第二章 3 二次根式-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

3 二次根式 课前·预习笔记 预：1.了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式（根号下仅限于数）化为最简二 习 次根式 目 !2.掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则.重点© 标！3.会进行二次根式（根号下仅限于数）的简单四则运算，并能解决简单的实际问题， 第出明确考情 11.考频：5年3考 12.分值：3~5分 3.题型：选择题、填空题、解答题 第号步梳理知识 1.二次根式：一般地，形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数.√a(a≥0)表 示非负数a的算术平方根. 2.积的算术平方根：√ab=√a·√b(a≥0，b≥0) 3.商的算术平方楼：8-滑（a≥0b>0。 4.二次根式的乘法法则：√a·√b=√ab(a≥0，b≥0)，两个二次根式相乘，把被开方数相 乘，根指数不变 5.二次根式的除法法则：2-√合(a≥0,6>0)，两个二次根式相除，把被开方数相除， 预 根指数不变， 习6.最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的 任 二次根式，叫作最简二次根式 务！7.二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将被 开方数相同的最简二次根式合并. 8.二次根式的混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面 的（或先去掉括号），与整式的混合运算顺序相同， 第三预习检测 1.下列式子，是二次根式的是( A.√-2 B.5 C.6 D.I 2.下列根式，是最简二次根式的是( A.√0.2 B.2 C.√8 1 V3 i3.计算：W3-23=( A.3 B.-√3 C.-1 D.-2 4.下列各式计算正确的是( A.√5+2=√5 B.4÷2=√2 C.2V3+2=43 D.32×√6=6√3 48 随堂笔记8年级数学BS上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1●>》二次根式的概念和性质 举一反三》参考答案见答案册P7 1.二次根式：一般地，形如Wa(a≥0)的式子叫作二次根式，a叫 人.，二次根式a有意义的条件是a≥0 作被开方数.√a(a≥0)表示非负数a的算术平方根. 1-1化简： 、,被开方数a可以是数也可以是式子 5g: 注意事项：(1)二次根式是一种形式定义，即式子中女须含有 /81×125 根号.如4=2，√4是二次根式，2不是二次根式，√a+1也不是二 (2)14 次根式。 (2)形如b√a(a≥0)的式子也是二次根式，它表示b与a的乘积， 与单项式的书写方式类似；当b是假分数时，不要写成带分裁的 形式，25不能写成125 2.积的算术平方根 性质：√ab=√a·√b(a≥0，b≥0) 积的算术平方根等于各因式算术平方根的积 3.商的算术平方根 性质层会a206>0, 商的算术平方根等于算术平方根的商 例1[教材P43例题]化简： (1)v81x64,(2)v25x6;(3)W 【答案】獬：(1)√81×64=√81×√64=9×8=72； (2)√25×6=√25×√6=56； ,得号 知识点2>二次根式的乘除法 》举一反三》参考答案见答案册P7 1.二次根式的乘法法则：√a·√石=√ab(a≥0，b≥0)，两个二次 根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 第二章实数49 ☒拓展提升 二次根式的乘法法则的推广 2-1计算： (1)a·√b·e=√abc(a≥0，b≥0，c≥0). 臣5 (2)a√b·c·√d=ac·√bd(b≥0，d≥0)，当二次根式前面 有系数时，可类比单项式与单项式的乘法法则进行运算，即 （2面×2号+2y2 把系数之积作为系数，被开方数的积作为被开方数， 2,二次根式的除法法则：= -8a≥06>0.