第三章 3 轴对称与坐标变化&第三章 位置与坐标 章末总结-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

3 轴对称与坐标变化 课·预习笔记 !1.掌握关于x轴对称或关于y轴对称的两个点的坐标之间的关系，并能根据关系写出对 预 习 应的点的坐标.重点© 目 !2.经历轴对称变化与点的坐标变化之间关系的探索过程，培养数形结合意识 3.在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形 标 的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系. 第。步明确考情 1.考频：5年2考 2.分值：3~7分 3.题型：选择题、填空题、解答题 第三步梳理知识 1.关于x轴对称 横坐标相同，纵坐标互为相反数， 2.关于y轴对称 横坐标互为相反数，纵坐标相同. 第三我预习检测 预 习 1.已知点P1(-4,3)和P2(-4,-3),则P和P2( 任 A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 务 C.关于原点对称 D.不存在对称关系 2.在平面直角坐标系中，点P(-3,m2+4m+5)关于原点的对称点在( A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸 是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为(2m,-n),其 关于y轴对称的点F的坐标为(3-n,-m+1),则m-n的值为( A.-9 B.-1 C.0 D.1 第三章位置与坐标 79 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1●》图形的对称变换 举一反三》参考答案见答案册P11 1.图形上点的坐标变化与轴对称的关系 1-1如图，点P(-2,1)与点 (1)横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1，所得图形与原图形关 Q(a,b)关于直线y=-1对 于x轴对称； 称，则点Q的坐标为() (2)纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1，所得图形与原图形关 于y轴对称. ©拓展提升 -2 横、纵坐标都乘-1，所得图形与原图形关于原点对称 一般取图形的顶点，但要能确定原图形 A.(-2,-3)B.(-2,-1) 2.在直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形的方法 C.(-2,-2)D.(-2,-4) (1)确定对称点的坐标； 简称：定、描、连 (2)根据对称点的坐标描点； (3)依次连接所描各点得到成轴对称的图形 例1[教材P68例题](1)在平面直角坐标系中依次连接下列各 点：(0,0)，(5,4)，(3,0)，(5,1)，(5，-1)，(3,0)，(4，-2)， (0,0).你得到了一个怎样的图案？ (2)将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别 乘-1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原 图案有怎样的位置关系？ 【答案】解：(1)依次连接各点得到的图案如图1所示，它像一条 小鱼； 2 y 4 4 3 ) -5-4-3-2-10234 -2 -2 图1 图2 (2)纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1，所得各点的坐标依次是 (0,0),(-5,4),(-3,0),(-5,1),(-5,-1),(-3,0), (-4,-2),(0,0),依次连接这些点，所得图案如图2所示，它 与原图案关于y轴对称. 80随堂笔记8年级数学BS上册 知识点2》对称点的坐标特征 》举反三●》参考答案见答案册P11 1.关于x轴对称的点 2-1在平面直角坐标系中，点 坐标特征：关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐 P(2,-3)关于y轴对称的点的 标互为相反数；反过来，横坐标相同，纵坐标互为相反数的两 坐标是( 个点关于x轴对称.例如，点A(a,b)与点B(a,-b)是关于x A.(2,-3) B.(-2,-3) C.(-2,3) D.(3,2) 轴对称的两个点. 2.关于y轴对称的点 坐标特征：关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐 2-2正五角星的对称轴有( 标互为相反数；反过来，纵坐标相同，横坐标互为相反数的两 A.1条B.3条 个点关于y轴对称.例如，点A(a,b)与点B(-a,b)是关于y C.5条 D.无数条 轴对称的两个点。 