,① 装2件，丙服装3件共需370 意得 ②-①得，x+y+3z=950,③ 4x+3y+5z=3150,② 元，某顾客想购买甲、乙、丙服装 各一件共需」 元 ③+②得，5x+4y+8z=4100,所以购买A礼盒5盒、B礼盒4 盒和C礼盒8盒共需付人民币4100元. 【答案】4100 链接中考 考点三元一次方程组的简单应用 7 a= 48, 题型 难度 分值 点利化8日0 1 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 b=48 所以救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口 典例[中考改编]一只小船从A港口顺水航行 到B港口需6小时，而从B港口逆水返回到A 需要的时间为分==4（小时） 港口需8小时.某日，该小船在早晨6点出发， 48 由A港口顺水航行到B港口时，发现船上一个 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为 救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救 48小时. 生圈，1小时后找到救生圈. (2)设救生圈在出发t小时时掉人水中，小船需 6小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找 (1)若救生圈从A港口漂流到B港口，需要多 到共在水中漂流了(6-t+1)小时，由题意得 长时间？ +(6-t+1)农+日=，解得1=5，所以 1 1 (2)救生圈于何时掉入水中？ 【答案】解：(1)设小船在静水中的速度为a,水6+5=11， 流速度为b,A港口到B港口的距离为s,由题答：救生圈于上午11点掉人水中 160随堂笔记8年级数学BS上册所以A0=1. 因为点P到A0的距离为2， 1 所以S6w=2×1×2=1. 变式训练 1-1解：(1)设直线l1的表达式为y=x+b, 把(0,100)，（1,80)代入y=kx+b,得 b=100,解得b=100. 「k=-20, k+b=80, 所以直线l1的表达式为y=-20x+100, 设直线l2的表达式为y=ax, 把(2,30)代入y=ax,得30=2a,解得a=15. 所以直线l2的表达式为y=15x. (2)答案不唯一.A,B两地相距100km,甲、乙 二人骑自行车分别从A,B两地出发，甲的速度 为15km/h,乙的速度为20km/h,问经过多少 小时他们相遇？ 2-1解：(1)把点(1，b)代入y=2x+1,得 b=2+1=3,所以P(1,3).把点P(1,3)代人 y=mx+4,得m+4=3,所以m=-1. 因为直线l1:y=2x+1与直线2：y=mx+4相 交于点P(1,3), 所以方程组 2-y二-1的解为 .mx-y=-4 y=3. (2)因为11：y=2x+1,12:y=-x+4, 所以A-2,0）,B(4,0), 所以48=4-(）-名， 所以SAABP= 4%=×号×3= 19 4 (3)直线x=a与直线l1的交点C为(a,2a+1), 与直线2的交点D为(a,-a+4), 因为CD=2,所以I2a+1-(-a+4)1=2,即 13a-31=2,所以3a-3=2或3a-3=-2, 所以a的值为？或？ *5三元一次方程组 预习检测 1.D2.C3.B4.-15 5.1【解析】依题意，知：是方程组 ly=3 ac+的=5的解，所以 bx+ay=2 a+36=5,0①+②，得 3a+4b=2,② 7a+7b=7,方程两边都除以7，得a+b=1. 6.0【解析】2x+3=4,① ①+②可得 3x+2y=2m-3,② 5x+5y=2m+1,由x+y=写可得5x+5y=1, 于是2m+1=1,所以m=0. 3x-y+z=4,① 7.C【解析】2x-y-z=12,②①+②得5x- lx+y+2z=6,③ 2y=16, ②×2得4x-2y-2z=24,④ ③+④得5x-y=30,即 5x-2y=16, 5x-y=30. 举三反写， 1-1B【解析】设购买一件甲、乙、丙三种 商品需付款x元、y元、名元，根据题意得 3x+2y+z=420,①①+②得5x+5y+5z= L2x+3y+4z=580,② 1000,即x+y+z=200,所以2x+2y+2z=400. 则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元. 2-1C【解析】解三元一次方程组 x+y+2=3,① 3x+2y+z=10,②如果消掉未知数z,则应对 2x-y+z=-1,③ 方程组变形为②-①，②-③. 2-2C【解析】两式相加得5x=5,解得x= 1,把x=1代入3x-y=2得3-y=2,解得y= 1,所以2x-my=2-m=-1,所以m=3. 3-1B【解析】因为6.4÷0.0002= 32000(步)，所以平均每人走路32000÷3≈ 10667(步).因为甲的步数<乙的步数<丙的 步数，所以甲走路步数必定小于平均数，而丙 走路步数必定大于平均数，所以甲可能走了 10000步，丙可能走了20000步，故A,C选项正 确.若乙走了17000步，则乙和丙的步数之和 大于34000步，不合题意，故B选项错误；若丙 走路32000步，而甲、乙两人走路步数都小于 10000步，则甲、乙、丙可能共走了50000步， 故D选项正确 根据题意可得： 「x+y=200×20%, 变式训练 Lx+y+5x+2y-1=200, 1-1B【解析】观察未知数x,y,z的系数特 解得t=27, 点发现：未知数y的系数要么相等，要么互为相 y=13, 反数，所以要使运算简便，那么消元时最好应先消 所以绵羊毛的质量为27g,腈纶的质量为13g: 去y 答：绵羊毛的质量为27g,腈纶的质量为13g 2-16 变式训练 【解析】 2m+3n+k=11,① 13m+5n+k=16,② 解：(1)43不是“魅力数”.理由如下： ②-①得m+2n=5, .43=14×3+1, ①×2-②得m+n+k=6, .43被3除余1，不余2， 则m+2n-5 ∴.根据“魅力数”的定义知，43不是“魅力数” m+n+k-6 (2)先求被2除余1，同时能被3,5都整除的 3-1180【解析】设甲服装的单价为x元，乙 数，最小为15， 服装的单价为y元，丙服装的单价为z元，根据题 再求被3除余2，同时能被2,5都整除的数，最 意得3x+2=350,D0+②得4红+4y+ 小为20 lx+2y+3z=370,② 最后求被5除余3，同时能被2,3都整除的数， 4z=720,所以x+y+z=180 最小为18. 即购买甲、乙、丙服装各一件共需180元， .数15+20+18=53是“魅力数”. ☆ 问题解决策略：逐步确定 2,3,5的最小公倍数为30， ∴.53-30=23也是“魅力数”， 预习检测 53+30=83也是“魅力数”， 1.752.648 故不大于100的所有的“魅力数”有23,53,83， 共三个数， 举三反三 解：设绵羊毛的质量为xg,腈纶的质量为yg, 第六章 数据的分析 11.2. 1平均数 2-2 83.8【解析】小聪总评成绩是 预习检测 90×3+80×3+82×4=83.8(分). 3+3+4 1.D2.53.8744.C 变式训练 举一反写 解：(1)甲的成绩为93+94+89=92（分）， 3 1-1C【解析】因为一组数据3,4,5,3,4 乙的成绩为88+90+95=91（分）. 中，3和4的出现次数最多，所以众数为3和4. 3 2-111.2【解析】因为x1,x2,x3,…,x10的 因为91<92，所以甲将获胜 平均数是12，x11,x12,x13,…,x50的平均数是11， (2)甲的成绩为3×1+94×4+89×5=91.4（分）， 所以西西，西，，*的平均数是2×10+40×山」 1+4+5 50 20