两个次积相 2-2计算： 9 除，把被开方数相除，根指数不变 (1)5×√20 也可以是a÷√B=√a÷b(a≥0，b>0) (2)(√12×√6)÷√3. 府注意事项：(1)在只-日中，口安频是非负装，b士频是正 BNb 数才成立.若a,b都是负数，则√a,√b在实数范围内无意义；若 b=0,则无意义 2V8-8 6与厉√6使用的前提条件都是a≥0，b> ☒拓展提升 二次根式除法法则的推广 (1)Wa÷W6÷Vc=√a÷b÷c(a≥0，b>0,c>0) 2a6÷cd=(a÷o)xVb÷d=6≥0，d>0,c≠0》 例2[教材P42例题]计算： (2)Y6×3 2 【答案】解：(1)W6×, =4=2: 3 (2)6x5=6x3=,6x3=9=3. 2 √2 W2 知识点3》最简二次根式 举一反三》参考答案见答案册P8 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方 3-1化简： 的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式 (1)729,(2)V48 7 如2巨，停号格芝装猫二火银式 注意事项：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为景简二 (3)v25:(4)3 次根式或整式，并且分母中不会二次根式 50随堂笔记8年级数学BS上册 例31[教材P43例题]化简： (1)√50； 2, 层 【答案】獬：(1)√50=√25×2=√25×√2=5√2； 2×7-2×7_14】 √7×7 7； 1×3-√1×3 =3 3 知识点4>二次根式的加减法 举一反三》参考答案见答案册P8 1.运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次 4-1计算下列各题： 根式，再将被开方数相同的最简二次根式合并 (1)5-√12+2√27； 2.运算步骤 (1)化：将算式中的各二次根式均化为最简二次根式； 2(s-V2)×8 (2)找：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)合：合并被开方数相同的最简二次根式—一系数相加减，根 指数与被开方数保持不变，如m√a±n√a=(m±n)√a(a≥O). 例4[教材P44例题]计算： (1)√48+√3； (25-√ (3)层+5×6 【答案】解：(1)√48+3=√16×3+5=√16×3+3=45+ √5=5w3; 2)5-√-5--5-5-号5 (3)?+)×6=√告x6+3x6=唇+8=22+ 3√2=52. 知识点5》二次根式的混合运算 》举一反三》参考答案见答案册P8 1.二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或 5-1计算： 开方)的混合运算 (1)8×2-27÷3; 2.二次根式的混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减， (2)3(1-15)+35. 有括号的先算括号里面的（或先去掉括号），与整式的混合运 算顺序相同， 3.二次根式的混合运算依据：有理数的运算律（交换律、结合律、 分配律)、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方 公式)在二次根式的运算中仍然适用. 第二章实数 51 ☒拓展提升二次根式混合运算的几种常见类型及运算方法 (l)Wa(Wb+c+va)=√ad+√ac+√ad; (2)(Va+wb)(c+a)=√ac+√ad+√bc+√bd; (3)(Va+√b)(√a-b)=(a)2-(Vb)2=a-b; (4)(Wa±b)2=a+b±2√ab. 例5[教材P45例题]计算： 2)1s-8+: 5-2计算： 3v24-√a ÷3; (4)、2 +√99-√I8. (v+√)x: 答案]解：()√-√ 3 2 3×2 -6-6 (2)(5-2)2+√80. W2×2 66: 2s-8+g =9×2-√4×2+ 2 W16 =3√2-2√2+ 42-a 3(2a-√a v2网3-传原=v23 1 √6x3=V4x2- 66-2.2-6五-号a 2 4图两唇 25×2 W2×2 +丽9x2=2+v例 32=-22+V09 计算时可以不化为最简二次根式 知识点6》分母有理化 举一反三》参考答案见答案册P8 1.