示例： 5 4纵相同 3干横相反 A”（-3,2)-2 ·A3,2) 1 横 纵 -5-4-3-2-10 同 -2 4'(3,-2) 例21(1)点A(-1,2)关于y轴的对称点坐标是 ;点A 关于原点的对称点的坐标是 ;点A关于x轴的对称点 的坐标为 (2)若点A(m+4,n)和点B(n-1,2m+1)关于x轴对称，则m= ,n (3)已知点P(a+3b,3)与点Q(-5,a+2b)关于y轴对称，则 a= ,b= 【解析】(1)点A(-1,2)关于y轴的对称点坐标是(1,2)；点A 关于原点的对称点的坐标是(1，-2)；点A关于x轴的对称点的 坐标为(-1，-2). (2)因为点A(m+4,n)和点B(n-1,2m+1)关于x轴对称，所 以m+4=n-1,-n=2m+1,解得m=-2,n=3. (3)因为点P(a+3b,3)与点Q(-5,a+2b)关于y轴对称，所以 a+3b=-(-5),3=a+2b,解得a=-1,b=2. 【答案】(1)(1,2)(1，-2)（-1，-2)(2)-2；3(3)-1；2 第三章位置与坐标 81 课本练习教材0随堂练习] 1.如图所示的图案中有两个图形，它们具有怎样的位置关系？ 答案 在图案中选择三对对应点，寻找每对对应点的坐标之间的 1.两个图形关于x轴对称. 关系. 对应点选取答案不唯一，例 如，取上面图形顶点（一2， 3)与下面图形顶点（-2， -3);(0,2)与(0，-2)；(4， 2)与(4，-2)，坐标关系为： 横坐标相同，纵坐标互为相 反数 课后·提升笔记 题型训练 题型1●> 利用点的对称性作轴对称图形 变式训练●>参考答案见答案册P11 例如图1，在8×8的正方形网格中建立平面直角坐标系，使 1-1如图，已知A(-2,4), 点A的坐标为(2,4)，点B的坐标为(4,2). B(4,2),C(2,-1). (1)作△ABC关于x轴的对称 (1)将点A向下平移5个单位长度，再关于y轴对称得到点C, 图形△AB,C1,写出点C关于x 求点C的坐标； 轴的对称点C1的坐标； (2)画出△ABC,并求其面积. (2)P为x轴上一点，请在图中 画出使△PAB的周长最小时的 点P,并直接写出此时点P的 坐标（保留作图痕迹） B 5 -4 3 --1 5-4-3-2-10 /345元 图1 图2 CY -2 【答案】解：(1)点A向下平移5个单位长度得到点(2，-1)，关 -3引 于y轴对称的点C(-2,-1) (2)△MABC如图2所示5ac=5x6-方×6×3- ×4x5-1 2×2=9, 题型2●》由点的对称求字母的值 变式训练>参考答案见答案册P11 例2已知点A(a,1)与点A'(5,b)关于y轴对称，则代数式a+ 2-1如图，在平面直角坐标系 b的值为() 中，正三角形AOB的一个顶点O 在原点，点B的坐标为(-2,0)， A.-6 B.6 C.4 D.-4 则第二象限的顶点A关于x轴 【解析】根据题意，有a+5=0,b=1, 的对称点的坐标是 解得a=-5, 所以a+b=-4. 【答案】D B.0. 82随堂笔记8年级数学BS上册 题型3》与轴对称的特征有关的综合型问题 变式训练)》参考答案见答案册P11 例3如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标 3-1如图，在3×3的正方形 分别为A(-1,2),B(-3,1),C(0,-1). 网格中有四个格点A,B,C,D, (1)画出△ABC关于x轴对称的△AB,C1; 以其中一个点为原点，网格线 (2)点P(a,a-2)与点Q关于y轴对称，若PQ=8,求点P的 所在直线为坐标轴，建立平面 坐标 直角坐标系，使其余三个点中 存在两个点关于一条坐标轴对 称，则原点可能是( C D B A.点A B.点B 图1 图2 C.点C D.点D 【答案】(1)如图2，△A1B1C1即为所求. (2)因为PQ=8,所以a=±4，所以a-2=-6或a-2=2,所以 P的坐标为(4,2)或(-4，-6). 题型4●>结合图形面积确定点的坐标 变式训练>参考答案见答案册P11 例4如图，在平面直角坐标系x0y中，点A(0,2),过点(-1， 4-1如图，在平面直角坐标系 0)作x轴的垂线1，点A关于直线l的对称点为B. 中，△ABC的三个顶点的坐标 (1)点B的坐标为 分别为A(-2,4),B(-4,1), C(-1,2) (2)已知点C(-3,-2),点D(1,-2),在图中描出点A,B,C, D,顺次连接点A,B,C,D. A 4 ①在四边形ABCD内部有一点P,满足SAPD=SAPBG且S△PwB= 3 SAPCD,则此时点P的坐标为 SAPAB= B ②在四边形ABCD外部是否存在点Q,满足SAO4D=SAOc且 -5-4-3-2-191.2.3.4.5元 SA0aB=S△ocp,若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明 -2 理由， =5 4 (1)作出△ABC关于y轴对称 的△AB1C1,并写出点A1的 2 坐标； -5-4-3-2- 9 (2)求△ABC的面积. 