第二章 2.1 平方根-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

2 平方根与立方根 第1课时 平方根 课前·预习笔记 预1.理解算术平方根和平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根和平方根. 习2.知道平方与开平方互为逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方 目 根和平方根.重点© 标 第步明确考情 1.考频：5年3考 2.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第二步梳理知识 !1.算术平方根 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的 算术平方根.特别地，我们规定：0的算术平方根是0. 表示方法：非负数a的算术平方根记作√a,读作“根号a”. 性质：(1)正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是0（√石=0），负数没有算术 平方根 (2)√a的双重非负性：非负数才有算术平方根，且其算术平方根也是非负数，即a≥0 预 且a≥0. 习2平方根 任 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫作a的平方 根（也叫作二次方根） 务1 表示方法：数a(a≥0)的平方根记作±√a,读作“正、负根号a”,其中√a表示a的算术 平方根，-√a表示a的负的平方根 性质：(1)一个正数有两个平方根；(2)0只有一个平方根，它是0本身；(3)负数没有 平方根， 第毛步预习检测 1.4的算术平方根是( A.±2 B.2 C.4 D.-2 2.16的平方根是( A.16 B.4 C.±4 D.±8 3.√9的平方根是( ) A.9 B.3 C.±3 D.±3 4.下列说法错误的是( A.5是25的算术平方根 B.1是1的一个平方根 C.√16的平方根是±4 D.0的平方根与算术平方根都是0 36 随堂笔记8年级数学BS上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1》算术平方根 举一反三》参考答案见答案册P5 1.定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这 1-1求下列各数的算术平 个正数x就叫作a的算术平方根.特别地，我们规定：0的算术 方根. 平方根是0. （1)64; 2.表示方法：非负数a的算术平方根记作√a,读作“根号a”. “厂”的根指数为2，是T“的简写形式 (2)√（-4)2； 3.性质：(1)正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是 (3)√81； 0(0=0),负数没有算术平方根. 品 初中阶段三种形式的非负裁：lal,a2a(a≥0) (2)√a的双重非负性：非负数才有算术平方根，且其算术平方 根也是非负数，即a≥0且√a≥0. 例1[教材P31例题]求下列各数的算术平方根： 1-2求下列各数的算术平 (190:21;(3289(414 方根. (1)225; 【答案】解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，即 √900=30； 2票 (3)(-5)2: (2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即√1=1； (4)0.0009. (3)因为铝所以的算术平根是，即，黑- V64=8 (4)14的算术平方根是√14. 知识点2>平方根 举一反三●》参考答案见答案册P6 1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个 数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根）. 2.表示方法：数a(a≥0)的平方根记作±√a,读作“正、负根号 a”其中√a表示a的算术平方根，-√a表示a的负的平方根. 3.性质：(1)一个正数有两个平方根；(2)0只有一个平方根，它 是0本身；(3)负数没有平方根. 2-1求下列各数的平方根. 平方根是它本身的数只有0 (1)49; 4.平方根和算术平方根的区别与联系 2 名称 算术平方根 平方根 (3)(-16)2; 正数的算术平方根只有 正数的平方根有 个数不同 (4)0.0064. 一个 两个 正数a的算术平方根表 正数a的平方根 表示方法不同 区别 示为√a 表示为±√a 正数的平方根为 正数的算术平方根一定 取值范围不同 是正数 一正一负，它们 互为相反数 第二章 实数 37 续表 具有包含关系 同一个正数的平方根包含算术平方根，算术 平方根是正的平方根 联系 存在的条件 相同 只有非负数才有算术平方根和平方根 特殊值0 0的算术平方根和平方根均为0 a(a>0), 产注意事项：(1)√a=Ial= 0(a=0),(2)(√a)2=a(a≥0). 2-2求下列各数的平方根. l-a(a<0); (1)196; 5.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开 方数 高 例2[教材P33例题]求下列各数的平方根： 32 (64:(2费(30004：(4(-25；(51. (4)(-4)2 【答案】解：(1)因为（±8）2=64，所以64的平方根是±8，即 ±√64=±8； 2)因为±品-铝所以智的平方根是±7即±√岛=±品 (3)因为（±0.02）2=0.0004，所以0.0004的平方根是±0.02， 即±√0.0004=±0.02； (4)因为（±25）2=（-25)2，所以(-25)2的平方根是±25， 即±√(-25)2=±25； (5)11的平方根是±√11. 课本练习[教材32随堂练习] 1.求下列各数的算术平方根： 答案 36,07,081,10 1.6:70.90 2.在△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=5,求AB的长， 2.34. 3.如图，从帐篷支撑杆AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定 3.解：在Rt△ABC中， 帐篷.