分母有理化：对于二次根式的除法，把分母中的根号化去的过 程，叫作分母有理化. 2.分母有理化的方法 (1)当分母是a或b√a的形式时，分子与分母同乘Va; (2)当分母是a+B(或a-万)的形式时，分子与分母同乘 a-√b(或a+b),利用平方差公式将分母中的根号去掉； 6-1计算：(1-2)2+4 3+1 (3)当分母是ā+√（或√ā-√b)的形式时，分子与分母同乘 √a-√石（或a+√b),利用平方差公式将分母中的根号去掉. 例6已知a= 4,b=5+3,则a与6的关系是(） 5-3 A.互为相反数 B.相等 C.互为倒数 D.互为负倒数 52随堂笔记8年级数学BS上册 【解析】a=4 4(W5+3) 5-3(5-3)(V5+3) =-5-3，所以a+b=0, 所以a与b互为相反数. 【答案】A 课本练习[教材42随堂练习] 1.计算： 答案 5×易： (2)(1+3)(2-√3)； 1:2-1+3, 4+周 ×√3； (3)13-45;(4)10;(5)1: (3)(23-1)2; (5)27-2 (6)-号 √3 3 ×22. [教村P44随堂练习] 1化简：)v3262)m,(3)号，44555 1.(1)42:(2)62:(3)22; 2.下列计算是否正确？ (4)(5) (①万+5=5，(22+=-22，（3)=4 2.(1)错误；(2)错误；(3)错误 [教材P46随堂练习] 1.计算： 1.(1,2 爱-品 2)D-3+得 (3)10:(4)75+22. 3s- ×V8; (4)275+√8-√27. 课后·提升笔记 题型训练 题型1●>二次根式有意义的条件 >变式训练》参考答案见答案册P8 例1若a,b都是实数，且a=√-3+√3-b+2,则ab+2的立1-1若代数式√5-x- 方根是 √2x-6有意义，则实数x的 【解析】由题意，得b-3≥0,3-b≥0，解得b=3,所以α=2， 取值范围是 所以ab+2=3×2+2=8,所以ab+2的立方根是8=2. 【答案】2 题型2●》已知字母的值，化简求值 变式训练●)>参考答案见答案册P8 例2已知a=2 ,则a2-2a+7= 5-1 【解析】因为a=。2=2(3+1) =3+1， 2-1已知a=√5+1，则代数 3-1(3-1)(3+1) 式a2-2a的值为】 所以a2-2a+7=a2-2a+1+6=(a-1)2+6=(√3+1-1)2+ 6=9. 【答案】9 第二章实数 53 题型3●>》已知条件式，化简求值 >变式训练》参考答案见答案册P8 例3已知x+y=4,x-y=√3，则代数式x2-y2+2√3的值是 3-1已知x=√2-5，y= 2+3,求x2-y2的值. 【解析】因为x+y=4,x-y=√3，所以x2-y2+23= (x+y)(x-y)+23=4×3+25=63. 【答案】6√3 题型4>》二次根式的应用 变式训练>参考答案见答案册P8 圆道已知一个长方形相邻的两边长分别是a,6,且a=乃8， 4-1做一个底面积为24cm2, 长、宽、高的比为4：2：1的长 6v2 方体 (1)求长方体的表面积. (1)求此长方形的周长； (2)求长方体的体积. (2)若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形 的面积 【答案】解：(1)由题意，得长方形的周长为 228+372=2(2+22)=62. (2)由题意，得正方形的周长为6√2， 所以正方形的边长为62÷4=3,2 2 所以正方形的面积为 3√2 、29 2 21 链接中考 考点1实数的运算 简二次根式，故D选项正确. 题型 难度 分值 【答案】D 选择题、填空题 ★★☆ 5分 考点2二次根式的混合运算 典例[桂林中考]下列根式，是最简二次根式 题型 难度 分值 的是( 选择题、填空题、解答题 ★★☆ 3~5分 A B.√4 C.√a2 D.