12345x -2 第三章位置与坐标 83 【答案】解：(1)B(-2,2),故答案为(-2,2) (2)如图， ①因为SAPAD=SAPBC且SAPAB= 还 SAPCD,BC=AD,CD=2AB, 4 所以点P在直线I上，且到AB的 13 Bo 距离是到CD距离的2倍， i 因为P在四边形ABCD的内部， -5-4-32-1 2345 所以2-号×(2+2)= 3, D -3 所以P-1,-3) Sm=分×2x2+号引=号故答案为-1，-号引号 ②因为S&QAD=SABc且SA0AB=SA0cD,BC=AD,CD=2AB, 所以点Q在直线1上，且到AB的距离是到CD距离的2倍， 因为点Q在四边形ABCD的外部， 所以-2-(2+2)=-6， 所以Q(-1,-6). 链接中考 考点1◆确定点的坐标 【解析】由题中条件确定点O即为平面直角坐标 系原点（如图），龙洞堡机场的坐标为(9，-4). 题型 难度 分值 y 选择题、填空题 ★★☆ 3分 阳 典例[贵州中考]如图是贵阳市城市轨道交通 运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正 站 东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直 喷水池 2号线 角坐标系，若贵阳北站的坐标是(-2,7)，则龙 0 洞堡机场的坐标是 贵 贵阳火车站 北 1线 龙洞堡机场 站 【答案】(9，-4) 考点2◆作轴对称图形 ,喷水池 2号线 题型 难度 分值 解答题 ★★☆ 7分 ·贵阳火车站 典例2[广西中考]如图，在平面直角坐标系中， 1号线 龙洞堡机场 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,-1), B(1,-2),C(3,-3). 84随堂笔记8年级数学BS上册 【答案】解：(1)如图所示，△ABC1即为所求. 3 5-4-3-2-19 243 5 (1)将△ABC向上平移4个单位长度得到 △A,B1C1,请画出△A1BC1 (2)如图所示，△A2B2C2即为所求 (2)请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2 (3)A1(2,3),A2(-2,-1). (3)请写出A1,A2的坐标 章末总结·体系构建 轴对称与 关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数 坐标变化 关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数 行列定位法 确定位置 方位角和距离定位法 经纬定位法 的方法 区域定位法 方格定位法 位置与 坐标 象限一在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分 对于平面内任意一点P,过点P分别向轴、轴作垂线，垂足 平面直角 坐标 在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫作点P的横坐标、纵坐标， 坐标系 有序数对(a,b)叫作点P的坐标 第四象限：(+，-) 各象限内点 第三象限：（←，） 的坐标符号 第二象限：(，+) 第一象限：(+，+) 第三章位置与坐标 853-1解：如图，过点A 作y轴的平行线DE,过点 E--- B作x轴的平行线EF交 27 DE于点E,过点C作x轴 D 的平行线CD交DE于点 D,作y轴的平行线CF交EB延长线于点F. 则SAABC=S四边形DBFC-S△ACD-S△AB-S△cBP =5x4-7×5x1-2×3x4-7×1x4 3 轴对称与坐标变化 预习检测 1.A【解析】因为两点的横坐标相等，纵坐标 互为相反数，所以两点关于x轴对称 2.D【解析】因为m2+4m+5=(m+2)2+1> 0,点P(-3,m+4m+5)关于原点的对称点为 (3,-(m2+4m+5)),则-(m2+4m+5)<0, 故点P(-3,m2+4m+5)关于原点的对称点在 第四象限. 3.D【解析】因为E(2m,-n)和F(3-n,-m+ 1)关于y轴对称，所以2m+(3-n)=0,-n=- m+1,解得m=-4,n=-5,所以m-n=-4- (-5)=1. 举一反三 1-1A【解析】因为点P(-2,1)与点Q (a,b)关于直线y=-1对称，所以a=-2, 1+b=-1,解得b=-3,所以点Q的坐标为 2 (-2,-3). 2-1B【解析】由点关于y轴对称，横坐标 相反，纵坐标不变的性质，可得点P(2,-3)关 于y轴对称的点的坐标为(-2，-3). 2-2C【解析】经过正五角星角的顶点和 中心点的直线都是它的对称轴，所以有5条对 称轴. 变式训练 1-1解：(1)如 图所示. 因为点C与点C -5-4-3-210 关于x轴对称， 所以C1(2,1). (2)如图所示： 4 3 1 54-3-2-10 根据图形可知点P的坐标为(2,0) 2-1(-1,-√3)【解析】因为正三角形 AOB的一个顶点O在原点，点B的坐标为 (-2,0),所以点A的坐标为(-1，√3)，所以 点A关于x轴对称的点的坐标为(-1，-√3). 3-1D【解析】如图所示，原点可能是点D. D B 4-1 解：(1)△A1B1C1如图所示，A1(2,4) (2)由图可知， SAABC =3 x3-1 X 2×3-2 ×3×1- B 1 -5-4-3-2-191.2.3.4.5x 1 2 2 ×2×1 3 =9-3-3 12 7 5 2 1