若绳子的长度为8，地面固定点C到帐篷支撑杆底部 AB =AC2 BC2 B的距离为6.4m,则帐篷支撑杆的高是多少？ =√82-6.42 =4.8(m). 答：帐篷支撑杆的高是4.8m [教材P34随堂练习] 1.求下列各数的平方根： 1.±1.2,0：±2,2；±0 1.4,0.8,g04,196,10 ±21；±14；±102. 2.(1)±5(2)5 2.填空：(1)25的平方根是 ;(2)√(-5)2= (3)5(4)5 (3)(5)2= ;(4)(-5)2= 3.13. 3.当a=5,b=12时，求√a2+b2的值 38随堂笔记8年级数学BS上册 课后·提升笔记 题型训练 题型1●》>利用算术平方根的非负性解题 变式训练》参考答案见答案册P6 例1若√x-3+(x+y-2)2=0,则x-y的算术平方根1-1若(x+4)2+√y-3= 是 0,则x+y= 【解析】因为√x-3+(x+y-2)2=0, 所以x-3=0,x+y-2=0,所以x=3,y=-1, 所以x-y=3-（-1)=4,所以x-y的算术平方根是2. 【答案】2 题型2》平方根的应用 变式训练》参考答案见答案册P6 例2如果s和s+6是正数m的两个不同的平方根，那么s= 2-1已知一个正数的两个不 ,m= 同的平方根是4x+1和2 【解析】因为s和s+6是正数m的两个不同的平方根， 3x,则这个正数是 所以s+s+6=0,解得s=-3, 所以m=s2=9. 【答案】-3,9 题型3●>利用平方根解方程 >变式训练>参考答案见答案册P6 例3獬方程：4(x+1)2=36. 3-1解方程：4(1-x)2=25. 【答案】解：因为4(x+1)2=36, 所以(x+1)2=9, 所以x+1=±3， 所以x1=-4,x2=2. 链接中考 考点1◆求非负数的算术平方根 考点2求非负数的平方根 题型 难度 分值 题型 难度 分值 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 典例[无锡中考]实数9的算术平方根是( 典例2[广安中考]16的平方根是() A.3 B.±3 1 C.9 D.-9 A.8 B.4 C.±4 D.±8 【解析】±√16=±4. 【解析】9=3. 【答案】A 【答案】C 第二章实数 393.1010010001…(每两个1之间0的个数逐 次加1). 举一反写 1-13【解析】在实数0，，m-3, 2.020020002…中，无理数有√8，T-3, 2.020020002…,共3个 2-1解：根据题意，得-√9=-3， 所以整数：②④； 分数：③⑥； 无理数：①⑤. 故答案为②④；③⑥；①⑤ 2-2解：有理数：{-5,3.14,0，…}； 无理数：{5,7，-1.232332332…（每相邻 两个2之间依次多一个3)，25，…}； 正实数：5，，3.14,25，…； 负实数：{-5，-1.2323323332…（每相邻两 个2之间依次多一个3)，…. 3-1a-c>a-b>a>a+c【解析】由题图 中数轴，得c<b<0<a,Icl>a>Ibl, 所以a+c<0,a-b>a>0,a-c>a-b, 所以a-c>a-b>a>a+c. 4-1 解：填表如下： 实数 -8 -2 0.1 3 相反数 8 2 -0.1 绝对值 8 √2 0.1 T 3 倒数 1 3 8 K 2 10 2 5-1 解：(1)√(-2)2--8+(3)2 =2-（-2)+3 =7; (2)√16+12-51-3/27 =4+2-√3-3 =3-√3 5 变式训练 1-1解：(1)如图所示，正方形ABCD即 为所求 由图可知，正方形的边长为√22+12=√5， 所以正方形ABCD的面积为5. (2)如图所示，直角三角形DEF即为所求， 由勾股定理得DE2=2,EF2=22+22=8,DF2= 32+12=10, 所以DE2+EF2=DF2, 所以△DEK为直角三角形，所以S=号DE· ER=7×2x25=2 2-172【解析】因为2a+b+3=a- b+7V2,且a,b为有理数，所以√2a=7√2，b+ 3=a-b,所以a=7,b=2. 2平方根与立方根 第1课时平方根 预习检测， 1.B2.C3.C4.C 举三反三 1-1解：(1)64的算术平方根是√64=8； (2)√/(-4)2=4，所以√/(-4)2的算术平方 根是√4=2； (3)√81=9，所以√81的算术平方根是9=3； (4)分的算术平方根是、气=号 1-2 解：(1)因为152=225， 所以√/225=15； (2)因为}碧=1 366 (3)因为(-5)2=52， 所以√(-5)7=√5=5； (4)因为0.032=0.0009， 所以√0.0009=0.03. 2-1解：(1)因为（±7）2=49，所以49的平 方根是±7； (2)因为（±=卧，所以的平方根是 (3)因为（±16）2=(-16)2，所以(-16)2的 平方根是±16； (4)因为（±0.08）2=0.0064，所以0.0064的 平方根是±0.08. 2-2解：(1)因为（±14）2=196， 所以±√196=±14； (2)因为（±名产-高 25 .5 所以±√9=±3 ()网±引-2宁 所以生好=± /9 3 =士29 (4)因为(-4)2=16，（±4）2=16 所以±√(-4)2=±√/16=±4. 变式训练 1-1-1【解析】因为(x+4)2+√y-3=0, 所以x+4=0,y-3=0, 所以x=-4,y=3, 所以x+y=-4+3=-1. 2-1121【解析】根据题意，得(4x+1)+ (2-3x)=0, 解得x=-3, 把x=-3代入，得4x+1=4×（-3)+1= -11, 把x=-3代入，得2-3x=2-3×(-3)=11, 则这个正数为（±11）2=121. 3-1解：因为4(1-x)2=25, 所以(1-2-2 5 则1-x=±2： 7 所以x三7，三 第2课时 立方根 预习检测 1.B2.D3.A4.D5.D 举三反三 1-1解：1)91000=10：2)9-343=-7； 2-1(1)0.52)-13)0 变式训练， 1-11或-5【解析】一个正方形的边长 变为原来的8倍后，面积变为原来的64倍， 即a=64, 一个立方体的体积变为原来的27倍，则棱长 变为原来的3倍，即b=3. 所以-√a=-8,b2=9, 所以-√a的立方根为-2，b2的平方根为±3， 因为-2+3=1，-2+(-3)=-5， 所以-√ā的立方根与b2的平方根的和为1或 -5. 2-1解：因为2m+2的算术平方根是4， 3m+n+1的立方根是3， 所以2m+2=42=16,3m+n+1=33=27, 两式相减，得m+n-1=11, 故m+n=12.