√a+b 集例2[聊城中考]计算：48-3, 【解析】√号被开方数不是整数，不是最简二次 根式，故A选项不符合题意；√4=2是有理数， 【解标1(4s-3写）÷5=43-3×号 不是最简二次根式，故B选项不符合题意； 5=(43-5)÷√5=35÷√5=3. √a2=Ial,不是最简二次根式，故C选项不符 【答案】3 合题意；√a+b符合最简二次根式的定义，是最 54随堂笔记8年级数学BS上册第3课时估算 预习检测 1.C2.C3.C4.9.82 举三反写 1-1D【解析】根据题意，该正方形的边长 为40.因为36<40<49， 所以√36<√40<√49，即6<√40<7， 所以该正方形的边长在6与7之间. 1-2D【解析】因为3<T<√10， 所以-3>-π>-√/10. 2-1B【解析】用计算器求出2√3+1≈ 4.46,因为4.46>4.4，所以23+1>4.4. 变式训练， 1-1B【解析】因为25<33<36， 所以5<33<6，所以4<√33-1<5. 2-1解：(1)因为9<√10<√16， 所以3<√10<4， 故√10的小数部分是√10-3. (2)因为81<√90<√100， 所以9<√90<10. 因为a是√90的整数部分， 则a=9. 因为1<3<4， 所以1<3<2 因为b是3的小数部分， 所以b=√3-1， 则a+b-√3+1=9+3-1-√3+1=9 因为9的平方根是±3， 所以a+b-√3+1的平方根是±3， 3-15555555555【解析】因为 n个 √3332+4442=555，√33332+44442=5555， 所以.3332+44…42=55…5. n个 n个 个 4-1(1)<(2)< 【解析】(1)因为6≈1.817，√7≈2.646，所以 6<万. (2)因为2√11≈6.633,3√5=6.708，所以 211<35. 3二次根式 预习检测 1.B2.B3.B4.D 举三反三 1-1解：1)5号 49 -N9 =49 √9 .7 =39 (2) 81×125 144 9×55 12 _155 4 2-1 解：)原式=停5=√厚- 25 2原武-y0×/得*2V层 ×2W5 =2×260x号 3×5 =32 2-2 9 解：(1)5× =N4 3 =2 (2)(√12×√6)÷W3 =6√2÷√3 =2V6. 3-1解：(1)√29=√81×9=√81×9=27： 721-21-21 (2)8-4#2 82西得四四 2 43语-9店得-号 4-1解：(1)原式=3-25+63=53； (2)原式=32-号)×25 52×22 =10. 5-1解：(1)原式=√16-9=4-3=1； (2)原式=5-√4④5+35=5-35+35=√3 5-2解：（历+骨×3 /1 =27×3+√3×5 =√81+1 =10; (2)(5-2)2+80 =(5)2-4V5+4+45 =5+4 =9. 6-1解：(1-2)+4 √3+1 =1-22+2+4(3-1) 2 第三章 1确定位置 预习检测 1.D2.B3.C 举一反三 1-1A【解析】因为“5排8号”的位置，记 =1-2V2+2+23-2 =1-22+23. 变式训练 1-13≤x≤5【解析】因为√5-x √2x-6有意义，所以5-x≥0,2x-6≥0.解得 3≤x≤5. 2-14【解析】因为a=√5+1，所以a2-2a= (5+1)2-2(5+1)=5+1+25-25-2=4. 3-1解：因为x=2-3,y=W2+3, 所以x+y=2-√3+2+5=22， x-y=2-3-2-3=-23, 所以x2-y=(x+y)(x-y)=22×(-23)= -46. 4-1解：(1)设长方体的高为xcm,则长为 4xcm,宽为2xcm, 由题意，得4x×2x=24,解得x=√3（舍负）， 则4x=45,2x=25, 所以这个长方体的长、宽、高分别是4√3cm, 2√3cm,3cm. (45×25+3×43+23×3)×2 =(24+12+6)×2 =42×2 =84(cm2). 答：长方体的表面积是84cm2, (2)4√3×2√3×3=243(cm3). 答：长方体的体积是243cm. 位置与坐标 作(5,8)，所以丽丽的电影票“3排1号”，记作 (3,1) 1-2B【解析】能准确表示三水地理位置 的是东经113°，北纬23°， 1-3B【解析】180°-115°=65°，由图可 知，学校在小明家的北偏东65°方向，距离为 1200m处. 8